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Full text of "Bulletin des sciences mathématiques"

BULLETIN 



SCIENCES MATHÉMATIQUES. 



(PREMIÈRE PARTIE.) 



COMMISSION DES HAUTES ÉTUDES, 



MM. EMILE PIGAKD, Vvésideut. 
P. APPELE. 
E. BOREL. 
.1. HADAMAUD. 
E. COURSAT. 
M. BRILLOULX. 
A. GUILLET, Secrétaire. 



AA'IS. 

Toutes les coinimmicalions doivent être adressées à M. Emile Picard, Secré- 
taire perpétuel de l'Acidéniic des Sciences, nie .losepii-Bara, n" (. Paris. \'I*. 



m'Sn l'aris. - Impriinerie AT Tlll Cll-X U.l AliS cl C", r|iidl iIps r.raniU Aii^iisliiis, :>:>. 



BIBLIOTHÈQUE DE L'ÉCOLE DES HAUTES ÉTUDES, 

PUBLIKE SOUS LES AUSPICES DU MINISTICRK DE l'iXSTRUCTION PUBLIQti;. 



BULLETIN 



SCIENCES MATHÉMAÏIQIES, 

RÉDIGÉ PAR MM. É. PICARD ET P. APPELL, 

AVEC I.* COLLABORATION riE 

MM. BRILLOUIN, E. CARTAN, J. DRACH, E. GOURSAT, C. GUICHARD, J. HADAM ARD. 
G. KŒNIGS, G. LORIA, S. RINDI, II. G. ZEUTIIEN, ETC., 

ERN. LEBON, Secrétaire de la Rédaction. 

Sous la direction de la Commission des Hautes Études. 

PUBMCATIOX l'ON'DlCE E\ 1870 PAU M. G. DARBODX, 

CONTINUÉE DE 187I A iSjS PAR MM. G. DARBOUX ET J. IlOUEL. 
DE 1876 A 1886 PAR MM. G. DARBOUX, J. IlOUEL ET J. TANNERY, 

DE 1886 A 1905 PAR MM. G. DARBOUX ET J. TANNEKV, 

DE 1905 A 19IO PAR MM. G. DARBOUX, É. PICARD ET J. TANNERY, 

ET DE I9IO A 1917 PAR MM. G. DARBOUX ET É. PICARD. 



DEUXIEME SERIE. 
TOME XLII. - ANNÉE 191: 

(lui' VOl-lMli r»F, LA COLLLCTION.) 



PREMIERE PARTIE. 




PARIS, 

GAUTHlEll-VII.LAHS ET (:'^ ÉDITEUHS, 

LIBRAIRES DU UUUEAU I»KS LONGITUDES, DE l'ÉCOLE POLYTECHNIQUE. 

Quai 'les (lruiids-Aiii;iislitis, ,i5. 

1918 



Digitizecf by the Internet Archive 

in 201.0 with funding from 

Univérsity of Ottawa 



http://www.archive.org/details/bulletindesscien42fran 



BULLETIN 



SCIENCES MATHÉMATIQUES. 



PREMIERE PARTIE. 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES 



JULIA. — Étude sur les formes binaires non quadratiques a indéter- 
minées RÉELLES OU COMPLEXES, OU A INDÉTERMINÉES CONJUGUÉES ( ' ). 

L'auteur ayant eu comme but déclaré l'interprélation et l'exten- 
sion de la célèbi^e méthode de réduction continuelle d'Hermite, 
rappelons d'abord brièvement celle-ci. 

Si f {x, y) est une forme binaire réelle dont les racines réelles 
sont a, , (/.2, . . . , et les couples de racines imaginaires jj, , [ij , . . . , 
Hermite lui associe la forme quadratique binaire et positive 

(p = /2(^ - a,jK)2+ «i(.r — a,j)2-4-. . .-t- 2«2(:r — ^,7)(a:— P',7) -H. . ., 

OÙ les f, u sont des paramètres réels; pour chaque système de 
valeurs des t, u il réduit œ par une substitution S, qui, appli- 
quée ensuite à /, donne une forme équivalente, F; de là résulte, 
les ï, u variant, un ensemble de substitutions réductrices S, et de 
formes F. 

C'est parmi les F qu'Hermite détermine la réduite définitive 
de /. A cet effet, il montre (et nous énoncerons les résultais en 
supposant que / est arithmétique, c'est-à-dire à coefficients 
entiers) que les modules des coefficients de F sont limités en 



(') Ce Mémoire a obtenu en 1917 le prix Bordin. L'analyse qu'on va lire 

constitue le rapport fait à ce sujet par M. G. Humbert (voir Comptes rendus, 

séance du 10 décembre 1917). 

Note de la Rédaction. 



6 PREMIER!-: PARTIE. 

fonction d'une quantité positive. 0, qui dépend des /. u: il choisit 
ceux-ci de manière à rendre 9 le plus petit possible, et appelle 
déterminant de /' la valeur de ce minimum; la forme cp. dans 
laquelle les t, u ont les valeurs choisies, est dite la correspon- 
dante de/, et la forme F, qui dérive de /par la substitution qui 
ri'duit la correspondante, est la réduite de /. 

Appliquant ces principes aux formes cubiques et aux formes 
biquadiwtiques à racines réelles, Hermite obtient d'intéressants 
résultats arithmétiques et algébriques. 

M. Julia, dans la première Partie de son travail, a cherché 
d'abord à caractériser nettement l'ensemble des S et des F, en se 
plaçant à un point de vue géométrique, et il s'est posé le problème 
sui\ant : 

Quand les t, u varient^ quelle région du demi-plan analy- 
ti(/ue est décrite par le point représentatif de la forme cp? 

La réponse est d'une extrême simplicité : le domaine D cherché 
est un polygone convexe, limité par des arcs de circonférence 
normaux à l'axe réel, qui contient à son intérieur ou sur son péri- 
mètre tous les points racines de / situés dans le demi-plan; ses 
sommets sont tous des points racines. On en a une définition 
absolument précise en passant au plan non euclidien dont le 
demi-plan est l'image bien connue. 

L'auteur en conclut que les S sont les substitutions modulaii'es 
qui transforment un point, au moins, de D en un point du 
domaine fondamental classique, Do, du groupe modulaire: que 
les F sont les formes équivalentes à / dont le domaine a au moins 
un point commun avec Dq ; que leur nombre n'est Uni, sauf une 
exception sans intérêt, que dans le seulcas où toutes les racines 
de f sont imaginaires : on voit quelle clarté est ainsi jetée sur la 
théorie d'Hermite. 

Reprenant ensuite l'élude de la fonction 9, .M.Julia établit avec 
rigueur, en suivant une indication d'Hermite, la limitation des 
coeflicients de F en fonction de 0, et l'existence du niiuiuiuui de 0; 
il applique la théorie aux formes cubiques et l)iquadr.iliquo>. dé- 
terminant, dans tous les cas et avec une remarquable simplicil*' 
géométrique, le point représentatif de la correspondante : de là 
les conditions de réduction d'une forme et, si elle n'est pas 



CO.MPTKS UliN'DUS liT ANALYSES. ; 

réduite, la suljsliuition réductrice; les calculs cHectlls ne peuvent 
en général se Taire que par approximation, puisque les racines de y 
ne sont pas cunnues a priori^ mais on peut pousser Tapproxima- 
lion assez loin pour obtenir toujours une réponse décisive. 

La deuxième Partie traite des formes binaires couiplexes 
quHermile navait pas étudiées. 

A une telle forme, J\x,y). de racines x\, ao, .... l'auteur 
propcjse dassocier la forme quadratique positive, à indétev- 
m iiiées canj usuéca . 

■:^ — t^d'L^ X -- 'j-ij ) ^ t'IdX^ix — -Xi y ) -r- . . . , 

le symit de Jb étant celui dune norme ; pour cbaque svstème (réel) 
de valeurs des /. il réduit C5. selon les )u-inrij)es d'Herniite, par 
une substitution S, à coefficients entiers complexes^ de déter- 
minant a«, d'où un enseuible de S et de formes /'S, ou F, équi- 
\alentes à /'; 

L'interprétation géométrique se fait dans le demi-espace, 
divisé en domaines du groupe de Picard : les t variant, le point 
représentatif de es décrit un polvèdre convexe, D, à faces sphé- 
riques, orlliogonales au [)lan base du demi-espace, et dont les 
sommets sont les points racines de /, situés tous dans ce plan: 
les S et les F se caractérisent alors comme dans le cas réel, le 
domaine fondamental ordinaire du groupe de Picard jouant ici 
le rôle de Do- 

Pour cboisir une léduite parmi les F, M. Julia introduit encore 
le minimum, dit déterminant àç f. d'une fonction. 0, des t; il en 
lire la notion de la forme s. correspondante de J . et celle de 
la F qui est la réduite cbercliée; il montre que les modules des 
coefficients de celle-ci sont limités en fonction du déterminant, 
retombant ainsi sur un cas particulier d'un tbéorème célèbre de 
M. Jordan. 

Après quelques remarques intéressantes sur les propriétés de 
covaricuice de la correspondante par rapport à la forme/, l'auteur, 
en regardant les formes réelles comme un cas spécial des formes 
complexes, donne l'explication d'un fait <c important > qui avait 
irappé Hermite, sans qu'il put en « découvrir la raison générale », 
ù savoir que l'expression du déterminant en fonction des racines 
d'une foruie réelle reste la même quel que st>lt If n()ud)re de 



8 PUHMIEHE PARTIE. 

racines imaginaires, et bien que les calculs de vériflcalitm dif- 
lèrenl profondément selon ce nombre. 

Enfin, la deuxième Partie se termine par Tétude complète des 
tonnes cubiques et biquadraliques complexes; l'auteur y ren- 
contre des théorèmes de géométrie non euclidienne dune extrême 
élégance, grâce auxquels il détermine simplement et nettement le 
point représentatif de la correspondante. ]ioint dont la position 
dans le demi-espace lui fournit immédiatement la substitution 
réductrice de la forme initiale. 

La troisième Partie^ quoiqu'elle ne concerne que des formes 
particulières, et principalement celles qui se décomposent en un 
produit de formes quadratiques à indéterminées conjuguées 
(formes d'Hermite), offre des résultats curieux et nouveaux. 

Les plus simples se rapportent aux formes f =J\f^^ où /, et/o 
sont deux formes d'Hermite : à/, M. Julia associe la forme d'Her- 
inite, toujours définie, es := ^^cc, -f- i-;'^^^ ; 'f/ est la forme y,- elle- 
même, si celle-ci est définie; sinon, c'est la forme quadi-atique 
définie la plus générale dont le point représentatif est sur la 
demi-sphère représentative de //, et que M. Picaixl a déjà consi- 
<lérée. 

Gi'àce à ce choix heureux de ci, l'auteur peut montrer que, /| 
et ^2 variant, le point représentatif de o décrit, dans le demi- 
espace, un domaine polyédral, limité, en général, par des portions 
de sphère et des portions de cyclide de Dupin : c'est la jnemière 
fois que cette cyclide apparaît dans l'Algèbre et rArilhméticjue. 
De là résulte encore un ensemble de substitutions S du gn^upe 
de i*icard, et de F équivalentes à J\ avec une interprétation géo- 
métrique simple et une généralisation des notions de ch'-teruiinanl, 
de correspondante, de réduite. 

Au cours delà recherche, M. Julia établit ce l'ésullal iiuporlani 
que, si deux formes indéfinies d'IIermitc ont leurs demi-sphères, t, 
etTj, sécantes, les deux grouj)es automorphes, à cercle |)rincipal. 
qui sont liés respectivemeni , d'après ]\L Picard, aux tiansforma- 
lions semblables de ces formes, ont en commun nu s()u>-groupe 
cyclique, formé par les puissances d'une subsliluliou hyperbo- 
lique; grâce à ce théorème et à une réciproque, il ramène les 
formes f à des types canoniques très simples, et en déduit une 
théorie sans lacunes de la réduction, tant pour les formes f que 



COiMPTKS lUiNDUS ET ANALYSES. 9 

pour d'autres formes qui leur sont apparentées et qui se pré- 
sentent naturellement clans la discussion. 

M. Julia, enfin, donne la solution complète du problème sui- 
vant : <(. Trouver toutes les formes binaires, à indéterminées con- 
juguées, et de degré supérieur à deux, qui restent invariantes 
par un groupe de substitutions linéaires » : l'analogie avec les 
formes binaires ordinaires faisait penser qu'on ne rencontrerait 
que des formes répondant aux groupes Jinis classiques; à côté de 
celles-là, l'auteur en découvre d'autres, d'ailleurs décomposables, 
qui restent inaltérées par les substitutions d'un groupe infini 
cyclique; elles se rattachent au théorème que nous avons signalé 
plus haut. 

En résumé, dans les deux premières Parties de son remarquable 
travail, l'auteur développe, avec toutes ses conséquences, une 
interprétation géométrique des méthodes de réduction continuelle, 
celle d'Hermite d'abord, celle ensuite qu'il propose lui-même dans 
le champ complexe; cette interprétation, d'une rare simplicité, 
rend intuitives bien des propriétés de la i^éduction et prendra 
place à côté de celles, classiqvies aujourd'hui, mais applicables au 
seul cas quadratique, qu'ont fait connaître Stephen Smith et 
M. Bianchi; elle apporte à l'Arithmétique des formes de degré 
supérieur un perfectionnement important, dont les applications 
aux formes cubiques et biquadriques soulignent l'intérêt. 

La troisième Partie, d'une inspiration analogue, conduit, sur 
bien des points, à des résultats neufs et inattendus; l'auteur con- 
tinue à s'y montrer ingénieux et habile dans le manieuient des 
théories combinées de l'Arithmétique, de l'Analyse et de la Géo- 
métrie, fusion heureuse qui semble la marque de son talent. 

Georges IIumbert. 



MYRBERG f P.-J.). — Zuh Théorie der Konvergenz der Poincaré schem 
Heihen. (Sur la théorie de la convergence de séries de Poincaré.) 
Akadeinische Abliandlung. Grand in-S", 70 pages, Helsingfors, Buch- 
druckerei-AktiengeselIschaft Sana, 1916. 

On sait que Poincaré démontre l'existence des fonctions auto- 
morphes à l'aide de certaines séries de la forme 



«<^' =2 "(li^) <■"=-'■■>" 



lo PREMIERE PARTIE. 

H(^) désignant une fonction rationnelle de c, la sommation étant 
étendue sur toutes les substitutions d'un groupe discontinu. Le 
quotient de deux séries thêta de cette forme cori-espondant à un 
même groupe et à une même valeur de l'entier m sei^a, en effet, 
une fonction automorphe. 

Poincaré démontre, par une méthode ingénieuse, que les séries 
thêta convergent absolument, si m >> i , mais il a laissé de côté le 
cas ;« = 1 . L'auteur s'occupe maintenant de ce cas qui mérite 
quelque attention parce qu'on arrive, si m = i , d'une manière 
particulièrement simple aux expressions des intégrales abéliennes 
qui se rattachent au groupe. 

Ce fait a déjà attiré l'attention de plusieurs géomètres. MM. Burn- 
side et Ritter ont démontré que la série 



(') 



Iû7 



3/)^ 



converge absolument s'il s'agit d'un groupe fuchsien de la troi- 
sième, de la quatrième, de la cinquième ou de la septième fa- 
mille. 

M. Schottkj a étudié un groupe kleinéen dont le polygone 
générateur est limité par 2p cercles qui sont extérieurs l'un à 
l'autre. Ce polygone engendre un groupe discontinu dont les subs- 
titutions fondamentales sont hyperboliques ou loxodromiques. 
M. Schottky a démontré que la série de la forme (i)qui corres- 
pond à ce groupe est absolument convergente si l'on impose au 
polygone générateur une certaine condition. 

L'auteur a su remplacer cette condition par une autre qui est 
moins restrictive. Cette nouvelle condition de convergence lui 
permet de démontrer que parmi les groupes engendrés ])ar le poly- 
gone susdit il y en a toujouts une indnih' qui sont tels que la 
série (i) converge absolumcnl. 

Mais il arrive que la série diverge. M. Myrbcrg démontre, eu 
effet, qu'il existe des groupes kleinéens ayant un polygone géné- 
rateur de la foiine susdile et tels que la série n'esl pas absolu in<MiI 
convergente. 

Citons un cas particuluir où la ccjiulition de convergence 
s'énonce dune manière très simple. Supposons que his o.^MercUis 
qui limitent le polygone généialeur oui le même rayctu /•. .S(jii c 



COMPTES RRNDUS ET ANALYSI'S. il 

la plus pelite des distances cnlrc les cenlres de deux de ces 
cercles. La série (i) converçe aljsoluinent si l'on a 

- > s'ip — 



s/ip — 1 

iN.-E. JNoRLUNO. 



WHITTAKER (E.-T.j. - A Trkatise ox tiik axalytical Dynamics of 

PARTICLES AN» RIGIl) BODIES, WITII AN INTRODUCTION TO THIi: PrOBLEM OF 

THREE HODIES. Second édition, i vol. grand in-8", xin-432 pages. Cam- 
bridge, University Press, 1917. 

La première édition de cet intéressant Traité a paru en 1904. 
Dans l'Analyse donnée peu après (ce Bulletin^ 2® série, t. XXIX, 
iyo5, p. 80-84) pai' le regretté Jules Tannerv, le plan et le carac- 
tère de l'Ouvrage actuel sont trop bien indiqués pour qu'il soit 
nécessaire d"v revenir. 

M. Wliittaker a complété et remanié en différents points sa 
rédaction primitive. Indiquons, en quelques mots, l'une des addi- 
tions les plus intéressantes, celle qui concerne le Cliapitre XI : 
Théorie des transformations en Dynamique. Elle a été motivée, 
nous dit l'auteur, « par le désir de rendre justice au premier des 
grands travaux que nous devons au génie d'Hamilton ». 

L'origine de certaines méthodes fondamentales de Dynamique 
y apparaft dans l'étude d'une question d'Optique. Tout d'abord, 
le principe de Fermât et celui de la moindre action montrent que 
les courbes dessinées respectivement par les rayons lumineux et 
par le mouvement d'un point libre (sous l'action d'une force 
dérivant d'un potentiel) sont les extrémales correspondant à deux 
intégrales de même forme; le problème de Dynamique est donc 
susceptible dune interprétation optique. 

Soient maintenant a- et S deux surfaces, positions d'une même 
onde lumineuse aux instants te\.t'\'Z%e déduit de a- par une trans- 
formation de contact (T), traduction mathématique du princijjc 
de Huygens. On peut écrire les équations finies (E) de cette trans- 
formation à l'aide de la fonction Y{x,y., z\ x\ y\ :■') exprimant 
la durée de ti'ansmission de la lumière entre les deux points .r, 
y, z, x\ )•'. ;::' du milieu. Si rinterxalle de temps /' — / est inli- 



12 PREMIERE PARTIE. 

niment pellt, la transformation (T) est infinitésimale, le équations 
précédentes conduisent à des équations différentielles (E'), de 
forme canonique, dont les intégiwles sont données par les équa- 
tions finies (E). 

Cette façon intuitive de faire pressentir que l'intégration des 
équations de la Dynamique se ramène à la détermination dune 
seule fonction inconnue mérite assurément de rester classique. 

Signalons encore le paragraphe 181 : Régularisation du pro- 
blème des trois corps. Il donne, en quelques lignes, une idée très 
nette de la contribution fondamentale apportée par M. Sundmann 
à cette importante question. 

Dans tovit le cours du Traité, on s'aperçoit d'ailleurs que 
M. Wliittaker s'est efforcé de tenir son lecteur au courant des 
nombreux travaux parus depuis 1904. H a réussi pleinement à 
conserver le caractère d'actualité scientifique à son livre, qui est, 
en somme, un guide fort utile pour conduire des régions clas- 
siques à celles explorées par les travaux les plus récents. 

E. GOTTON. 



MÉLANGES. i3 

MÉLANGI'.S. 



SOURCES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LES MILIEUX UNIAXES; 

Par m. MAR<:Er. BRILLOUIN. 



1. Équations générales. — J'écris les équations du champ 
électrique E et du cliamp magnétique M dans les milieux uniaxes, 
avant pour axes les parallèles à O.:, en unités électromagné- 
tiques : 



(I) 



1 


dE, 
ôt "^ 


4 -j\ = 


dz 


dMs 

ày 


I 

02 


dE.^ 
dt "^ 


4-y,= 


dx 


dM, 

dz 


1 


dt ^ 


4 -73 = 


dWi 


dM. 
dx 




dS\, 


dE, 


dE^ 




l 


dt 


dz 


ày' 




1 


oM, 


dE, 


dE, 




1 


dt 


dx 


dz' 






dM-, 


dEi 


dEi 




f 


dt 


'^y 


dx 





(lï) 



Les indices i, 2, 3 se rapportent au\ directions x. y, z. 

a, c sont les deux vitesses de propagation principales. 

J est la densité de courant électrique. 

Il marrivera d'appeler le premier groupe d'équations équations 

d \ i tnpère-Maxwe II , et le second groupe équations de Faraday . 

J'ai écrit le second gi^oupe sous la forme isotrope qui convient à 

presque tous les milieux optiques connus, en adoptant la même 

perméabilité magnétique [un) dans toutes les directions. 

On a en outre 

Div. M = o, 



(III) <- ^''-J^-Jt' 



I <^E, 

= — 4-e, 



j^/dE, dEj\ ^ 

a'^ \ dx dy } c- dz 

en appelani e la densité électrique en \tilume en cliaque point. 



I, PREMIÈRE PARTIE. 

Dans lin milieu parfaitement isolant, les densités du courant / 
et les densités de charge e sont nulles partout ttù il n'y a ])as de 
sources extérieures. 

Je ne m'occuperai que de ces milieux transparents. 

2. Equilibre. — De? (kjuations (11) on déduit que ia force 
électrique dérive d'un potentiel \ , lorsque le milieu est en équi- 
libre; la dernière équation (HI) détermine ce potentiel 

L ne source ponctuelle simple à l'origine est alors donnée par 



V = ..-;. 


c- 


j\}-{-z\ 


<V) je..-- . 






f M,= 


M.= M3=o. 




La polarisation du milieu est 






E. 


Eî Eo 




^' 


a- c^ 





et le ilux de polarisation à travers la splièi^e de rayon r autour do 
l'origine est 4~^i comme on s'en assure facilement ; la charge cen- 
trale est e. 

Remarque. — Jl est imj)orlanl pour la suite de remarquei- que 
I on obtient encore une intégrale de degré — i , mais accompagnée 
de singularités plus étendues, en multipliant la précédente pai- 
une intégrale homogène quelconque de degré zéro, U„, 

(I) V = a2Uo^. 

On s'en assure facilement, en tenant comjdc de la propric-lc- 
fonda mentale des fonctions lutuio^èncs ilc (lei;i<' zéro. 



0[)o dUo oUu 

Ojt ^ dy ()z 

l'.iiiiii CCS louclions, nous aurons à iililiser y\\ particulier les ^ni- 



MÉLANGES. i5 

vantes 

Ra; H y 

qiioique sur l'axe (J^ (j* =)■ ^ o, :; ^ oi elles devlenneiil infi- 



mes comme 



\/x'^ -+- y- 



- (-) = 

d.T V R/ 


a'* X 
""'■^ R^ 


ày\Rj 


- C2 R3 


dz \Rj 


= -'"KJ 



Doublets. — Au point de vue physique , les seules sources 
importantes sont les doublets électriques , formés de deux 
m,asses égales et contraires à petite distance l'une de Vautre. 
Un doublet est délini par son moment électrique c, dont il faut 
donner la direction à l'aide de ses composantes s,, t-^, îs, 

(3) .V, = -, 

Le moment positit a la direction de l'axe positif. 

Ce qui fait l'importance des douillets c'est que, dans l'état 
variable, le courant nécessaire pour la variation des charges est 
confiné, entre les deux charges opposées, le long d'un élément de 
longueur. 

Une source électrique isotrope, au contraire, ne peut varier 
que sous Vinjluence d'un courant venant d'une distance 
injinie^ qui constitue une singularité linéaire à traiers tout 
l 'espace . 

C'est donc bien le doublet qui , dans l'état variable, constitue 
la véritable singularité ponctuelle, malgré la petite compli- 
cation due (i son caractère vectoriel. 

Au point de vue mathématique, l'avantage de prendi'e comme 
source ponctuelle le doublet et non le point provient de l'existence 
des relations (lU) qui réduisent au quatrième ordre au lieu du 
sixième l'équation aux dérivées partielles fondamentale. 

Remarque. — Près de l'origine, les forces électriques dues au 
doublet deviennent infinies comme — ; les forces qui ne de- 



i6 PREMIÈRE PARTIE. 

viennent infinies que comme -^ caractériseraient une charge élec- 
trique résiduelle si leur flux spliérique n'était pas nul. Pour un 
doublet pur, le caractère essentiel des termes de degré d'infini- 
tude 2, I, o est de donner un (lux sphérique nul. 

3. Etat variable. — Avant d'aborder le cas général d'une 

variation suivant une loi quelconque en fonction du temps, il est 

utile de traiter quelques cas particuliers. Le plus simple de tous 

est celui du doublet dont le moment croit proportionnellement au 

temps; l'élément de courant qui joint les deux charges électriques 

est alors constant, et le champ magnétique est permanent. 

Posons 

B = tt' 

en désignant par s' la \ itesse d'accroissement du moment du dou- 
blet, (jui est aussi le produit de l'intensité du courant par la 
distance qui sépare les deux masses. 

Le champ magnétique étant constant, les équations (II) mon- 
trent qu'il j a encore un potentiel des forces électriques, déterminé 
par l'équation (i). Pour un doublet d'orientation quelconque ce 
|)otentiel. donné par les formules (3), est 

(4) V, = -„V4;^(^). 

suivant la direction de son axe. 

Ce sont les équations (I) qui serviront à dc'termincr le chauq> 
magnétique, toujours soumis, en outre, à la condition (III), 

Div.M =o. 

Pour celte délerminatiou, le rôle spécial de l'axe de sjuit'-lrie O 3 
rend iitih' d'él iidier séparément : 

1^ Un doublet axial ( V3); 

•2" Un doublet équatorial (V,). 

( )ii <ihl ieudiM par pcrmulalion le second donhlrl ('•(pialurial ( \ j), 



MÉLANGES. 17 

« et en associant trois doublets on aura par addition vectorielle le 

champ magnétique dû à un doublet d'orientation quelconque. 

4. Doublet axial. — Les équations (i) donnent pour déter- 
miner le ciiamp magnétique 



(!') 



avec 



On voit de suite qu'on satisfait à toutes les conditions en 
prenant 



dz 


dy ^ dxdz VR/ 


dx 


Oz - ' "-'àyoz \k) 


dUy 


OM, , «2 <92 ^ I 


ày 


dx ~ ' ^' c'- dz'- \K 




Div. M = 0. 



(5) 



M, = o. 



La troisième des équations (!') devient identique à l'équa- 
tion (1\\). 

Cette distribution circulaire autour de l'axe du doublet est 
aussi simple que dans un milieu isotrope, bien que la distance R 
caractérise un ellipsoïde de révolution au lieu d'une sphère. 

o. Doublet équatorial ( 1 ). — Le champ de ce dou])let est 
plus compliqué; quoique le milieu soit magnétiquement isotrope, 
les courants de polarisation de Maxwell, 

_L_E- -i-F- -1-R- 



4— a- |r:(/- " ^—c- 

dans le milieu ajant une distribution réglée par Tellipsoïde de 
polarisation diélectrique d'axes «, c, le champ magnétique dii à 
un doublet équatorial ne peut pas être de révolution autour de 
l'axe du doublet. Sa distribution dépend de deux axes de symétrie 
distincts : l'axe de symétrie du milieu Oz- et celui du doublet Ox, 
par exemple. 

Bull, des Sciences mathém., a- série, t. XLII. (Janvier i<ji8.) 2 



i8 PREMIÈRE PARTIE 

J^es équalions sont : 






(I") 



dz dy 

dx dz 



' d.r dy \R 



= £ 



dy dx ' c'2 dx dz V R / ' 

Div. M = o. 

On satisfait aux trois premières équations en prenant 



M 



— i^'ax 



M. = £', 



mais la divergence n'esl pas nulle; il taut donc poser 



^ - dy c2 '1 dz \R 



cl ((('"Icniiiner *!> par la condition 

c2 _ a2 ()2 



A* 



e2 dy dz \ R 



iNoiis déterminerons au procliain paragraphe une lulégrale L de 
équation 

«5— C2 l 



(VI) 



AL 



c3 H 



([ui reste finie dans loul l'espace, sauf à dislance Iniiuie. el dont 
les déri\(''es n'oni de singularité qu'à l'origine des conrdonn«''(^s. 
Il Mifll! ;i!(u-> (U- prendre 

d^h 



(Ml) 



<!> = 



ùy ds 



pour satisfaire à toutes les conditions. 

En edécluanl la d(''ri\al ion par rapport à }', im a la loriu»- 



< VFI) 



()Z 



a-i + yi ^\ 



MÉLANGES. 19 

qui se prèle à vine vérification iimnédiate, puiir chaciia fies termes 
séparément. 

Enliii. si l'on se rappelle que l'on a 

on arrixe à la forme 

a^— c^ d [ y \ «2 _ c2 yz \ 



(7) •J> = 



dz \\\-^ V f2 /• H K — /• 



.ur laquelle il esl cvidenl qu'il n"j a d'autre i)oint singulier que 
origine. 
On obtient ainsi facilement 

.M 1 — — 






M. = 



a- — c- , d- / y 



dz-^ \ K-H /•/ ' dy ' l 



Tel est le champ magn('-ti([ue développ<' dans un uniaxe (z) par 
un élément de courant équatorial constant à l'origine, dirigé sui- 
vant l'axe des x. 

Au champ à circulation elliptique s'ajoute un champ dérivé 
d'un potentiel, qui n'indique néanmoins la présence d'aucune 
masse ou d'aucun doublet magnétique. 

C'est un champ bien plus compliqué que dans un milieu iso- 
trope; il y aurait grand intérêt à faire le contrôle expérimental de 
l'exactitude de ces formules. 

(3. E(jiia(ion ~]A = o. — L'équation (\l) du nu uu-ro précé- 
dent est en réalité une forme de l'équation 

rvi') Dal = o. 

déjà à moitit' intégrée pour une source ponctuelle à l'oiigine. Cette 
('•quation donne en elTet, dans ce cas, 

- = -;■ 

comme on l'a déjà remarqué au n° 2. 



PlllLMlËRI" PAUTIlî. 
Pour aller plus loin, rem aquons que l'opériileur D peut s'écrire 



a- \ a^ 1 Oz- 

on a donc 

c- — a- 0- 



(9) A(i 



C2 (9^2 \^H, 

Si Ion a clioisi A égal à -_ — , on a par coniparais(»n avec ( VI) 

Sous cette forme, Tintégralion est immédiate. On olitient d'abord 

dL \ W — z i r — z 

(II) -i-^-'og'B 'og 

^ ^ dz 1 ^K ->r z -2 r -i- z 

le second terme, qui satisfait à A = o, est ajouté pour faire dispa- 
raître la singularité que le premier terme pris seul laisserait sub- 
sister sur tout l'axe O;. 

Intégrant une seconde fois, on obtient 



Sur l'axe Oz-, L reste fini et éi;al à - log - du C('»té i)ositif de 

' -2 ^ c ' 

l'axe des z^ et à log— du C()té négatif. Au voisinage de l'ori- 



2 ^ c 

gine, mettons en évidence l'angle zénithal 0, ainsi que la dis- 
tance r; il vient 



L=r 



1 / — sinSO-f-cos^ô — i-{-cos01og( a "^ ) 

LV c- \ v/a2sin20-4-c2cos20-!-ccosO/J 



Quelle que soit la direction 0, L tend vers zéro avec r. La fonc- 
tion L ainsi construite contient R et r symétriquement. On 
trouve facilement, comme il a été dit au numéro précédent, 

7. h'tdt rariahlr f/i/i;/('j/irjiii'. — • Equatinns s^'r/triftfrs. — 
C est le cbauip (''Icrlriquc qui nous iutéresse le plus; élimiuous 



MÉLANGES. " 

donc la force luagnélique entre les équations (1) et (II ) ; il vient 

[ «2 or- ^ àt àx 

,,y, i-:^+4r^=AKo-f Div.E, 

r ^4l3_^,,,^^^,,:3_^Div.E, 



avec 






(X) 



Hors de la source, les e et les y sont nuls. 

Ces équations permettent de séparer les ondes en deu^f^roupes, 
l'un .u'dlnalre pur, l'autre extraordinaire pur. L'équat.on ( X ) 
portée «laas les équations (IX ) donne, Uors de la source, 



(XI) 






I <r- \ 


)E, 

) E3 


c- — a- d-li.-i 


A — — -r- 
a- ai- 1 





= o, 



La dernière équation montre que la force E^ axiale se propage 
entièrement par l'onde extraordinaire; les deux autres équations 
déterminent ensuite E. et E,. On peut aussi tout ramener a la 
détermination directe d'une seule fonction ^, ponctuelle, non vec- 
torlelle, quoique non isotrope. 

Les équations ( XI ) nous conduisent à prendre 

_ c ' - "- ^' ^'' 

avec 

(XIV ) (A4- —^^ jTT, - ;r. ,)(■! ) [ ^ a^ ôr- ) 




22 PREMIÈRE PARTIE. 

8. Etude de Véquation (XIV). — L'équation (XIV) est 
l'équation tondanientale clans Tétude des états variables des uni- 
axes. Chacune des trois composantes du champ électrique t satis- 
fait séparément; chacune aussi des composantes du champ magné- 
tique. Deux quelconques de ces composantes peuvent être des 
intégrales choisies arbitrairement de l'équation (XIV ), mais la 
troisième composante du champ électrique ou du champ magné- 
tique est une solution liée aux deux autres par l'éqviation de 
divergence. C'est ce qui fait la difficulté du problème électro- 
magnétique. C'est aussi ce qui rend important d'indiquer dès à 
présent quelques intégrales utiles de cette équation. 

La solution fondamentale, celle qui correspondrait à une vraie 
source ponctuelle si les équations de divergence du problème 
électrique ne s'opposaient pas à son existence, est 

F(R-«n f(r — af) 
(XV, "- R --^ 

en se bornant à l'émission, sans absorption. 

Mais cette intégrale n'est pas la seule importante. 
On montre facilement, comme au u° îî, que l'équation 

est encore satisfiiile par 

f(r-at) 
o = Uo = \ j 

en prenant pour l o '"^e fonction haruKjniqiic homogène, île degré 

zéro, quelconque, 

AUo=o. 

Uc-t \iai que l'on iuliodiiil ainsi des singularités supplémen- 
taires; mais on peut introduire les mêmes dans la solution qui 
correspond au facteur svnd)olique extraordinaire, à l'aide d'une 

fonction liiirmoniqiic de — x\— f, ;, homogène de ile^ré zéro, U-, 

1 ce- ' 



(A -\ ■ -] U,.= o. 



MÉLANGES. ^3 

avec 

_ F(R — «O . 

'f e — L' e o » 

il faut seulement associer convenablement les fonctions U et L^. 
F et /. 

Prenons, par exemple, 

rx ^, _ Rj" 

et 

(XVI, vï',.= .^_-[G(R-aO-G(r-aO]. 

Cette fonction parait devenir infinie tout le long de l'axe O:;; mais 
il n'en est rien. On a, en effet, 

^2 ^-2 jqI _-L- y- 

G(R — aO— Gir -at) = G' {z — at) x ^^^ ••-• 

d'où, au voisinage immédiat de l'axe O;;, 
(12) ^1^=^^^:;^ f G'(--«0 + ••■ 

qui n'a plus de singularité sur l'axe. 

Près de l'origine, x, y\ z sont tous très petits, et l'on a 

G(H — «0-G(7- — aO = (R -'•)&'(- aO^..., 
d'où 

^ X reste donc tini même à l'origine. 

La fonction Wj- (XVI) reste donc finie dans tout l'espace, axe 
et origine compris. 

Il en est de même de la fonction \y que l'on obtient en permu- 
tant X et )', ainsi que des fonctions 

-^r-^-G(R-«^ji-:^r^^G(>-«/)], 






\ -T^G(R - a( i] - -^l -^^Gir - al)], 



24 PIIEMIÈUR PARTIE. 

Nous Irouverons l'application de ces fonctions pour les doublets 
équatoriaux. 

9. Doublet axial. — En comparant les formules (XIII) à celles 
qui conviennent pour les doublets variables en milieu isotrope, 
nous pouvons présumer qu'elles s'adapteront bien à la représen- 
tation d'un doublet variable orienté suivant l'axe de symétrie. Il 

suffit de prendre 

, _ «^c- F(R — «0 
" c^—a^ R 

pour repi-ésenter un doublet dont le moment variable est F( — ai). 
On a alors dans tout l'espace 



l ^ à- fV\ ,. . à- /F 

r d2 i d-^-\/F\ 



(XVII) 



c'est la même forme que dans les milieux isotropes. 

Toutes les conditions (équations différentielles générales et 
forme limite à l'origine) sont satisfaites. Le second terme de E3, 
comme dans les milieux isotropes, est dû à la variation de l'élé- 
ment de courant entre les pôles du doublet variable. On forme 
facilement le champ magnétique dû à ce doublet, à l'aide des 
équations (II) (de Faraday) : 

\ï --±±(1 
'~ dy dt\R 



Mo 
M, 



dx ai \ R 



C'est une forme toute semblable à celle qui convient aux milieux 
Isotropes, à part la coordination par surfaces d'onde ellipsoïdes ( R) 
au lieu de surfaces sphériques. 

Cette simplicité de résultats tient à la coïncidence de l'axe du 
d()ui)let avec l'axe du milieu. Nous obtiendrons des formules plus 
compliquées pour les doublets équatoriaux. 

10. Doublet équatorial. — Laissons-nous guider par l'analogie 
statique, en adun-ltaiif (pui c'est la composanle suivant l'axe de 



MELANGES. i5 

révolution dont la forme reste aussi simple que dans un milieu 
isotrope. Pour un doublet suivant l'axe des x^ nous adoptons la 
forme 

E, = <ï>i-i- 

(XVIII) { E2=*2 + 



E., 



— : — I 

ox Oy 
dx dz 



avec 



/ /x ^ F(R — a/) 
(i4) *,= -a'--^— '• 



Les termes en <ï>g donnent la partie du champ qui correspond 
aux cliariies du doublet de moment F( — at)^ comme on le voit en 
comparant avec la première des formules statiques (3). 

Les fonctions O,, $o ne doivent introduire aucune singularité 
nouvelle; en particulier, comme il a été remarqué à la fin du n° 2, 
leur ordre d'infinitude à l'origine ne doit pas dépasser 2, et même 
les termes de cet ordre doivent donner un flux sphérique nul. Ces 
fonctions sont définies à l'aide des deux premières équations (XI) 
et de l'équation (III) 

I '^' \ ^ a-— c- c»*<ï>,. 



(^-^^)* 



a- c- ôx' dt- 






d<i>i d^t I Ô^^e 



dx ày c^ dx dt^ 

en tenant compte de l'équation en <ï>e 

«2 _ c2 ^2 I d^ 



A + 



dz^- c"- df^ j 



Ces trois équations sont compatibles et se réduisent aux deux 

suivantes : 

d^i d^i _ I d^^,. 
dx dy c- dx dt- 

t ^\ /d^ _ d*2^ _ 
■^ ~ «2 d(^) \ dy dx ' ~ ^" 



26 PREMIÈRE PARTIE. 

Sous cette forme, il est indiqué de poser 

(XIX) i ^" ^-^ 

dx ôx 
ce qui sépare les équations en csq et -}, 

I \àx- dy^ 1 ' c- dx dt''- 

Ce n'est que par l'association des deux fonctions ■!/ et cs^ 4^'^ '«^i^ 
peut éviter toute singularité de <I>| et ^^ dans l'espace entier, en 
particulier sur l'axe O:; qui joue dans chacune d'elles un rôle 
spécial, comme le montrent évidemment les équations (XX). 

11. Les équations (XX). — Cherchons d'abord la fonction <l. 
Nous la formerons facilement à l'aide du changement de variables 
classique 

qui transforme la première équation (XX) en 

, ,., , dià aW d d \ F"(R — an 



d^ dr^ c2 V à'ç àr^ 

après avoir remplacé 4>e par sa valeur (i4) eL eflectué la dérivation 
par rapport au temps. On a en même temps 

('7) ir-=:^ir. + ^^ 

Considérons d'ahorcl If-cjuation jdus simj)K> 

d^^ F"(R-an 

' d\&r, R 

cl inlé;Lir.)n-i par rapport \\ r, en hiissani H C(uistant , 

dj^^rvnx-ra) 

<>t J K 

~ l J 1^ 



MÉLANGES. 27 

^lais. [juisque ç et :; restent constants pendant cette intég;ration, 
on a en différentiant l'équation (17 ) 



et par conséquent 

(.9) ^=f ^F'(R-«0- 

On aura de infime 



^20) Ç^ = J l^FÏR-aM. 

or, r a* 



Comparons léquations (16) et léquation (18 i; on a évidem- 



ment 



ou. en revenant, à .r et j', 

(a'2) .1 ^ a^--J^--F'{R — af). 



12. Quant à la seconde équation (XX), on voit immédiatement 
«[u'elle est satisfaite pur une fonction ordinaire analogue; on 
prendra donc 

A.r -T- B V ^, , 

(23) Ço= 7, ^F(7— rt/), 

et Ton choisira les constantes A, B, de manière à éviter, comme il 
a été dit au numéro précédent, toute singularité, sur l'axe O:;, 
dans <ï>, et $0- O'i reconnaît aisément qu'il faut poser, pour cela, 

(•24 j A = o, B = «2. 

On aui-a donc finalement 

(XXI) ) dx\_T^-^y^- ^ J oy^T^'-^y^- J 

N'érifions seuleuient les valeurs limites. Près de l'axe Or. les 



28 PREMIERE PARTIE, 

principaux termes sont 



«'--f-c- F'''( — at) I «2 — c- )•■- — X'- 



(25) 



2.C- Z \ 4 f - 3- 

F"'(— «0 /«* 3-^^ + JK- 'iy^-^x^ 



z- 



a'*~ c'* xy \'P"{— at) „,„^ 1 

<I>2 = ^-r ^ — ^ — V"{—at)\ 4-.... 



Tous deux restent finis quand x et y tendent vers zéro. ; restant 
fini. 

Près de l'origine, les principaux termes de <ï>, et ^2 sont 

, . rt2r-+-(;2Rr y"- 1 .r^ 1 1 p„, 

(26) i ^fL_LlF"'(-«0+.--, 

r aay .rj^ rt^n ^,2 — (^2 p'", — ^i ) 

'~ yx--\-y'^ Kr c-J c- K -i- /• 

Il ne subsiste aucun terme du second ordre d'inlinilude, uiais 
seulement des termes du premier ordre, dont le flux est nul. 

13. Champ électroinagnétique du doublet équatorial. — 
Rapprochons les formules (XXI) des foruuiles (XV^III), nous 
obtenons pour un doublet équatorial suivant Taxe des x^ de mo- 
ment variable F( — at), 

en posant 

!!-,.= K(R —al), Fo= F( /• — «/), 

R*= -^(-r^-^J^'^^-^-S /•■■' = .r2-i- 72+^2. 

Pour loin ICI' II' cliuiiii) in;ii;m''l kjiic. nous ni il i><(ui>^ les ('■<|ual nuis ( II) 



MliLAXGES. 29 

(de Faraday), qui nous donnent 

, \ c/j:- ày- 1 \X-^y- / 

Remarque. — On reconnaît sans difficulté, comme pour le 
champ électrique, qu'il n'y a aucune singularité sur l'axe O::, et 
<jiie l'on retrouve la forme (8) du n° o, correspondant à un élé- 
ment de courant constant, au voisinage immédiat de l'origine. 

14. Clianip électromai;?iétique d'un doublet électrique quel- 
conque. ■ — Récapitulons les formules obtenues pour les différents 
doublets, en indiquant leur direction par des indices supérieurs a.', 
)-, c. 

Posons, pour abréger, 



x--^y- X'-^y- 






Ef = — «2 



dx dz 



' y dx<iy\\\j dx^ ^'\ dy " ^' 

^'-= 'A-^X-é) ■^j-/~^^'A^''-Tx^^^'^^^ 

L% = — «2 






3o 



PREMIÈRE PARTIE. 



Champ inaoïiétique 



d_ 



àz 



(XF„) 



è'^".>]. 



Ji^XF/)---^(YF„il, 






Mî = 



'^ /'El'"' 



a àfi 



- c>.r \ R 

Mj = o. 

On formera facilement les composantes d'un doublet de mo- 
ment F( — al) et de direction fixe a, [j. y; pour E, par exemple 

on doit prendre 

ai<:f+ |iE^-t-YEf. 

Si la direction du doublet change constamment, on attribuera à 
chacune des trois composantes du doublet la loi de variation 
¥-^( — at), F.>(— rti), F-( — at) convenable, et l'on obtiendra 
chaque composante du champ par addition des composantes de 
même direction relatives aii\ trois doublets éb'uienlaires. 

15. DoubLrls ('•leclroiiutunt'ti(jues. — 11 est maintenant très 
facile d'écrire les formules qui donnent le champ produit par un 
petit circuit fernu'; d'iuicntatiou qu('l('on((ue placé à l'origine. 

Soient /^, /■'■', les longueurs très petites des doublets parallèles 
à deux directions reclangulaires (pielconques, ;. /, . 

Désignons les uioincnts (\g> doublets électrique^ pai- 

V\(—at)= r^Jy—at), 
Vf^{—at) = lAf{—at); 



rh / ( — (II) reprt'sentr la charge ("h'cl rH|iir «le ( liai|iic pidr des 



MÉLANGES. 5i 

(luuhlels; le couraul a, diius chacun d'eux, la même intensité 

1= -f(-at)=-afi~at), 

laccenl indiquant une dérivation par rapport à toute la variable 
( — at). ^.ous constituons un circuit fermé rectangulaire, d'inten- 
sité uniforme I, et sans aucune charge, en associant deux dou- 
hlets ; de sens contraire à la distance /'^s avec deux doublets rj à 
la distance /-. tels (jue le courant circule dans le même sens sur 
tout le contour. 

Si les axes ç, r,, et Ç normal aux deux autres, ont la même dis- 
position f[ue les axes x, >', 5, nous avons un circuit de moment 

magnétique positif 

I/;/o= ;jt.(— at) 

en prenant successivement : 

Le doublet ç positif à l'origine o, o; 
Le doublet r, positif au point + /^, o; 
Le doublet ç négatif au point o, /'"i; 
Le doublet r, négatif à 1 origine o, o. 

LTne (jiielconque P des composantes du champ en un point jr, 
)', ; s'obtient en prenant 

P = /'■. -^ ( /? P5 )—l'^-~( /'■. P*-- ), 

en appelant P^, P*"' les composantes correspondantes relatives à un 
doublet de longueur unité soit suivant l'axe H, soit suivant l'axe r, ; 
mettons eu »'-vidence les dérivées par rapport aux coordonnées 
courantes, nous aurons 

1(3. Doiildt'i inagn<'ti<iue axial. — Soit a( — at) le moment 
magnétique variable de ce doublet; l'application de la règle pré- 
cédeute tlonne. en conservant les mêmes notations qu'au n^' li : 

I-^i=-«f-^(V,a,) -_^r\a,)--^(Y;jLoi — -^(X,ao)|, 
\^dx^- ' dx ûy ' f)y^-^ ' ôx dy '"'J' 

Ko = — « , ( Y 'J.,. ) ^ ( X -Ji,, ) H '— ( Y a. ) H ^ ( X Un ) . 



32 PREMIÈRE PARTIE. 

et pour le champ magnétique : 

dz[^dxdf ' dy^-' dx dy àx- J 

On a posé 

u(— at) = 011 '(— at). 

17. Doublet magnétique équatorial. — On obtient de même, 
quand le circuit situé dans le plan yz a son axe dirigé suivant 
Ox : 



■^-%7lT 



et pour le cliamp magnétique : 



M, 



«-(è-i^^)À(-^^'-)- 



18. Toutes ces formules ne diffèrent pas, au fond, de celles 
que l'on peut tirer du tr.ivall important de Griinwald. paru en 1902 
dans les SitzungsbericlUe de l'Académie de Vienne, ou de 
celles équivalentes obtenues par Signorini, et doni un courl 
résumé a paru dans les Lincei en i9o() (' ); mais elles en (lillèrenl 
beaucoup par l'apparence et l'inlerprélatioii cjui eu rc'sullc. 



(') Le Mémoire do Griinwald (p. '|ii à p. '|S5) conlienl deux paiLics : la pre- 
mière relative aux milieux uniaxes posscdanl en oulre une compressibililé 
cubique isotrope finie; la seconde relative aux milieux électromaynéli()ucs 
uniaxes. Il donne des intégrales triples qui dé(inisscnl l'étal d'un milieu infini 



MÉLANGES. 33 

Ces deux auteurs ont conservé dans la partie de leurs formules 
qu'on doit comparer aux nôtres un signe de quadrature inutile; 



en fonction de rëtal initial et des sources, t^es termes d'apparence infinie sur 
l'axe optique sont introduits par l'intégration et figurent comme soi-disant inté- 
grales résiduelles. Un Mémoire est annoncé sur les oscillations de Hertz ( doublets) 
et un autre sur le principe d'Huvgens dans les uniaxes: je n'ai pu découvrir 
s'ils ont été publiés. 

Il me reste à parler de quelques Mémoires dont je n'ai pu prendre connais>ance 
que pendant la correction de ces épreuves grâce à l'ouverture de la Bibliothèque 
universitaire ( i"' novembre). 

Le Mémoire complet de M Signorini (i3i pages) a paru dans les Annales de 
l'École normale de Pise. Les titres des chapitres donneront une idée du plan de 
cet important travail : I. Intégrales de Lamé (plus exactement de V'oltcrra). 
H. Formules de S. Kowalesky IIL Extension de la formule de Poisson. IV. Ex- 
tension d; la formule de Kirciihoff; possibilité analytique d'un point lumineux 
unique. V. Principe d'Huygens. VI. Règle ( consiruclion ) d'Iluygens. Ce 
.Mémoire abonde comme le précédent en développements mathématiques qui 
laissent diffic lement pressentir la simplicité du phénomène principal. C'est tou- 
jours de source ponctuelle qu'il est question et non de doubleis; les formules 
donnent toujours l'illusion d'une intégrale résiduelle. 

Il en était de même dans le Mémoire antérieur de M. Conway {Proc. Lond. 
Math. Soc, t. XXXV, 1902) sur la propagation de la lumière dans les milieux 
uniaxes. M. Conway débute en posant que la fonction 



■'-I <'¥i'-('n/5)-r('V_FI) 

-/(\/^-')-Kv/^ii-')J 

satisfait aux équations aux dérivées partielles et aux conditions de continuité 
nécessaires pour définir les sources dans les uniaxes. Il écrit les champs électrique 
et magnétique des deux espèces de doublet*, tant électriques que magnétiques, 
diversement orientés, à l'aide des dérivées de la fonction /, sans développer celles ci; 
e.a sorte que la solution parait dépendre d'une fonction de structure compliquée. 
Le Mémoire, bref et élégant, mérite d'être lu. 

Ce sont toujours les Leçons 22 et 23 de In théorie de l'Elasticité de Lamé (1862), 
dont on retrouve les résultats, pour les biaxes, avec les impossibilités si bien 
mises en éviilence par M. Vullerra, quand on suppose la source strictement ponc- 
tuelle, et qui ne s'adaptent aux doublets, dans le cas des uniaxes, que d'une 
manière très artificielle. J'espère revenir d'ici peu sur celte question en discutant 
la propagation dans les biaxes. 

Le Mémoire de Brill {Math. Ann. , l. l, 1869) contient quelques transformations 
mathématiques des équations de propagation; il retrouve les solutions de Lamé, 
et pour le cas des uniaxes leur donne une forme nouvelle, où figurent des inté- 
grales avec lesquelles la fonction de y. de Conway préseule une certaine analogie. 

Paris, 10 novembre 11)17. 
fiull. des Sciences niathém,, 2' série, t. XLII. (Janvier nji^ ) 3 



34 PREMIÈRE PAiniE. 

lous deux disent explicitement et répètent que ce signe indique 
l'existence d'une onde intermédiaire, s'élendant entre les deux 
ondes ordinaire el extraordinaire. 

Les formules du Mémoire actuel montrent qu'il s'agit d'une 
illusion d'écriture provenant d'un raisonnement inaclievé. 

Pour plus de clarté, il faudrait que les mathématiciens et les 
physiciens s'entendent sur ce qu'ils appelleront une onde inter- 
médiaire ou résiduelle ; ce mut joue dans les généi-alités sur les 
équations aux dérivées partielles un rôle d'autant plus encom- 
brant qu'il est moins défini. 

Le sens strict serait le suivant : l^our qu'il n'y ait pas d'onde 
résiduelle il faut et suffit que l'état en un point de coordonnées 
J7, jf', z par rapport à la source ponctuelle, soit entièrement défini 
par l'état de la source à une époque antérieure T(a7, >', z). Dans 
un milieu isotrope, la distance r suffit; dans un milieu homogène 
où la vitesse de propagation ne dépend^que de la direction, t est 

de la forme r-, (-, — . - ) • 
\ /• /■ /- / 

Mais le cas particulier des milieux isotropes montre qu'il faut 
en outre préciser les variables qui servent à définir l'état. 

La proposition ne s'applique strictement qu'aux états définis 
par une propriété scalaii^e simple du milieu, le potentiel des 
\itesses, la pi'ession, l'excès absolu ou relatif de densité, qui ont 

la forme 

f(r — at) 



A[ais s'il s'agit de la vitesse, .ou de l'accélération, ou de touteaulic 
propriété qui s'obtient en prenant des dérivées spatiales du po- 
tentiel, tout se conq)li(pie : 

d^ f(r — at) X d . 

Ox ri /-î dr-'^ 

D'une pari, la fonction et sa dérivée par rapport à /• interviennent 
toutes deux; d'autre part, il n va pas de vitesse détermiiKM» à l'ori- 
gine. Il n'y a donc pas de conipuMison directe à t'-tablir ( iilic une 
piopiit'|('' emplovt'e à (hkiire létal du inilini. mais (|iii n'a aucune 



MÉLANGES 3i 

siofiiiflcalion définie à la source, et une dijférenle qui seule est 
définie à la source. 

Le phénomène correspondant à l'existence de la fonction 
y(/- — at) et d'une ou plusieurs de ses dérivées, multipliées par 
des fonctions difTérentes des coordonnées, est décrit par les phy- 
siciens sous le nom de « changement de phase rapide au voisinage 
de la source » dans le cas des sources périodiques; on peut sans 
inconvénient conserver la même dénomination dans le cas général 
en attrihuanl au mol phase son sens étymologique général, au heu 
du sens restreint. On ne songera pas un instant à dire qu'il y a 
une onde résiduelle pour la vitesse, alors qu'il n'y en a pas pour 
le potentiel. 

19. A mon avis, il ne faut employer la dénomination d'onde 
résiduelle, ou d'onde intermédiaire que pour caratériser une 
propriété du milieu, et employer les mots changements de 
phase, ou analogues, pour les complications plus ou moins 
grandes que peuvent présenter les variables choisies pour 
définir l'état du milieu. 

Toutes les fois qu'on peut trouver une fonction sans résidu, 
dont toutes les autres se déduisent par des opérations algé- 
briques ou des dérivations, il convient de dire que la propa- 
gatioTi se fait sans résidu dans le milieu étudié. 



La propagation sans résidu est caractérisée par l'existence d'une 
* = Afa-,^, z)§[t-'z{x,y, z)]. 



intégrale 



où A et -: sont deux fonctions bien définies de J?, y. z; mais où 
-f reste une fonction arbitraire. A l'origine, t est nulle comme ;• 

et A. infinie comme — • 
r 

Les deux fonctions A, t peuvent dépendre de la position x^ya^o 
du point source, et être en général de la forme A(j7, )', ^, a^o^ J'o? -^0% 
-:{x, y, z-s Xq. yo, Zq) si le milieu n'est pas homogène. La vainable 
sur laquelle porte la fonction arbitraire pourrait même être une 
fonction non linéaire en ^, fit, x, >', z) entièrement déterminée 
par le milieu., sans ambiguïté. 



36 PRiïMIÈfUÎ PAIJTIIi:. 

Si l'on adopte cette (léfinitioîi, les milieux uniaxes n'ont pas 
de résidu (n" 8), bien que la force électrique et la force magné- 
tique éprouvent, au voisinage de la source, des variations progres- 
sives de phase plus compliquées que dans les milieux isotrope-;. 

Saint-Cast, 20 septembre 1917. 



BULLKTIN inBLlOGllVPUlQUE. 



An.vuaire du Bureau des Longitudes pour i/ax 1918. i vol. iii-16 (16-9 ) 
de x-870 pages, avec 33 figures, 5 cirte*; célestes, > cartes magnéliq'ie? 
et I portrait. — Paris, Gauthier-N'illars et G'*, 1918. Prix (net) : 2 fr. 

Table des principauc chapitres. 

Calendrier pour l'an 1918. Prédictions. Etudes des divers calendriers. — 
Terre. — Astronomie. — Poids el mesures. Monnaies. Heures légales. — 
Données physiques et chimiques. — Supplément pour l'an 1919 (Ca- 
lendrier). 

Aotices scie ntijiq lies. 

Le calendrier égyptien; par M. G. Bigouhd.vx. — L'heure en mer, 
par M. J. Renaud. — Le Soleil et te magnétisme terrestre; par M. IIamy* 
— La vie et r œuvre de Gaston Darboux ; par M. E. Picvrd. 



CO.MI'TI'S |{|-:NI)US El' ANAI.VSl'S. 37 



COMPTES IIKNDLS ET ANALYSES 



.MAC .MAHON (Major Picrcy A. i. — Gombinatorv Analvsis. [Analyse 
coinbinaloire. J Vol. II. i vol. in-8 Jésus, xix-j4o pages. Cambridge, al 
the University Press, 1916. 

L'analyse du premier volume de cet Ouvrage a été donnée au 
Tome TvXXIX, page 28-, de ce Bulletin, et je prierai le lecteur 
de s'y reporter pour les définitions de certains des termes qui vont 
être employés. 

Le second volume traite surtout de la partition des nombres 
par le moyen des fonctions génératrices, le point de départ étant 
celui d'Euler : le nombre des partitions d'un eiitier n est le 
coefficient de x" dans le développement^ suivant les puissances 

de X, de- — Il v est tait un très grand usage de la 

représentation graphique suivante : soit la partition 4 -h 4 H- 3 + 1 
de l'entier 1 1 , les parties étant rangées par ordre de grandeurs non 
croissantes: on la repi^ésente par 



La Section VU reuteruu' un compte rendu dt'-taillé des re- 
cherches relatives au n'-sultat d'Euler ou à des résultats analogues. 
Ce sont, principalement, des transformations de produits infinis 
en séries. L'Auteur montre comment on peut souvent le» obtenir 
au moyen do la représentation graphique signalée plus haut: par 
e\em|»lc. il ('tatilll ainsi ridculih' 

( I -+- ax )(\ -^ ax^ ) ( ' -r- ax'^ ) • • • 



I — X- (I — .r-)i\ — .r' I II — .?--)ii — x'xi — .r'M 

P.U'Mii les irsultat> (le t'r gcun-, ou peut reuiurcjucr les identités 
Bull, des Sciences mathém., 2' série, t. XLIl. ( l'"cvrier 191^.) \ 



38 PREMIÈRE PARTIE. 

de M. Rainaiinjan. dont nous citerons seulemenl la piemirre : 



( i — ,r ) (' I — X- ) . . .{ \ — .>•' ) 



Elle se traduit, dans la théorie des partitions, par ce tliéorème : 
Le nombre des partitions cV an entier, dans lesquelles toutes les 
parties sont des multiples de o plus ou moins i, est é^>al au 
nombre des partitions de ce même entier dans lesquelles deux 
parties quelconques diffèrent de plus de i. 

Malgré la simplicité de leurs énoncés, ces tliéorènies ne sont 
pas encore démontrés, on les a seulement vérifiés; par exemple, 
dans l'identité citée plus liaut, on a \éri(ié l'égalité des coefficients 
de X dans les deux mend)res jusqu au terme en j"^''. Suivant une 
habitude assez commune chez les mathématiciens anglais. M. .Mac 
Mahon tire néanmoins de ces théorèmes toutes les conséquences 
<ju'ils comportent. 

Suivent les rapports entre la théorie des partitions el d'autres 
théories d'analyse combinatoire, celle de la comjtosition des 
entiers et des systèmes d'entiers, celle des periuutation> dans les- 
•quelles il n'v a que deux espèces d'ohjets. 

La Section \ III a pour but de londer la théorie ile> partitions 
sur celle des égalités et inégalités diophantiennes. Comuie (Ui peut 
supposer que les parties qui composent un entier // sont rangées 
par ordre de grandeur, la recherche des partitions de // est raiuen<'(' 
il la solution du système diophantien : 

a, 4- ïj-H. . .-:- a, = n, 
'^\ à ^i= • • • = «/ > o. 

De ce point de \ue, le problème peut se gént-raliser heaucoup 
-en remplaçant le syslèuie précédent par un système d'égaliti's ou 
d'inégaUtt's diopliani lennes (piciroiirpics. A ce sujet, il \ a un 
théorème tic M. llilbert qui dit (pic lo s(dutious d'un l(d >v>lèni(' 
sont des Combinaisons linéaires cl liomni^èncs à loclficicnl^ posi- 
tifs d'un certain nombre d'entre cllc^ lunnaiil ti- ipi ou appelle un 
système fondamental. M. Mac Mali(ui. par le moyen de-^ (onc- 
tions génér.Uiiccs, retroiiv e ce rcsiillal cl ilonuc une mélliode |)our 



COMPTES KENDUS lîT A NAi. VS liS . 39 

calculei" le système londamental. Comme a))j3licaliun, il traite les 
questions suivantes : Quels doivent être les exposants positifs 
a,, aj, . . ., y-s pour que l expression 

\ I — -r / \ 1 -- a:2 / ' ' ' \ y — x' ) 

soit un polynôme entier^ quel que soit n, ou jxnir que le nombre 

soit un nombre entier quel que soit n. Toutes ces questions se 
ramènent en effet à des inégalités entre les exposants entiers a. 

Les partitions dont il a été parlé jusqu'à maintenant sont des 
partitions à une dimension, c'est-à-dire dont les éléments peuvent 
être placés sur une ligne 

ii = 4-+-4-^3-4-i; 

et elles sont susce])tibles dune représentation à deux dimensions 



Les Sections IX et X sont consacrées à une généralisation, les 
partitions étant à deux dimensions et susceptibles d'une représen- 
tation graphique à ti-ois. Une partition à deux dimensions d'un 
entier positif n est une décomposition de cet entier positif en une 
somme d'autres placés sur des lignes et des colonnes ; par 
exemple. 

21= 5-(-4 — i, 
-T- 3 -t- 3 -h I , 
-f- •> -»- I . 

La représentation grapliique à trois dimensions consi.sle à reui- 
placer chaque nombre du tableau ]>récédenl par une tile, perpen- 
diculaire au plan de la figure, d'un nombre égal de points. 

Ces permutations donnent naissance à des quesiinns (jui sont 
des généralisations de celles dont on a parlé ])lus liaul. M. Mar 
Mahon en a cherché la solution durant de loniiiics mim'es : il la 



^o PREMIÈRE PARTIE. 

tirée enfin de la considération des « lattice functions » (fonctions 
treillis) formées au moyen des « lattice permutations ». Les « lat- 
tice permutations » se définissent de la façon suivante : soient 
p lettres a, q lettres 3, ... ; on suppose p^q^ Une permuta- 
tion des lettres a, [3, . . . est une « lattice permutation » lorsque, la 
coupant à une place quelconque el supposant qu'à gauche de la 
coupure il y ait p' lettres a, ^'lettres ^, ..., on a p'>q'^..., 
quelle que soit la coupure. Chaque permutation a un indice ;• 
qu'il serait un peu long de définir ici, et la « lattice function " 
c'est la somme Sx', étendue à toutes les « lattice permutations ». 
Cette fonction se transforme en produit. Enfin, l'Auteur aborde la 
question des permutations à trois dimensions. 

La Section XI contient une autre espèce de généralisation des 
résultats précédents, celle que l'on obtient en remplaçant les 
entiers ordinaires par des entiers complexes, c'est-à-dire par des 
systèmes de A entiers. L'Auteur se borne d'ailleurs au cas de A = 2. 
Cette théorie difficile semble devoir être d'un grand usage dans les 
recherches futures sur l'Analyse combinatoire; elle est ici appli- 
quée à une seconde solution, brève et élégante, de la question des 
carrés latins déjà traitée dans le premier volume. 

Le second volume se termine par des tables de fonctions symé- 
triques de deux systèmes de quantités et par un index alphabé- 
tique se rapportant aux deux volumes. 

Nous ne reviendrons pas sur les qualités de l'Ouvrage; nous les 
avons signalées dans notre analyse du premier volume. Nous avons 
attendu jusqu'ici pour lui faire un petit reproche; il ne contient 
pas assez d'indications bibliographiques. Pour les identités de 
Ramanujan, par exemple, ou pour le résultat d'IIilbert signalé 
plus haut, aucune indication n'est donnée au lecteur de l'endroit 
où ont paru ces importants résultats. 

A part cela, il n'y a que des éloges à adresser au Li\re de 
AL Mac Mahon. C'est actuellement le guide indispensabh' pour 
ceux qui voudront s'engager dans les recherches difficiles et un 
peu spéciales, mais peut-être appelées à un grand avenir et, en tout 
c.ih, très intéressantes de l'Analyse combinatoire. 

E. C\ni:N. 



MELANGES. 4i 



MELANGES 



SUR LA DÉMONSTRATION DIRECTE DU DERNIER THÉORÈME 
DE HENRI POINCARÉ PAR M. DANTZIG; 



Par m. G.-D. BIRKHOFF. 



Dans le Bulletin des Sciences niatliématiques (février «^i"), 
M. Dantzig a essayé une démonstration directe et élémentaire du 
théorème de Poincaré. 

J'avais eu avec M. Dantzig une correspondance au sujet de sa 
démonstration. Dans le mois de juin iç)i(), il m'a envoyé son 
premier essai. Cela était presque le même que celui qu'il a donné 
dans le Bulletin^ sauf qu'il ne considérait pas alors la possibilité 
que la courbe 1^ de déviation angulaire nulle puisse être rencontrée 
en plusieurs jioints par un rayon. 

Dans ma réponse à M. Dantzig, j'ai cherché à lui montrer 
qu'il n'avait considéré que le cas le plus simple pour la 
forme de L. Aussi, comme je lui avais indiqué, mon ami et 
collègue M. E.-B. Wilson m'a communiqué la même démons- 
tration, il y a quelques ans. Je reproduis ici (avec la permission 
de M. Wilson) quelques lignes d'une letti^e qu'il m'a écrite dans le 
mois de novembre 191 2 : 

« Won't you bother with finding out \\hat rldiciilons error 
there is in this simple thing that occurred to me vesterday? » 
« Let 

'■'=/('%?), ?' = ^(/-, <?) 

be the transformation (;■. o coordonnées polaires) uilli ilic con- 
ditions 

'•1= /('■!, ?), '•0=/(''0, «?), 

?'= <?('•!>?)> <F) ?' = <§'('-0, ?)<»• 

\\ e build over ihe rini; the surface ^ = es' — o = '< ( r. '^ ) — es so 
as to transfer the wide variations in o to llic xcrticiil w hère they 
dont look so mussv. Now the surface is attaclu'd lo lliç innerring 



4a PREMIÈRE PAIITIE. 

r = /'o below tlie plane z = o. to the outer ring /' = /•, above thaï 
plane, and is evervAvhere continuons. Consider any conliniious 
ciirve 

r = r(f). '^ — ^i^l,^ fo^t^ti, r(to) = ro. r{ti) = fi 

going from anA' point of ihe inner ring to anj point of the outer, 
and consider further ~-{t) = g[r(t)^ 'f(?)] — 'f(0' ^^^^ curve on 
ihe surface eut eut hx a cvlinder on the curve in the plane. We 
liave ;;(?o)<'»: ^■{ti)^o ^m^^l '-i^) continuons. Hence ihere is 
one point at least on this curve at Avhich o' — es = o, i. e. where 
the motion is inward or outwai'd along the radius from the point 
to the transformed point. ^so\\ the intersection of 

z = o'~ o = ff(r, 'f)~o 

w iih c = o uiav he of great complexity containing ovals or ovals 
within ovals in the ring. But as this intersection lias to contain 
ail of its own limit points and cannot he traversed «r ci/iy conti- 
nuons curve from the inner to the outer circle without being eut 
in at least one point, ihe intersection must include at least one 
continuons curve circling around the ring, perhaps imbedded in a 
continuons région of intersection for aught 1 care. Now upon 
this curve (c'est presque la courbe L de M. Dantzig) the shift 
/■' — r is continuons and could not bc always positive or always 
négative without shrinking said curve or evpanding it, contrary to 
the supposed invariance of areas or intégrais. Hence there must 
be at least two points for which /•'= r as Avell as o' = co. » 

On voit que la démonstration de M. Dantzig ne diflère de celle 
de M. AVilson que tout à la fin (loc. cit.^ p. 5--5<S). 

Ensuite M. Dantzig a cherché à me convaincre qu'il existait 
toujours une courbe L ne rencontrant aucun rayon en plus d'un 
point. Dans une seconde lettre j'ai construit presque la (igui-c de 
la page oj de son article. Il a admis alors la possibililc- que je lui 
avais indiquée. 

M. Dantzig n'est allé- maintenant qu'un pas plus loin. Il a con- 
sidéré le cas suivant : i" L est rencontré par tout rayon trois fois 
au plus: r>-° il n'e\i>l<' pas triuiii-cs branches de la (uiirbc de (h'-via- 
tioii nulle. 



MÉLANGES. 43 

Je roucliis que ^f. Dantzi^ n'a a|>|)lic[iH'' sa méthode que dans un 
cas extrèmeinenl spécial. 

Au fond celte méthode est 1res \olsine de celle de Poincaré, qui 
considérait les courbes L' de variation radiale nulle. Poincaré a 
trouvé que sa méthode suffisait pour toutes les courbes L' qu'il 
avait imaginées. M. Dantzig n"a considc-n- que deux possibilités 
des plus simples. Il me semble tout à fait [)robable que Poincaré 
ait considéré aussi les courbes L. 

En conclusion, je a eux dire qu'il n'est pas impossible qu'on 
puisse arri\er au but par la considération ou bien des courbes L' 
ou bien des courbes L. ^lais l'essai de M. Dantzig me semble 
avoir laissé à coté toutes les vraies difficultés. Et M. AN ilson est 
aussi du même avi-^. 



QUELQUES RÉCENTS PROGRÈS DES THÉORIES HYDRODYNAMIQUES 

Par M. Ili Ni;i VILLAT. 



Dans ces dix dernières années, sous l'impulsion surtout des tra- 
vaux de MA[. T. Levi-Cività et M. Brillouin, la théorie des mouve- 
ments discontinus des fluides et plusieurs autres connexes, ont 
l'éalisé de notables progrès en des points essentiels. Dans ce qui 
suit, nous avons cherché à montrer l'état actuel de ces questions, 
en exposant, aussi brièvement que possible, tous les résultats 
récemment acquis, et signalant au passage ceux qui restent à 
compléter. Est-il besoin de dire que nous nous sommes peu 
astreints à suivre Tordre chronologique des Mémoires cités ('). 

Le but principal que l'on s'est proposé dans toutes cesquestion> 
est d'obtenir, au nujjen des lluides parfaits, une explication 
approchée des phénomènes que l'expérience nous tait connaflre 



(') On pourra consiiller à ce sujeL : Développements concernanl l'/iyc/ro(h - 
namique, par A. Lovk, P. ArPEi.i.. II. Bi:aiii.\ cl M. Vili.vt, {Encyclopédie des 
Sciences mathématiques. Gauttiier-Villars, 191/1 ): et U. Cisotti, Su alcunc 
recenti ricevche di Idrodmamice { Atti délia Soc. Ital. per il Progressa délie 
Scienze, 191 a ). 



44 PREMIEUK PARTIE. 

dans les lliiides naturels. Cette ambition n'a rien que de légitime. 
(( Autant que je le puisse voir, écrivait naguère justement un 
gifind physicien, il n'existe réellement aucune raison pour ne pas 
considérer les équations de l'Hydrodynamique comme les expres- 
sions exactes des lois qui dans la réalité régissent les mouvements 
des fluides. » 

Le groupe des faits expérimentaux, qui a le jdus l()ngtem|)s 
déconcerté les eflbrts des mathématiciens, est celui qui se rattache 
à la résistance qu'oppose un iluide à ravancement d'un solide 
entièrement baigné par celui-ci. En théorie comme en pratique, 
il a convenu de considérer tout d'abord le cas du mouvement 
permanent, obtenu lorsque le mouvement du fluide est devenu 
stationnaire par rapport au solide. C'est aussi le cas où l'interpré- 
tation des phénomènes est le plus aisée : grâce au principe du 
mouvement relatif, il revient au même de considérer un courant 
fluide qui rencontre un solide fixe, ou un solide mobile dans un 
fluide d'abord au repos. Dans le cas au contraire d'un uiouvcment 
non uniforme, par exemple pour une translation de vitesse U (t) 
et en taisant certaines hypothèses sur la continuité des vitesses 
internes, on peut montrer que la différence des pressions totales, 
supportées par le solide considéré comuie mobile ou au re[)os, est 

/VIT 

égale à M -i-> si M représente la masse du fluide déplacé; la résis- 
tance du solide mobile est inférieure à la pression totale exercée 

sur le solide fixe, si — ;— est positif, supérieure dans le cas contraire 
dt ^ ' 

(V. Valcovici, C. R.Acad. Se, t. 158, i«)i1, p. (iSo). 

Considérons donc un mouvement permanent. Su])posons-le sau> 
rotations. Si nous supposons le solide baigne; par le llnid(î tic telle 
sorte qu'il y ait mouvement relatif (tangentiellemeni , bien enicudu , 
à la paroi) en tous les points de la surface, les difflcultt's m- pré- 
sentent dès le début : en des régions ('tendues, on trouve d<'s 
pressions négatives, voire uK-mc inliiiinieiil grande-; nc'-gatives; de 
plus, si l'on calcule la résistance éprouvée par le solide, on trouve; 
qu'elle est nulle quelle que soit la forme du solide. Ce fait, qui 
constitue le paradoxe de d'Alembert. a été établi eté-tudié dan> toiili' 
sa génér.dité- pai- U. Cisolti (tffi /!. /st. V'cnrlo, i ()o.)-i()o'î, 
p. /|V-3; i()or)-i()o(), p. I2i)i) pourle<ii> d'un»; translation uuiforyie 
dans un fluide indéfini, et ('tendu par le uK^-mc auteur au ca^ où la 



MÉLANGES. 45 

translation du solide a lieu dans un luhe cylindrique de section 
quelconque {Rendiconti del Circolo di Palermo, t. XXVIII, 
1909, p. 307). Dans le cas d'un mouvement hélicoïdal uniforme^ 
la résistance directe (dans le sens de l'axe hélicoïdal) est encore 
nulle { itti li. ht. Veneto, 1909-1910, p. 427 ; I9ii-i9i2,p. 167}: 
les pressions à la surface, pour un solide sphérique par exemple, 
seraient équivalentes à une force unique tendant à éloigner la 
sphère de l'axe du mouvement hélicoïdal. Signalons ici une étude 
de T. Boggio (Atti R. ht. Veneto, t. LXIX, 1910, p. 889) qui 
simplifie beaucoup l'exposé en utilisant le calcul vectoriel, et les 
recherches (ÏAlmiMisi [A zione esercita ta dauna massa liquida 
in moto sopra un corpo fisso (7î. Ace. dei Lincei., i. XVIII, 
p. 587 ; t. XIX, p. 57, I iG, 244, 437)]. 

Pour échapper à des conséquences évidemment contradictoires 
avec l'expérience la plus courante, il est nécessaire de supposer 
dans le fluide la présence de surfaces de discontinuité : à l'arrière 
du corps il se forme une l'égion de fluide mort, immobile par 
rapport à ce corps. Au reste l'observation, même superficielle, 
montre que dans la réalité de telles surfaces ont une existence 
effective (qui n'en a fait l'expérience, en wagon ou derrière le 
coupe-vent d'une automobile?). L'hypothèse introduite répond 
donc à la matérialité des faits. KirchhofF et Hehnholtz ont les 
premiers introduit ces surfaces dans les calculs. Dans les exemples 
qu'ils ont donnés, ces surfaces s'étendent jusqu'à l'infini; cette 
extension à l'infini s'est retrouvée dans toutes les applications 
ultérieures. Elle est inévitable comme il résulte d'une xmp(n'tante 
proposition due à M. Brillouin \^Les surfaces de glissement 
d^Helmholtz et la résistance des fluides ( in/i. de Chim. et de 
Phys.^ t. XXIII, 191 I, p. 143)]- Ce théorème, que P. Duhem a 
proposé d'appeler le paradoxe de M. Rrillouin, s'énonce ainsi : 
« Imaginons qu'un solide se meuve uniformément au sein d'un 
fluide indéfini, en régime permanent : supposons en outre que la 
pression s'annule à l'infini; si le fluide n'est pas le siège de 
surfaces de discontinuité infiniment étendues, il y a au sein du 
fluide des points où la pression est négative. » AI. Brillouin a établi 
cette proposition en supposant le mouvement à deux dimensions. 
P. Duhem l'a étendu au mouvement à trois diuiensions (C R. 
Acad. Se, t. lo9. 1914, p. 790). Par ailleurs, P. Duhem a fait 



46 PREMIÈIUi PAirriE. 

voir que le paradoxe de d'Alembert subsisterait même avec des 
surfaces de discontinuité à l'arrière du corps, si ces surfaces ne 
s'étendaient pas à l'infini, tout au moins si l'on admet que les 
vitesses s'annulent partout à l'infini, et tendent vers ::éro suffi- 
samment vite [P. DuHE^r, Sur le paradoxe hydrodynamique 
de d'Alembert (C. R. Acad. Sc.^ t. lo9, i9i4i p- ^92); 
E. Picard, A propos du paradoxe de d^Alemhert (Ibid., p. 638); 
P. DuHEM^ Rem,arque sur le paradoxe.... (Ibid., p. 638); 
H. ViLLAT, Sur le paradoxe de d^Alembe/t et la théorie des 
mouvements discontinus {Ibid.., p. 800)]. J'ai d'autre part 
démontré incidemment (H. \illat, Annales de la Faculté des 
Sciences de Toulouse, 191-^1 P- 3-6-4o4) que même dans un 
fluide non illimité dans tous les sens (par exemple dans un canal) 
les surfaces de discontinuité à l'arrière des obstacles doivent 
s'étendre indéfiniment. 

Cette bjpothèse des discontinuités, la seule qui permette 
d'échapper à des paradoxes inadmissibles, n'a pas trouvé droit de 
cité aussi facilement qu'on pourrait l'imaginer. Sir W' . Thomson 
(lord Kelvin) a apporté diverses objections (j\ature. London, 
t. oO, 1894, p- ;^24i >49? 373, 59-; Papers. Cambridge, t. IV, 
1910, p. 21 5). La principale est que le mouvement discontinu lui 
parait en contradiction avec le principe de l'énergie cinétique 
minimum. Cette objection a été récemment réfutée par M. Bril- 
louin {Ann. de Chim. et de Phys., t. XXll, 1911, p. 433), des 
recherches duquel il résulte que dans le mouvement discontinu 
l'énergie cinétique est moimlre que dans le mouvement continu 
pour le même obstacle. De plus, il y a minimum pour l'excès de 
l'énergie cinétique du liquide en inouveuieiil permanent discon- 
tinu, sur l'énergie cinéticpie (pie ]>ossédait daus le mouvomeni 
uniforme sans obstacle le volume qu'occupe le fluide en mouve- 
ment discontinu (en excluant le volume de l'obstacle et le volume 
du fluide stagnant à l'arrière ). 

Par des considérations tirées surtout Jii ^aiit d accélération, 
.1. Hadamiird (C. R..\cad. Se, t. 130, 1903, p. 399, ^)^:)', Lero/rs 
sur la propagation des ondes. i(>o3, p. 3:"),')) a fait voir que, si 
ricu ne s'ojtpose à la pré-sencc de surlaces de discontinuité dans 
un lliiide, de telles surfaces ne sauraient naitrc dans un lluidc 
parlait. Al. Hiillouin ( Ann. de Chim. et de Pliys.., I. Wlli, i()i 1 . 



MELANGES. 47 

p. 1 'îô) luonlre que la difficulté n'est qu'apparente, et décrit la 
naissance <les surfaces en question, d'une façon qui semble ne 
donner prise à aucune objection mathématique. 

Si d'ailleurs la théorie des discontinuités ne donne qu'une 
approximation c\e> phénomènes réels (en particulier la région de 
lluide mort à l'arrière, se ferme en pratique nécessairement à 
distance Unie sous l'influence de la viscosité, ce qui modifie sen- 
siblement le caractère du mouvement dans la région arrière), il 
n'en est pas moins vrai que cette théorie donne, tant qu'on ne 
rejette pas les équations de l'Hydrodynamique et qu'on suppose 
l'absence de viscosité, la seule interprétation acceptable des phé- 
nomènes naturels, et quelle en rend un compte bien approché. 
Calculée d'après cette théorie, la résistance à l'avancement d'un 
corps immergé est bien proportionnelle au carré de la vitesse, 
ainsi que l'exige l'expérience (T. Levi-Civita, Atti dei Lincei. 
i()oi , 2* semestre, p. 3). Et en somme on peut dire que la conception 
des discontinuités constitue une abstiMCtion qui dégage Fessen- 
tiel dans un ordre de phénomènes assez complexes. 

On a parlé encore du temps infini qui serait nécessaire à l'éta- 
blissement d'un régime permanent avec sillage. Mais il n'y a pas 
là d'objection véritable, et la même observation ne peut-elle pas 
(■tre faite à tout mouvement permanent d'un système à partir d'un 
état de repos initial? De sorte qu'en théorie ce temps infini n'a 
rien d'anormal, d'autant qu'en pratique il se réduit souvent à peu 
de chose. Un exemple tout à fait typique, bien que sans rapport 
immédiat avec le sujet que nous traitons, est le suivant, qui a 
peut-être déjà été remarqué : si l'on envisage le mouvement d'un 
parachute au uioyen de l'équation différentielle classique, ou 
constate que le mouvement tend à devenir uniforme au bout d'un 
temps théoriquement infini; or si l'on fait le calcul pour une 
surface et un |ioids normaux, on peut constater que le temps 
d'établissement du régime n'excède pas, pratiquement, quelques 
dixièmes de seroiule. Cet exeuiple n'est évidemment pas isolé. 

Nous ne terminerons pas ce paragraphe saus signaler une étude 
et une réfutation très nette des ol)jections faites à la théorie du 
discontinu; on trouvera cette discussion dans F.-^^ . Lanchester 
(Aérodynainiquc , p. i.")- et suiv., traduction de C. Benoit: 
(^rauthier-Villars, i()i'î). 



48 PREMIÈRE PARTIE. 

C'est, comme on sait, Helmhollz qui a obtenu la première solu- 
tion exacte d'un problème avec discontinuités. Sa méthode a été 
développée par Kirchhoff (iI/ec/i«/HA, 3*^ édition, p. 290) qui put 
calculer quelques autres exemples. Mais il faut arriver aux re- 
cherches de T. Levi-CWilk (Reiidico/iti ciel Circolo di Palermo, 
1907, p. i) et de M. Brillouin (loc cit.) pour voir la théorie se 
présenter sous une forme définitive, qui a permis de développer 
ensuite de si nombreuses et importantes conséquences. \ oici en 
quelques mots le principe de la méthode. 

Considérons d'abord le cas typique du mouvement d un solide 
dans un fluide illimité dans tous les sens. On se borne aux mou- 
vements à deux dimensions, c'est-à-dire qu'on traite du mouve- 
ment d'un cylindre indéfini dans une direction perpendiculaire 
à ses génératrices, et qu'on étudie seulement ce qui se passe dans 
un plan perpendiculaire au cylindre. Soit xOy le plan en ques- 
tion, les axes étant liés au solide : soient (^w, r) la vitesse en 
chaque point du fluide (de densité un) relativement à ces axes, 
(1,0) la vitesse à l'infini en avant, cp et à le potentiel et la fonction 
de courant. Posons 

(V = u—iv —U- = e-'-^ = e-/(H-t-rr). 
dz 

On reconnaît de suite que la vitesse en chaque poini a piuir gran- 
deur V := é^ et qu'elle fait avec O x l'angle <■). D'autre part, / esl 
une fonction analytique de :? régulière dans la région occupée j)ar 
le fluide en mouvement; cette région correspond dans \v plan / 
à une région facile à déterminer, et la correspondance est uni- 
voque. A son tour Q est une fonction uniforme de /dans ce der- 
nier domaine. Si l'on connaissait cette fonction, il est manifeste 

que réquati(jn 

dz = e'^ df 

permettrait de déterminer le mouvement. Il est non moins claii- 
que le domaine D du plan _/ peut être représenté, au moven d'une 
représentation conforme, sur un nouveau douiaine 1)| <l Un nou- 
veau plan auxiliaire /. Le succès (le la MK'tliodc (Icpcuil ilu choix 
de r)|. (jiiOu doit lairc de telle nianière cpie l.i {|(''leriiiiii;il loii de 



MÉLANGES. 49 

la fonclioii Qû) y >oil possible. T. Levi-Civitii a introduit un 
yrand pi'ogrès, en imaginant de faire celte représentation sur l'aire 
d'un demi-cercle du plan t, de manière que les bords du sillage 
correspondent au diamètre horizontal qui délimite le demi-cercle. 
Il y parvient au moyen de l'équation 



/^«^[cos.,-i(/-^^j]'. 



(i esl une constante, Sq un angle \'\xe entre o etT:, tel que le pointe"» 
corresponde au point de bipartition à lavant de l'obstacle. Ce 
choix permet à M. Levi-Cività de démonti-er que la forme la plus 
générale de la fonction Q{t) est, en supposant la paroi solide 
munie d'un seul point singulier, où les tangentes fassent avec Or 
les angles o rb a, 

2 ot r i( t C'^o ) 

i}(t) = 0- '■ loET— : — - -^ Co-h Cit -T- C-yt- — . . .^ Cnt"-^. . . 

■ ' - " I — /e'-*.' 

avec les conditions 

co = — ( io — ^ j » '\i léel , 
Cq-t- CiCOS^o-^ Ci COS2 50-1-. . . -\- c n cos nso -\- . . . = o . 

Tous les éléments géométriques du mouvement se déterminent 
ensuite facilement. Quant à la résistance éprouvée par l'obstacle, 
si Ton désigne par P^ et Py ses deux composantes, un beau théo- 
rème de T. Levi-Cività eu fournit la valeur 

p.,.^/r\= ^ Q'2(o)-T- ^-^ Ucossoa'Co)— ^ ir'(oH. 

Cette formule, qui en réalité en contient deux auties, a été 
retrouvée, au moyen d'ingénieuses considérations physiques, par 
M. Brillouin (foc. cit., p. 190) qui a également calculé le moment 
résultant des pressions sur la surface du corps. 

Le cas où tous les coefficients d sont nuls, fait retomber sur un 
[)roblème particulier déjà étudié par Kirchhofl' et généralisé par 

lord Rayleigh {Papers, t . L Cuubridge, 1 899, p. :^(>7)- Pour Sq = ^ i 

et C2«=o, la configurât i( m (hi mouvement sera symétrique par 
rapport à Ox. 



5o PKEMIERE PAUTIE. 

Malheureusement la série entière qui subsiste (laii>^ la solution 
ne permet pas de voir facilement le lien qui existe entre cette 
série, dont le choix achève de déteruiiner la question, et la forme 
de l'obstacle supposé donné. En désignant cette série par 0, + /T| , 
T. Levi-Cività a montré que pour un solide donné d'avance, pour 
lequel la courbure serait représentée par c(8) en fonction de 
l'angle B de la tangente en chaque point avec une direction fixe, 
tout revenait à déterminer deux fonctions harmoniques 0, et T, 
associées, satisfaisant (quand on pose t ^= e" ) à une <''(piation 
intégro-di lièrent ielle de la forme 

■^=/j.)c(e.).'., 

où -ns ) représente une fonction donnée. 

Sous celte forme le problème ne semble pas [)raticable avec les 
moyens dont dispose l'analyse, et M. Brillouin, dans son Mémoire 
fondamental, en étudiant en détail le cas où la série se réduit à 
son terme du premier degré, a montré l'extrême complication de 
cette recherche, ainsi que les multiples difficultés qui s'y pré- 
sentent. 

J'ai le\é dans ma Thèse (p.*^ Partie, jiniidles rie L'Ecole Nor- 
male supérieure^ 19115 P- 2o3-,'5ii) lu difficulté- concernant la 
forme du solide, et j'ai démontré qu'en désignanl par e'-' un point 
de la circonférence de rayon un du plan ^, et par ^{s) la valeur 
de l'angle (jue fait avec Ox la tangente à la paroi dans le plan r 
au point correspondant, la fonction ^(/) avait |)oiir expression 

Q(/) = _ / .I,,.s, ,/.s-, 

- . ' . I lt COSS 4- t- 

^ 

la fonction *^{s) étant assujettie à la condiliou a(çes>aire 

'!>( 5) ds = o. 



.(' 



Gomme, lorsque .v varie de «> à 7:, le point con» ■.pondant r décril 
le bord de lobslacle toujours dans le mf-nie sens (en laissaul 
l'obslacle à gauclie de la direction sniviej. on \oit (jtre le sens de 
la variation de ^(.v) dépend tic la foi-iue de robslarlc (ruuf la( ou 
tout il lail iiilinif cl é-xidcnte. De sorte cpic la snluiioii coM'>huilc 



MELANGIiS. 5i 

à laide de la t'oacLioii arbitraire 'I>(.s), qui remplace la série 
entière de ï. Levi-Cività, peut être aisément clioisie de façon à 
obtenir une forme d'oljstacle déterminée à l'avance. La paroi de 
l'obstacle peut comporter du reste des points anf;uleux en nombre 
quelconque, à condition que leur présence soit compatible avec 
les hypothèses. 

Ceci nous amène à parler des conditions que doit remplir une 
solution supposée construite, pour être acceptable. Des impossi- 
bilités se présentent en effet après coup, qui sont très malaisées 
à déceler a priori. Tout d'abord, pour la validité d'une configura- 
tion, il faut que les valeurs qu'on y trouve pour la pression p 
soient partout positives (ou plutôt jamais négatives). Cela entraîne, 
entre autres, que si la paroi comporte un point anguleux, ne coïn- 
cidant pas avec la proue, l'angle formé par le solide en ce point 
se présente en creux devant le courant. En second lieu, il faut 
qu'en revenant au plan z par la formule 

dz = ei^ df, 

on obtienne uu mouvement lluide dans un domaine d'un seul 
tenant, limité par des frontières qui ne se coupent pas, ni entre 
elles ni les unes les autres. AI. Brillouin {loc. cit., et C. R. Acad. 
Sc.^ t. loi, 1910, p. (jSi) a donné des exemples frappants de la 
manière dont ces singularités peuvent se présenter en quelque 
sorte à l'improviste. 

Il est utile de savoir éviter ces difficultés, par un choix conve- 
nable de ù{ t). J'ai montré {Journal de Matlioinatiqiies pures et 
appliquées, t. X, uji'î, p. 2oi-2c)o; C. R. uAcad. Se, t. lo7. 
igiS, p. 700) en considérant tout d'abord des mouvements symé- 
triques par rapport à Oj^, que la première difticulté était éludée 
(juand on se trouvait dans les cas sui\anls : 

^(s)coss = fonction croissante de s, de o à — j 

2 

ou bien 

4>'(s; sin5 = fonction croissanle de s, 

ou bien 

*I>"(5) C0S5 = fonction croissante de 5 a\ec <l»'(-i- o ) = o, 

ou bien 

*ï»"(5)sins = fonction croissante de *• 



52 IMUiMIÈIU!: PARTIE, 

avec 

4>'(-)-o) = o, <i>" ( ojlo, .... 

Ces lliéorèmes sont compatibles avec des formes d'obstacles 

quelconques. Tous les obstacles concaves vers le courant rentrent 

dans le pi^emier de ces théorèmes. Pour les obstacles convexes, la 

1 • cp I . . . «î»' ( s ) . , , , . 

même ditticulte ne se présente pas si . est croissant dans 1 m- 

' ^ SI 115 

tervalle o, -• Quant à la deuxièuie dllflcnlté, elle ne se présente 

jamais pour les obstacles concaves vers le courant. On a alors 

divers résultats tels que le sui\ant : si <î>( 5)^<ï>(-|- o) entre o et -> 

et si tl>'(5) sin5 est une fonction croissante, la seconde difficulté 
est éludée. Dans la catégorie la plus intéressante, celle des 
obstacles convexes, il y a, comme l'a indiqué M. Brillouin, deux 
cas possibles : ou bien l'obstacle est à bords tranchants, les lignes 
de sillage s'en détachent avec un rajon de courbure nul (ceci est 
le cas général) : ou bien l'obstacle est une véritable proue, dont 
les lignes de jet se détiichent avec un rayon de courbure non nul, 
égal à celui de la jiaroi en ce point. J'ai fait voir que la condition 
d'existence d'une proue était 



/ 



^^ — ds — 'i>i - 



1 



et sous cette condition, la seconde difficulté signalée ne se pré- 
sente pas (loc. cit., p. 244 et 256). Des résultats analogues s'ob- 
tiennent pour les mouvements non symétrifpies. 

Si le profil i\n solide étudié présente un angle sur sa surface 
antérieure, un nouveau genre de difficulté peut se présenter. Si 
l'angle forme un creux devant le courant, la soluiiou précédente 
peut subsister. JMais s'il s'agit d'un angle \ il. le pr.»blrrue apparaît 
tout d'abord comme nnpossible, saul m le sonnucl dr l'angle 
coïncide avec !<• piiinl de bip. ni il ion à I ax.iiil . ( )r, <'ii prenani par 
exemple le cas typique; d un drièdrc formé par deux lames de 
longueurs et d'inclinaisons données, on eonstale ipi en plaeant le 
point mort au sommet de l'angle, le rapport t\c.^ Iimgiieiiis des 
d<Mi\ lame-, liniinie> piir la -.olnlioii e^l eiiln remeni d(''leiin iiii' : de 



MELANGKS. j3 

sorte que pour un drièclre donné, avec deuY lame.-, de longueurs 
données, le problème n'est l'ésolu que pour une orientation déter- 
minée par i-apport au courant. (]'est à pr.)pos de la difficulté con- 
sidérable résultant de cette circonstance, ([ue M. Brillouin écrivait 
récemment : « Pour un solide constiliu' par exemple par un 
drièdre, la position même du problème est si difficile, qu'on peut 
se demander si le mouvement permanent de Helmholtz est toujours 
possible. » (C. R. Acad. Sc.^ t. 153, 191 1, p- 43.) 

On peut surmonter cette difficulté comme je l'ai indiqué (C R. 
Acad. Se, t. 154, 1912, p. 1693, et Annales de la Faculté des 
Sciences de Toulouse, 1910, p. 375-4o4), en admettant que la 
présence de l'angle vif entraîne l'existence d'une région limitée 
de fluide mort à l'avant du corps, le long de la lame qui ne con- 
tient pas le point de bipartition. En partant de cette bypotlièse, 
dont M. E. Picard a montré récemment rutlllté (C R. Acad. 
Se, t. 159, 1914, p- ^>38) et en utilisant une formule que j"ai 
obtenue dans une autre reclierche (H. \ ili.at, Acta mathema- 
tica, t. 40, 191 5, p. 101-178), j'ai montré que le problème était 
alors possible et d'une seule manière, et j'en ai donné la solution 
précise, en même temps que celle de certaines questions con- 
nexes . 

Les métbodes ci-dessus décrites ont permis dernièrement d'élu- 
cider une foule de questions d'Hydrodynamique. Pour ces appli- 
cations, ou du moins pour un grand nombre d'entre elles, un 
point essentiel a été la découverte d'une formule simple et pra- 
tique permettant de résoudre le problème de Dlricblet dans une 
aire annulaire (H. Vim.vt, C. R. Acad. Se, I. 15i2, 191 1, et 
Rendiconti del Circolo di Palenno. t. \\\I1I. 1912, p. i34- 
1-0); si l'on pose 



'")= '^pH^'K^""''-^^) 



ds 



'^ C'^^^ 



-A\o'^t — ^ S \ds. 



la partie réelle de ii(f) prend pour|/| — i et [)our|^| ^q = e "^', 

les valeurs <I»(.s) et ^V{s) respectivement, aux j)oiuts d'argument .v. 

Cette fonction Q(«) est régulière et uniforme entre les deux cir- 

Bull. des Sciences malhéin., 1' série, t. XLIF. (Février uji'^.) 3 



34 PREMIERE PARTIE, 

conférences précédentes, si l'on ii 



j 'ly(s)c/s = f W(s)ds. 



En partant des mêmes principes cpie ceux dont on a parlé aux 
paragraphes antérieurs, U. (lisotti a généralisé les exemples 
connus jusque-là, de mouvements permanents continus irrota- 
tionnels; (il)tenus par la translation d'un solide de (orme cpiel- 
conque [Annali di Mal h. para ed applic, t. XIX, 191 2, 
p. 83-io^). A toute fonction analytique régulière pour |/|>>i. 
point à l'infini compris, il correspond une forme de profil, et 
inversement. Cisotli déteruiine la fonction qui correspond à un 
profil polygonal, à un profil circulaire, et 11 construit l'équation 
tonctionnelle que satisfait la fonction coi'respondant à un profil 
curviligne donné. C.ette extension est du point de vue matliéma- 
lique fort int('ressante ; elle perd mallieureusement une partie de 
son intérêt, du fait que les résultats obtenus ne correspondent pas 
à des mouvements physiquement possibles (du moins sans modi- 
fications essentielles), car les conditions de pression partout 
positive sont né-cessairemenl violées, comme on l'a déjà dit plus 
haut. 

Les mouvements étant encore considérés comme continus, 
signalons une élude fort élégante, dérivée de la méthode des 
images, due à \ . Vàhovici (Annales scÀentijiques de VVniver- 
sité de Jassy. t. VIII, 191'), p. .109-32']), relative an mouvement 
d'un lluide autour de phisicnirs cylindres. 

Sujiposanf Ion jouiN Tabsenccî de sillage, Ij . Gisotl i a apprcdondi 
h' problème de la dérl\all()ii îles rumxxix (Zeitsc/wi/t fiir Math, 
and PhysiJ., t. o9, 1911. |>. i'.\--ii)\). Sur le liane d'un canal 
rectiligne, on >uppose qu'on <)ti\ re un canal dérivé faisant l'angle a 
avec ladireitiDU du ciunanl principal. Si X et y leprésentent les 
iaj)porfs des largein-s et des débits r(;>|>ectivcmeul dn petit canal 
'r<dativemenl an i;raiid, on a la formuh^ 



/. / 



71 


'I-l" 


â~ 


« 




-/. 



MELANGES. 

qui pour y petit peut rive pratiquement n'diiite à 



Dans lia travail qui paraîtra procliaiiiemenl, j ai tait voir que 
les princi[)es exposés plus haut pouvaient être appliqués avec 
succès à létude des mouvements cycliques d'un fluide illimité on 
non autour d'un solide donné supposé fixe, ou encore entre deux 
solides donnés. Ici, le fluide n'étant animé aux grandes distances 
(si la conliguration étudiée comporte des points à 1" infini) d'aucun 
mouvement de translation, mais seulement d'une rotation géné- 
rale, la nécessité d'une surface de discontinuité ne se présente 
pas en général, et elle n'a lieu d'intervenir que dans des cas 
faciles à préciser. 

Etude des Jets fluides. — Les jets lluides. limités par deux 
lignes de courant où la vitesse est constante, ont été étudiés tout 
d'abord par U. Cisotti (Atti LiJicei, t. XIX, 1910, p. 10 et 8\). 
En admettant des rotations dans le fluide, le problème revient à 
trouver une solution régulière de l'équation 

telle que o et ( — ^ I -{- ( y^ ) prennent aux frontières des valeurs 

données. Il a- a donc surabondance de conditions aux limites si 
l'on suppose les frontières données d'avance; celles-ci ne peuvent 
donc pas être choisies arbitrairement. Et en effet si l'on se borne 
aux mouvements irrotationnels (^Fe^o). il n'y a qu'une seule 
solution possible, donnée par l'équation 

11 
z — ^0 = — *rt^ " 

(les notations ('tant toujours les mêmes que <lan-^ les paiagrapbes 
antérieurs ). 

U. Cisotti a aussi envisagé le problème de deux jets lluides qui 
se rencontrent. Après le choc, le lluide se sépare en Jeux nou- 
veaux jets (jui s'échappent de part et d'autre. Si 7, q\ 7,, 7, 
désignent les dél)ils des deux jels incidents et de^ deux jets résul- 



56 PIIEMIÈUE PARTIE. 

lants iq + q'^=qi + q\) et si 0, 8', 6,, 6', sont les directions du 
courant à l'infini sur les quatre jets, on a les relations 

q — qi cos6i-f- <jr'cos6' — q\ cos6'j = o, 
^1 sin6i — q' sin6'-i- q\ sin6', = o. 

Gisotti donne la détermination des éléments du mouvement dans 
le cas général, et étudie les cas particuliers où il j a symétrie par 
rapport à un axe ou par rapport à un point. Dans le cas général, 
il y a indétermination, un des paramètres du problème restant 
arbitraire : les circonstances qui accompagnent l'établissement du 
régime permanent doivent sans doute jouer un rôle important 
pour préciser dans chaque cas la solution qui s'impose. 

I^a théorie précédente a été simplifiée par T. Boggio [Atti R. 
Accad. di Torino, t. oO, 191 '1-1910, p. 1103-1119) par cette 
remarque, que la région du plan^ occupée par les jets correspond 
dans le plan w à l'aire d'un cercle dans lequel la construction de 
la fonction y"((v) est aisée; le reste s'en déduit sans introduction 
de la fonction auxiliaire Q. Le problème peut être généralisé au 
cas de n jets confluents dans la même région, de façon que la 
vitesse soit nulle en un seul point intérieur au fluide. 

La difficulté relative à l'indétermination signalée ci-dessus a 
été élégamment étudiée par A. Palatini (Atti Fi. ht. Veneto, 
t. LXXV, 1915-1916, p. 45i-4^i). Parmi l'infinité de solutions 
possibles dynamiquement lors du heurt de deux courants, la plus 
stable est celle pour laquelle le minimum de l'énergie totale est 
réalisé. Or il y a minimum pour l'énergie, lorsque la variât i(^ii 
première de la somme des quatre débits est nulle. On en conclut 
que la solution la plus probable est celle pour laquelle les débits 
des deux jets résultants feront entre eux l'angle tz; c'est ce dernier 
cas qui se présente pour le heurt symélrlquc de deuvveines égales, 
qui peut donner lieu, comme lord rui>leigh l'avait soupconiu- 
(Se. Papers, t. V, p. 3o2, Cambridge, Lhiiv. Press, i<^99) à dcu\ 
\eines dérivées opjjosées l'une à l'autre. 

B. Caldonazzo {Ann. di Mat. pura cd uppiic. .\. \\\ i, 19H), 
p. 35-76) a généralisé les résultats précédents au cas (h' n v<Mnes, 
confluentes de telle manière qu'il >'('lablissc au sein tlu lliiido 
p points de bipartition à \ liesse nulle; le ju'oblèuu' (^sl Ici eiu'ore 
(■n gént'ial Indt-leruiliK', et le ihéorème de Palatini peut élrc 



MÉLANGES. ij 

élendu à ce cas : le miniiiiuni d'énergie esl oIjIcuu pour le mou- 
vement où la somme des carrés des débits de toutes les veines est 
minimum. 

Les configurations étudiées ci-dessus ne sont pas les seules 
possibles, et l'on peut montrer comme je l'indique dans un travail 
qui paraîtra prochainement, que deux jets fluides qui se rencon- 
Irent sous un angle a pas trop voisin de tc peuvent continuer à se 
mouvoir après leur réunion, sous la forme d'un jet unique. 11 
serait intéressant d'étudier, pour différentes valeurs de a, si la 
configuration la plus stable comporte un ou deux jets dérivés. 

L'écoulement des jets issus de parois solides a donné lieu à 
d'importants travaux. Après Kirchhoff, Michell (Phil. Transact., 
t. CLXXXI, 1890, p. 389-431), Love {Proceed of Cambridge 
Phil. Soc., t. VII, 1892, p. 175-201), Rethy (Math, und lYatur- 
wissenschaftlicheBericliteaus Lngarii., t. XII, 189.'), p. i44-i94) 
avaient traité quelques cas très particuliers du problème. U. Ci- 
sotti (Rendicojiti del Circolo di Palermo, t. XXV, 1908, 
p. 145-179) réussit à traiter le cas le plus général au moyen du 
changement de variable 

e'/ =: — ia cos5û — - it . — ) • 

La fonction Çi-{t) est alors une série entière en /. à coefficients 
l'éels, sans terme constant, régulière pour l^| = i- La réaction 
dynamique R^, R_^, du jet fluide sur le vase, est fournie par l'élé- 
gante formule (Cisottt, C R. Acad. Se, t. 152. 1911. p. 180) 

R.+ .-R, = i,l!,.|[(| + !)..«- .,] 

dans laquelle p est la densité, a l'angle de la direction du jet avec 
la direction des filets en amont dans le vase, C;, Q,, la vitesse et 
la section en amont dans le vase, r^, ûo, la vitesse et la section du 
jet très loin en aval ('). Lî. Cisotti illustra sa théorie par de 
nouveaux et intéressants exemples (Cire. Palermo, t. \X\ I, 



(') T. Boggio (Atti Liiicei, t. \\, n)ii, p. 63î-(j|i), par une autro mélliodc 
valable pour trois dimensions, a généralisé ce résultat par une formule analogue, 
dans le cas, important pour la théorie des turbines, où le jet. libre d'abord, vient 
s'engager dans un tube solide d'où il s'échappe ensuite. 



38 PREMIERK l'AUTIE. 

i()o8; Atti R. Jsl. leneto, t. LXVII, içjoj-içjocS, p. 2()3-32i). Le 
coefficient de contraction, rapport entre la section du jet à 
grande distance et la section à lorifice même du récipient, se 
calcule élégamment ( LEvi-Givn a, Atti R. Ist. l eneto, t. L\I\ . 
iç)o5. p. l'jOo-i^ja; U. Cisotti, Ibid.. i. L\XI\ . ii)i ^-iqi f). 

p. i4t)<)-ï -^oc)). Dans les cas usuels, il est plus grand que -? ce qui 

est bien conforme à l'expérience et aux vues des hjdrauliciens 
(J. Bovssi.\Es<}, Journal de Physique^ t. I, i'S():>. p, 2(35-280; 
Masom, Idraulica teorica e piatica, jNapoli, iqtxS). Cisotti 
décrit des cas où ce coefficient de contraction [)i)urrail tomber 

au-dessous de -• 

Il est clair que la métiiode que jai exposée dans ma Thèse 
permet de former la solution de la question des jets lorsque le 
vase d'où s'écoule le courant a une forme donnée à l'avance. La 
validiti- de solutions peut s'étudier de m«^^uie (H. N'^illvt, Joinnal 
de Mathématiques , ioc. cit.). 

Un cas limite du problème préc<''denl a tenté clivers clierclieurs : 
celui où Ion considère l'écoulement d'un Huide issu d'un réci- 
pient percé d'un trou inliniment petit. D'intéressants développe- 
ments mathématiques ont été tirés de ce sujet, mais leur intérêt 
physique est moindre, les solutions envisagées comportant la 
présence de pressions infiniment grandes et négatives dans le 
lluide.au voisinage de l'orifice. Cisotti (Atti dei Lincei., t. WIl, 
igi3, p. l~3-478; t. XXIII, 191 i, p- J^-Ji)) résout le problèuie 
du récipient rectangulaire, de largeur L, percé (l'un trou au centre 
de la base, au moven de hi Inuislormiil ion 

(1 . -z 

(»' = — j- COtll -r—, 

où (j rr|)r<'scnte h^ th-bit. Si le r(''ci|)!ent rectangulaire csl pen»'- 
d'un IroM liitcial à uur hauteur // au-dessus du loud. on a 



iV — — 


7 


.h- 


1. 


"■cl, 


' TT. " 


-'^. 



\ . \àl(:n\i( I I A II lin li's scicii 1 1 /i(j lies dr I I lin l'isilé dr ./ass)-. 



MÉLANGES. 5f> 

I. IX, p. kV \(')) a ^t'in-ialisé CC!> n'-siilliUs, en evaiiiinant. d'un 
autre point de vue, le cas d'un récipient perc»'- de plusieur> 
orifices. 

Ecotilement des canaux et problètaes connexes. — (i. Golon- 
netti {Rendiconli del Circolo di Palermo., t. XX\II, 1911. 
p. H-S") a «'tudié réconlenient d'un lluide le lon^ d'une paroi 
solide indtdinie, l'angle des vitesses à l'inlini en amonl et en aval, 
<'tant égal à a. Ce problème est très important, et permet d'éclaircir 
la théorie de> turbines; on trouve, en efl'et, ce qui est conforme à 
l'expérience, que malgré un changenient radical d'orientation, il 
n'y a pas df perte sensible de vitesse dans le jet. La pression 
exercée sur le fond du canal est. en supposant lu \ itesse égale 
à I ;t l'inlini. donnée par 



(P 



— HT. ixn- e -, 



l'ave des x étaul ciioisi |)arallèle au courant en aval. Li recberche 
de la solution [>our un j)rolil de fond donné à l'avance peut être 
faite comme je l'ai indi([ué (H. \illvt. Annales de l'Ecole 
Xorniale fuipéiieure. h)iij. G. Golonnetti remarque que si la 
paroi qui guide le lluide est convexe vers celui-ci, ou s'il pré- 
sente quelque point anguleux, le phénomène ne peut se maintenir 
partout continu et irrotationnel : les conditions de validité s'étu- 
dieraient par le procédé que j'ai dével<q)pé [Journal de Mathé- 
matiques, i()i 4)- 

Le lluxd'un çoinvinl entre deux parois solides indélinies dont 
l'une préseate une interru|)tion a ét('' étudié par G. Golonnetti 
\ Atti dei Linceu I. XX, i()ii. p. 649-t)55 et 7N9--97) qui 
illustre ain>i le phénomène de \ enturi (c/. à ce propos les 
recherches de .1. Boussinesq); T. Boggio envisage le cas d'un jet 
lluide guidé j)ar une paroi solide sur une partie seulement du 
jet, et d'un -^eul coté (/?. Accad. Se. di Torin<>. t. \L\ 1, 191 1, 
p. i-a()). 

L'écoulenii-at des jels entre deux parois interrompues l'une et 
l'autre sur une partie du trajet est spécialement intéressant, à 
cause de l'analogie avec le [)hénomène qu'on voit dans la réalité 
(juand par exemple il se pi-odiiil un brusque changement de sec- 



6o iMn<:MiEin'; l'Ainii-:. 

tion dans un canal : il arrive alors que le fluide, sur une partie de 
son parcours, cesse de glisser sur la paroi même. Ce problème, 
notablement plus difficile que les précédents, a été traité en détail 
par B. Caldonazzo [^intiali di Mat. para ed applicata^ t. XX^^ 
1916, p. 33-98). La solution générale résulte de la formule que 
j"ai donnée {Circolo di Palermo, 1912) pour le problème de 
Dirichlet dans un domaine annulaire. Le cas le plus intéressant, 
et qui conduit à d'importantes applications pi\itiques, est celui 
où le champ du mouvemenl possède un axe de symétrie qui tra- 
verse le champ sans y être entièrement contenu (le cas écarté 
ainsi se ramène très simplement à celui traité par G. ColonnettiV 
Supposons les parois rectilignes. en sorte que le fluide sorte d'un 
tube à parois parallèles, et rentre plus loin dans un second tube 
faisant avec le pi-emier l'angle a. Alors, si i et c(-< i) sont les 
vitesses sur les deux bords du jet joignant les parois, ces deux 
bords sont homothétiques l'un de l'autre dans le rapport c-, cl 
celle où la vitesse est égale à 1 a pour équation intrinsèque 

p = - v/f,_e-2.)(,_/,2^2.^ ^O ;, .Ç 1 log^ ; -^, = - 1 loo c-j ; 

/. est le module des fonctions elliptiques introduites j^ar la solu- 
tion, K. et K' sont les intégrales complètes correspondantes. 

Dans les cas que nous venons d'examiner, la détermination 
exacte des lignes de jet, est pour l'ingénieur, d'un certain intérêt, 
car elle permet, par exemple, de donner à coup sur aux conduites 
d'eau, dans les courbes ou étranglements, des profils évitant toute 
fatigue aux parois, celles-ci «'tan! uuKpKincnt soumises à la pres- 
sion hydrostatique. 

( / sin\'/c. ) 



COMPTRS lUîNDUS ET ANALYSES. 6i 



COMPTES HENDLS Eï ANALYSES. 



REY PASTOR i J. i. — Findamentos diî la GeometrIa proyectiva superior. 
(Laboralorio v Seininaiio matemâtico. Publicaciones : Tomo [.) i vol. 
gr. in-8, x\ii-445 pages. Madrid, Junta para ampliaciôn de estudios 
c invesligaciones cientificas. Morelo, I, 1916. 

Sans faire un traité systématique de Géométrie projective, 
M. Rej Pastor réunit dans ce Livre l'étude de questions se ratta- 
chant à divers domaines de la Géométrie projective et qu'il juge 
essentielles à son développement. On ne trouvera pas dans ce Livre 
de résultats importants essentiellement nouveaux. Sans doute, à 
côté de pages où l'auteur, dans l'exposé critique de théories actuel- 
lement classiques, fait preuve d'appréciables qualités de clarté 
et de finesse, on en trouvera d'autres où, par exemple dans la 
théorie projective des hvperespaces, l'auteur complète et coor- 
donne les travaux de ses devanciers. Pourtant les chapitres les 
plus originaux du Livre me semblent ceux où l'auteur entreprend, 
par des méthodes purement svnthétiques (les seules qu'il utilise 
dans tout le cours de son travail), l'étude de questions abordées 
jusqu'à présent par des pi^océdés analytiques et semblant presque 
imposer l'emploi de tels procédés. 

La première Partie du Livre » Sistematizacion de la Geomelria » 
en constitue en somme une longue préface. L'auteur a voulu 
situer, dans l'ensemble des recherches géométriques, la théorie 
dont il s'occupe. Il reprend donc l'exposé des idées précisées par 
Klein dans son ■< programuie d'Erlangen ->■>. Les applications des 
considérations générales sont nombreuses, traitées avec assez de 
développement, et la suite des idées en ressort, particulièrement 
limpide. 

L'auteur consacre d'abord quelques pages à l'étude des propriétés 
élémentaires des groupes de transformation. L'étude des propriétés 
(pii font l'objet de la Géométrie élémentaire le conduit alors à la 
'iéfinition la [)lus générale dune géométrie ( Klein I comme équi- 
\alente à létudc des invariants relatifs à un groupe de transfor- 
mations d'une multiplicité. 

liull. des Sciences niatliém., a série, t. XLII. (Mars ii)i>^.) (3 



62 PREMIÈRE PARTIE. 

L'examen des relations entre les géométries projective et 
métrique élémentaires, l'analyse des deux méthodes (projective 
et métrique) qui servent à traiter la Géométrie métrique, lui 
permettent d'établir le principe général qui relie la géométrie 
d'un groupe k celle d'un de ses sous-groupes. Il montre comment 
les remarques précédentes éclairent les rapports mutuels des 
diverses disciplines géométriques (géométries élémentaires, géo- 
métrie des rayons vecteurs réciproques, géométrie spliérique de 
Lie, géométrie projective supérieure et géométries transcendantes). 
J'indique ici que l'auteur nomme Géométrie projective supérieure 
celle qui a pour groupe caractéristique celui de toutes les coUi- 
néations d'un espace abstrait à un nombre quelconque de dimen- 
sions, et qu'incidemment il donne ici une idée de quelques sous- 
groupes du groupe projectit" (groupe projectif de E,| avec une 
courbe normale invariante,* avec une quadrique C^_, ou C^_9 inva- 
riante, notions sur les courbes W de Klein-Lie. 

M. Rej Pastor montre enfin la portée du principe d'é(|uivalence 
entre des géométries fondées sur des groupes se correspondant 
dans des multiplicités différentes. Il montre en particulier com- 
ment toutes les géométries non transcendantes sont équivalentes 
à d'autres fondées sur des sous-groupes du groupe projectif de E». 
Il note en passant l'importance que, grâce au théorème de Fano, les 
méthodes projectives prennent dans l'étude des Iransforim. tlons 
crémoniennes. Il conclut, pour montrer l'intérêt de r«;lude qu'il 
a entreprise, que l'on peut reprendre actuellement, convenable- 
ment entendu, le mot de Cvrley •' Projective Geometry is ait 
Geometry . 

Au début de la deuxième Partie de son Livre, Fufidanientos de 
la Geonietria proyecti\a leaL l'auteur indique les divers points 
de vue des savants qui ont ellectué, dans la seconde uu)ilié ilu 
xis"^ siècle, la critique des fondements de la Géométrie élémen- 
taire et l'édification rigoureuse de celle science. Il s'occupe 
ensuite de la construction axiomatique de l'espace projectif. Il 
utilise successivement les deux méthodes (pii p<Tmfni('ul (!<• cons- 
truire, à l'aide de seuls axiouies gr.q)hiques, l'espace projectif. 

Il suit d'abord pour construire l'espace projectif Iv, la uiélliode 
de Klein (fondation axiomatique de la géométrie (ruacspict' iini: 
création de r('S|»ac<' pro|<,'(lil |).ir l'iiil rixhid ion (b'-^ pniut>, (boites 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 63 

et plans impropres). Le système d'axiomes qu'il utilise est peu 
différent de celui de Pascli. Il donne une démonstration nouvelle 
de leur compatibilité et de leur indépendance. 

Pour construire l'espace projectif abstrait E^, il utilise au con- 
traire la méthode plus simple, et moins parfaite logiquement, qui 
consiste à poser a priori le concept de droite projective et ses 
propriétés (détermination par deux points; si les droites ABetGD 
concourent, de même AD et CB). Ces seuls axiomes lui permettent 
d'étudier, avec élégance, l'intersection des espaces projectifs abs- 
traits à un nombre quelconque de dimensions et leur loi de dualité. 

On sait que les axiomes graphiques précédents permettent de 
définir, grâce au quadrilatère complet, les groupes harmoniques 
de quatre points; mais qu'il est impossible de démontrer le théo- 
rème fondamental de la projectivité, .sans introduire un axiome de 
continuité. L'auteur énonce cet axiome sous forme projective. Je 
note qu'auparavant et en se bornant, ici comme le plus souvent 
dans la suite du livre, à l'espace projectif élémentaire, l'auteur 
étudie, sous le nom de réseau de Môbius, l'ensemble des points 
d'une droite déduits de trois d'entre eux en prenant le conjugué 
de chacun par rapport aux deux autres et en répétant l'opération 
pour les nouveaux points obtenus. Cet ensemble joue le rôle de 
l'ensemble des poiats à coordonnées rationnelles et la question que 
doit résoudre l'axiome de continuité se trouve aussi clairement 
posée : y a-t-il des points de la droite projective n'appartenant pas 
à un réseau de Mobius. Le réseau de Môbius permet aussi d'intro- 
duire, avec élégance et sans considérations métriques, les coor- 
données en Géométrie projective. La fin de ce Chapitre sur la 
continuité est consacrée à quelques notions sur les ensembles, 
courbes et domaines projectifs et sur les correspondances conti- 
nues : l'auteur s'exagère l'originalité qu'il peut y avoir à appliquer 
ces notions à l'espace projectif. 

M. Rey Paslor établit enfin le théorème fondamental de la 
Géométrie projective (toute correspondance biunivoque entre 
les points d'une droite conservant les groupes harmoniques se 
réduit à l'identité si trois points coïncident avec leurs homo- 
logues), ïl a fait une excellente étude historique de la question 
(critiques à la démonstration de Staudt; reclierches de Klein. 
Zeuthen, Liiroth, Darboux, Thomie, Reye). 



64 PREiMIÈRE PARTIE. 

Sans s'astreindre alors à développer systématiquement la 
Géométrie projective réelle, l'auteur étudie, non sans originalité, 
quelques questions importantes pour la suite ; propriétés des 
corrélations et des collinéations de E„ ; systèmes polaires (il en 
déduit, comme lieu des points doubles d'un tel système, les 
quadriques de l'espace E,,); projection stéréographique sur une 
quadrique non réglée (en insistant sur les propriétés qui, dans le 
cas de la sphère, expriment que la représentation est conforme); 
étude des collinéations qui laissent invariante une qua- 
drique <!•;,_,, recherche de celles qui sont involutives; enfin, par 
projection stéréographique, étude des transformations quadra- 
tiques hiunivoques. 

Le Chapitre « Calcul vectoriel projectif » qui termine les études 
de M. Rey Pastor sur la Géométrie projective réelle commence 
par un rappel des propriétés des produits des projectivités et des 
projectivités cycliques. Les 32 pages qui suivent pourraient, avec 
grand avantage de simplicité, être réduites au quart. C'est une 
remarque banale que toutes les propriétés métriques prennent, si 
l'on remplace la droite de l'infini et l'involution absolue par une 
droite et une involution quelconque, un énoncé projectif. L'auteur 
aurait donc pu faire remarquer que les concepts qu'il introduit ici 
coïncident avec des concepts métriques très élémentaires et se 
dispenser d'en reprendre l'étiule par des méthodes projectives : 
cette étude étant évidemment possible grâce à la remarque précé- 
dente. 

Par exemple l'auteur nomme segme/it p?'ojcctif ï ensemble de 
deux points d'une droite sur laquelle est choisi un point fonda- 
mental (segment de première espèce), ou une involution fonda- 
mentale (segment de deuxième espèce). Deux segments sont 
(•gaux quand on peut passer de l'un à l'autre par une projectivité 
avant le point fondamental comme puiiU double unique ou conser- 
vant l'involution fondamentale. 11 est clair que ces notions de 
segment projectif de première et deuxième espèce reviennent 
aux notions métriques euclidiennes de segment et d'angle (si 
l'involution fundainentah' est elliptique, et c'est le seul cas inté- 
ressant). 

[)c niènu; Ic^ dilatations. Ir.in^lal ion> cl lor-.ious projoclives 
qu iiilroduit M. Wry Paslor cl ([u il rcpr«''scnlc piir des couples 



COMPTES IlENDUS ET ANALYSES. 65 

de points du plan se ramènent aux homothéties, translations et 
similitudes de la Géométrie ordinaire. Sans exception, toutes les 
propriétés de ces dilatations, translations et torsions que démontre 
l'auteur, ne sont que la traduction projective, sous une forme 
rébarbative, de propriétés très simples des transformations élé- 
mentaires correspondantes, ou s'en déduisent par dualité. 

Dans la dernière Partie du Livie M. Rey Pastor étudie les fon- 
dements de la Géométrie projective complexe. Je répéterai, à ce 
propos, la remarque précédente : l'exposition pouvait être rendue, 
en bien des points, plus intuitive par l'emploi du langage 
métrique; l'auteur l'a fait quelquefois dans le dernier Chapitre. 

M. Rey Pastor définit, selon Staudt, le point imaginaire d'une 
droite par l'ensemble d'une involution elliptique et d'un sens 
positif sur la droite. Il expose, selon Staudt et August, la généra- 
tion de l'espace complexe E„. Comme il le montre enfin, la cons- 
truction faite, dans la deuxième Partie du Livre, de l'espace 
abstrait E„ fournit, comme immédiate application, et de façon 
notablement plus simple, la génération de l'espace complexe E„. 

L'auteur étudie alors les représentations, par des éléments 
réels, des formes linéaires complexes. J'indique celles qui ont un 
intérêt pratique. Il nomme représentation cleGaiiss celle qui tait 
correspondre, à chaque point réel ou non d'une droite réelle, le 
point réel de la droite obtenue en le joignant à un point imagi- 
naire Q; c'esl au fond la représentation classique des nombres 
complexes. En projetant stéréographiquement sur une quadrique 
convenablement choisie, on en déduit la représentation dite de 
Riemann; cette représentation est d'ailleurs projectivement équi- 
valente à la représentation sphérique utilisée par Riemaun. On 
peut enfin faire correspondre, à un couple de points imaginaires 
d'une conique, le centre de l'involution qui définit ces points; 
cela revient à projeter la représentation sphérique sur un méri- 
dien de la sphère. 

L'étude que fait l'auteur, grâce à ces représentations, de la pro- 
jectivité entre deux formes linéaires complexes, est notablement 
plus simple et plus élégante que les théories également synthé- 
tiques de Staudt et Kotter. Aux groupes de points harmoniques 
correspondent, dans la représentation de Riemann, par exemple, 
des points situés sur une conique et se divisant harmoniquement. 



66 PREMIEilli PARTIE. 

Les correspondances biunlvoques qui, dans cette représentation, 
transforment les coniques en coniques constituent les projecti- 
vités et les antiprojectivités. Ces correspondances engendrent, 
entre les espaces des deux quadriques fondamentales, une coUi- 
néation faisant se correspondre les quadriques: leurs propriétés 
en résultent immédiatement. 

Dans l'essai, qui termine le Livre, d'une étude synthétique des 
correspondances algébriques et même analytiques, l'auteur suit 
en gros la même marche que pour l'étude analytique de ces ques- 
tions. Ses démonstiMtions sont souvent très originales. 

L'étude infinitésimale d'une correspondance conforme (au sens 
projectif) au voisinage d'un couple AB de points homologues lui 
permet d'introduire un point dérivé G, dont l'existence, qui carac- 
térise les représentations conformes, revient au fond à l'existence 
d'une dérivée pour la fonction variable complexe qui définit la 
correspondance. Naturellement, la correspondance A, C, dite 
correspondance dérivée^ est elle-même conforme, ainsi que les 
correspondances dérivées successives. 

La correspondance algébrique entre deux formes linéaires com- 
plexe est alors définie comme correspondance (/?^. /i) telle que la 
correspondance entre les représentations réelles des deux formes 
soit conforme. La principale difficulté, pour la théorie synthé- 
tique, réside dans la démonstration du théorème fondamental : le 
nombre des points de coïncidence d'une telle transformation 
est m-hfi, à moins que tous les éléments ne soient de coïnci- 
dence. L'auteur tire cette démonstration de l'étude synthétique 
d'une correspondance dite « dérivée par difiérence » de la corres- 
pondance donnée : analytiquement ce serait la correspondance 
entre x et ^ =y — ic, si a? et y sont les deux variables en relation 
algébrique {m^n). Les x des points de coïncidence sont les homo- 
logues de 2 = o. Qu'ils soient en nombre m -}- /i, cela résulte de 
ce que, le point à l'infini n'étant pas de coïncidence, quand x 
décrit un certain contour, le nombre de toursqu'elVectue-s autour 
de l'origine est lié simplement au nombre des points de coïnci- 
dence et des points homologues de ^ = oo, enfermés par le contour 
de x. Je crois que les recherches de l'auteur, fort intéressantes, 
auraient besoin d'être complétées : l'étude synthétique des |)oints 
critiques de ces correspondances parait insuffisante. 



COMPTES KENDUS ET ANALYSES. 67 

Le théorème fondamenlal ainsi établi, l'auteur démontre 
quelques propriétés des correspondances algébriques; en particu- 
lier le fait qu'une correspondance (i, i) est une homographie. Il 
développe enfin, par voie de récurrence, la théorie des courbes 
normales de E^ et des involutions d'ordre /i. 

Le dernier Chapitre, consacré à la définition synthétique de la 
courbe analytique, se rattache étroitement au précédent. De toutes 
les représentations réelles qu'indique l'auteur, pour les points 
imaginaires du plan, la seule qu'il utilise revient, au point de vue 
métrique, à une représentation utilisée par Laguerre. On fait 
correspondre à chaque point imaginaire les deux points réels A 
et B des droites isotropes qui y passent ; ces points étant pris dans 
un certain ordre pour distinguer les points imaginaires conjugués. 
L'auteur nomme membrane d'éléments complexes l'ensemble des 
points complexes définis par une correspondance continue A, B. 
La membrane forme un arc de courbe analvtique si elle admet 
une tangente; M. Rey Pastor prouve que cela exige que la corres- 
pondance AB soit conforme Inverse. 

L'auteur nomme symétrie par rapport à la courbe cette corres- 
pondance qui peut servir à la définir. Je signale en passant que 
cette correspondance n'est point nouvelle et a d'intéressantes 
applications; pour n'en citer qu'une, M. G. Léry l'utilise dans la 
recherche de la fonction de Green d'un contour algébrique 
[Annales de l'Ecole Normale, 191 5). 

Je regrette de ne pouvoir donner ici. une idée des démonstra- 
tions qui, dans toute cette lin du Livre, sont très personnelles. 
Les méthodes purement synthétiques qu'utilise l'auteur sont 
actuellement inférieuies, pour l'exposition comme pour la 
rercherche, aux méthodes analytiques. Ce n'est pas une raison 
pour négliger des tentatives comme celles de l'auteur, qui, en plus 
de leur intérêt de curiosité, peuvent se révéler fructueuses dans 
l'avenir. 

Joseph Pérès. 



68 Plll' MIÈIl !•; PAinili. 

FABRY (E.). -- Probi-kmes de MÉcAMytK ratiojnnelle à l'usage des 
candidats aux certificats de licence et à l'agrégation, i voI.gr. in-8, 
425 pages, avec i4 figure*. Paris, A. Hcrmaiin et fils, igi5 

La Mécanique peut être réduite à quelques principes, et, si Ton 
veut même, à une seule équation. Les énoncés de ces principes, 
l'écriture de cette équation apparaissent comme très simples grâce 
aux termes concis où les mathématiciens sont parvenus à les 
enfermer. Les difficultés commencent lorsqu'il s'agit de revenir 
au concret. On s'aperçoit alors que ces termes, ces symboles aux 
formes concises possèdent une compréhension singulièrement 
«tendue et qu'ils sont susceptibles de recevoir des significations 
ou des modalités extrêmement diversifiées. On conslale que c'est 
une difficulté spéciale à chaque cas d'y découvrir, sous la forme 
particulière qu'il y revêt, le principe qu'il convient d'invoquer. 

Nulle science, sous ce rapport, ne fait mieux ressortir l'incon- 
vénient d'un enseignement aux allures trop générales et trop 
implicites. La Géométrie, elle aussi, pourrait se plaindre de ce 
genre d'enseignement ; mais le défaut de celui-ci éclate surtout en 
Mécanique. 

On serait presque tenté de dire (jue les principes de la Méca- 
nique et leur démonstration ne constituent que la préface de cette 
science. La tractation de problèmes sj)éciaux, poussés au besoin 
jusqu'au résultat numérique, est le commentaire indisj>ensab]e à 
cette abstraite préface; la réalité que ces applications donnent aux 
principes constitue à proprement parler la Mécanique. 

C'est pourquoi il est si désirable que de bons Recueils d'exer- 
cices viennent seconder l'Enseigncuient, Piecucils où des solu- 
tions, conduites dans un es|)rlt vraiment mécanupie, montrent la 
bonne roule à l'éiudianl. 

Ce sérail un tort de substituer à l'cniploi dirçcl Av< ])rincipes 
des équations où ceux-ci soiciil si inq)licltement conlcnus (jnr 
leur rfjle ii'a]>paralssc plus el ({uc l,i solution du pn)blèmr de 
Mécanique se trouve n'winilc à un jeu diiigèbrc d'où tout ce qui a 
une figure mécanique soit exclu. 

Il n V a pas lieu de |)rolong('r ici v{^> réilexions (pi oui dû se 
faire Ions ceux (pu ont approché de près les examens de no> 
grandes ('coles. Le sa\anl professeur de la I' aenllc' des Seienees de 



COMPTES lUiNDUS ET ANALYSES. 69 

Montpellier, dont nous analysons rOiivra<;e, est, à cet égard, aussi 
averti que qui que ce soit. 

Le Recueil de problèmes de Mécanique qu'il offre au public 
comprend des exercices sur la Cinématique, la Dynamique du 
point, les moments d'inertie, le mouvement d'un corps solide, le 
mouvement des systèmes, les mouvements relatifs, les percussions 
et, enfin, l'Hydrostatique et l'Attractiorï. 

Les énoncés sont imprimés séparément dans les premières pages 
de l'Ouvrage afin que l'élève, après avoir pris connaissance de 
l'énoncé, puisse essayer d'abord lui-même la solution sans être 
tenté de lire celle que l'auteur lui donne quelques pages plus 
loin et à laquelle il pourra plus tard comparer la sienne. Cette 
disposition ingénieuse seconde unemétbode de travail excellente ; 
elle tend à développer l'initiative de l'étudiant tout en lui réser- 
vant le bénéfice d'un guide et d'un conseil. 

Plus des deux tiers de ces exercices ont été proposés en ces 
dernières années dans nos Facultés aux épreuves de licence; c'est 
dire que leur esprit répond bien à celui de l'enseignement de la 
Mécanique dans nos Universités françaises. 

Les solutions qui suivent les énoncés ont toute la justesse que 
l'on peut attendre de l'éminent professeur de Montpellier. Nous 
ne saurions évidemment les parcourir ici une à une. Nous nous 
bornerons à évoquer celles qui nous auront le plus frappé. 

Citons en Cinématique la question 7 : 

Si deux côtés d'un triangle de forme invariable enveloppent 
chacun une circonférence^ il en est de même du troisième côté. 

J'avoue avoir une préférence pour les solutions cinématiques 
dans le genre de celle que l'auteur a donnée de ce problème. En 
mettant en jeu des tliéorèmes et des résultats acquis en Cinéma- 
tique, elles font prendre à la question une allure vraiment ciné- 
matique. Elles apprennent aux étudiants à raisonner sur la matière 
cinématique elleniême, savoir précieux pour qui désire se servir 
effectivement de la Cinématique. En debors de cette métbode, les 
questions de Cinématique versent fatalement dans la pure Géo- 
métrie analytique. 

Nous constatons avec plaisir que plusieurs des exercices ont 
trait à l'usage d'un trièdre de référence mobile que les travaux de 
Ribaucour et de Darboux ont lendu classique. 



jo PHEMIEKE PARTIE. 

Parmi les problèmes de Statique, signalons un choix de ques- 
tions concernant les fils inextensibles ou même extensibles. En 
supposant l'extension spécifique proportionnelle à la tension, on 
se place dans des conditions assez voisines de la réalité. 

M. E. Fabrj me permettra-t-il une toute petite chicane à propos 
d'un problème du reste très complètement traité par la voie ana- 
lytique avec discussion de la stabilité de l'équilibre ? 

Il s'agit de l'équilibre de trois points A, B, G assujettis à rester 
sur un cercle et qui se repoussent proportionnellement à leurs 
masses et à leur distance. 

La solution analytique, semble-t-il, laisse échapper la significa- 
tion mécanique de la solution. On sait que, d'après un théorème 
connu, la i^ésultante des actions de deux des points sur le troi- 
sième va passer au centre de gravité du système. Si les points 
forment un triangle (le cas contraire se traite aisément de même), 
le centre du cercle circonscrit doit être le centre de gravité des 
trois masses. On reconnaît en même temps que le même résultat 
s'étend au cas d'un nombre quelconque de points et au cas où il 
s'agirait d'une sphère au lieu d'un cercle. Si les points devaient 
être sur une courbe ou sur une surface, il faudrait que chacun 
d'eux fût en un pied de normale issue du centre de gravité à la . 
courbe ou à la surface. 

En se plaçant ainsi tout d'abord sur le terrain mécanique, on 
devient maître de la question que l'on tient par sa racine même et 
le bénéfice en est que l'on aperçoit aussitôt à quelle catégorie plus 
générale le problème que l'on traite appartient. Du reste, le pro- 
blème s'achève ensuite facilement par le développement de cette 
propriété mécanique. 

On peut faire une reuiarque du même genre à propos d'une 
question de mouvement de point matériel attiré par un centre fixe 
proportionnellement à la distance avec résistance opposée à la 
vitesse et proportionnelle à celle-ci. Il s'agit de prouver que la 
trajectoire est plane (question 'io). 

L'auteur remarque que, en projection sur l'un des axes, O^ par 
exemple (O est le centre fixe), l'équation du mouvement est 

d'^z , , dz 

où / , // M)iit des constantes. Si ; et -:^ soni nuls à riuslanl ini- 

at 



COMPTIÎS IlENDUS lîT ANALYSKS. yt 

liai, il en est de même des dérivées seconde, troisième, etc., et, 
d'après le théorème de Gauchy, la solution correspondante 
est z = o, en sorte que la trajectoire est dans le plan passant parle 
centre attractif et la vitesse initiale. Cette démonstration analy- 
tique est simple, exacte; elle donne l'occasion d'appliquer un 
théorème général d'analyse. 

On aurait pu se placer cependant sur un autre terrain, consi- 



dérer le moment ÔG de la quantité de mouvement et le moment OH 
de la force en se rappelant que ce dernier est la vitesse du point G 



->-> 



(ou dérivée géométrique de ÔG). On aurait pu remarquer que la 

force attractive ayant un moment nul, OH se l'éduit au moment 

> > 
de la résistance et qu'ainsi OH est porté par la même droite 

que OG. La conclusion est alors que la vitesse de G se réduit à sa 
composante suivant le rayon vecteur ou qu'elle passe par le point 
fixe O. Or on peut démontrer en Cinématique que, dans ce cas, 
la trajectoire de G est une droite fixe issue de O. Le plan normal 

à OG est fixe, c'est celui qui contient la vitesse et l'origine. Le 
mouvement a donc lieu dans ce plan fixe. 

Cette démonstration n'a aucune visée analytique, mais, au point 
de vue mécanique^ elle met en relief \?l vraie liaison du théorème 
et nous apprend qu'il serait encore vrai, quelle que fût la loi d'at- 
rraction centrale et la loi de résistance pourvu qu'elle fût dirigée 
en sens inverse de la vitesse. 

On ne saurait faire un grief à l'auteur d'avoir suivi en ces deux 
circonstances la méthode analytique. Ces procédés sont courants 
aujourd'hui et ma critique a une portée générale. Si j'ai relevé 
ces deux exemples, c'est pour montrer que la méthode analytique 
ne donne pas tout et qu'elle ne saurait dispenser d'aborder la 
Mécanique par ses propres moyens. 

Il va sans dire que ces réflexions n'ôtent rien aux raisons 
d'estime que porte en lui le Recueil de M. E. Fabry. Les ayant 
faites, je n'en suis que plus à l'aise pour louer l'ensemble des 
jolies questions qui se trouvent traitées avec le plus grand soin 
sous les titres de : mouvement d'un corps solide, mouvement des 
systèmes, mouvements relatifs, percussions. 



72 PREMIÈRE PAUTIE. 

Les problèmes de ce dernier ordre ont la plus grande impor- 
tance. Ils sont délicats et exigent pour être bien traités un correct 
exercice du sens mécanique. Je signalerai entre autres la ques- 
tion 109, donnée à la licence par la Faculté des Sciences de Mar- 
seille^ le choc s'y trouve mis en jeu avec intervention du frotte- 
ment. 

Aous souhaitons cordialement à l'intéressant Recueil de M. le 
professeur E. Fabry tout le succès que mérite à son auteur l'effort 
appréciable qu'il a fait pour doter nos étudiants d'un excellent 
guide, en harmonie avec les traditions de notre enseignement. 

Venant après tant d'autres Livres d'enseignement publiés par 
M. le professeur E. Fabrj, il ne peut manquer d'accroître la somme 
de gratitude que le public mathématicien doit à son savant auteur. 

G. KoENIGS. 



MÉLANGES. 



QUELQUES RÉCENTS PROGRÈS DES THÉORIES HYDRODYNAMIQUES; 

FaK m. HkNR[ VlLLAT. 

{Suite et fin.) 



Bien que ce ne soit pas ici le lieu d'exposer en détail les tra- 
vaux concernant la propagation des ondes, nous devons signaler 
les importants Mémoires de T. Levi-Cività sur les ondes pro- 
gressives permanentes dans un canal à fond rectiligne {Atti dei 
Lincei, t. XVI, 190-, p. 777-790; t. XXI, 191 2, p. 3-i4), celte 
étude relevant des méthodes dont nous nous occupons dans cet 
article. Si H est la iiauteur moyenne, \ la longueur d'onde, c la 
vitesse de translation des ondes, q le débit relatif (par ra})port à 
des axes animés de la vitesse c), T. Levi-Cività montre que le 
transport global de masse croit indéfiniment avec le temps (théo- 
rème généralise de St(jlves-Rayleigh) et que l'énergie cinétique 



MÉLANGIÎS. 73 

d'une onde est donnée par la formule nouvelle 



11 — ^ 

2 \ C 



Une inluniescence, d'un tout autre caractère que celle des 

ondes précédentes, est produite dans un canal à fond rectiligne, 

si un obstacle est placé en quelque point de celui-ci; il en 

résulte un soulèveuient de la surface libre, qui peut être étudié 

par la transformation 

9. H i— t 

f — i\\ H lo 



TT ° I -f- / 

Si l'obstacle est de dimensions petites (de hauteur /i), la hauteur 

de l'intumescence est -f-n- (U. Cisotti, Atti dei Lincei, t. XXI, 
411 

1912, p. 588-593, -04-708, 760-764). Si le fond du canal présente 

une série périodique d'obstacles identiques placés à la distance X, 

la surface libre présentera l'aspect d'une série d'ondulations de 

longueur d'onde ).. Une transformation de la forme 

/= — 'og- 
9,7: -q 

et l'introduction d'une fonction û(f) déterminée par U. Cisotti, 
et qu'on peut ex|nùmer aisément au moyen des fonctions ellip- 

27tH 

tiques de module q = e '' , sous la forme (H. Villat, C. R. 
jicad. aSc, t. 153, 191 1, p- 5i8; Athènes, Aenia^ 19' 2, [>. 359- 
38o; Atti dei Lincei, t. XXI, 1912, p. i38-i4o) 



ii{t)= -lûg 



?^o(j^Jog^) 






' IT. 



permet d'étudier les circonstances du mouvement. Pour h (hau- 
teur des obstacles) faible, on trouve une surface libre xolsine de 
la suivante : 

V = H -I- — e '• lli- -V- cos— T — • 

Si, au lieu d'un obstacle placé sur le fond, celui-ci présente au 
contraire une nivellaliou ou uu brusque changement de niveau, 



74 PREMIER K PAR II IL 

le phénomène sétiidie tout à fait de même (U. Cisotti, Atti dei 
Linceis t. XXII. iqiS, p. 417-422, 58o-584). 

Malheureusement, dans les exemples ci-dessus, la présence de 
pressions négatives dans le voisinage de chaque obstacle ou déni- 
vellation fausse légèrement les résultats quant à leur valeur pra- 
tique. A ce propos, je signale, comme extrêmement difficile, 
l'intéressante question suivante : prenons par exemple le cas du 
canal avec dénivellation brusque; pour poser ce problème correc- 
tement, en évitant les pressions négatives, nous devons évidem- 
ment essayer l'hypothèse suivante : le fluide^ après avoir glissé 
sur la première partie (horizontale) du fond, s'en détache pour 
former un jet qui ira se raccorder plus loin avec la seconde partie 
(également horizontale) du fond. Or il est facile de faire voir 
qu'en prenant des unités convenables, la transformation 

ramène la question à la recherche d'une fonction analytique ^(^) 
régulière dans un rectangle construit sur les demi-périodes to, 
et W3, et telles que : sa partie réelle soit nulle sur les bords hori- 
zontaux du rectangle, et que sa partie imaginaire soit nulle sur le 
bord vertical gauche, et constante sur le bord vertical droit. C'est 
là un problème qui rentre comme cas très particulier dans un de 
ceux que j'ai résolus dans un Mémoii'e Sur la résolution de cer- 
taines équations intégrales^ etc. (H. \ illat, Acta ntatheina- 
tica, t. 40, 1915, p. 101-178). Or le résultat est que le problème 
est impossible à moins que la constante correspondant au bord 
vertical droit ne soit nulle, cl alors la fonction analytique 
cherchée est identiquement nulle; on constate ensuite, en reve- 
nant au plan r, que la dénivellation a disparu : les deux por- 
tions du fond du canal sont au même niveau. Il serait iiuportanl 
et utile de déterminer quelle autre hypothèse serait dans ces 
conditions nécessaire pour résoudre la question posée. 

L'étude des jets de largeur finie ri>ncontrant un s(dide, a\ec 
bifurcation de la veine à l'arrière de celui-ci, a été faite par l . Ci- 
sotti (Atti dei Lincei , l. \\. it)ii, p. ."^i i-.'5:>,2, \\)\-\w.>.) [^). 



(') Cf. jiussi I-. \\ nriNuui;!!, Zcitschrift fitr Malh. ii/ui l'IiysiL. l. \l,Vf. 

1901, p. lHj-if)S, 



MÉLANGES. 75 

Si &i et &2 sont les inclinaisons des jets dérivés après la bifurca- 
tion, sur la direction du jet primitif, et si Ai et Ao sont les débits 
de ces deux jets, la pression totale du fluide sur le solide est 
donnée par la fcjrmule 

Cette relation a été généralisée, dans le cas de trois dimensions, 
par T. Boggio [Atti dei Lince'i^ t. XX, 191 1, p. 901-908) qui 
détermine aussi le moment résultant des pressions sur le solide. 
Elle a été retrouvée, ainsi que plusieurs autres relations impor- 
tantes de même nature, par \ . A àlcovici [Aiinali di Mat. pura 
ed applic, t. XXlll, i9i4i p- 27-4 ij au mojen d'une méthode 
extrêmement simple et élégante. 

iMoiaements des solides dans les canaux et problèmes con- 
nexes. — Avec le problème du mouvenient d'un solide dans un 
canal nous abordons une série de questions plus malaisées à 
élucider, et qui dépendent de la représentation du domaine tluide. 
sur l'aire d une demi-couronne circulaii^e dans le plan ^ auxiliaire. 
Le cas où le mouvement (et le solide) sont symétriques par rap- 
port à l'axe du canal supposé rectiligne a été abordé par L. Ci- 
sotti {Rendiconti del Circolo di Palermo^ '909? 2*" semestre). 
En supposant le débit du canal égal à 2-, et la vitesse égale à 1 à 
l'infini en amont, on peut, par la relation 

faire correspondre au tluide la demi-couronne annoncée ('). 
Si l'on pose 

Ûo(0= / Uztdl = logp-^ ^, 

■71 J^ - il2W:i— Çlît 

et si l'on admet que la paroi solide comporte un seul point angu- 
leux à la proue, où les tangentes fassent l'angle 2 a. la fonc- 
tion ait) la plus générale est égale à Qo(/), augmentée dune 

(') Au sujet de la légère dilléience entre celte formule cl celle employée p»r 
U. Cisotti, voir H. Villat, Sur tes mouvements à la Helmlioltz {Bulletin de la 
Société mathématique, t. XL, i<)t2, p. 266-3o4, note de la page 268), 



76 PREMIÈRE PARTIE. 

série de Laurent régulière dans la couronne, et de la forme 



i-'i'-'-ç^y 



les Cfi étant réels. 

J'ai montré (Bull. Soc. math., 191 2) que dans toute hypothèse 
la solution générale était 

ai r"' 

Î2(0 = — - / [U(t-^f)—'zo3ii-r)\^(r)dr, 

" ^0 

la variation de la fonction <ï>(/') pour r entre o et w,, étant celle 
de l'inclinaison de la tangente à la paroi, sur Taxe du canal, 
quand on suit cette paroi à partir de la proue. Ce résultat permet 
(H. \ iLLAT, loc cit.) la formation d'exemples correspondant à 
des solides de forme donnée. La pression totale du fluide sur le 
solide est égale, avec les unités choisies, au carré de la demi- 
largeur asjmptotique du sillage, divisé par la demi-largeur du 
canal (Cisotti). La validité des solutions n'est assurée que si 
certaines conditions sont remplies. Elle est assurée par exemple 
pour la fonction (H. A illat, loc. cit.) 

'- L Çïo^ — ÇÎ0W3 Ç12W3— ;i2«J 

qui fournit un obstacle convexe en forme de proue (au sens de 

INI. Brillouin). L'étude des conditions générales pour qu'il en soit 

ainsi fait l'objet de la seconde partie d'un Mémoire inséré au 

Journal de Mathématiques (H. \ ii.lat. J. de Math., t. X, 

1914, p- 230-290). On peut déiiiDUlrer notamment (|U(' pour 

toute forme de solide concave vers le courant, et pour hujucne la 

tangente à la paroi fait avec la direction du courant à l'inlini ua 

3 ~ 3 ^ 
angle compris entre — • — ^ et H , la sohition est certainement 

valable; |»our les solides ;i parois convexes, jusqucs cl y compris 
le cas d<;s proues, on a une condition nécessaire d'inégalité relative 
à la fonction tl>(/). 

Si le canal, au lieu d'être recliligne, o>t liiuilc pai' ilcs parois 
solides quelconques données, le problème se complique quelque 
peu. La «-olutioii (H. \ii.i.\i, (\ l\. Avad. Se, (> fé\riei- 1911; 



MÉLANGES. 77 

Annales de l'Ecole Normale supérieure^ 1.29, i9i2,p. 127-19-) 
résulte de celle du problème de Dirichlet dans un anneau. Le 
calcul donne lieu à une généralisation du théorème de U. Cisotti. 
Dans le cas général, la solution se met sous la forme 

avec la condition nécessaire 

C ^{s)ds = f ^•{sjds. 

Les fonctions ^{s) et ^'(5) sont déterminées par la forme des 
parois du solide et du canal respectivement. Le cas d'une confi- 
guration de mouvement possédant un axe de symétrie peut se 
traiter de diverses manières ;^on l'obtient notamment en particu- 
larisant la formule précédente sous la forme 

0^0=^' f fis)— ^— 1 ds 

\l ,. J ,. 

avec <ï>(7r — s) = — ^("^)- 1^^^' exemple pour les obstacles con- 
vexes M&(5j négatif et décroissant quand s varie entre o et - la 
solution, pour être valable, exige la condition nécessaire 



f'(s)-—^ «.,_, ,,_,^_ij*^^_oJ£o. 

p — s — ei 



Le cas limite de l'égalité correspond aux [>roues convexes, les 
plus intéressantes évidemment pour l'application. 

Un problème spécialement important est celui du mouvement 
d'un solide dans un fluide limité, d'un seul c<Ué. par une paroi 
solide parallèle à la direction du mouvement. Le cas d'un aéro- 
plane volant horizontalement tournit un exeinple intéressant de 
de cette théorie. La question peut se traiter (H. ^ illat, Annales 

Bull, des Sciences tnathém., 2' série, t. XLII. (Mars 1918.) 7 



-% PREMIERE PARTIE. 

de r Ecole JSormale supérieure, t. 28, 191 i, p. 2o3-3i i ; C. R. 
Acad. Se, 21 novembre 191 o) au moven de la transformation 

/= A[p(;^Iog/-co,)-^îi] 

+ A ei — pf -î 5u— C03J log ei + p/ ^log/ — (.03 j 

(où A est une constante négative), qui l'amène à considérer l'aire 
d'une demi-couronne. Là encore on peut obtenir la solution géné- 
rale au moyen de la formule (H. Villat, Journal de Mathéma- 
tiques pures et appliquées^ t. \ II, 191 1, p. 353-4o8) 

qui permet d'étudier des formes de solides données à l'avance. Le 
cas du dièdre dont les deux lames font avec Ox des angles ± a 
correspond (H. ^ illat, loc. cit., p. 3(32; C. R. Acad. Se, 
t. 152, 191 1, p. 3o4) à l'équation 

'h = — \og-^ 1—2- + ''^'^r'" 'Og^ + ^^ 

'log^H- -~Soj 



avec la condition 



-r- a = 



l]t le cas typique de l'aéroplane réduit schématiquement à un >eul 
|)lan incliné d'un angle t sur l'horizon correspond à la formule 
précédente où l'on ferait 



■}. 



Le oab:ul de la n'sistance éprouvée par le solide dans son mou- 
Nement est, à cause de la signification pratique, tcuit spéciale- 
mcnl important. Il coiuj)orle des difficultés particulières, .le suis 
parvenu à montrer (IL V'^illat, C. R. Acad. Se l. 161, ifHT^ 
p. :<7'>; Annab's dr f l'école iSorrnale su [>érieure , i9i(S)(jue la 



MELANGES. 70 

résistance directe à l'avancement était fournie par la formule 



^îl = 



7.A.IJJ] (ci — 63)2 1 e, — e-j)- 



<t>( s ) cl s 




qui donne une \aleur toujours positive et assurément non nulle 
pour un obstacle concave ou convexe. Dans le cas d'une lame de 
longueur /, qui se présente nornialement au courant, 






^i 



.. I ,3 

\ 2 1 



:( \/ei — t'a— v/^i— e^) 



Or on peut montrer que cette expression est exactement égale 

à j-^ — 1 de sorte que, pour ce cas particulier, la résistance est la 

même que si le lluide était illimité. Le cas de l'aéroplane incliné 
d'un angle z sur l'horizon, cas que j'ai étudié spécialement, 
permet de reconnaître que, suivant l'inclinaison, la résistance 
est plus grande ou plus petite que la valeur correspondant au 
même obstacle pour le fluide illimité : il y a égalité pour trois 
valeurs de l'inclinaison. 

Un grand nombre d'autres questions d'Hvdrodynamique peut 
être traité en partant des principes appliqués ci-ilessus. J'ai 
indiqué les principales dans une jNote insérée aux Comptes 
rendus (t. 152, it>ii, p. io8f) en précisant tes condition moyen- 
nant lesquelles les difficultés seraient finalement réduites à un 
problème de Dirichlet analogue à ceux utilisés précédemment. 
Il suffit pour cela que, d.ins la configuration qu'on étudie, une 
représentation conforme permette de masser l'ensemble des parois 
solides sur deux fragments seulement de la frontière. 

L'un des problèmes les plus essentiels de cette sorte a été 
explicitement et très élégamment développé par M. Vàlcovici 
(Inaugural Dissertation, ]>. i-H:^, Giittingen, ic)i3). C'est le 
probJème du jet lluide sortant d'un récipient déterminé (par 
exemple un jet gazeux sortant d'une buse) et se brisant sur un 
obstacle solide. Ce cas est spécialement im[)ortant comme repré- 
sentant celui qui est réalisé dans certains laboratoires aérodyna- 
miques pour les calculs de résistance à l'avancement. On sait que 



8o PIUÎMIÈIIR PAirriE. 

dans ces laboratoires on opère généralement, soit en tunnel indé- 
fini des deux côtés, soit à laide d'un dispositif comprenant un 
demi-tunnel indéfini dun côté seulement, pour guider le courant 
d'air qui vient ensuite rencontrer le modèle de solide à étudier. 
Ce dernier cas est celui des expériences de G. EilFel. Cette sorte 
de phénomène a été étudiée de très pi'ès par \ . Vâlcovici, quia 
calculé notamment la pression totale que supporte le solide dans 
ces conditions; si Ton appelle A la largeur de la buse aux grandes 
distances en amont, c^ et Cj les largeurs des deux jets qui 
s'écoulent de chaque côté de l'obstacle dans des directions faisant 
les angles 6, et 82 avec le jet initial, on a, en supposant planes 
les parois de la buse, 

Si_^= ^ [1+ ^'^'"^^^'•''"' 1 — -(cioosei-HCocose.). 

V. \ âlcovici a généralisé cette formule pour le cas de trois 
dimensions [Einige Anwendungeti des Impulssàtze (Annali 
di Mat. para ed applic, t. XXIII, i9i4i p- 27-41)]- 

Par tout ce qui précède, on voit qu'en des cas nondjreux et 
essentiels, l'introduction des surfaces de discontinuité a permis 
de résoudre d'importmts problèmes d'Hydrodynamique, d'une 
façon qui élude les difficultés signalées au début de cet article, 
difficultés inévitables par tout autre procédé. Il était permis de 
croire que les solutions ainsi construites détermineraient pour 
chaque cas le mouvement du fluide correspondant à un solide 
et à une configuration donnés, et cela d'une façon unique. Il n'en 
est cependant rien, et la réalité est beaucoup plus compliquée : 
les équations de l'Hydrodynamique sont susceptibles d'avoir, 
dans certains cas, plus d'une solution de la nature indiquée. 
C est un fait que j'ai mis en évidence (H. Vili.at, Annales de 
l'Ecole IVormale supérieure, t. 31, i()i4i p- 455-493, el C. Jî. 
Acad. Se, t. 156, ]). 442) en considérant pour fixer les id<;es le 
cas le plus tvpique, celui du mouveiiu-nt iVun solKh:> dans un 
lluidc inch'-fini. Imaginons un >olid(' dont \c. prolil soit constitui; 
par un angle se présentant au courant j)ointe eu arrière. La 
méthode de T. Levi-Cività appliquée sans modifications fournil 
une j)remière solution, après un clioiv conveuabh;, et <|u "on s;iuim 
toujours ellectuei', de la face d<' robsliclc où l'on doit plioci- le 



MELANGRS. 8i 

|)oinL (le hipartilioii du courant. Celte solution est acceptable, 
comme on le vérifie aisément. On peut en former une deuxième 
en iniai;inant (jiie dans le creux de dièdre, il se forme une région 
de lluldc au repos sur lequel le tlulde en mouvement glisse avec 
une vitesse ('(:=e"") inférieure nécessairement à la vitesse à 
rinfini. Cette nouvelle solution sera possible et acceptable, si 
Ton peut trouver trois nond^res : af>o), .Ço (entre o et t:), 
y (entre o et -^ j^ vérifiant les trois relations 



5o — a - — =o, 

ItOi 



— -2 oj 1 r I — s^-h ■}. r, , — 



V 0)1 

3 I (0:, H . 

l lOÎ 



\ 2Î 



a — 0=0, 



\ - / \ ' CJ , 2 w , 

les nombres a et étant donnés, salislaisanl à 

— <a<ir, o<a±ô<-, <o<-- 

•2 2 i 

Or la résolution des trois équations ci-dessus est en effet possible, 
et j'ai montré comment on pouvait construire des solutions numé- 
riques exactes du problème. 

Le cbolx, parmi les sihitions possibles d'un même problème, 
de la solution la meilleure ne pourra évidemment être fait qu'en 
apportant des considérations nouvelles, tirées de la viscosité, ou 
de l'étude de la stabilité. Un cliamp de recbercbes, manifeste- 
ment d'une très grande difficulté, reste ouvert de ce côté. 

Avant de quitter l'ordre de sujets qui fait l'objet des précédents 
paragraplies, nous devons signaler d'une façon toute spéciale les 
Mémoires de S. -G. Greenblll [Report on the Theory of Stream- 
Line past a plane barrier {London, Darling and Son, 1910); 
Appendix Lo the Theory of Streani-Line (London, .1. Gauston 
and Sons, i()i())], où sont nolanuuent obtenus un très grand 
nombre d'exemples rentrant dans les conllgurations ilont on a 
parlé. La méthode suivie comporte le môme point de départ que 



82 PREMIÈRE PARTIE. 

celle de T. Levi-Cività, mais elle en diffère par le choix du plan 
auxiliaire sur lequel se fait la représentation conforme du domaine 
mobile. Le choix utilisé par T. Levi-Cività et ses continuateurs 
a pour but d'obtenir des solutions générales et des théorèmes 
généraux relatifs à la résistance. Sir G. Greenhill emploie une 
représentation auxiliaire sur l'aire d'un polygone, variable selon 
le cas particulier étudié; cela lui permet d'obtenir des exemples, 
traités jusqu'au bout, d'une très grande simplicité. Beaucoup de 
ces exemples comportent l'introduction des fonctions elliptiques, 
ce qui ne saurait surprendre d'après les développements ci-dessus ; 
l'auteur les manie dans ce travail avec la virtuosité incomparable 
que tous les mathématiciens lui connaissent ('). 

Presque toutes les recherches précédemment exposées sup- 
posent d'une façon générale le fluide doué d'un potentiel de 
vitesses uniforme . Si cette condition n'est pas réalisée, et qu'on 
cesse d'admettre la présence de discontinuités dans le fluide, on 
peut néanmoins, jusqu'à un certain point, échapper au paradoxe 
de d'Alembert. A^ .-M. Rutta [.iu/triebs Krâfte in strômenden 
Fliissigkeiten {ILlustrierte aeronaatische Mitteilungen, 1902, 
p. i33)] a donné de ce fait uue démonstration précise. En ipoS, 
i\. .Toukowski, dans un travail publié en russe [-S'a/' les tourbil- 
lons adjoints ( Travaux de la Section physique de la Société 
impériale des Amis des Sciences naturelles de Moscou, t. XIII, 
fasc.2, 1 905 )] démontra le tliéorème fondamental de cette tliéorie : 
lorsqu'un courant, de vitesse A à l'infini, rencontre un obstacle 
autour duquel il s'écoule, sans tourbillons ni frottement, de façon 
que la circulation le long du contour du solide ait une valeur I 
non nulle, la pression totale exercée sur le solide est égale à la 
circulation multipliée par la densité et par la vitesse ^ d ^^^ direc- 
tion s'ol)tient en faisant tourner le vecteur qui porte \ o> de 



(') On coiisiillera aussi avec intérêt : Lkathkm, Conformai Transf. applied 
la Problenis in Hydrodynaniics {P/iilosop/iical Tiansact., i;)i5); Ii>., On Iwo- 
dimcnsional Jields of Jlow {Philos. Maf^az., 31, 1916); In., On two-diniensional 
Jluid-niotion {Pioceed. Irish Acadeniy, 1918). Dans ce dernier Mémoire est 
retrouvé, par une mélliode assez pénible, le résultat que jai signalé dans un 
Mémoire (/. de Math., 1914). '^«^jà eilé plus haut, relatif à une condition de 
validité de la solution concernant les proues convexes dans an fluide indéfini 
(cf. cet article, 1" Partie, p. '12). 



MÉLANGES. 83 

t)o degrés dans le sens inverse de la circulation le long du con- 
tour. N. Joukowski, W.-M. Kutta [loc. cit. et Leber eine mit 
den Grandlagen des Flugproblems in Beziehung stehende, 
zweidimensionale Strômung {Sitzangsberichte der K. Akad. 
der Wissenschaften zu Miinschen, ujio. n^S, 58 p.), S. Tchap- 
liguine [De la pression exercée par un courant plan parallèle 
sur un corps immergé (Recueil mathématique de Moscou ('), 
t. XXVIII, 1910-1911, p. 1 21-166; en russe)] calculèrent un 
certain nombre d'exemples, pour des profils en particulier se rap- 
prochant de ceux des ailes d'aéroplane. N. |Jouko\vski [Geome- 
trische Untersuchungen ( Travaux de la Sect. phys. de la 
Soc. impér. des Amis des Se. natur. de Moscou, t. XV, 1910, 
fasc. 1); Leber die Konturen des Tragflàchen des Draclven- 
flieger {Zeitschrift fUr Flugtechnik und Molorlujtschiffahrt., 
1910, p. 283); Sur les plans sustentateurs du type « Antoi- 
nette » [Bulletin de la Société impériale des Sciences natu- 
relles de Moscou, 191 3)] réussit à déterminer les expressions 
analytiques des pressions exercées sur des profils d'ailes dérivés 
de l'arc de cercle et de la droite; l'un de ces profils représente 
exactement l'aile de l'aéroplane Antoinette. Dans un Mémoire 
ultérieur [Déterminatiofi de la pression, etc. {Recueil mathé- 
matique de Moscou, t. XXVIII, 191 1, p. 190-204)], il détermine 
pour un de ces contours le centre de pression du courant, au 
moyen d'un élégant théorème. 

Le principe de la méthode consiste à partir d'un mouvement 
cyclique connu, celui par exemple qui correspond à la fonction 

/=o-l-i'J; = — Vo- — — -H — log— > 

qui lournit un courant de vitesse V'o rencontrant un cylindre 
circulaire de rayon a, autour duquel s'est établie une circula- 
tion 2k] on transforme ensuite ce mouvement au moveii dune 
représentation conforme 

qui se réduise, pour z infiai, à 

z = "/Z (X = const.). 

(') Mathematischeskij Sbornik. 



84 PREMIERE PARTIE. 

Il est facile devoir qu'à rinfini les vitesses dans les deux courants 
sont proportionnelles dans le rapport |).|, et font entre elles un 
anole connu ; de plus, le long des contours solides qui se corres- 
pondent^ la valeur de la circulation est la même. Des transfor- 
mations simples, telles 



2 V Z I 



= - z ^ {a, e, g, rétU; e> g\ a^ = eg) 



a 



(cette dernière due à Tchapliguine) permettent d'étudier des 
obstacles en forme de plaques planes ou convexes (ou concaves 
dans le dernier cas). 

Un inconvénient de cette méthode est qu'elle ne permet que 
partiellement d'échapper au paradoxe de d'Alembert, puisqu'elle 
ne fournit aucune résistance directe au mouvement : elle ne 
donne qu'une composante sustentatrice. Elle n'échappe pas, en 
outre, généralement à la difficulté qui résulte des pressions néga- 
tives. A\ .-M. Kutta, dans le dernier Mémoire cité, a lui-même 
signalé cette difficulté sur un exemple où la pression devient 
égale à moins l'infini. Pour les exemples dérivés du cylindre 
circulaire cité plus haut, la vitesse a pour maximum, ainsi qu'on 
le prouve facilement, 2V0+ ■ — '; elle devient donc notablement 
supérieure à Vq, et il est par suite difficile d'éviter les pressions 
négatives, et les cavitatlons qui physiquement en résultent. 
W .-M. Kutta suppose que dans la réalité, au voisinage de la 
région où la pression est trouvée par lui infinie, les vitesses se 
trouvent diminuées par l'efiel du frottement, sans que pour cela 
les vitesses soient modifiées aux autres points du contour. Il est 
clair que cette explication, si c'en est une, n'est pas très satis- 
faisante. (Sur l'ordre de questions étudiées dans ce paragra|)lie, 
on consultera avec intérêt N. Joukowski, Aérodynamique , ir.id. 
S. JDrzewiecki. Gautliier-V illars, i()i<), Cbap. \ I et \ II.) 

Fluides pesants. — Si le fluide étudié n'est plus, comme 
jusqu'ici, considéré comme dénué fie pesanteur, les problèmes 
il résoudre deviennent sensibleuient |)lus compliqués. En eflet, 
si 1 «î([u;ilion indéfinie à vérifier par le pi»tenti(d ou la l<)U(lii»u de 
courant reste la même, les conditions aux limites prennent inic 



MELANGES. 85 

forme beaucoup plus malaisée à traiter. Les notations restant les 

mêmes que ci-dessus, on doit avoir '|=;const. s\ir toute paroi 

solide et sur toute surface libre, et de plus, sur ces dernières, il 

faudra 

V"-= 'i-gy -1- const. 

en supposant par exemple la pesanteur agissant dans le sens Oy. 
Il existe des solutions approchées, déjà classiques, de problèmes 
de cette sorte; on les trouvera dans les Traités spéciaux (par 
exemple Lamb, Hydrodynamics^ 4" édition; Cambridge, 19» 6). 
En iyo4, J. \\' e'in^SiTlen{Verhandlungen des Ô.Math.Kongress^ 
Heidelberg, 1904, p. 4o9-4i3) détermina un élégant cas particu- 
lier nouveau. Si a est une constante entre ^ et -» la relation 

6 1 



définit le mouvemenl d'un fluide pesant glissant sur une paroi 

solide, d'équation 

3 . r3(0-+-a) 3Tr1 
/•- SMi H ^ = const. 

(en coordonnées polaires /-, G) et délimité au-dessus : i** par la 
demi-droite 9 = — a -|- ^ formant paroi solide; 2° par la demi- 
droite 8= - — a, formant surface libre. Malheureusement, dans 
cet exemple, la pression a l'inconvénient de devenir infinie aux. 
grandes distances du cùté des parois. 

Dans le cas de l'écoulement sur une paroi courbe indéfinie, 
H. Blasius {Zeitschrift Math. Phys., t. 58, 1910, p. 90-110; 
t. 59, 191 1, p. 43-44) fi indiqué une métliode, d'allure géomé- 
trique, qui permet de calculer des cas intéressants. Supposons 
que nous nous donnions la surface libre, dont l'allure générale 
est connue a priori selon le phénomène particulier qu'on étudie. 
Soit 
(i) y = gi^) 

l'équation donnée de cette surface. En choisissant convenable- 
ment les axes de coordonnées, on devi\i avoir le long de cette 
courbe 



86 PREMIÈRE PARTIE. 

s désignant l'arc de la courbe. On en lire 



(2) 



/^^^^/^^^^-=/V4-(f)>^- 



De sorte que si 

représente la solution des équations (i) et (2), la solution du pr(j- 
blème d'Hydrodynamique sera réalisée par les équations 

z = x-+-iy=p(f)-hig{f); /=ç+r^. 

La résolution des équations (i), (2) est en général pr.it i({uenient 
impossible; mais si l'on sait écrire 

alors en désignant par t une variable complexe, on aura 

Une fois construites les lignes de courant du mouvement obtenu, 
l'une quelconque de ces lignes peut être considérée comme une 
paroi solide, en faisant abstraction de tout le lluide placé du C(Ué 
de cette paroi où ne se trouve pas la surface libre. 

J'ai introduit une autre méthode générale qui permet dans des 
cas étendus d'obtenir des solutions exactes pour un grand nombre 
de problèmes tels que l'écoulement dans un canal, ou sur un 
déversoir (H. \ illat. Annales de VEcole Normale supihieure^ 
t. 32, 1915, p. 177-214; C. R. Acad. Sc.^ t. I06, p. 58). Par 
exemple, dans le cas d'un canal partiellement recouvert en amont, 
on montre qu'en supposant la pesanteur dans le sens des }' néga- 
tifs, on pourra poser 



dt 



et le problème sera résolu ])ar la construction de la fonction 

/ H- a 



(0 = 



cil 



F(a) 



d'i 



sh 



d'x 
cil a 



fh 



Gf[i)- — 



^1 



sh 



p-i-a 



cl. 



h_ 

OL rli a 



MÉLANGES. 87 

Les deux fonclions F el G, dont la première caractérise la forme 
des parois solides, el dont la seconde donne la variation de la 
vitesse le lonj; de la surface libre, ne doivent pas être prises 
arbitrairement; elles doivent satisfaire, pour X réel, à la relation 



I 



¥(%)d% r^'" GC3)rf3 



X-g / 3-X 

en / sli ■ ' — 



•2-arc sin F- (i -\- e-X)eâG.X)G'(X)l = 2t:-#(X), 



lintég^rale qui figure au second membre ayant sa valeur principale 
au sens de Gauchv. Cette équation, de la forme de Fredholm par 
rapport à F, de première espèce au sens de M. Picard, peut se 
résoudre directement : elle a pour solution 

F(X) = - [#(X + î-)-T-^(X — i-)]. 

De là on conclut la construction des coiifiiiura lions qui répondent 
exactement aux conditions proposées. Dans les applications, les 
calculs de cas particuliers peuvent être poussés jusqu'au bout. 

Il est clair que des solutions approchées, vu la grande compli- 
cation des solutions exactes, rendent dans la pratique des services 
incontestables, étant sensiblement plus maniables. Nous allons 
exposer im certain nombre de ce genre de solutions. 

Considérons d'abord le cas de l'écoulement dans un canal à 
fond horizontal. Dans une étude d'une grande pénétration, T. Levi- 
Cività {Atti dei Lijicei, t. 16, 1907, p. 777-790), considérant un 
prolongement analytique de la fonction w (les notations sont 
toujours les mêmes que depuis le début de cet article) au delà du 
fond du canal, se libère élégamment des conditions aux limites, 
et ramène la recherche du mouvement à la résolution de l'équa- 
tion mixte, ditrérentielle et aux diftérences finies. 



[w(f -^ iq)w{f— iq)] — ig 7 ^r 7-7 r— 



OÙ q désigne le débit du canal. Il faudrait trouver une fonc- 
tion w{f) réelle sur l'axe réel, régulière pour |di|£(/, finie à 
l'infini, et dont la partie réelle soit toujours positive. Le cas par- 



88 PREMIÈRE PARTIK. 

ticulier du mouvement ondulatoire se ramène à l'équation 

avec a(<; i) et w constants. Il faudrait trouver pour cette dernière 

équation une solution régulière pour a <! H << -5 réelle pour |H|= J - 

En faisant w = c(i -t- s), et en supposant t petit du premier ordre, 
on peut trouver une solution approchée de cette équation, répon- 
dant aux conditions exigées; on retrouve ainsi le classique mou- 
vement ondulatoire 



avec la condition 



r = '— sh -^ — - cos — ; — 

•^ C 1- KC A 



1T, cK 



[cf. Appell, Mécanique rationnelle, t. III, a*^ édition, p. 4^9; 
Gauthier-\ illars, 1909). 

Si le canal est supposé très profond, Tartifice de T. Levi- 
Cività n'est plus applicable tel quel. U. Cisotti (Atti R. Ist. 
Veneto . t. LXX, 1910-1911, p. 33-47), ^^ suivant les mêmes 
principes et faisant usage d'un artifice déjà suggéré par P. Rudzki 
Leber eine Klasse hydrodynamisc/ie Problème mit bcson- 
deren Grenzbedingiuigen {Math. Annalen. t. L, 1898, p. 261- 
281)] trouve une solution approchée pour le mouvement ondula- 
toire, en introduisant Téquation 

-7^-f-j^(£ — B) = o (B = const.) 
df c^^ ' ' 

au moyen de laquelle il retrouve ie> mouvements ondulatoires 
déjà connus (c/. Appkll, loc cit., p. '171); il prouve en nuMne 
temps que ces mouvements sont les seuls petits mouvements 
ondulatoires permanents possibles dans un canal profond. 

Revenons au canal de })rofondeur linie. En utilisant un procédé 
imaginé par lord Rayleigh ( Papers, l. I, j). 256), U. Cisotti (Atti 
dei Lincei, t. XXIV, 191.), p. 5o3-r)07, 599-(3o3) détermine des 
solutions approchées couscnant au régime variable. La condition 



MÉLANGES. 89 

à la surface libre étant 

-^ H — V2-t- f'y = fonct. de t, 
})oson.s 

En se limitant aux deux premiers termes, on en conclut une solu- 
tion fournie par l'équation 



'V-^-i'f-M-' 



où q représente le débit, et où Y est une fonction arbitraire de 
deux arguments. 

Les canaux à fond rectiligne, faisant un angle a non nul avec 
l'horizon, peuvent donner naissance à des mouvements perma- 
nents à régime rapide. L. Cisotti [Atti dei Lincei, t. XX, 191 i, 
p. 633-63^) a considéré de tels mouvements, pour lesquels léqua- 
tioa à satisfaire à la surface est 

V- — 2 ^(JT si net — j' cosa) = const. 

On peut encore trouver des solutions approchées, au moyen du 
procédé de lord Rayleigh. en posant 

u — iV = w{x -T- iy ) = iv(x') ^ iyw' (x) -~ . . , 

et réduisant le développement à ses deux premiers termes. On 
trouve ainsi, entre les vitesses moyennes c et C\ en deux sections 
du canal, distantes de /. le débit étant égal à q, la relation 

/sina-r-ol Icosa-i = o. 

L'application de la mèine méthode au jel d "une cascade tombant 
d'un seuil horizontal a été faite par le même auteur (Atti dei 
Lincei^ t. XXL i|)i?., p. 97-1 02). Une approximation de même 
nature, faite en développant ; en fonction de /". conduit à des 
mouvements ovi le pr.ilil inférieur cki jet qui constitue la cascade, 
est une parabole, et le profil supérieur une courbe du cinquième 



go PREMIÈRE PARTIE. 

degré. L'approximation n'est satisfaisante que pour une faible 
épaisseur d'eau ( ' ). 

Dans un paragraphe antérieur, nous avons envisagé l'écoule- 
ment des jets issus d'un récipient nauni d'un orifice. Si l'on sup- 
pose le fluide pesant, les calculs sont beaucoup moins simples. 
En imaginant un mouvement de révolution dans l'espace, la 
pesanteur agissant suivant O:;, le problème a été depuis long- 
temps mis en équation par Résal [Mécanique, t. II, p. 206; 
Gauthier-Villars, 187 f) qui a établi un développement en série 
pour le potentiel et la fonction de Stokes. U. Gisotti [Atti dei 
Liiicei^ t. XXIII, 1914? p- 324-328) en déduit une solution 
approchée pour l'écoulement par un orifice circulaire, au moyen 
de l'équation 






où R est le rayon de l'orifice, et c la vitesse moyenne à l'orifice. 

On en conclut, pour les vitesses moyennes dans le jet en deux 

sections distantes de /?, 

cf — c2= igh, 

c'est-à-dire la même relation qui régit la chute des graves dans le 
vide. [A cette occasion, signalons les recherches suivantes : 
G. VA> DE>' Mexsbrlgghe, S UT l'élastïcité développée dans les 
jets [Bulletin Acad. Belgique, '904? p- 401-409); Sur la 
théorie des veines liquides [Annales Soc. scient, de Bruxelles.^ 
t. XXVIII, 1 903-1904, p. i2()-i28); J. Hermajvek, Théorie des 
freien A us/liisses von Flilssigkeiten an Miindungen und Ueber- 
fallen [Sitzungsbericlite der A. .ikad. der M issenschaften in 
Wien, t. GXII, 1903, lia, p. 8-9-91(3).] 

Jusqu'ici le régime de l'écoulement n'a guère été envisagé 
qu'en régime permanent. G'est notamment en spécifiant cette 
hypothèse (jue le théorème de Torrlcelli a étt' démontré. T. Levi- 
Gività [C . R. Acad. Se, t. lo7, 1913, p. 4'^'-i84) a fait voir 
que le principe des forces vives permettait aussi de donner de ce 
théorème une démonstration rigoureuse même en régime varié, si 



C) Dans toutes ces questions qui i-elèvent de l'Hydraulique, il convient de 
rappeler les recherches foiidamcnlales de J. Houssinesq, (jui doniinciU toutes ces 
théories. 



MÉLANGES. 91 

l'on se place a»i début du mouvement; la formule v'^= 2^/1 donne 
alors la vitesse initiale pour chaque élément fluide à l'orilice du 
récipient. 

Ayant ainsi la valeur initiale de la vitesse en tout point de 
l'orifice, il reste à déterminer sa direction, et plus généralement 
les vitesses initiales en tous les points du récipient. Cela revient 
à la reclierche d'un potentiel co vérifiant les conditions 

-p- = o (aux parois), 

an 

(^) ^(^)'^(dï) ='^^'* (en tout point de l'orifice), 
ip =: o (à la surface libre). 

C'est là un problème harmonique particulier, dont une élégante 
solution a été donnée par A. Signorini [Rendiconti del Circolo 
di Palernio, t. XLI, 1916, p. 20--237), en se limitant au cas de 
deux dimensions, et utilisant encore la féconde méthode de la 
représentation conforme. On suppose essentiellement qu'il ne se 
produise aucune discontinuité dans le fluide et, par suite, que 
le fluide au contact de la paroi ne tende en aucun point à quitter 
cette paroi. D'intéressantes applications sont faites de la théorie, 
au cas d'un récipient large et profond, percé latéralement le long 
d'une paroi rectiligne, et au cas d'un récipient de section rectan- 
gulaire percé au fond. 

A propos des fluides pesants, il est tout à fait impossible de ne 
pas mentionner ici les récentes recherches de M. jNI. Brillouin. 
Malgré qu'elles ne se rattachent pas directement aux méthodes 
qui ont fait l'objet des études exposées dans ce qui précède, un de 
leurs résultats, des plus importants, concernant le calcul de la 
résistance qu'éprouve une carène de forme quelconque, soit en 
eau calme, soit dans un courant uniforme, est trop intimement 
lié aux rechercbes qui ont fait l'objet de cet article, pour que 
nous puissions nous dispenser de les citer. 

Dans l'étude des fluides pesants avec surface libre, on sait que 
le potentiel des vitesses, o, doit satisfaire, en première approxi- 
mation et à la surface libre, :; = o, à l'équation 



92 PREMIÈRE PARTIE. 

(la pesanteur est supposée vers les 5 négatifs). M. Brillouin (C. B. 
Acad. Se, t. 163, 1916, p. 694) a déterminé les solutions fonda- 
mentales correspondantes (sources), et généralisé au cas où le 
fluide est animé d'une translation horizontale U aux grandes dis- 
tances, auquel cas l'équation de condition à la surface devient 

Ceci posé, l'application des procédés de calcul, extrêmement 
généraux, récemment découverts par M. Brillouin [C . R. Acàd. 
Se t. loO, 1910, p. iôi , 61 1 ; t. 161, 191 5- p- 4^7- 77^; Annales 
de Physique, sept.-oct. 191 <>) permet de résoudre les ondes pr.)- 
duites par une carène quelconque, et la résistance correspon- 
dante. 

Au reste, tout ce qui concerne les recherches modernes au sujet 
des mouvements ondulatoires des tluides (notamment J.Boussinesq, 
J. Hadamard et leurs élèves) mériterait une étude à part appro- 
fondie, qui ne rentre pas dans le cadre de cet exposé (•). 

Par cette revue trop rapide, on voit quels progrès essentiels 
ont été réalisés en certaines branches de la science des fluides. 
Bien des champs d'investigation restent de ce côté ouverts aux 
chercheurs; quelques-uns ont été signalés dans les pages qui pré- 
cèdent. Souhaitons que cette étude puisse contribuer à faciliter 
les recherches dans ces voies assurément fécondes. 



( ' ) On pourra trouver des détails sur ces questions dans A. Love, P. Appell, 
H. IJkghin et H. Villat, Développements concernant l'Hydrodynamique ( Ency^ 
clopédie des Sciences mathématiques, t. IV, 5, fasc. "2). Paris, Gaulhier-Villars 
Cl C-; nji',. 



COMPTES RENDUS ET AINALYSES, gS 

COMPTES UKNDUS ET ANALYSES. 



JORDAN (Camille). — Cours d'Analyse de l'École Polytechnique, 
3* édition, Tome III. i vol. gr. in-8 (23-i4), 632 pages. Paris, Gauthier» 
Villars et G'% igiS. 

En toute autre circonstance, le Bulletin des Sciences mathé- 
matiques n'aui'ait pas tant lardé à annoncer l'apparition, en 191 5, 
de la troisième édition du Tome ITI du Cours d' Analyse de 
M. Jordan. Je suis responsable de ce retard et je m'en excuse, 
mais j'avoue que je serais plus confus s'il s'agissait d'un de ces 
livres qui doivent vieillir vite, soit qu'ils traitent de sujets en évo- 
lution rapide, soit qu'ils utilisent des méthodes momentanément 
à la mode pour résoudre des questions arbitrairement posées. 

C'est parce que son Cours ne vieillit pas que M. Jordan a réim- 
primé à peu près textuellement le Tome III. Il l'a simplement 
enrichi de quelques additions qu'il nous faut examiner. 

Je rappelle que ce Tome est divisé en quatre Chapitres consacrés 
respectivement: I, aux équations dilTérentielles ordinaires; II, aux 
équations linéaires; III, aux équations aux dérivées partielles; 
IV, au calcul des variations. 

Aux intégrations que contenait le Chapitre I, M. Jordan a 
ajouté celle des équations 

X dy -^Y dx -\-Z{x dy — y dx ) = o, 
af^ -+- byyy + cy-'-y'" = o, 

celles qui donnent la courbe de poursuite dans le cas du mouve- 
ment rectiligne uniforme, la courbe de descente avec pression 
constante, la courbe élastique, le mouvement d'un projectile dans 
un milieu résistant. Ces deux derniers problèmes^ dans lesquels 
rintégration est faite au moyen de la fonction p{u)^ servent ainsi 
d'application à la fois pour la théorie des équations dilférentielles 
et pour la théorie des fonctions elliptiques. 

A cause des préoccupations actuelles, beaucoup de lecteurs 
s'intéresseront particulièrement à la détermination du mouvement 
dun projectile dans un milieu résistant, ce Jqui est Ile problème 
principal et pour ainsi dire unique de la Balistique extérieure. 

Bull, des Sciences mathém,, 2' série, t. XLTI. (Avril 1918.) 8 



9i . PREMIÈRE PARTIE. 

Mais je crois utile de rappeler qu'il n'y a rien de commun 
entre les calculs de Greenhill, reproduits par M. Jordan, et ceux 
des praticiens. La méthode de Greenhill supjîose que la résistance 
de l'air soit de la forme bv'^; cette forme ne convient que pour des 
valeurs de la vitesse c comprises entre des limites trop étroites et, 
d'autre part, les balisticiens ont des méthodes de calcul, uni- 
formes et très simples, pour toutes les lois de résistance de la 
forme bç"; aussi n'ont-ils trouvé aucun avantage à employer 
l'élégante méthode proposée par Greenhill. 

Dès les premiers temps de la découverte des fonctions ellip- 
tiques, les mathématiciens ont décidé quelles auraient des utili- 
sations pratiques parce qu'elles conduisent à des calculs prati- 
cables et parce qu'elles généralisent analjtiquement les fonctions 
trigonométriques si emplovées. Bien qu'après un siècle on en soil 
encore à attendre une première confirmation de cette idée a priori . 
tout le monde n'y a pas renoncé et l'on entend encore parler de 
temps à autre des fonctions elliptiques considérées au point de 
vue de leurs applications pratiques. Ceci est d'autant plus regret- 
table c|u'on méconnaît le véritable intérêt des fonctions elliptiques 
et le rnle si considérable qu'elles ont joué dans le développement 
des mathématiques pendant tout le cours du siècle dernier, quand 
on s'occupe de ces fonctions seulement dans le domaine réel. Une 
telle façon de faii*e ne serait donc légitime que si l'on s'adressait à 
des praticiens. Or, jusqu'ici, les seules applications des fonctions 
elliptiques sont des aj)plications de mathématiciens et non, ce qui 
est tout dlllerent. des applications de praticiens. M. Jordan, qui 
s'adresse à des lecteurs mathématiciens, leur donne d'excollcnls 
exemples d'emploi des fonctions (dliptiques en mathématicpics. 

Dans le premier Cha[)itre il faut aussi signaler l'emploi de la 
méthode des approxiuiat ions successives, au lieu <le la méthode de 
Ciuchy-Lipschitz utilisée dans l'édition précédente pour la 
démonstration des théorèmes d'existence. 

Le paragr.iphe iV ilu (Chapitre IH est relatif aux «■(juatiiuis aux 
d('ri\«'eç partielle^ liu('aires de la l'insique mathématique. Dans la 
<leu\ièmc édition, on v trou\ail traites les problèmes île la pi-o|);i- 
gatiou de la chaleur dans un milieti indélini et <lans nue barre 
indéliaie dans un sens, de la propagatiiui du son, des cordes vi- 
brantes, du ielioidi>^einenl d'une barre lM''leroi;èiie et d'iUK^ sphère 



COMPTIvS IlENDUS HT ANAf.YSES. gS 

homo<;èae. de li-rjni libre de température d'une sphère et d'un 
ellipsoïde. 

M. Jordan n'essavait pas de donner de tliéoric i;énérale: par des 
exemples bien rlioisis et poussés très loin, il montrait comment 
on avait réussi à déterminer les intégrales satisfaisant aux condi- 
tions aux limites variées imposées par le proljlème physique. 

Dans la troisième édition, le Chapitre III a reçu deux additions^ 
importantes : l'une est la Note Ilï consacrée aux équations de 
Fredholm ; l'autre. (ian> le texte même, est relative k la méthode 
de Riem.tna qui donne la solution du problème de Ciuchy pour 
1er équaliotis du type hyperbolique. Sous la tonne adoptée, la 
méthode ne s'applique qu'aux équations k coefficients constants 
M. Jtjrdan l'utilise pour étudier l'équation de> téléf;raphisles. 
Celte application, qui est due k .M. Emile Picard (^Bulletin de la 
Sotiétf^ mathématique t. XXII. 1894)1 ^i^^t hien en évidence le 
résidu laissé pai* l'onde régulière : si la perturbation occupe ini- 
tialement une étendue «, ily a une onde d'étendue a qui se pro- 
page réuiilièi-ement ; mais cette onde n'a pas de véritable point 
arrière, file laisse derrière elle un ébranlement qui s'amortit 
rapidement. 

Je reviendrai plus loin sur la \ Ait H'- je veux dire ^eulement ici 
qu'elle apporte les éléments de cette théorie générale des solutions, 
déteifiuiuées p;tr des conditions aux limites, <|ui manquait néces- 
sairement dans les éditifuis jirécédentes. antérieures k la découverte 
de Fredholm. 

Qu'il me soit permis cependant de regi'etter une sorte de dis- 
parité entre le Chapitre III et la Note 111 : dans le Chapitre, comme 
je 1 ai dit, des problèmes physiques traités séparément sans théorie 
générale; dans la Note, lii théorie générale des équations de 
Fredholm. sans uneapplicationk un problème physique particulier. 
Ce manque d homogénéité entre le texte et les Notes est évidem- 
ment xn\ inconvénient de la réimpression du texte presque sans 
changements; il faut reciuinaître (|«e. par contre, cette réimpres- 
sion a l'avantage de conserver k l'Ouvrage sa même physionomie. 
Le lecteur, bien habitué à la deuxième édition comme outil 
journalier, se servira avec la lUf-me facilité de l'édition nouvelle. 

Trois Notes importantes v ont été introduites. La première, 
relative aux équations aux variations, complète les résultats gêné- 



96 PREMIÈRE PARTIE. 

raux obtenus dans le texte en ce qui concerne l'existence et la 
nature analytique des intégrales. 

Parlant d'an système de deux équations ditrérentielles du pre- 
mier ordre, M. Jordan montre que si les solutions )', 3, détermi- 
nées par les valeurs j'o» «0 pour x = iCo, peuvent être prolongées 
jusqu'à iF,, il en est de même, pour k et / assez petits, des solu- 
tions j)^^/, Zhit déterminées par les valeurs \\^k. z^^+l pour 
x^=Xq. On peut alors, dans l'intervalle {x^, a?,), considérer les 
variations dey et ^, qui sont les dérivées partielles par rapport à 
k et /, pour A" = / = o, de yni et z-hi. On forme le système d'équa- 
tions qui définit ces variations. 

Le cas d'une équation du second ordre est ensuite examiné. 
Puis vient la notion importante des points conjugués : considérons 
la variation de y pour y' seul variable; cette variation s'annule 
pour:r = iCo, tout autre zéro de cette variation est un point con- 
jugué de Xfs' Si entre x^ et j?, il y a un point conjugué, tout autre 
variation dey s'annule entre Xç^ et a?,. Si de j?o '^ ^d ^\ compris, 
il n'y a pas de points conjugués de x^^ on peut déterminer un 
faisceau d'intégrales, satisfaisant à une équation )'=M(;r,y), 
telle que par tout point d'un petit domaine entourant l'intégrale 
considérée il passe une intégrale du faisceau et une seule. 

Ces résultats vont servir dans la Note II relative au calcul des 
variations. Pour préparer cette Note les distinctions entre le 
minimum fort et le minimum faible, entre les problèmes de mini- 
mum au sens de Weierstrass et au sens de Lagrange ont été 
introduites dans le texte, au Gbapitre I\ . Dans le texte on 
s'occupe du problème de Lagrange, la Note est consacrée à celui 
de Weierstrass. 

On établit tout d'abord que la rechercbe d'un Miiniinuui fort 

pour / ©(.ic, y?y')^^ n'est pas modifiée; que l'on s'occupe 

seulement des fonctions de comparaison ) qui oui une dérivée 
continue ou aussi des fonctions dont la dérivée a un noudjre (ini 
de points de discontinuités. Cela permet de montrer qu'une fonc- 
tion ne peut répondre à la question sans rendre miniuium aussi 
l'intégrale étendue seulement à une p. irtie quelconque dc(a7o, 0C\^. 
Cette remarque sert dans l'élablisseinent de l'équalion des extrè- 
AAïa/e.v qui est obtenue en transformant la variation |>rcmière non 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 97 

plus, comme dans le texte, par lintégration par partie du terme 
en y', mais par l'intégration du ternie en. y. Ceci permet de ne pas 
supposer a priori Tex-istence de y" et au contraire de démontrer 
cette existence sous Iliypolhèsg 

d- o 

La format utn de li-quation aux variations pour l'équation des 
extrémales conduit à la considération d'une forme quadratique qui 
joue un rcMe fondamental dans létude de la variation seconde. 

On prouve facilement qu'il ne peut y avoir de minimum s'il 
existe des points conjugués entre Xq et Xt : c'est la condition de 

Jacob i : puis ([ue —^ doit être positif : c'est la condition de 

Legendre. Sous ces conditions la variation seconde est positive 
sauf peut-être dans le cas, laissé de côté, où X\ serait un point 
conjugué. 

Mais suffit-il (pie cette variation soit positive? En modifiant 
y{x) au voisinage d'un point de façon à reuiplacer un arc de 
l'extrémale par deux segments rectilignes, on est conduit à la con- 
dition de A\ eierstrass : la fonction 

^{^,y,r\p) = '^i^: y, p) — "ii.^, y^ y') — ip — y ) -jp, 

ne doit être négative en aucun point de l'arc considéré, pour 
aucune valeur de p. 

L'exemple de l'intégrale / (y'-^y'^) dx montre que cette 

- 

condition est diflerente des précédentes. 

CKoisissons un faisceau d'extrémales y'= «(j:^,^) comprenant 
celle que lOn t-ludie. Le théorèuie de M. Hilbert sur l'intégrale 
cur\ il igné 

permet la comparaison des valeurs de l'intégrale / '^ dx pour 

l'extrémale et pour des courbes voisines. On voit ainsi qu'il j 
aura un minimum fort si dans un petit domaine d, contenant 
l'extrémale. la fduction E(d?,y, //.y>) n'est négative pour aucune 



98 PREiMIEUE l'AUTIE. 

11 • j 7 à'-(a(T, }\P) ' • • ■ •!■ 

valeur de p ou encore si, dans cL — ' \ , n est lamais neiratii. 

quel que soit p. 

La Note ITI est relative aux équations de Fredholm dans les- 
quelles l'inconnue est une fonction d'une seule variable. Avant de 
donner rapidement une idée de la marche suivie par M. Jordan, 
je voudrais faire quelques remarques sur deux simplifications de 
notations qu'il a adoptées et qu'il signale aux Lecteurs : Toutes 
les intégrales qu'il rencontre étant prises entre les mêmes limites 
a et è, il supprime l'indication de ces limites; dans les fonctions 
de plusieurs variables, il supprime la ^ irgule entre les variables. 

La première simplification, qui serait à condamner si l'on 
s'adressait à des débutants, est ici parfaitement légitime; à aucun 
moment on n'a à jienser aux limites d'intégration a et b, il est 
donc parfaitement inutile que la uotatiou ra[)pelle ces limites. 
C'est une simplification véritable que de supprimer ce qui n'est 
pas indispensable à la question. 

Mais, dans la théorie, on aura nécessairement à considérer 
simultanément des fonctions d'une variable, la fonction inconnu»- 
par exemple ; des fonctions de deux variables, le noyau par 
•exemple ; des fonctions de trois variables, la résolvante par exemple. 
Il faut donc que la notation nous indique clairement à chaque 
moment la nature des fonctions dont nous nous occupons. Pour 
cela il j a une notation classique, avec virgule; beaucoup de ceux 
qui travaillent dans la tbéorie des équations intégrales ont adopt»'- 
une notation nouvelle, sans virgule. Que, pour la notation des 
déterminants de Fredholm, notation nouvelle à introduire, on 
adopte une notation avec virgule ou sans virgule, rien de plus 
légitime. A ce moment, il faut de toute nécessité apprenilre une 
langue nouvelle, je ne vois aucun inconvénient à ce qu'on adopte 
la langue qui s'écrit le plus sinq)h'ment, pourvu qu'elle no pn^'tc à 
aucune confusion. Que, lorscju'ils <''crl\ent pour eux, les matli('-- 
maticiens fjui travailieul sur la théorie des équations intégrales 
emploient la notation qui leur plait le mieux, c'est parfait. Mais 
je voudrais que, dans leurs publications, ils enq)loient la langue 
usitée dans toutes les autres parties des matluMualiques. C'e>l 
pour moi, et je sais (pie je ne suis pa-^ le seul dans ce cas, une 
fatigue n'-elle d'avoir à transposer dan> la langue liid)ilii(dle les 
Iravauv écrits dans la n(»uvelle langue. 



COMPTKS IIKNDUS KT ANALYSES. 99 

Il n'y aurait que îles avaulages, et pour la Science et pour les 
Auteurs à rendre leurs Mémoires plus facilement lisibles ('). 

L'équation de Fredliohn (';tant écrite à la façon ordinaire, 
M. Jordan en développe la solution en fonction entièi-e en ).. Une 
transformation de cette solution conduit à la notion de la résol- 
vante R(x, s. A). On écrit les relations entre K et les difVérenls 
noyaux auxquels elle correspond; ces relations sont utilisées pour 
montrer que la solution de l'équation de Fredliohn est unique. 

Voient ensuite rex])ression de R(x, 5, ).) sous la forme due à 

P'redholiu — J^\ ' — -: on l'obtient uar un calcul de vérification. La 

convergence des deux séries D est déduite du théorème d'Hada- 
mard, démontré par la méthode donnée par ^^ irtinger dans ce 
Bulletin (année lyo"). 

Tout zéi'o deD(A) est un pôle de R., on va étudier l'inlluence 
de ce pôle. Cette étude est basée sur les notions de noyaux ortho- 
gonaux et de résultants orthogonaux, dues à MM. Goursatet Brion 
Heywood, et sur ce théorème : -5*1 F et G sont deux noyaux or- 
thogonaux^ A et A' les fonctions caractéristiques correspon- 
dantes^ AA' est la fonction caractéristique relative à F -h G. 

Si Ton met en évidence la partie principale F relatif à un pôle A( 
de la résolvante R, F et R — F sont deux noyaux orthogonaux. C'est 
cette relation d'orthogonalité qui permet de démontrer que F peut 
se mettre sous la forme d'une somme de résolvants orthogonaux 

et de la forme Sa .''-'^. !i-l.x ' C) est là le résultat d'une analyse 

(À — Al }'' '"*"' 

que l'on doit à M. Goursat. 

Cette étude est peut-être un peu délicate et un peu longue pour 
l'étendue totale de la Note; mais M. .lordan, fidèle à ses habitudes, 
a préféré à des méthodes plus rapides celle qui abordait plus fran- 
chement les difficultés et les tranchait plus complètement. Il a (b'i 
d'ailleurs lui êtrie agréable d'avoir à exposer l'une des contributions 
les plus importantes d'un français à la théorie nouvelle. 

La résolution de l'équation de Fi^dholm quand A est un zéro 
de D().) peut être ensuite rapidement traitée grâce aux résultats 
acquis. 

(■) Notez que si vous écrivez /(s O» a" '''^'" fJe/(.s t), le typographe compo- 
sera f(st), et c'est le typographe qui aura raison. 



loo PREMIÈRE PARTIE. 

L'équation homogène se ramène facilement à une équation où 
le noyau est de la forme S$, {x)W/f{s)-, or, pour ce cas, la question 
est pour ainsi dire de nature algébrique et se résout sans peine. 

Pour l'équation non homogène, une condition de possibilité, 
que Ton écrit à l'aide de la considération de l'équation associée, 
doit être remplie. Lorsqu'elle jrest, l'équation se résout en utili- 
sant encore la décomposition acquise du noyau et de la résol- 
vante. 

Enfin, pour le cas des noyaux symétriques, M. Jordan démontre 
que D(}.) a nécessairement des racines; ces racines, qui sont des 
pôles simples delà résolvante, sont toutes réelles. 

H. Lebesgue. 



MÉLANGES. 



THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DU MOUVEMENT DE PRÉCESSION 
ET DE LÀ DÉRIVATION DES PROJECTILES; 

Par m. h. VERONE. 



1. J^es projectiles oblongs lancés par les armes rayées, obus ou 
balles de fusils, sont animés à leur départ d'un vif mouvement de 
rotation autour de leur axe de révolution; cela leur assure une 
certaine tendance à rester couchés sur la trajectoire, l'angle que 
fait l'axe avec la tangente à la trajectoire restant toujours petit; 
en même temps il se produit un écart, connu sous le nom de déri- 
i'Cition, perpendiculairement à la direction du tir. 

On s'accorde à voir la cause principale de ces phénomènes dans 
les elVets gyroscopiques produits par la résistance de 1 "air a\i mou- 
vement de Ir.in-'lalion du projectile assiinib- hii-nn'nio ;i un i;yn)s- 
cope. 

Je me pnijxisc d'exposer ici les résultais obtenus sur ces eflTets 
gyroscopiques, en ne faisant appel qu'aux piincipes les plus élé- 
mentaires i.\r la Mécanique, et par de simpb's consiih'rations géo- 



MÉLANGES. loi 

métriques, sans effectuer aucun calcul. Je rappellerai, en commen- 
çant, la théorie élémentaire du gyroscope et le théorème des 
moments cinétiques sur lequel elle est basée. 

2. Théorème des moments cinétiques. — Etant donné un sys- 
tème matériel en mouvement par rapport à un trièdre de référence 
fixe OXYZ {fig. i), soient, à un instant t quelconque, Ot le vecteur 

Fig. I. 




moment cinétique (moment résultant des quantités de mouvement) 
par rapport au point O, et Oa le moment résultant, par rapport au 
même point, des forces extérieures au système. La vitesse de 
l'extrémité i du vecteur moment cinétique est à chaque instant 
égale et parallèle au moment résultant Oix. 

Si l'on reearde un instant Oui. comme le moment d'une force 
appliquée au pointa-, et la flèche Ot comme une flèche matérielle, 
on peut dire que l'on verra cette flèche se déplacer perpendicu- 
lairement à la force qui sollicite sa pointe. Un observateur qui 
voudrait appliquer la règle des trois doigts placerait son index dans 
la direction de la flèche Ou, et son pouce dans la direction de la 
force, il verrait alors la flèche Ot se déplacer dans la direction de 
son médius (' ). 

Le théorème des moments cinétiques reste vrai, rappelons-le, 
dans le mouvement d'un système autour de son centre de gravité; 
il suffit de conserver le même énoncé, mais de regarder, dans la 



(') Il se servirait de sa main droite ou de sa main gauche suivant le sens 
adopté pour les moments. 



J02 



PHEMIÈHE PAiniK. 



figure 1, le point O comme le centre de i;ravité du système, et les 
axes OX, O^ , OZ comme trois axes de directions fixes passant 
par ce point. 

3. Gyroscope. — Le gyroscope est un corps pesant de révolu- 
tion, fixé par un point de son axe, et animé autour de cet axe 
d'une très grande vitesse de rotation propre. Nous rapporterons 
son mouvement à trois axes rectangulaires fixes OX\Z ayant pour 
origine le point fixe O, l'axe OZ étant vertical. 

Soient O^ l'axe de révolution du gyroscope, jcO y un plan per- 
pendiculaire à cet axe ( /ig. 2) : Ox, O )\ O: sont trois axes rectan- 




gulaires mobiles invariablement liés au gyroscope. Soient A,A,C 
les moments d'inertie du gvroscope par rapport à ces trois axes, 
et appelons à cliaquc instant /), r/^ r les projections sur ces trois 
mêmes axes du vecteur OR qui r(;|)r(''senle la rotation instantanée 
du gyrosco|)e : par liy|»<>llièse, /• est très ^rand, p et q sont finis 
mais modérés^ c'est-à-dire très petits devant /•. 

Il est l)i<!n connu qu'à cliacpie instant le vecteur nionicnl ciuf- 
tîque O 1 a, |)mii- |»r<»i(Mi ioas sur les axes mobiles i)x\ O)-, Oc, 

A//, A7, (]/•, 



MÉLANGES. loi 

el que la force vi\e du gyroscope a pour valeur 

^(p'^ — q-) + G/-2. 

Les forces extérieures se réduisent au poids M^- du gyroscope, 
appliqué à son centre de gravité G (' ). 

Constatons tout d'abord que r restera toujours très l'rand, 
p et q toujours modérés : d'où il suivra que les angles cOR et 
zOt seront toujours très petits. 

En elVet, le vecteur Ou., moment de la force M^", est toujours 
perpendiculaire à O:; : donc la vitesse absolue du point t, équi- 
pollente à Ou., est constamment normale à l'axe O^; d'ailleurs sa 
vitesse d'entraînement due à la rotation ( p, q^ r) est aussi nor- 
male à O.:; (car les trois droites O:;, Os-, OR sont évidemment 
dans un même plan) ; donc il en est de mèuie de sa vitesse relative, 
dont la projection sur Oz, qui est — -^ — -, est par suite nulle; 
/■ reste donc constant, c'est-à-dire très grand puisqu'il Test initia- 
lement. 

Pour ce qui est de p et de q. remarquons que la variation de la 
force vive 

ne peut provenir que dune variation équivalente de l'énergie 
potentielle, qui est M» /cosÔ, l désignant la longueur OG. Or les 
variations de l'énergie potentielle sont sûrement inférieures à 
rh M o /, elles sont donc modérées. Puisque Cr- est lui-même 
constant (et cela rigoureusement), nous concluons que X(p- -\- q- } 
ne varie que modérément; donc p et q restent toujours modérés, 
c'est-à-dire très petits devant /■. 

Nous énonçons donc cette importante conclusion : Les trois 
directions Os, Os-, OPt, qui sont au début presque confondues^ 
resteront toujours presque confondues. 

Ainsi nous connaîtrons très approxiniati\ement le mouvement 
de l'axe Oz du gyroscope, si nous connaissons celui du moment 
cinétique Ot. C'est cette étude approxiuiative qui \a maintenant 
nous occuper. 

(') La réaction du poiiU (ixe O est bien une force extérieure, mais son 
moment Y^SiV rapporta ce point est nul; or c'est uniquement par leur moment 
que les forces interviennent dans la question actuelle. 



io4 PREMIÈRE PARTIE. 

Précession. — Le poids M^ étant vertical, son moment 0[x 
est horizontal et perpendiculaire au plan ZO:^, par suite presque 
perpendiculaire au plan ZOo-. Or 0[jl représente la vitesse de 
l'extrémité o-du vecteur Oo-, vecteur dont la longueur est d'ailleurs 
presque constante et voisine de C/\ Pour ces raisons, le point s- 
reste toujours dans un plan horizontal (rigoureusement), où il 
décrit très appi'oximativement une circonférence dont le centre o> 
est situé sur la verticale OZ. 

L'axe Oz du gyroscope, dont la direction est toujours presque 
confondue avec Oo-, fait donc avec la verticale OZ un angle 6 qui 
reste presque constant el n'éprouve que de très légères oscillations 
autour d'une valeur moyenne. l-.e vecteur 0[jl =: M "-/sinô est 
lui-même presque constant en grandeur; si bien que la circonfé- 
rence que décrit approximativement le point rr est parcourue avec 
une vitesse presque uniforme M^/sinO. Comme on a, à très peu 

près, 

03 = Gr, a>T = Crsin6 

on peut dire que la tlèclie Oo-, considérée comme une flèche 
matérielle, tourne autour de la verticale OZ avec une vitesse angu- 
laire constante 

qui est indépendante de Vatigie^., indépendante aussi du moment 
d'inertie V. Elle est proportionnelle au moment M o^/ de la pesan- 
teur, et inversement proportionnelle au moment cinétique Gr du 
à la rotation propre du gyroscope. 

Dans ce mouvement àe précession., la flèche 0<t balaie un cône 
de révolution d'axe vertical et d'ouverture aO. L'axe de révolu- 
tion O:; du gyroscope restant toujours presque confondu avec Oo-, 
son principal mouvtiucnt sera cette précession, à laquelle viendra 
se supcrp(>scr un très petit mouvement de nutation consistant en 
des oscillations très minimes et très rapides autour de Oo-. 

Pour connaître le sens de cette précession, on pourrait se servir 
de la règle des trois doigts : plaçant l'index dans la direction de 
l'axe O^, et le pouce dans la direction de la force M^', le médius 
indi(piera la direction de la précession. Si le gyroscope ne tour- 
nait pas, la force M^ solliciterait l'axe Oz à lornbei- dans k> plan 



MELANGES. io5 

vertical; l'effet gyroscopique dû à la rotation propre du gyros- 
cope, l'oblige avi contraire à se déplacer perpendiculairement 
au plan vertical dans lequel il est sollicité. C'est la propriété 
essentielle du gyroscope. 

Remarquons que rien n'a supposé l'angle H aigu : il peut aussi 
bien être obtus, c'est-à-dire que le sens du mouvement préces- 
sionnel est le même pour le gyroscope suspendu (0 obtus) que 
pour le gyroscope supporté (0 aigu). 

Mais le sens de la précession change si r change de signe, c'est- 
à-dire si le gyroscope tourne en sens inverse. Observons toutefois, 
et cette remarque nous sera utile plus tard, que si l'on change 
à la fois le signe de r et celui de la pesanteur »-, rien n'est changé 
au mouvement de précession. 

Natation. — Bien que le mouvement conique de précession 
soit de beaucoup le principal mouvement de l'axe du gyroscope, 
et que le petit mouvement oscillatoire de nutation soit le plus 
souvent insensible, nous pouvons néanmoins l'étudier à peu près 
complètement par des considérations très simples. 

Nous avons vu que les angles ^Oo-, 5 OR restent constamment 
très petits; nous allons montrer de plus qu'ils sont presque cons- 
tants. Ces angles ont respectivement pour valeur 



~c7 — ' 7 

Gomme r (qui est très grand) est rigoureusement constant, il 
suffira de constater que \/ p- -\- q- (qui est, par hypothèse, yi/zi) ne 
varie que d'une fraction infime de sa propre valeur : or c'est ce 
qui est évident, puisque d'après le théorème des forces vives, 
rappelé plus haut, les variations deA(j9--h^-) sont égales à celles 
de M^/cosO, et que l'angle 9 reste presque constant. 

Ainsi, on peut dire que, dans son mouvement, l'axe O^ du 
gyroscope fait toujours le même angle avec la llècbe Oo-, ou 
encore qu'il décrit un cône de révolution autour de cette flèche, 
en même temps qu'elle décrit elle-même son cône précessiounel. 

Si nous considérons, sur hi sphère de centre O et de rayon 1 
{fis- ^^)' ^^ trace a- de la (lèche Oo-, la trace R de la llèche OR, et 
la trace z de l'axe O;; du gyroscope, nous verrons le point t décrire 



io6 PREMIÈRE PARTIE. 

un parallèle horizontal PP' avec sa vitesse angulaire précession- 

Fig. 3. 




nelle ' J" ; en même temps, nous verrons les points^ et Pt tourner 

autour du point t comme centre, en restant toujours à la m^me 
distance de ce point, les trois points cr, R, z étant toujours sur un 
même grand cercle. 

Gomme le mouvement du point :; est dOi à une rotation instan- 
tanée r autour de la droite OR, la vitesse absolue de ce point z, 
sur la sphère, sera toujours normale à 7Z (rigoureusement), et 
aura pour valeur 



r.Rz = /• 



= \^P' 



H- 



qui est constanl (appioximativement). 

Le lieu du point s, où Taxe du gyroscope perce la sphère, sera 
donc une courbe épicycloïdalo telle cpie celle re|>résentée figure 3. 
Le point r tourne à la façon d'un satellite autour du point c, qui 
tourne lui-m(''me à la façon d'une planète autour du point w ('). 

Le lieu du point R. sur la sphère, sera évidemment une courbe 



(') Il faut sfiilcincnl reiiiai(|iicr que le iiiojeii iiuni veiiienl du salcllilr lictif, 

C M "l 

qui est — r, est incomparablcrnciU plus grand que celui ° «le la planète 

fictive. 



MÉLANGES. 107 

enlièreinenl analoi^uc, ses l>oucles seront seulement de dimensions 
un peu différentes (•). 

Se plaçant au point de vue de la Cinéuiatiqne classique, on peul 
dire qu'on obtient le mouvement du {gyroscope en faisant rouler 
un cône-roulette invariablement lié au gyroscope, sur un cône- 
hase fixe dans l'espace. Le cône-roulette, lieu de l'axe instantané 
de rotation dans le corps tournant, a pour sommet O et pour base 

le cercle de centre z et de rayon ;;R = ^-^ ^- Le cône-base, 

/• 

lieu de l'axe instantané de rotation dans l'espace, a pour sommet O 

et pour base la courbe épicycloïdale lieu du point R. 

On peut encore se représenter le mouvement comme il suit. 

S'il n'y avait pas de pesanteur, le moment cinétique Ot serait 

absolument fixe, et l'on obtiendi-ait le mouvement du point z sur 

la sphère en faisant rouler- avec une vitesse uniforme le cercle de 

centre z et de rayon zK =— —, sur le cercle fixe de centre 7 

r 



et de rayon 3- Il = — .; — — — — ^ • On reconnaît là le mouvement 

bien connu, dit à la Poiiisot^ pour un corps solide mobile autour 
d'un point fixe, et qui n'est soumis à aucune force. Poinsot appelle 
polhodie le premier de ces cercles, celui qui roule, et lierpolhodie 
le second, celui qui est fixe. L'action de la pesanteur n'amène à ce 
mouvement à la Poinsot qu'une. seule perturbation, celle de faire 
rouler le plan du cercle herpolhodique sur un cône de révolution 
d'axe vertical OZ. Ce plan, en effet, toujours perpendiculaire 
à Ot, enyelo[)pe un cône supplémentaire du cône de précession. 
Nous connaissons donc maintenant le mouvement du gyroscope 
jusque dans les détails de la nutation. Mais, répétons-le, ces oscil- 
lations nutationnelles sont en pratique exLrêmement petites, et 
généralement tout à fait insensibles. jNous les négligerons dans la 
suite lorsqu'il s'agira de projectiles oblongs tournant autour de leur 
axe avec une très grande vitesse; nous nous rappellerons seule- 
quc leur effet est de festonner la courbe précessionnelle de petites 



(') La figure -iippose ie cas de A > G. Si l'on avait A < G, les points - et U 
seraient de part et dautre du point ï; les cercles polliodique et herpolhodique, 
dont il va être question, seraient tangents intérieurement au lieu de iètre exté- 
rieurement. 



io8 PREMIERE PARTIE. 

boucles épicycloïdales. Nous confondrons donc dorénavant, sur la 
sphère, les points z et t, et nous dirons que l'axe dun gyroscope 
animé d'une rotation propre r et incliné sur la verticale d'un 
angle 9, décrit sur la sphère, dans son mouvement de précession, le 

parallèle de colatitude 0, avec une vitesse angulaire — ^7-- 

A. Projectiles oblojvgs. Résistance de l'air. — Avant d'appli- 
quer les considérations précédentes au mom-enient des projectiles 
autour de leur centre de gra^nté^ disons quelques mots des hypo- 
thèses que nous ferons sur la résistance que leur oppose l'air. 

Soit, à un instant quelconque ifig- \}i (iV la tangente à la tra- 
jectoire du centre de gravité G de l'obus : c'est la direction de sa 
vitesse V de translation. Soit G F son axe de révolution, faisant 
avec GV l'angle 6. JNous admettrons ; 1° que les actions de l'air 
ont une résultante unique R située dans le plan^G^ ; 2" que cette 
résultante R rencontre l'axe de révolution en a\ant du point G; 

Fi g. 4. 




3° qu'elle n'est pas parallèle à; (^V, mais a uuc petite compo- 
sante R„ normale à GV et tendant à ouvrir l'angle 0; f enhn que 
celte résistance, ainsi que chacune de ses deux (•omp..santes, R.. 
et R„, croit avec la vitesse V du projectile ( ' ). 



(M lîn fait, si nous effectuons la réduction, par rapport au centre de gravité G, 
de toutes les actions dues à la résistance de l'air, nous obtiendrons une force 
et un couple. La force, passant par le point G, n'a aucun effet sur le mouvement 
de Vobus autour de son centre de granité, et influe seulen.ent sur la trajectoire de 
ce point. Quant au couple, nous pouvons projeter son moment d une part sur G l , 
d'autre part sur le plan perpendiculaire à G F : la composante suivant (. I a pour 
seul effet de diminuer lentement et peu à peu la vitesse de rotation propre de 
l'obus autour de son axe de révolution; la composante normale a Gl peut clic 



MÉLANGES. 109 

Dazis ces conditions, l'obus, dans son mouvement autour de son 
centre de graviti", est soumis à un couple de renversement qui est 
fonction croissante de la vitesse V, fonction aussi de l'angle 0; 
d'ailleurs ce couple s'annule avec sinO, donc pour les petites 
valeurs de 9, on peut le supposer piYjportionnel à sin8 et le 

représenter par 

F(V)si.i6, 

F(Vj étant une fonction croissante de la vitesse V (bien déter- 
minée pour un projectile donné, mais pouvant varier d'un projec- 
tile à l'autre). 

Gomme l'obus tourne très rapidement autour de son axeGF, on 
voit qu'il est à chaque instant, dans son mouvement autour du 
centre de gravité, assimilable à un gyroscope (') soumis à un couple 
de renversement F( V)sinO, au lieu du couple M^/sinO qui était 
dû à la gravité. Seulement, ici, la direction de la verticale fictive, 
qui est G V, est variable avec le teinps^ et il en est de même de 

l'intensité de la pesanteur fictive ^ qui |)roduit le couple de 

renversement. 

Nous sommes donc amenés à étudier le mouvement d'un gji'os- 
cope dans un champ de gra'^^ité variable en intensité et en 
direction. 

5. Premier cas : La gravité est variable en intensité, mais fixe 
en direction . — Revenons à la figure 2. La verticale OZ est fixe, 
et le mouvement de précession consiste seulement dans un mou- 
vement angulaii'e de l'axe O^ (ou Oa) autour de cette verticale; 
donc Vangle 9 reste constant : l'axe du gyroscope décrira son 
cône précessionnel, d'ouverture constante 26, avec une vitesse 

, . M^'V . . . , , . ,, 

angulaire 7T-7-? qui sera maintenant variable, puisque g 1 est. 

A ce cas se ramène immédiatement le problème de Balistique 



même èlre décomposée en deux, l'une normale au plan l'GN', l'autre dans ce plan ; 
tout porte à croire que la première l'emporte de beaucoup sur la seconde. Les 
hypothèses faites ici reviennent à négliger cette dernière. 

(') Les théorèmes des moments cinétiques et des forces vives étant encore vrais 
dans le mouvement autour du centre de gravité la théorie du gyroscope, qui 
s'appuie sur ces théorèmes, y trouvera son application. 

Bull, des Sciences inathéni., 2' série, t. XLII. ( Avril i()i8.) ;> 



iio l'UI':j\IIÈIU' PARTIE. 

suivant : Un obus se déplace dans un milieu résistant, sa tra- 
jectoire ( ' ) est une ligne droite décrite avec une vitesse variable, 
son axe de révolution fait un petit angle h avec la trajec- 
toire (2); quel est le mouvement de précession? 

D'après ce que nous venons de voir, l'angle reste conskaiit, le 
cône précessionnel est de révolution autour tie la trajectoire et esl 
•décrit avec une vitesse angulaire 

F(V) 



G/- 

<jui est fonction croissante de la vitesse de Iranslalion de ToF^iis. 

Si, par exemple, l'obus est lancé verticalement vers Pc liant, la 
A'itesse précessionnelle ira en décroissant. Si. au contraire. rt>bus 
-est lancé verticalement vers le bas, elle ira en croissant, jusqu'à 
-ce que la vitesse de chute \ ait atteint la valeur limite que lui 
impose la résistance de milieu. Ce dernier cas peut [présenter tin 
Intérêt pratique : on sait, en elVet, que la trajectoire d'un obii>> 
dans l'air présente une asvmptote \erticale. Si le canon est placé 
à une altitude sutlisante, et si l'angle de tir est assez grand, la 
partie ultime de la trajectoire peut arriver à se rapprocher beau- 
coup de cette asymptote, l'obus finissant pas tomber comme en 
chute libre, et l'on se trouve dans les conditions précédentes. 

Remarquons enfin que, si l'obus tourne à droite, le mouvemeni 
de précession s'elfectuera aussi à droite : en d'autres tenues, un 
observateur regardant l'obus par le culot verra le mouvement de 
rotation propre et le mouvement de pri'-cession s'etlecliier dans le 
jnênie sens, il suffit, [utur s'en couxaincre. de regarder hi (igure 2. 

G. DtuxiiiMK (AS : La gravité reste constante en intensité, 
jnais varie en direction. — Nous allons définir par son indica- 
trice sphérique cette variation de la direction du (diamp de gra- 
vité dans lequel nous supposons placé le gyroscope. 

Consldénjns tntis axes fixes ()X^ / avant pour origine le 



(') Pai' trajectoire (Van •■Im-.. ikuis erUciKltons loujum- l,i linjerloire «le xui 
centre de gravité. 

C) Dans lotîtes les (juosliuns de |jrérc",-i,iii ,|is pidjciiilcs r.iiij^lc sera tou- 
jours supposé petit. 



MÉLANGES. m 

point cir suspension du gyroscope {fig' ■>)•, et la sphère de 
rayon i ayant ce point pour centre. A clinique instant i, la verti- 
cale instantanée Ot? a une certaine direction qui perce la sphère 




en V : le lieu du point V est l'indicatrice sphérique de la j;ra- 
vite. Soit \V cette indicatrice. 

A chaque instant t^ l'axe du gyroscope OG perce la sphère en 
un poini F; nous cherclions le lieu du point Y sur la sphère. 

Or, d'après ce qui précède, le mouvement précessionnel ih- 
l'axe OG s'effectue à chaque instant autour de la verticale instan- 
tanee t)V avec une vitesse angulaire constante -y^ — 

Ici, l'angle FOV n'est plu* du tout constant; ce qui est cons- 
tan-É, c^est la vitess-e angulaire autour de l'axe instantané OV, cet 
axe variant à chaque instant. 

On peut, pour étudier le lieu du point F, se placer au point tic 
vue de la Cinématique classique, et considérer ce lieu comme 
engendré par le glissement d'une sphère do rayon i invariable- 
ment liée au point F sur la sphère fixe de rayon i . Dans ce glisse- 
ment de sphère sur sphère, une courhe-roulelte de la sphère 
mobile roule sur une courbe-base de la sphère fixe, le point de 
contact ('tant le p(>le de la rotation instantanée. 



112 PREMIÈRE PARTIE. 

Le rùle de courbe-base est joué ici, évidemment, par l'indica- 
trice sphérique VV lieu du pôle instantané V; la courbe- 
roulette est une courbe sphérique invariablement liée au point F, 
et qu'il faudra déterminer dans chaque cas. 

Imaginons par exemple, pour prendre un cas simple et impor- 
tant, que l'indicatrice VV soit un grand cercle décrit (T un mouve- 
ment uniforme par le point V. Que sera la courbe-roulette ? 

Une formule connue de Cinématique nous donne 

I I w 

(i) ; = -' 

p p V 

où p et o' désignent les rayons de courbure géodésique de la courbe- 
roulette et de la courbe-base en leur point de contact A , w la vitesse 
angulaire instantanée autour du pôle instantané de rotation V, 
et V la vitesse avec laquelle ce pôle se déplace lui-même sur la 
courbe-base (' ). 

Dans le cas actuel, la courbe-base est un grand cercle dont le 

rayon de courbure géodésique est infini, — = o. La vitesse r du 

point V sur ce cercle est une constante, ainsi que la vitesse angu- 

laire de precession w = „ • 

Donc la courbe-roulette, ayant son rayon de courbure géodé- 
sique constant, est un cercle. 

Ainsi, le lieu du point T sur la sphère s'obtiendra en faisant 
rouler un petit cercle invariablement lié à ce point sur le 
grand cercle VV. C'est une courbe épicycloïdale qui pourra 
présenter des points doubles, des points d'inflexion ou des points 
de rebroussement, suivant la position du point F par rapport au 
petit cercle roulant qui lui est invariablement lié. En particulier, 
si le point F est sur le petit cercle, ce qui arrive si, à un certain 
moment (par evomple à l'instant initial), l'axe du gyroscope 

(') Cette f<jrmule est bien connue, et d'ailleurs presque évidente, en Cinéma- 
tique plane : o et p' désignent alors des rayons de courbure ordinaires. lOii Ciné- 
matique spliérique, ils désignent des rayons de courbure géodésique. Miii)pelons 
que le rayon de courbure géodésique en un point d'une courbe tracée sur une 
surface est égal au rayon de courbure ordinaire de ia projection de la courbe 
sur le plan tangent à la surface au point considéré. Pour une courbe spliérique, 
il est égal à l'arête du cône circonscrit à la splière le long du cercle osculateur 
en ce i)oint. 



MÉLANGES. ii3 

coïncide avec la verticale instantanée, nous serons dans le cas de 
l'épicjcloïde à rebroussements. 

Jusqu'ici rien n'a supposé que l'angle de l'axe du gyroscope 
avec la verticale instantanée restait petit. Si nous supposons 

maintenant les conditions telles qu'il en soit ainsi (il faut pour 
cela que - soit petit], nous pourrons faire une figure plus claire 

que la figure 5 en développant sur un plan le cylindre circonscrit 
à la sphère suivant le grand cercle VV. Dans ce développe- 
ment {fig. 6) l'indicatrice sphérique VV^' devient une droite 
décrite par le centre instantané V d'un mouvement uniforme; le 
petit cercle invariablement lié au point F vient se projeter suivant 
une circonférence (tracée en trait plein) roulant sur cette droite 
{fig- 6) en entraînant avec elle le point F, qui, par suite, décrit 



Fig. 6. 




une cycloïde. Si le point F est extérieur à la circonférence- 
roulette (point Fe), la cycloïde est à points doubles. S'il est sur 
cette circonférence (point F), la cycloïde est à points de rebrous- 
sement. S'il est intérieur (points F/), la cycloïde el à points 
d'inflexion ( ' ). 

Si l'on désire étudier, non plus le mouvement absolu du 
point F (c'est-à-dire de l'axe du gyroscope), mais son mouvement 
par rapport à la verticale instantanée OV, il faudra à chaque 



(') Dans celte figure 6. le sens de rotation propre du gjroscope est supposé 
inverse de ce qu'il était dans la figure 2. C'est pourquoi les flèches qui indiquent 
la direction de la précession sont en sens opposé. (La figure 6 est supposée 
regardée par un observateur extérieur à la sphère, c'est-à-dire extérieur au 
cylindre circonscrit qu'on a développé.) 



114 PKEMIÈUK PAirriE. 

instant, dans notre représentation plane de la figure 6, prendre 
comme axes de référence V V et sa perpendiculaire A P. Alors, 
rapporté à ces axes, le lieu du point F sera évidemment une cir- 
conférence décrite d'un mouvement uniforme. Cette circonfé- 
rejoxie coupe la droite W si le point F est extérieur à là 
circonférence-roulette (point F^). Elle est tangente en V à \ V si 
le point F est sur la circonférence-roulette (elle coïncide, dans ce 
cas, avec la circonférence-roulette elle-même). Elle est tout entière 
au-dessous d« VV ' si le point F est intérieur à la circonférence- 
roulette i(|>oint F,). 

Dans les trois cas, la majeure partie de la circonférence est 
au-dessous de la ligne VV. 

Nous connaissons donc à présent, d'une façon complète, le mou- 
vement précessionnel d'un gjroscope placé dans un champ de 
gravité constante en grandeur, mais dont la direction varie de 
façon que son indicatrice sphérique soit un grand cercle décrit 
d'un mouvement uniforme. 

Pour avoir le mouvement complet de l'axe du gyroscope, il 
faudrait, à ce mouvement précessionnel, superposer, comme pour 
le gyroscope ordinaire, un petit mouvement nutationnel, qui est 
généralement insensible et que nous avons convenu de négliger. 

7. Application balistique. — Au problème qui vient d'être 
traité, se ramène immédiatement le problème de Balistique 
suivant : Un obus se déplace dans un milieu résistant, sa tra- 

Fig. 7. 




jectoire est un arc de circofijrrence GG' décrit d'un mouve- 
ment uni/orme {fig. 7); quel est le mouvement de précession ? 
Si nous menons à cliacjno instant la tangente G\' à la Irajec- 



M^.LANGRS. ii5 

loire, V indicatrice sphérique de celte tangente (et cette fois, ce 
mot a son sens géométrique habituel) décrira sur la sphère de 
rayon i un arc de grand cercle V^V d'un mouvement uniforme» 
et la résistance de l'air (la vitesse V du projectile étant uniforme) 
jouera le rôle d'une gravité fictive constante en intensité, mais de 
direction variable GX . 

Nous sommes donc exactement ramenés au cas qui vient détre 
étudié. 

En particulier, si l'axe du projectile est initialement tangent à 
la trajectoire (c'est-à-dire si GF et GV^ coïncident), il reviendra 
périodiquement la tangenter, en décrivant la totalité de son cône- 
précessionnel à droite du plan de la trajectoire (pour un 
observateur regardant l'obus parle culot et cet obus étant supposé 
animé d'une rotation à droitej : c'est le cas où la cycloïde de la 
ligure 6 est à rebroussements. 

Dans tous les cas, la majeure partie du cône précessionnel 
sera à droite du plan de la trajectoire. 

Or la résistance de l'air au mouvement de l'obus n'est pas 
purement tangentielle : nous avons admis qu'elle possède une 
petite composante normale R„ {fig- 4)» située dans le plan VGF,. 
s'annulanl avec l'angle VGF et croissant avec lui. Cette compo- 
sante R,i sera donc, soit constamment, soit la majeure partie du 
temps, dirigée vers la droite du plan de la trajectoire, et son 
effet moyen sera celui d'une force normale au plan de la trajec- 
toire et tendant à produire une dérivation du projectile vers la 
droite. 

Telle est la véritable cause de la dérivation des projectiles r 
on voit qu'elle doit se produire à droite pour les projectiles des 
armes rayées à droite, à gauche pour les projectiles des armes 
rayées à gauche. 

Dans la réalité, la trajectoire d'un obus n'est pas un arc de 
circonférence, et elle n'est pas décrite d'un mouvement uniforme. 
Mais chaque élément de la trajectoire (et par élément on peut 
sans doute entendre la portion qui correspond à un tour complet 
de l'axe de l'obus sur son cône précessionnel) peut être assimilé 
approximativement à un arc de circonférence décrit d'un mouve- 
ment à peu près uniforme. 

La théorie précédente trouve donc, en gros, son application : lu 



ii6 PREMIÈRE PARTIE. 

direction GT de l'axe de l'obus tracera sur la sphère de rayon i 
une courbe épicjcloïdale, cette épicycloïde se déformant peu à 
peu, et pouvant tour à tour acquérir des points de rebroussement, 
des points d'inflexion et des points doubles. 

Pour résoudre le problème balistique, on procédera par 
approximations successives. On cherchera d'abord la trajectoire 
comme si l'axe de l'obus lui restait constamment tangent, la 
résistance de l'air étant alors purement tangentlelle. On aura 
ainsi une trajectoire approchée, dont on se servira pour déter- 
miner le mouvement précessionnel de l'obus autour de son centrÊ 
de gravité. De ce mouvement précessionnel on déduira une 
valeur approchée de la dérivation, d'où une trajectoire plus 
approchée qui servira, s'il est nécessaire, à déterminer la préces- 
sion et la dérivation d'une façon plus exacte. 

Mais il convient d'étudier la chose de plus près, par assimila- 
tion avec un gyroscope placé dans un champ de gravité variable à 
la fois en intensité et en direction. 

C'est ce que nous allons faire. 

8. Trois liîME cas : La gravité est variable à la fois en inten- 
sité et en direction. — Nous allons encore définir la variation de 
direction de la gravité par l'indicatrice sphérique \ W de la ver- 
ticale instantanée {fig- 5) '• ici cette indicatrice n'csl plus un 
grand cercle, mais une courbe sphérique quelconque. Nous repré- 
sentons toujours, à chaque instant, l'axe du gyrosc<tpe par OG, 
qui perce en F la sphère de rayon i . 

A chaque instant, le mouvement précessionnel de cet axe 
résulte d'une rotation autour de l'axe instantané 0\ , avec une 
vitesse angulaire 

CO = —z » 

C/- 

qui est variable puiscpie l'intensité g n'est plus consluntc. 

Pour étudier la trajectoire du point T, nous nous placerons, 
comme plus haut, au point de vue cinéuratique qui considère 
cette lrajecl(iire comme engenchéc sui- la ^phric p;ir le r.uilemeni 
<riinc' courbe-roulette invariabh^uient liée an poiril I' sur une 
rourhe-base fixe, qui est l'indicatrice \ \''. 



MÉLANGES. 
La formule ^i), rappelée plus haut, nous donne 



117 



(0 



Le rayon de courbure géodésique p' de la courbe-base VV est 
connu à chaque instant, ainsi que la vitesse angulaire instantanée 
de précession w, et la vitesse (^ du point V sur son indicatrice (qui 
est la vitesse angulaire avec laquelle se déplace la verticale). La 
formule permet donc de calculer le rayon de courbure géodé- 
sique p de la courbe-roulette en fonction du temps, ou, ce qui 
revient au même, en fonction de l'arc (puisque l'arc de la courbe- 
roulette est égal à celui de la courbe-base, sur laquelle elle 
roule). 

La courbe-roulette est donc complètement déterminée, et le 
problème du mouvement précessionnel de l'axe d'un gyroscope 
dans un champ de gravité variable en direction et en intensité est 
ainsi complètement résolu. 

9. Application balistique. — Au problème qui vient d'être 
étudié se ramène immédiatement le problème de balistique 
suivant, qui traite de la précession d'un obus dans le cas général : 

Fig. 8. 




Un obus se déplace dans un milieu résistant en y décrivant une 
trajectoire donnée S, avec une vitesse V fonction donnée du 
temps ^fig. 8); quel est le uiouvement de précession? 



ii8 PRIÎMIÈRIÎ PAUTIE. 

Si nous assimilons la résistance de l'air à une gravité fictive de 
direction et d'intensité variables, nous serons exactement ramenés 
au cas qui vient d'être traité. La courbe-base, sur la sphère de 
rayon i, sera l'indicatrice spliérique de la tangente GV à la tra- 
jectoire, sa courbure géodésique— est connue. Pour avoir la cour- 
bure géodésique - de la courbe-roulette, il suffira d'appliquer la 

formule (i), déjà rappelée, dans laquelle on donnera à w et à r 
les valeurs qui leur conviennent. 

w, vitesse angulaire de précession instantanée, est égale, nous 

, F ( V ) , - 
l'avons vu, à — r^ — > F( \ ) désienant une fonction croissante de la 

vitesse. 

f, vitesse du point \ sur son indicatrice spliérique, est égale 

dy. 
en valeur absolue à -^ > en appelant dT. l'angle dont a tourné 

pendant l'instant dt la tangente à la trajectoire G; si nous 
appelons ds l'élément d'arc de cette trajectoire et ^fl son rayon de 
courbure, nous pouvons écrire 

d% _ doi ds \ 
~ dt ~~ Is ' di ~ 'K ' 

Remarquons encore que, dans la pratique, la trajectoire ^ 
s'éloigne très peu d'une courbe plane, que son indicatrice 
sphérique est par suite très voisine d'un grand cercle dont la 

courbure géodésique -7 est nulle; qu'au contraire le rayon de 

courbure géodésique p de la courbe-roulette, étant pratiquement 
toujours petit, peut être approximativement confondu avec son 
rayon de courbure vrai. 

Bref, la formule (i) donnera, pour valeur approximative du 
rayon de courbure o de la roulette. 



{1) p = 



V 



F(V) 



Cr 



Mais obser\ons (|u'en un point quelconque G de la trajectoire, 
l'accélération centripète est justement égale à -^ : or les forces 



MÉLANGES. 119 

qui agissent sur l'ohus sont uniquement la gravité g, dont la 
projection sur la normale principale est ^cosa {flg- 8), et la 
résistance de l'air qui est presque exclusivement tangent ielle, sa 
composante normale R„ étant très petite {/ig. 4)- jNous écrivons 
donc 



et la formule (2) devient 
(3) 



V2 

— =^cosa, 



Crg cosa 



VF<V) 



Tel est le rxijon de courLure de la roulette en l'onction de 
l'angle a pris comme vai'iable indépendante (la vitesse \ du pro- 
jectile est en elTet fonction de cet angle) : or a, angle de la trajec- 
toire avec riiorizontale. est justement égal à l'arc de l'indicatrice 
sphérique sur laquelle roule la roulette. On peut donc dire que la 
formule (3) définit la roulette par son rajon de courbure exprimé 
en fonction de l'arc. 

Etudions les conséquences de cette formule (3). 

Sur toute la partie ascendante de la trajectoire de l'obus, 
cosa va en augmentant et \ va en diminuant. Pour ces deux 
raisons^ p va certainement en croissant. C'est dire que la roulette 
a une forme spîraloïde centrifuge {fig' 9) '• cette spirale a pour 

F'g- 9- 




point de départ le point F lui-même, puisque au début du tir, au 
moment où l'obus quitte le canon, son axe est tangent à la trajec- 
toire, et les deux points Y et \ de la figure sphérique coïncident 
(du moins, nous l'admettons). 

Si, comme nous l'avons fait figure 6, nous développons sur un 
plan l'indicatrice sphérique W, nous voyons qu'en faisant 
rouler sur la droite ainsi obtenue la roulette spiraloïde de la 
ligure 9, le point F décrira une cycloïde se déformant peu à peu 
(fig- 10) : nous aurons un seul point de rebroussement au départ, 



120 PREMIÈRE PARTIE. 

les arcs suivants sont à points d'inflexion, vont en s'allongeant et 

Fig. 10. 



en s'éloignant de W 




Si l'on veut étudier, non plus le mouvement absolu du point F, 
mais son mouvement par rapport à la tangente instantanée GV 
à la trajectoire^ il faudra à chaque instant, sur notre représen- 
tation plane de la figure lo, prendre comme axes de référence VV 
et sa perpendiculaire VP : on verra alors {fig. i i) le point F 



Fie. II. 



V 



décrire une série de boucles presque circulaires, dont la première 
est tangente à VV et qui vont en s'éloignant peu à peu du 
point V dans la direction V P. 

Voilà ce qui se passe sur la branche ascendante de la trajec- 
toire. Passons à lu branche descendante. Au début de celte 
branche, cosa décroît, V aussi. Nous ne pouvons donc pas dire 

Fig. 12. 




nettement dans quel sens varie p. Mais vers la fin de la trajec- 
toire, surtout si elle est suffisamment courbe et si elle se pro- 
longe assez vers le bas pour s'approcher de son asymptote verti- 
cale, nous pouvons affirmer que s diminnc cl tend vers zéro; en 



MÉLANGES. 121 

effet cosa diiniiiiie el tend vers zéro, et V au contraire recommence 
à augmenter par sulle de la gravité ( '). C'est dire (jue la roulette 
prend une forme spiraloïde centripète avec point asymptote, l'arc 
restant fini puisqu'il est toujours égal à celui de l'indicatrice 
sphérique (/fco. 12). 

Si nous reprenons la représentation plane de la figure 10, nous 
verrons les arcs de la cjcloïde lieu du point Y se déformer peu à 
peu en sens inverse : ils se l'accourciront en se rapprochant 
de VV et finiront par perdre leurs inflexions et par acquérir des 
points doul)les i/ig\ i3). Et si Ton veut étudier, non plus le 

Fig. i3. 




mouvement absolu du point F, mais son mouvement par rapport 
à la tangente GV, il faudra prendre, comme nous l'avons fait 
figure II, V V et \P comme axes de référence : on verra alors 
( Aft- '0 ^^ point r décrire une série de boucles presque circu- 

Fig. 14. 



laires se rapprochant peu à peu du point V, et finissant par 
l'atteindre et l'entourer. 

La limite du mouvement de l'obus est un mouvement de chute 
libre verticale dans une atmosphère résistante (partie asympto- 
tique de la trajectoire); il v a donc une vitesse limite. A ce 



(') Nous ne parlons pas de la vitesse /• de rotation propre du projectile, qui 
figure au numérateur de p. Elle varie sans doute assez lentement; en tout cas 
elle ne peut aller <iu'en diminuant par suite du frottement contre l'air. 



r22 PREMIÈRE PARTIE. 

moment le point \ ne bouge pîiis sur son indicatrice sphériqne, 
et le point F finit par décrire une circonférence ayant ce point A 
comme centre, ainsi que nous l'avons vu au n** 5. 

Nous connaissons maintenant à peu près complètement le 
mouvement précessionnel de l'axe d'un projectile oblong laaeé 
par une arme rayée. Pour avoir le mouvement complet, il faudrait, 
à ce mouvement précessionnel, superposer le petit mouvement 
nutationnel dont nous avons parlé à propos du gyroscope ordi- 
naire. 11 ])arait que ces oscillations nntationnelles ne sont pas 
toujours négligeables; cela provient probablement de ce qu'à la 
sortie de la bouche à feu, l'axe primitif de rotation du projectile 
peut ne pas coïncider avec sont axe de figure, soit par suite de 
vibration du canon, soit par suite de chocs accidentels et dissymé- 
triques sur le culot. Alors les composantes p et q de la rotation 
instantanée (jo, q^ r) ne sont pas complètement négligeables, et la 
ijutation, quoique petite, est sensible. 

Quoi qu'il en soit, il résulte de la discussion précédente que, 
pour un obus tournant à droite, le c(me précessionnel est tout 
entier à droite du plan vertical de la trajectoire pour la partie 
ascendante de cette trajectoire, et est en majeure partie à (hoile 
pour la partie descendante. La composante normale R« de la résis- 
tance de l'air a donc une prépondérance très marquée pour pro- 
voquer une dérivation vers la droite. 

10. Appareil de ni.MOivsïKATiON. — D'après ce qui précède, 
onaura une image de la pn'cession d'un projectile, et l'on pourra, 
en quelque sorte, l'étiulier expérimentalement, si l'on l'éalise un 
gyroscope soumis à une giM\ité artificielle \ariable à \olontérn 
intensité et en direction. 

Un tel appareil est très facile à imaginer. Xous l'avons construit, 
mon ami M. J. Cliaudesaigues et moi, au mo\cn d'un gyroscope 
de bazar. 

Imaginons un tel gyroscope sus[)en(lu à la (lirdau, au m tvru de 
deux cadres a ,3yo et KaK' i/i^'- i'>) : il est liltrcmcui l»i If- 
autour de son centre de gravité, c'est U' i;yroscoj)c de Foucault . 
l*()ur le soumettre à une pesanteur artificielle variable, il snflil 
(l'accrochera l'extrémité A de son axe le bout d'un «lastique on 
d'un resssorl à boudin A IJ doul iaiilre Ixoil Ddecnra sur nue 



MÉLANGES. i23 

sphère riiidicatrice sphéi'ique de la pseudo-pesanteur : le couple 
qui produit la précession s'annule en même temps que l'angle h 
<\e l'axe du gyroscope avec la pseudo-verticale; on peut donc 




(pour les petites valeurs de 0) le regarder comme proportionnel 
à sinG, exactement comme pour une vraie pesanteur. 

Pour faire varier arbitrairement la direction de la pesanteur 
aatificielle, il suffit de faire déplacer l'extrémité D du ressort à 
boudin sur une sphère. Pour cela, ce point D peut être déplacé 
sur un cadre KDR' avant la forme d'un arc de cercle tournant à 
volonté autour de son diamètre KK.' comme axe; le point D peut 
ainsi se mouvoir sur une sphère concentrique au gyroscope, et y 
décrire telle indicatrice sphérique que l'on voudra. 

Pour faire varier Vintensité de la pesanteur artilicielle, on agit 
sur la tension du ressort à boudin, en tirant plus ou moins sur son 
extrémité D. 

On objectera que la pesanteur artilicielle ainsi créée est, en 
quelque sorte, négative : elle produit un couple redresseur au lieu 
du couple de renversement dû à la pesanteur. Mais lobjeclion est 
sans aucune valeur, jniisque nous savons que changer le sens de la 



124 PREMIÈRE PARTIE. 

pesanteur revient tout simplement à changer le sens de la préces- 
sion sans changer sa grandeur; en d'autres termes, une pesanteur 
négative produit, sur un gji'oscope tournant dans un sens, exacte- 
ment la jnéme précession qu'une pesanteur positive sur un gyros- 
cope tournant en sens inverse. 

D'ailleurs, rien n'empêcherait de faire travailler le ressort à 
boudin à la compression au lieu de le faire travaillera la tension. 
On pourrait aussi, si l'on voulait, remplacer le ressort à boudin 
par deux bobines d'induction placées l'une en A., l'autre en D, et 
dont les pôles de même nom seraient en regard; on aurait ainsi 
une vraie répulsion au lieu d'une attraction. 

On ferait varier la gravité artificielle en augmentant ou dimi- 
nuant le courant passant dans les bobines. Gomme on pourrait 
craindre des courants de Foucault très intenses dans le rotor du 
gyroscope, il y aurait lieu alors d'allonger beaucoup la tige A qui 
prolonge l'axe du gyroscope, et où nous accrochions notre ressort, 
remplacé maintenant par une bobine fixée à l'extrémité de cette 
tige. On pourrait imaginer aussi un dispositif optique peruiettant 
de projeter sur un écran ou d'enregistrer photographiquement la 
trajectoire de l'extrémité de l'axe du gyroscope. 

Quoi qu'il en soit, le simple ressort à boudin permet de se 
rendre parfaitement compte de la forme cycloïdale du mouvement 
précessionnel d'un projectile, mouvement que l'appareil permet 
de ralentir et d'exagérer autant qu'on le veut. 

(A suii're.) 



C0MPTK8 UENDUS lî 1" ANALYSES. iîS 



COMITKS RENDUS i: T ANALYSES 



PIGA.RD (Emile >. — Œuvres de Ciiaulks Hekmite, Tome IV. i vol. gr. 
in-8 de vi-596 pages, avec 2 planches, reproduction de la médaille du 
Jubilé d'Hermite et un fac-similé de lettre. Paris, Gauthier-Villars ; 1917. 
Prix : 9.3 fr. 

Nous terminons avec ce Volume la publication des Œuvres 
d'Hermite. Les travaux reproduits vont de 1880 à 1901, année de 
la mort d'Hermite. Nous avons continué à suivre en général 
l'ordre chronologique; cependant plusieurs Mémoires oubliés 
el quelques articles extraits de journaux scientifiques, que nous 
n'avions pu nous procurer jusqu'ici, ne viennent pas à leur date. 

Nous av^>ns reproduit des Notices écrites par Hermitepourrendre 
hommage à quelques mathématiciens, et aussi des discours pro- 
noncés dans diverses occasions. Plusieurs de ces pages sont d'un 
haut intérêt, non seulement au point de vue scientifique, mais 
parce qu'elles jettent quelque jour sur la personnalité si originale 
d'Hermite. Elles sont à rapprocher des lettres d'Hermite à Stieltjes 
publiées antérieurement, où, à coté du géomètre, apparaît souvent 
l'homme. On doit d'ailleurs considérer que cette correspondance^ 
remarquable à tant de titres, fait partie des Œuvres complètes 
d'Hermite. comu)e les quatre \ olumes dont nous terminons 
aujourd'hui la publication. 

Ainsi que [xjiir les Tomes précédents, le concours dévoué de 
M. Henry Bourgel m'a été précieux. Je lui suis extrêmement 
reconnaissant du soin avec lequel il a relu tous les Mémoires, me 
faisant part de judicieuses réflexions qui m'ont été très utiles. 

J'ai encore le devoir de rappeler l'aide que m'a apportée 
l'esquisse biographique et bibliographique écrite quelques 
semaines après la mort d'Hermite par M. Mansion, professeur à 
l'Université de Gand. Grâce à cette bibliographie si soignée, les 
omissions, s'il y en a. seront rares dans cette édition. Puisse mon 
souvenir atteindre le vénéré doyen de la science mathématique 
en Belgique dans la ville où il est retenu depuis près de trois ans. 

Des portraits d'Hermite à difVérenls âges ont été reproduits dans 
les trois Volumes précédents et dans les deux Tomes de laCorres- 

Bull. des Sciences mat/tém., 2' série, t, XLII. (Mai 1918.) 10 



126 PREMIERE PARTIE. 

pondance. On trouvera dans le \ olunie actuel une pliotographie 
de la médaille, due à Chaplain, frappée à l'occasion de son soixante- 
dixième anniversaire. iNoas donnons aussi un fac-similé de la 
première et de la dernière page dune lettre adressée à Jules Tan- 
Biery et imprimée dans le Tome II de ces Œuvres. 

Malgré les difficultés de toutes sortes dues aux circonstances 
actuelles, M. Gauthier- Villars a tenu à terminer, sans plus tarder, 
-cette publication, (^uil reçoive mes bien vifs remerciements. 

Emile Picard. 



MICHEL (Ch.). — Cours d'Ai.gèbrh: et d'Analyse; i vol. in-S° 
tie viii-8j8 pages. Pari?, Félix Alcaii; 1916. 

Cet Ouvrage contient les matières du progi'amme d'Algèbre et 
d'Analjse de la classe de Mathématiques spéciales de nos Lycées. 

L'auteur développe ce programme dans le sens de la logique 
pure sans jamais vouloir faire appel à l'intuition; une suite de 
raisonnements ne lui parait pas correcte si tous les postulats sur 
lesquels on s'appuie, si tous les intermédiaires n'ont pas été for- 
inellemenl mis en évidence : il nous annonce lui-uu'iue dans la 
préface de son Livre qu'il s'est attaché « à ne jamais rien admettre 
sans démonstration et à ne jamais accepter aucune déuionstration 
qui ne fût parfaitement correcte et explicite )>. 

Au début de son Livre, M. Michel développe la théorie des 
nombres irrationnels. Son point tic vue se rapproche de celui de 
M. Baire (') : immédiatement après avoir introdnil le nombre 
irrationnel par le parlage habituel de l'ensemble des nombres 
rationnels en deux classes et après avoir d(''liai linégalilé de deux 
nombres quelconque?, il établit, avant de définir les opérations, 
la notion de borne inférieure et de borne supérieure d'un ensemble 
de nombres : il dit alors qu'un nouibre foruie couj)ure entre deux 
ensembles de Ul)U)bre^ > il r>i ji la lois la borne supérieure de l'un 
de ces cnseuibles et hi borne iulerieure de l'aulre. On voit qu'il 
ne .s'agit plus ici, <'omine on le fiiil d'habilude, d'une c<>uj)ui'e 

(') ILuin., Tliéorie des nombres irrationnels, des liniiles et de la conlinuite 
( Paris, Viiil)oil et INony, lyo.')); Leçons sur les théories i^cnéralcs de l'Analyse, 
t. 1 ( Giinlliicr-\ illars ). 



COMPTKS RENDUS ET ANALVSI-S. 127 

eflecluée seulement dans l'ensemble des nombres rationnels 
et ceci permet de choisir, dans chaque cas, de la façon la plus 
commode les deux ensembles tonnant coupure qui définissent un 
nombre nouveau à partir d'autres nombres connus. Cette façon do 
procéder est utilisée d'une façon heureuse dans la définition etle;> 
propriétés des opérations entre nombres réels quelconques et plus 
loin dans la définition de l'exponentielle. 

Après avoir établi ainsi d'une façon particulièrement simple et 
claire la notion de nombre dans toute sa généralité, l'auteur 
estime utile de montrer comment cette notion s'applique à la 
(jéométrie, quels axiomes nouveaux on introduit dans la mesure 
des segments et dans la représentation géométrique des nombres 
sur une droite et, du moment qu'on adopte son point de vue de 
logicien, on ne peut que l'approuver de procéder ainsi. Mais 
était-il bien indispensable de recommencer au Chapitre III à pro- 
pos du cercle ce qui avait été fait au Chapitre 1 en toute rigueur 
pour la droite, de démontrer longuement par exemple qu'il existe 
au moins un point du cercle trigonométrique ayant pour angle 
polaire un nombre algébrique donné, puis d'établir qu'un pareil 
point est unique? L'axiome de continuité et 1 axioma d'Archi- 
mède, posés pour les points d'une droite, ne seraient-ils plus 
valables pour les points d'un cercle? Sans doute, les axiomes 
nouveaux ainsi introduits pour le cercle sont des axiomes 
surabondants qu'on peut déduire, ainsi que le fait l'auteur, des 
axiomes analogues posés pour la droite; mais je ne sais pas trop 
si la nécessité de la démonstration s'imposei'a sans un grand 
elFort à l'esprit de la plupart des lecteurs. « Il ne suffit pas, dit 
Poincaré, de douter de tout; il faut sa\oir pourquoi l'on doute. » 

Toutes les notions géométriques qu'on admet sans démons- 
tration suffisante dans une première étude sont ainsi reprises 
par M. Michel à la lueur de> théories générales de l'Analyse. 
Parfois, le lecteur sera étonné de voir jusqu'à quel point 
s'étendent les scrupules de l'auteur en matière de rigueur. Par 
exemple les mots parallèles et de même sens, ou parallèles 
et de sens contraires, appliqués;! deux demi-droites du plan, ne 
paraissent pas suffisamment clairs à M. Michel el une anilyse 1res 
serrée, qui occupe plusieurs pages, lui parait nécessaire pour 
éclairer la notion d'orientation dune (.Iroito, ou d'orientation d \ui 



i>8 PREMIÈRE PARTIE. 

plan ; bien entendu il ne tait pas appel dans celte analyse à la notion 
de mouvement, qui fournirait une définition immédiate de deux 
systèmes d'axes rectangulaires de même origine et de même orien- 
tation. On touche là aux principes mêmes de la Géométrie et l'on 
peut se demander si de pareilles discussions sont bien à leur place 
dans un Traité d'Algèbre, où les représentations géométriques ne 
jouent que le rôle accessoire d'une concession faite par le logicien 
k l'intuitif. D'autre part, est-il possible de traiter des questions 
touchant aux principes de la Géométrie sans examiner tous ces 
principes pris dans leur ensemble? Je lis par exemple, à la page 4o, 
la phrase suivante : « Soient deux demi-droites situées sur deux 
droites parallèles. Mous dirons qu'elles sont de même sens si elles 
sont d'un même côté de la droite qui joint leurs origines, de sens 
contraires si elles sont de part et d'autre de la droite qui joint 
leurs origines. » Sous celte forme, l'iVnalyse de l'auteur parait 
incomplète, car le sens des locutions « d'un même côté », ou « de 
part et d'autre », qui lîgurent dans la définition précédente ne 
paraît pas plus clair que celui des locutions qu'il s'agissait de 
définir; et, si l'on veut aller plus loin dans le sens de la rigueur, 
on touche à l'étude des axiomes de situation qu'on ne peut songer 
à aborder avec des élèves de Mathématiques spéciales. 

l^es réflexions mêmes que m'inspirent ces [iremiers Chapitres 
du Livre montrent a\ec quelle conscience et quel souci de la 
rigueur M. Michel développe son cours d'Algèbre el d'Analyse. 
Ces qualités se retrouvent dans toutes les parties classiques du 
cours, dans les questions où tout le monde est d'accord pour 
désirer qu'on aille au fond des choses. Pour ne citer que quelques 
questions, l'étude des polynômes, en particulier des conditions 
d'identité de deux judynomes. des fonctions syiiH'liiques, îles 
développements limités de Mac-Laurin, de ra})pli('ation de ces 
développements au calcul des limites de fonctions se présentant 
sous une forme indéterminée, ne me paraissent rien laisser à 
<Jéslrer sous le rapport de la clarté et sous celui de la riguenr. 

L'auteur explique dans la préface les raisons qui l'ont amené 
à s'écarter de l'ordre traditionnel; le plan qu'il a adopW' paiviit 
d'ailleurs ne présenter aucun inconvénient, sauf, àuu)navls, en 
ce qui concerne l'élude des séries, ('tudi<''<'s seulement à la fin du 
cours. 11 semblerait naturel de r.q)|uo( hei' l'élude des séries 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 119 

numériques de celle des suites qui se trouve placée au Chapitre I; 
l'étude d'une suite, et celle d'une série, au point de vue de la 
- convergence, sont deux questions qui se ramènent, comme on 
sait, l'une à l'autre; les critères de convergence des séries four- 
nissent des critères de convergence pour les suites, puisque la 
suite des nombres Un est convergente ou divergente en même 
temps que la série S(w„^, — u,i)', les deux questions semblent 
donc devoir être traitées en même temps. En outre, il me semble 
qu'en rejetant l'étude des séries numériques, et aussi des séries 
entières, à la fin du Livre, on tarde un peu trop à mettre entre les 
mains des élèves l'un des instruments fondamentaux de l'Ana- 
lyse, on risque d'en diminuer l'importance à leurs yeux, et 
l'on se prive d'en faire des applications qui se présenteraient 
d'elles-mêmes en grand nombre dans le reste du cours. Il est 
vrai que M. Michel fait jouer le rôle essentiel, non pas aux séries 
entières, mais aux développements limités de Mac-Laurin arrêtés à 
un terme complémentaire : ce sont ces développements qui servent 
dans l'étude des infiniment petits, des infiniment grands et des 
formes indéterminées; mais en fait l'élè\e, au bout de quelque 
temps, sera conduit fatalement dans les questions de ce genre à 
supprimer les ex" qui encombrent la pensée et compliquent 
l'écriture et alors je n'aperçois plus quel intérêt il y a à cacher au 
lecteur jusqu'à Tavant-dernier Chapitre que ces développements 
limités sont les premiers termes de ce que l'on appelle une série 
entière; si l'élève poursuit ses études mathématiques, il verra 
bien d'ailleurs que ce sont les séries entières et non pas les déve- 
loppements limités qui permettent de définir des transcendantes 
nouvelles et d'étendre le champ de l'Analyse. 

Signalons, pour terminer, la belle collection d'exercices 
proposés que Ton trouvera à la fin des divers Chapitres et à la 
fin du Livre. Les énoncés, toujours intéressants et instructifs, 
sont le fruit d'une vaste érudition et d'un choix fait avec discer- 
nement dans un grand nombre de Mémoires; ils sont rédigés i\c 
façon à guider le lecteur tout en lui laissant le plaisir de l.i 
recherche et ce n'est pas là le moindre mérite dun Ouvrage qui 
sera consulté avec fruit par les professeurs et les élèves. 

S. Lattes. 



PREMIERE PARTIE. 



>1ÉLANGES 



THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DU MOUVEMENT DE PRÉCESSION 
ET DE LA DÉRIVATION DES PROJECTILES; 

Par m. h. VERONE. 

(Suite et fin.) 



11. Mouvements PRÉcESSIOJV^ELS be l'axe d'ujx corps céleste. — 
Le mouvement d'un corps céleste autour de son centre de gravité 
otTre une si grande analogie (pour. ne pas dire identité) avec les 
questions que nous venons de traiter, qu'il ne sera pas sans intérêt 
(le l'étudier ici, en nous plaçant toujours au même point de vue 
élémentaire. 

Les corps célestes, planètes et satellites, sont animés d'un mou- 
vement de rotation relativement rapide autour d'un axe très voisin 
(le leur axe de révolution. 

Si chacun de ces corps n'était pas influencé par les autres, son 
mouvement serait un mouvement à la Poinsot, dans lequel l'axe 
de révolution O;; et l'axe instantané de rotation OR tourneraient 
ensemble d'un mouvement uniforme autour de l'axe absolument 
fixe Oc- du moment cinétique, ainsi qu'il a été expliqué à la 
fin du n" 3. Il en résulterait, comme seule variation, une petite 
variation des latitudes., ayant pour période le temps que met la 
circonférence polhodique à rouler (l'un tour complet sur l'Iierpo- 
lliodie. Cette petite variation périodique des latitudes est connue 
[)our. la Terre : son amplitude ne dépasse pas une demi-seconde 
d'arc, et sa période théorique est de 3o5 jours (période d'Euler) ( • ). 
Cette petite variation correspond exactement au uiouvement que 
nous avons, pour le gyroscope, étudié sous le nom de iiutation. 

.Mais rliaque astre est soumis à l'actit)n perturbatrice des autres, 

(') I..e cercle poltiijcli<|iie a un ra^oii d'une demi-seconde d'arc environ ; le cercle 

lierpolliodiquc sur lequt-l il roule, en lui clanl tangent inivrieui ement. a un rayon 

C \ ' I 

3oo fois plus petit ces deux ravons sont, en cdcl, dans If rapport — ^ — = = — 

L 3oi) 

environ. 



MI-LAXGES, 



i3i 



la Terre en particulier subit rinfluence de lu Lune et du Soleil; 
cette influence se traduit à chaque instant par un petit couple 
perturbateur, agissant sur le corps céleste en rotation exactement 
comme le couple dû à une gravité variable agit sur un gyroscope, 
lien résulte que l'axe O 7 du moment cinétique, axe autour duquel 
s'eirectue le mouvement à la Poinsot et qu'on peut appeler en 
(|uelque sorte V axe polaire moyen de lastre, n'a plus une direc- 
tion absolument fixe dans l'espace, mais subit des perturbations 
séculaires et périodiques que nous allons étudier. Ces perturba- 
tions, tant séculaires que périodiques, correspondent exactement 
au mouvement que, pour le gyroscope, nous avons étudié sous le 




nom (\e précession . La précession ^ en elTet, est un mouvemeul de 
l'axe Ot du moment cinétique; la natation n'est qu'vui très petit 
mouvement uniforme de l'axe instantané de rotation et de l'axe de 
révolution autour de Os-. Pour la Terre, ce petit mouvement 
nutationnel correspond uniquement, comme nous venons de le 
dire, à la petite variation des latitudes et à la période d'Euler. 
Xous n'en parlerons plus dans ce qui va suivre, ^<ous n'étudieron> 
que les mouveuients précessionnels de l'axe Go-, que nous appel- 
lerons ligne des pôles^ étant entendu qu'il s'agit de ligne moyenne 
des pôles. Quelques-uns de ces mouvements précessionnels sont 
à période relativement courte, et les astronomes leur ont donné le 
nom de natations : mais il ne faut pas peindre de vue qu'étant des 
mouvements de l'axe O 7 lui-uK'iiic. et non des mouvements de Oz 



t32 PREiMIÈRE PARTIE. 

autour de Ot, ils sont, au sens de la théorie du gyroscope rappelée 
plus haut, de véritables précessions. 

Prenant comme exemple la Terre, nous étudierons le mouve- 
ment de sa ligne des pôles sous T action perturbatrice de la Lune 
€t du Soleil, dont nous considérerons séparément les elVets. 

Soient, sur la sphère céleste i /li,''. i6), PP' la ligne des pôles 
(le la Terre et EE' l'équateur. Soient LL' l'orbite de l'astre pertur- 
bateur, la Lune par exemple, Il le pôle de cette orbite, NN' la 
ligne des nœuds. 

Lorsque la Lune est en L, sa déclinaison est KL == o et sa dis- 
lance polaire est (— — o)- Si U désigne sa distance à la Terre, le 

couple perturbateur, cela est bien cunaii et se démontre aisé- 
ment (M? a pour valeur 



A et G désignant les moments d'inertie de la Terre, et L la masse 
<le la Lune (celle de la Terre étant prise pour unité). 

L'axe Ou du moment de ce couple est toujours da/is te plan 
de Véquatear et perpendiculaire à OK. Donc, à l'instant consi- 
déré, ce couple produit, sur la ligne des pôles PP', exactement le 
même elFet que produirait sur Taxe d'un gyroscope une gravité 

(') Il suffit de calculer le poLenliol U - t' / —7- exercé par la masse L de la 
Lune sur tous les éléments de masse dm de la Terre, lorsque sa dislance géo- 
«enlrique est D et sa distance polaire (-^ -SJ. On trouve (en négligeant le 
cube de la parallaxe lunaire ) 



\) i ' 1)3 

I '>(' I 
le couple perturbateur a pour valeur -jr- • f-c vecteur () ;j (|iii représente son 

moment est perpendiculaire au plan méridien POL de la Lune; il a le même 
sens quand la Lune occupe deux positions L et f/ fliamélralemenl opposées sur 
son orbite, il aurait aussi la même grandeur si la distance I) n'avait pas varié: 
le lieu de l'extrémité jj. de ce vecteur serait, dans le plan de l'équateur, une 
courbe grossièrement circulaire, tangc^nle en O à la perpendirulaire V.V.' à la 
ligne des nœuds, et le point \x fait deux lours sur cette courbe (juand la Lune 
en fait un sur son orbite. Le couple s'annule quand la Lune IraNcrse ré(|uatcnr 
en N et N', et est maximum quand la Lune atteint sa plus grande déclinaison 
boréale ou australe. 



MELANGES. i33 

iiclive ayant pour verticale OK, et pour inoinent agissant sur ce 
gyroscope 



sin coso 



Si nous supposons que notre gyroscope fictif a une masse M 
égale à celle de la Terre (niasse-unitéj, et que la distance /= OG 
de son point fixe à son centre de gravité est aussi égale à l'unité, 
nous pourrons dire que 

_o.=.3L(C-A) 



sin Cl cos 



représente l'intensité variable de la pesanteur dont la direction 
variable a pour verticale OK, et pour indicatrice sphérique 
Véqualeur EE'. 

Nous sommes donc ramenés une fois de plus à étudier le mou- 
vement d'un gyroscope dans un champ de gravité variable en inten- 
sité et en direction. Le vecteur représentatif de cette gravité 
tournera dans le plan de Céqualear en ayant toujours sa direction 
opposée à OK : sa grandeur et sa direction sont des fonctions 
périodiques du temps puisque, quand la Lune est revenue en L 
après un tour complet sur son orbite, les conditions sont redeve- 
nues les mêmes. 

Or on sait que, qn.md un vecteur tourne dans un plan en ayant 
sa grandeur et sa direction fonctions périodiques du temps, on 
peut toujours le considérer comme la résultante d'une série de 
vecteiirs constants en grandeur et tournant uniformément dans 
ce plan : les périodes de rotation de ces différents vecteurs compo- 
sants sont la période du vecteur étudié et ses sous-multiples. A ces 
vecteurs tournants il convient d'ajouter un vecteur //xe représen- 
tant la moyenne du vecteur étudié ainsi décomposé. 

Dans le cas actuel, le vecteur fixe produira les perturbations 
séculaires, les \ecleurs tournants procbiiionl les perturbations 
périodiques. 

Chacune de ces perlurl)ations périodiques [)i)urra être étudiée 
indépendamment des autres : elle est (hie à une gravité constante 
en grandeur, mais dont la direction a [)our indicatrice sphérique 
un grand cercle (l'équateur) décrit d'un mou\euîent uniforme. Le 
mouvement (pu en résulte pour le p('>le P i)ourra être obtenu, 
nous l'avons \u au n" 6, en faisant rouler sur l'équateur fixe un 



i34 PRRMIÈRli PAirriE. 

cercle invariablement lié au point P. Seulement, ici. la vitesse de 
rotation instantanée (appelée to au n" 6) est excessivement petite, 
comparée à la vitesse (appelée p au n° 6) avec laquelle tourne la 
gravité fictive (et qui est ici un multiple du moyen mouvement 
de la Lune) : il en résulte, si Ton se reporte à la formule (i), que 
le cercle roulant a presque le même rayon de courbure que le grand 
cercle de l'équateur sur lequel il roule {fig- 17)- Dans ces condi- 

Fig. 1-. 



tions, le pôle P est presque le pôle de la calotte limitée par le 
cercle roulant, et ce mouvement de roulement lui fait simplement 
décrue^ autour de sa position moyenne, une très petite circon- 
férence avec une vitesse an oculaire qui est la même que celle de 
la gravité fictive envisagée. 

On voit donc combien est simple, si on l'envisage séparément, 
chaque perturbation périodique de la ligne des pôles, puisqu'elle 
se réduit à un petit mouvement circulaire uniforme. 

La seule opération à effectuer est la décomposition du vecteur 
tournant dont la grandeur et la direction sont fonctions pério- 
diques du temps, en une série de vecteurs constants en grandeur 
et tourna// 1 luii/'or/né/nent dans le plan de l'équalcur. Une telle 
décomposition est bien connue, en Electricité, dans l'élude des 
<■ champs tournants >-. Elle est aussi tout à fait analogue à la 
uianière dont Laplace décompose, dans la théorie des marées, 
lOude totale de la marée en une série d'ondes partielles élémen- 
taires dues chacune à un aslre fictif parcour.inl, dans le plan de 
Irquateur, une orijile circulaire avec une vitesse angulaire 
conslaulc. 

Mous ircUccliiciMMs |iis ici relie (l(''C(Uii|ni>il inu . ( ', Ulleiilon-^- 



MELANGES. 135 

iKiiis de signaler que la principale de ces perturbations périodiques 
a une période moitié de la période de révolution de l'astre trou- 
blant : elle consiste en une « nutation » (au sens des astronomes ) 
semi-inensuelle pour la perturl)ation lunaire, semi-annuelle pour 
la perturbation solaire ('). 

Il nous reste maintenant à parler des perturbations séculaires, 
qui sont de beaucoup les plus importantes puisque leurs effets se 
cumulent. 

Ces perturbations séculaires sont dues, nous l'avons dit, au vec- 
teur fixe qui représente la moyenne de la gravité fictive tournante. 
Ce vecteur fixe moyen a pour dii^ectlon EE' perpendiculaire à la 
ligne des nœuds. Le moment Ou qui lui correspond a donc pour 
direction OJN celle même de la ligne des nœuds. Or ce moment Ou 




indique précisément le sens du déplacement précessionnel du 
point P : ce déplacement est à chaque instant normal à l'arc IIP. 
et parallèle au plan de l'orbite lunaire. Si donc nous considérons 
l'orbite lunaire comme fixe, nous verrons le pôle terrestre P 
décrire un cercle précessionnel avec une vitesse angulaire cons- 
tante 0) autour du r)ôle n de l'orbite lunaire. 



(') Remarquons que, clans celle décomposition, certains vecteurs tourneront 
dans le sens direct (de l'Ouest à l'Est) et produiront pour le pôle un mouve- 
ment en sens direct: d'autres tourneront en sens rétrograde (de l'Est à l'Ouest) 
et produiront pour le pôle un mouvement rétrograde. Il arrivera qu'un vecteur 
direct et un vecteur rétrograde tourneront avec la même période : les deux 
mouvements circulaires de sens inverse qui en résultent pour le pôle se compo- 
seront alors en un mouvement elliptique ayant cette période. C'est ainsi que la 
« nutation semi-mensuelle «. ainsi que la « nutation semi-annuelle», fait décrire 
au pôle une petite ellipse : comme ordre de grandeur, l'amplitude de ces nutalions 
atteint respectivement l de seconde et une seconde d'arc environ, en latitude; en 
longitude elle est un peu plus grande. 



i36 PREMIERE PARTIE. 

Telle est la pertvirbation séculaire due à la Lune. Mais il y en 
a aussi une due au Soleil : elle consiste en un pareil mouvement 
précessionnel du pôle terrestre P autour du pôle de l'écliptique. 

Pour avoir le mou\ement séculaire complet du pôle P, il nous 
faut composer ces deux précessions lunaire et solaire. Soient 
{jig. i8) Ils le pôle de Técliptique, Ilj le pôle de l'orbite lunaire. 
P le pôle terrestre. La précession lunaire consiste en une rota- 
lion to, autour de OIIl; la précession solaire consiste en une rota- 
tion to^ autour de Olls. Ces deux rotations se composent en une 
seule u),„ autour d'un axe moyen On,„ ('). 

Si les points II étaient fixes, nous verrions le point P décrire un 
petit cercle autour de !!,„ comme pôle. Or le pôle Ilg de l'éclip- 
tique peut bien être regardé comme fixe, mais il n'en est pas de 
même du pôle H, de l'orbite lunaire. Une perturl)ation connue sous 
le nom de rétrogradation des nœuds lui tait d('-crire autour du 
point n^ un petit cercle de 5° de rayon en wne période de iN j ans 
environ. Le point n,„, par suite, tourne aussi autour de W^ dans le 
même temps. 

Le mouvement séculaire complet du pôle terrestre P est donc 
un mouvement épicycloïdal résultant d'une rotation autour du 
pôle n„, , qui tourne lui-même autour du point fixe H^. Dans ce 
mouvement épicvcloïdal, le r(Ue de courbe-base est joué par le 
petit cercle lieu du pôle instanlanc" de rotation FI,,,; celui de 
courbe-roulette invariablement liée au point P est joué par un petit 
cercle dont le rayon de courbure géodésique, toujours donné par 
la formule (i) du n" 6, dilFère à peine de celui de la courbe-base, 
car la vitesse angulaire co,,, est excessivement petite à côté de la 
vitesse c du point l\,„ sur son petit cercle. Le cercle-roulette roule 
donc sur un cercle-base qui a \\\\ r.iynn ;i peine j)lus pclil (|ue lui, 
en le tangentant inlérieiirtnncnt, le point de contact II,,, faisant 
un If^ur eu i tS 1 ans (- i. 

(') Comme il se trouve que wl est à peu près deux fois plus grand (|ue ws. Je 
point n^ est plus rapproch»'; de 111. que de Ils. 

(') En toute rigueur, la courbe-roulette ni la courbe-base ne sont des circon- 
férences, car <■>,„ n'est pas tout à fait constant, pas plus que la distance II, Il„. En 
effet, Wl dépend de la distance angulaire PIIi (inclinaison de l'orliilc lunaire sur 
léqualeur) «jui varie par suite du mouvement circulaire de III . Four tenir 
compte de ces variations, on pourrait suivre une niélliode analogue à celle déjà 
rniployi-c, en décomposant à chaque instant la lotation <o, en deux vecteurs, l'un 



MI' LANGES. 



^solls verrou^ aloi-. ( fii;. iç)) le pôle terreslre P décrire, eu gros, 
lin petit cercle iuitmir de fis : il le parcourra, dans le sens rétro- 
grade, en 2<3ooo ans environ; c'est le mouvement connu sous le 
nom de procession des équinoxes. Ce petit cercle précessionnel 




a un ravoii de aS^aB' (inclinaison de lécliptique ;. Il est festonné 
par des ondulations dues à ce que le point IT,„tourae autour de 11^^ : 
ces ondulations, dont la période ( i «S :^ ans) est celle de la rétrograda- 
tion des nœuds et dont lamplilude est de 18' environ en latitude, 
constituent le mouvement appelé grande niitation de Bradley. 
iNous connaissons maintenant, d'une manière à peu près com- 
plète, tous les mouvements, tant séculaires que périodiques, du 
pôle terrestre sur la sphère céleste. De même que pour les mouve- 
uients précessionnels duii projectile oblong, nous avons pu. les 
étudier, pour ainsi dire, sans aucun calcul. 



suivant 01^ qui ne donnerait aucun mouvement du pule, l'autre suivant l'équateur. 
Ce vecteur tournant équatorial, on le décomposerait lui-même en un vecteur 
fixe, donnant une précession purement séculaire s'ajoutant à la précession solaire 
pour donner la piécession des équinoxes, et en vecteurs d'intensité constante et 
tournant uniformément dans le plan de l'équateur : le principal de ces vecteurs 
tournants équatoriaux donnerait la nutation de Bradley. 



i38 PREMIÈRE PARTIE. 



SUR 
LA NOTION DE VOISINAGE DANS LES ENSEMBLES ABSTRAITS 

Par m. Maurick FRÉCHET. 



INTRODUCTION. 

I. Le bul de celle jNote est double : d'une pari essayer de déga- 
ger de la notion intuitive de voisinage ce qu'elle a de réellement 
essentiel ; d'autre part montrer que les définitions descriptives des 
classes ( Q employées dans ma Thèse et des classes plus générales 
considérées par M. F. Riesz (dans une Communication au Congrès 
intei-national des Mathématiciens de Rome) peuvent rentrer 
comme cas particuliers dans une définition constructive où l'on 
utilise cette notion de voisinage. Comme application, le théorème 
de Borel est généralisé une nouvelle fois. 

II. Je rappellerai d'abord (en petits caractères) ce (.pic sont ces 
cas particuliers. 

Oh appelle classe (<£) une classe d'éléiuenls, de nature (juelconcjue. 
dans laquelle une définition de la limite a été donnée, de sorte (\uc pour 
chaque suite infinie déni)mbrable d'éléments de la clasee Aj, Ao,... A,,,... : 
ou bien celle suite est divergente, ou bien celle suite est convergente et 
tend vers un élément déterminé. La définition de la limite n"c<t d'ailleurs 
assujettie qu'aux deux conditions suivantes : 

Si les éléments de la suite sont identiques à" un certain clciiient A, la 
suite est convergente et tend vers A. 

Si une suite d'éléments A,, A2, ... tend vers A, toute suile infinie exlrailo 
de celle-ci tend aussi vers A. 

On dira alors qu'un élément A d'une classe (Xj est (•lémcnl-limite ^il 
vaudrai! pent-élre mieux dire élt'ment d'accumulation) d'un ensemble K 
d'éléments de celle classe si l'on peut extraire de I'^ uni- suite inlinic 
dénombrablc d'éléments distincts qui converge vers A. 

III. Si l'on cherche à étendre aux ensembles abstraits h; plus 
grand nombre possible de propriétés des cnscnd)les lin<';aircs, la 
dérmitioii des classes (ji^) est trop générale et j'ai é'ié rondiiil à la 
faire siiisrc d.iiis ma Thèse des di'liiiil iniis de plus rii plus reslric- 



MÉLANGES. i kj 

tives, employant eu particulier une première définition tlu voisi- 
nage. J'ai donné plus tard une seconde définition plus générale du 
voisinage, dans les Transactions of the American Math. Soc.^ 
1918, p. 53-65, dans le but de faciliter l'analyse des éléments de 
la notion de distance. La définition du voisinage présentée plus 
loin dans un but didérent est une généralisation de cette seconde. 
Mais, si au contraire on cherche à embrasser dans une même 
définition le plus grand nombre possible des définitions de la 
limite données dans les ensembles de nature déterminée, la 
définition des classes (4^) est insuffisamment générale. Elle ne 
couvre pas certains cas intéressants comme par exemple celui des 
suites bien ordonnées où la limite est définie au moyen des 
« segments >;. 

IV. Pour obvier à cet inconvénient. M. Janizewski a proposé 
dans sa Thèse d'admettre que les suites convergentes peuvent avoir 
des types d'ordre plus élevés cjue le type d'ordre de la suite des 
nombres entiers. 

M. F. Riesz se place à un point de vue encore plus général et 
décrit les classes que je propose d'appeler classes (c*l)- Leur con- 
ception est fort intéressante et peut être très utile. 

On appelle classe (tflj une classe frélémeiils, de nature quelconque, 
où une tlériiiiiioii de* éléments-limites a été donnée de sorte que, pour 
chaque ensemble E d'éléments de la classe : ou bien cet ensemble n"a pas 
d'élémenls-limites. ou bien il existe un certain ensemble E' (appelé dérivé 
de E) formé des éléments-limites de E. La définition des éléments-limites 
n'est assujettie qu'aux trois conditions suivantes : 

a) Quels que soient deux ensembles E, F, on a 

(E-t- F)'= E'-f- F'. 

3" Un ensemble ne comprenant qu'un seul élément n'a aucun élément- 
limite. 

4' Si A est élément-limite d'un ensemble E et si B est distinct de A. 
il y a toujours ou moins un ensemble F qui a A pour élément-liuiite sans 
avoir B pour élément-limite. 

Ces conditions ne sont pas exactement celles de F. Riesz, mais elles leur 
équivalent dans leur ensemble. En particulier la condition a) est la con- 
densation en une formule simple des deux conditions suivantes de F. Riesz : 

i" Tout élément-limite d'un ensemble E est élémenl-liniile de tout 
ensemble comprenant E; 



r4o PREMIÈRE PARTIE. 

2" Tout élément-Iiinite de la somme de deux ensembles E, F est élément 
limite de l'un au moins de ces deux ensembles. 

On voit facilement que toute classe ( !^) satisfait aux quatre 
conditions de F. Riesz ; mais la réciproque n'est pas vraie : 
les classes (^) sont plus générales que les classes (J^), comme 
le montre l'exemple du paragraphe XI. 

NOUVELLE DÉFINITION Dl VOISINAGE. 

V. 11 semble qu'on peut arriver à débarrasser la in)tion intuitive 
de voisinage de tout élément étranger, dans ses relations avec la 
notion d'élément-llmite, en la présentant sous la forme suivante : 

Supposons que dans une classe déterminée (\'') (') corresponde 
à tout élément A une famille arbitraire |Vyj d'ensembles V^ 
appelés voisinages de A. Un élément B, distinct de A, sera dit 
voisin de A s'il appartient à un des voisinages de A. 

Par définition^ un ensemble E aura A pour élcnient-liniile, 
s'il contient des éléments (autres que A) aussi voisins de A que 
l'on veut, c'est-à-dire si tout voisinage V^ de A contient un 
élément au moins de E, autre que A. 

VI. Il faut immédiatement remarquer que cette définition con- 
structive de l'élément-limite est plus générale que les définitions 
descripti\cs. employées dans les classes (<;R) et ( !^). Puisque toute 
classe (4^) est une classe (^), il suffit de montrer que, dans toute 
classe satisfaisant aux quatre conditions de F. Riesz, les 
éléments-limites peuient être déterminés au moye/i de familles 
de voisinages convenablement choisies. En fait, les quatre con- 
ditions ne sont pas toutes nécessaires, il n'est besoin que tlim- 
[)oser les deux conditions suivantes : 

1" Tout élément-limite d'un ensemble E est élément-limite de 
I ont ensemble comprenant E( c'est la condition 1" de I''. lliesz. !^ I V^). 

b) i^c fait pour nu élément A d'être ou non éb'iiiciit-iimilc d'un 
ensemble E, ne dépend que des ('déments de E autres que A (c'est 

'; f^a notation classe {K' ) déjà omployée dans les deux Mémoires elles plus 
haut a donc ici un sens plus général que dans ces deux Mémoires: elle s'applique 
ù toute classe où les éléments-limites sont définis romiiic dans ce parapraplie \ . 



MÉLANGES. 14 r 

une conséquence des conditions 1°. '>° et 3" de F. Rie>z. mais une 
conséquence moins restricti\e que leur ensemble). 

Si dans une classe d'éléments de nature quelconque^ une 
définition des éléments-limites a été donnée^ qui satisfait aux 
deux conditions précédentes ( 1° et 6), la classe est une classe (\'>), 
c'est-à-dire qu'on peut y définir les éléments-limites comme 
au paragraphe P', par le moyen de familles de voisinages 
convenablement choisies. 

En eflet, les conditions 1° et è) étant supposées satisfaites, con- 
sidérons comme famille de voisinantes attachée à chaque élément A. 
la famille des ensembles V^' complémentaii-es des ensembles £, 
(c'est-à-dire chacun formé des éléments n'appartenant pas à E, ) 
qui n'ont pas A pour élément-limite ( ' ). 

Alors, si un ensemble E a A pour élément-limite, il aura un 
élément commun, autre que A, avec tout voisinage Vf' de A. 
Car, autrement, il serait entièrement compris, sauf peut-être A, 
dans un ensemble Ei najant pas A pour élément-limite. Or. 
même si l'on en retire A, E garde A pour élément-limite (con- 
dition b) et se trouverait alors compris dans un ensemble E) 
n'ayant pas A pour élément-limite cimtrairement à la condition i". 

Inversement, si un ensemble E a un élément (autre que A) en 
commun avec tout V^', il a A pour élément-limite. Car, dans le cas 
contraire, E serait lui-même un des ensembles E, et ne pourrait 
avoir aucun élément en commun avec son jjropre ensemble 
complémentaire. 

D'autre part, si Ion se donne arbitrairement une classe {<>'). \f^ 
conditions i'^ et b} sont évidemment remplies. 

En résumé., la notio/i extrêmement géné/ale de classe (.\^) 
que f ai introduite dans ma Thèse est un cas particulier de la 
notion de classe {S^) présentée plus lard par M. F. Riesz, et 
celle-ci se trouve à son tour n'être qu' un cas particulier des 
classes {"Ç) où la définition de V élément-limite (au lieu de se 
décrire par les conditions i" et b) se dé-duii avec avantage. 

(") On pourrait aussi prendre ponr v.iisin.iucs les ensembles auquels A est 
intérieur (au sens indiqué § XI 1. 

Bull, des Sciences matJicni.^ 2' série, t. \\A\. (Mai nji'^.; 11 



i4a PREMIÈRE PARTIE. 

comme au paragraphe F, iV une façon éminemment claire et 
intuitive de la notion de voisinage réduite successivement à 
ses éléments essentiels. 

Dans le Mémoire mentionné au paragraphe III, je n'avais con- 
sidéré que le cas où la famille des voisinages est infinie dénom- 
brable, cas où l'on a une classe (i^) et non pas même la plus 
générale. Mais c'est le cas qui convient à l'analyse de la notion 
de dislance que j'avais en vue. 

PROPRIÉTÉS RÉSULTANT DU CHOIX DES FAMILLES DE VOISINACKS. 

VII. (^uand, au lieu de visera une plus grande généralité, on 
cherche à obtenir des propriétés plus nombreuses, il faut imposer 
des restrictions aux choix des familles de voisinages. INous allons 
déterminer quelles sont les restrictions qui sont nécessaires et 
suffisantes pour qu'une classe (V) soit en même temps une 
classe (^), etc. Dans le Mémoire cité au paragraphe III, j'ai 
étudié un certain nombre de restrictions conduisant à la notion 
de distance. 

Auparavant, il nous sera commode de déterminer à quelles con- 
ilitions deux familles de voisinages sont équivalentes. Mais on a 
]ju voir que la présence possible de l'élément A paruii les éléments 
des voisinages de A oblige à des précautions de langage et conduit 
à des énoncés inutileuient complicjués. Or il est évident qu'on ne 
changera les ensembles dérivés d'aucun ensemble en suppriuianl 
des voisinages de chaque élément cet élément lui-même. En défi- 
nitive, nous supposerons ci partir d'ici., à moins d'indication 
contraire, que quels que soicnl l'élément A el le voisinage \'\ de A , 
V^ 'i*? comprend pas \ . 

V\\\. Familles éuiuivttlentes de voisinages. - Supposons (pi'on 
détermine les éh'uients-Iimites des enseuiblcs d'une classa; de deux 
façons (lifFérentes, eu alhidiant ii chaque A deux fauiille-» succes- 
sives de voisiniges } N a o Î^^aI- '^""i" <^pn; ces familles soicnl 
équivalentes., c'est-à-dire pour (piclles déteriuiucnt les mêmes 
ensemble', dérivés, Il faul cl il suffit que potii- chiupu; élément A 
tout voisinage V^ de la première famille C()Mq)rcuue entlèreuicnl 
iiu moins un ^oi'^i^ilgc ^^ ^ de la seconde et r('(ipi(KpuMuenl . 



MELANGES. 143 

Que la condition soit snnisanlo est bien évident. Elle est aussi 
nécessaire; car si l'un des V^, soit V°, ne comprenait entièrement 
aucun \\\, il y aurait dans chaque W^ un élément B n'api) irtenant 
pas à V^. Alors l'ensemhle ;B| des éléments B aurait A pour 
élément-limite quand on utilise la famille des W^ et non pas. 
quand on utilise celle des \^^. 

IX. Classes de F . Riesz-. — Déterminons à quelles restrictions 
il faut astreindre les familles de voisinages pour que les éléments- 
limites satisfasseni aux quatre conditions de F. Riesz du para- 
graphe VI. 

La condition 1° est satisfaite d'elle-même. 

La condition 3" est évidemment équivalente à la suivante : il 
n'y a aucun élément commun à tous les voisinages d'un même 
élément. 

Si la condition li" n'était pas réalisée, il existerait deux ensem- 
bles E, F tels qu'un certain t'iémenl-limite A de la somme E-(-F 
ne soit élément-limite ni de E, ni de F. Autrement dit, l'un V\des 
voisinages de A n'aurait aucun élément en commun avec E, et un 
autre W^ aucun avec F, tandis que tout voisinage de A aurait un 
élément couimun avec E -h F. Il est évident qu'il suffit, pour 
éviter cette circonstance, d'admettre que l'ensemble commun à V^ 
et à W V (qu'on peut représenter par V^.W^) contient entièrement 
un voisinage de A. Cette cttndition suffisante est aussi nécessaire. 
En ellct, soit E un ensemble quelconque ayant A pour élément- 
limite. L'ensemble des éléments de E, s'il en existe, qui n'appar- 
tiennent pas à un voisinage déterminé V^, ne saurait avoir A pour 
élément-limite. Si donc la condition 2" est réalisée, la partie com- 
mune E. V^ à E et V^^ aura A pour élément-limite et par suite aura 
un élément commun avec tout voisinage AV^ de A. Autrement dit, 
tout ensemble Va-Wa couimun à deux voisinages de A a un élé- 
ment commun avec tuot enseuible E avant A pour élémcnl-liuiite. 
Il en résulte, d'a|)rès ce que nous avons dit des fauiilles équiva- 
lentes, que \\.AVa doit ronteuir entièrement un des voisinages 
de A. 

En ce qui concerne la condition 4'': elle exprime ({uc si deux 
éléments A et B sont distincts et si l'on considérait pour un ins- 
tant les voisinages V^,, ciuiime voisinages de A, les deux familles 



i44 PRKMIÈRIÎ PAUTIE. 

] \\{, ] Vp i no sont pas équivalentes. Dès lors, la condition 4'^ de 
F. Riesz est é(juivalente ù celle-ci : lun au inoin? des voisinages 
Vp de B ne contient enticreuient aucun voisinat;e de A et inver- 
sement. 

Ainsi on obtient la définition la plus générale des éléments- 
limites satisfaisant aux quatre conditions de F. lliesz de la 
façon suivante : 

On détermine les éléments-limites au moyen de Jamilles de 
voisinages comme au paragraphe IV, en assujettissant seu- 
lement le choix des voisinages aux trois conditions suivantes : 

2° bis. ^ensemble commun cl deux voisinages de A con- 
tient entièrement un voisinage de A; 

3" bis. Il n'y a aucun élément qui soit commun ri tous les 
voisinages de A ; 

4" bis. Quels que soient les éléments distincts A, B, l'un au 
moins des voisinages de A ne comprend entièrement aucun des 
voisinages de ^ et inversement. 

(Il est entendu que rénonci' précédent suppose que tout élé- 
ment est exclu de ses propres voisinages.) 

X. \]i\ gr.ind nombre de classes considérées en Analyse véri- 
fient non seulement les conditions de V . Riesz, mais la nouvelle 
condition. 

5° Tout ensemble dérivé est fermé (c'est-à-dire contient ses 
^iropres éléments-limites). 

C'est ce qui a lieu pour les ensemhles linéaires ; c e>l ce qui 
n'a pas lieu pour la classe des fonctions uniloruies (jiiand la liuiite 
y est définie de la laçon ordinaire (c'est précisémeni daus ••e fail 
que réside le fondement de la classification île Baire ). 

Il est évident que cette propriété .'>" est indépendante de 
l'existence des voisinages. On peut lonner des classes jouissant 
de cette propriété el (jui ne sali>roul à aiicnnc de-^ proj)!- ié-lé's i" 
et b) (§ VI », |)ropri(''tés (pii sont car.iclé-risl icpu-s de», classes {V). l^ar 
exemple, on peiil prendre la classe des uoiubres, et assigner comme 
ensembles dt'-risé's des deux «'UNeMddcs 1<^ ( O^ a;^ a), F(o^x^i) 
les enseuibles re>p(Mlir^ VJ (o^iC^i), F' (x =r o). landi- qnc 



MÉLANGES. i4S 

loul iuitro ensemble ii aiir.i par (lé(iaitit)n aiieiiii »;leiiieiil-liinile. 
D'aulre pari, l'exemple de lu classe des foiiclions uniformes cilé 
plus haut montre qu'une classe salisfaisant à i" et b) ou même aux 
quatre conditions de F. Riesz ou même une classe (41) peut ne 
pas jouir de la propriété en question 5". 

Il est alors intéressant de chercher à (pielle condition une 
classe ( 'd peut jouir de celte propriété 5". 

Pour que tout ensemble dérivé soit fermé dans une classe où 
les éléments-limites so/it définis par le moyen de familles de 
roisinages. il faut et il suffit que quels que soient l'élément A 
et le voisinage ^x de A, /'/ existe un voisinage \\ de A dont 
tout élément B possède au moins un voisinage V^appartenant 
entièrement à \ ^. 

Si la condition est vérillée, tout élément A qui est élément- 
limite de l ensemble dérivé E' d un ensemble quelconque E appar- 
tient aussi il VJ . Aiitremenl dit. tout voisinage \ ^ de A contient 
un élément de E. Enellet, la condition admise fait correspondre 
à Vj^ un certain voisinage \ \ de E. Puisque A est élément-limite 
de E', il V a un élément B de E' dans V". Or l'un des voisi- 
nages Vît de B appartient entièrement à \ ^^ par hypothèse et 
contient. [)uisqiie B appartient à E', un élément C de E. C'est 
l'élément annoncé. 

Si la condition n'est pas vc'ritiée. il existe un élément A et un 
\oisinage \\ lel que, quel que soit le voisinage \ a de A, l'un des 
éléments B, de V^ ne possède aucun voisinage appartenant entiè- 
rement à VA- Appelons alors E l'ensemble des éléments de la 
classe n'appartenant pas à V^. L'ensemble dérivé de E contiendra 
nécessairement tous les B( correspondant aux divers \\. Donc A 
sera élément-limite de E' et pourtant n'a[)[)arl ient pas ùE' puisque 
E n'a aucun élément commun avec V'^. 

Disons qu'un élément A est intérieur à un ensemble E 
lorsqu'il appartient à E et u (•>! pas élément-limile de l ensemble 
des éléments n'appartenant pas à E. 

On voit que A est intérieur à chacun de ses voisinages lorsqu'on 
l'ajoute à ces voisinages. Et inversement pour que A soit intérieur 
à E, il lau' et il siiilil que !•> conl lenne eut ièremenl l'un des voisi- 
nages île \ . augmenté dr \ lui-iuème. 



146 pim<:mièiu< FAirriE. 

Si, dans réiioiict- précédent ( § X), on suppose que la classe 
vérifie la condition 2", ily a un voisinage V]^ contenu dans V^ et V"^ 
et qui jouira de la même propriété que V^ ; en remplaçant \ 'i 
par Và, on voit qu'on pourra remplacer la dei-nière phrase de 
l'énoncé par celui-ci : // existe un voisinage \'\ dont chaque 
élément est intérieur à V V 

XI. Comme exemple d'une classe satisfaisant aux quatre 
conditions de F. Riesz et à la conditioit 0" sajvs ètrk ukk 
CLASSE ( '^), on peut citer la classe bien connue suivante : c'est 
celle des points d'une droite, où l'on ne considère comme éléments- 
limites d'un ensemble E que les points qui ont été appelés par 
VAn(\e\ï)[\ \e<. poijits de condensation de E^ c'est-à-dire tels que, 
dans tout intervalle avant pour centre un de ces points, il j ail 
une infinité non dénoml)rable de j)i>ints de E. 

En particulier, pour une telle classe, \\n ensemble diMiombrable 
n'a jamais d'éléments-limites. 

On peut choisir comme famille de voisinages duu point A celle 
c|ui est lormée par les ensembles \ a dont chacun d'eux ctuilient 
les points d'un intervalle de centre \, saut peul-ètre un ensemble 
dénombrable de points de l'intervalle. 

D'autre paît, en assignant à cluujue t'iément A d'une manière 
quelconque une famille arbitraire de voisinages, on voit (ju'oii 
aura une classe ( t,'^) qui ne satister.i pas généralement au\ con- 
ditions 2", 3", 4" <lf E. Riesz, ni à ta conditiou .')", à moins (pi'on 
ait choisi des familles de voisinag<^^ particulières, s;ilistaisaiil aiiv 
«•oiidilions -i" bis^ t" bis, \° bis dw paragraphe IX ou à la condition 
du paragraplie X. 

XII. Classes (J^j- — D'après le paragraphe \ 1 loiile classe {i^ ) 
osl une classe ('C), c'est-à-dire (ju'on |»eut déterminer wïh.' famille 
de voisinages de sorie (jue chacpir ('nsciid)le ait les iiK-iues l'h'- 
meiils limites, ([(l'on définisse ceux-ci au moyen des suites con\ei- 
gfenles ou par l'inleiuK'diaire des voisinages. 

La récipiixpic n «tant pa> \r.ue, comment iccoiinaitre si une 
olasse ("V^j peut (M lu; considérée comnir une classe (4l)' l>emar- 
quons (pie, s il en est ainsi, (Ui peut cxIimiit de tout ('n-,cinble \'\ 



MÉLANGES. !l7 

ayant A pour élément-limite une suite S déni»Mibrahle intinie 
d'éléments distincts telle que toute suite infinie extraite dé S ait 
aussi A pour élément-limite. Car si la classe est (J^^), on peul 
extraire de E une suite infinie dénombrable d'éléments distincts 
qui converge vers A. Or une telle suite S sera comprise dans tout 
voisinage de A ;i |iartir d'un certain rang. Autrement on pourrait 
en extraire une suite infinie dont aucun éléuient n'appartiendrait 
à un certain voisinage de A et, par suite, qui n'aurait pas A pour 
élément-limite. (Si l'on a soin de comprendre A parmi les élé- 
ments de chaque voisinage, on voit que, même si les éléments 
d'une suite convergeant vers A ne sont pas distincts, ils sont néan- 
moins compris dans chaque voisinage à partir d'un certain rang.) 
Inversement, si cette propriété est vérifiée, la classe est (t^)- 
Aulreuient dit, si, étant donnée une classe (v'^), on peut, pourtant 
élément A de la classe, extraire, d'un ensemble quelconque E 
ajant A pour élément-limite, une suite infinie dénombrable S 
d'éléments distincts qui appartient à chaque voisiuage de A à 
partir d'un certain rang, alors on peut considérer la classe comme 
une classe (4^)- H suffira, en supposant que A appartient à ses 
voisinages, d'appeler suite convergente vers A toute suite infiaie 
dont les éléments appartiennent à chaque voisinage de A à partir 
d'un certain rang. Alors un ensemble aura A pour élément-limite 
quand il contiendra une suite infinie d'éléments distincts qui con- 
verge vers A. Et les suites convergentes satisferoni aux deux 
conditions du paragraphe II. 

XIIÏ. Il V a lieu (le taire la remarque suivante : considérons 
une classe (!^); les suites convergentes y sont bien déterminées. 
Formons-y des familles de voisinages qui permettent de la consi- 
dérer comme une classe {<}) sans changer les enseuibles dérivés. 
Puis procédons couime plus haut pour définir des suites conver- 
gentes qui permettent de la considérer comme classe (l^)- H est 
bien évident, d'après noire façon de procéder, qu'on devra 
retrouver coiume suites convergeant vers un élément déteruiiné A 
toutes celles qui l'étaienl au début. Mais il est bien possible qu'on 
en obtienne d'autres. Par e\euiple,on obtiendra ainsi toutes celles 
qu'on peul former direcleiucnl eu ajoulanl à une suite conver- 
geant vers A un nombre fini ircl('Mueiit> quelconques distincts ou 



I iS PREMIÈRE PARTIE. 

non ou bien une infinité de fois rélénient A, ou plus yénéralemenl 
les éléments d'un noinbre fini de suites qui converi^ent vers V. 

Ceci montre en passant que, sans modifier les ensembles dérivés 
dans une classe (-(l)- «'H peut ajouter aux deux conditions du 
paragraphe lï que doivent vérifier les suites converj^entes, les con- 
ditions suivantes : 

Si une suite S conver<^e vers A, il en est de même de toute suite 
obtenue enajoutantà S unnombre fini d'éléments(distincts ou non). 

Si un nombre fini de suites S(, So, • • -, S„ convergent vers A, 
il en est de même de toute suite obtenue en rangeant en une seule 
suite les éléments (distincts ou non) de S,, So, •••, S„. 

XIV. Le problème de déterminer à quelles conditions (à la fois 
nécessaires et suffisantes) doivent satisfaiie les voisinages d'une 
classe (\'>) pour que celle-ci puisse être aussi considérée comme 
une classe (Xj)t ne parait pas offrir de grandes difficultés. 

Les indications suivantes pourront mettre sur le chemin de la 
solution. Tl faut d'abord supposer vérifiées les conditions 2" bis, 
?)° bis, /f" bis du paragraphe TX. 

Ceci étant : 

Une condition nécessaire mais non suffisante est que, pour 
chaque élément \, il existe une suite de voisinages y^'i ^ aS • ••■> 
chacun apparteniinl an précédent et auquel aucun voisinage ne 
soit conimun. 

Une condition suffisante mais non nécessaire est que chaque 
lamllle de voisinages rclatixc à un élément A soit dénombr.d)le ou 
('•quivalente à une suite dénombrable, c'est-à-dire qu'il existe une 
suite de voisinages V^, Vf, ... telle que loui voisinage de A 
comprend au moins liin des \ (". 

XV. /fonctionnelles continues. — Une fonction ou, suivant la 
terminologie de M. Hadamard, une fonctionnelle l'( \)est ih-finie 
sur un ensendile absirail E si à tout élémeul \ de l'ï correspond 
une valeur niiiMcricjiie delenuinc-e de U(A). 

On peut g('-n<'raliser le calcul Intégral sur une classe abstraile 
>ans avoir à lalre intei'venir la nolioii d"('démeut-llmlle (comme je 
l'ai luouiré dans yinr INoie du lînlletin de la Société mathéma- 
tique de Fmnrr. i()i.'». p. :>. j8-Mf)r)). 



MÉLANGES. '49 

Mais pour généraliser le calcul differenliel, cela u'est évideni- 

iiienl plus possible. En particulier, pour définir la continuité d'une 

fonctionnelle sur un ensemble, il faut au uioins supposer qu'une 

définition a été donnée des éléinents-limiles de cet ensemble. 

Il n'est d'ailleurs pas nécessaire de savoir quelle est cette défi- 
nition ni même de lui imposer des conditions plus ou moins 
restrictives. Nous pouvons en eftet rassembler en une formule 
unique toutes les définitions classiques de la continuité de la 
tacon suivante : 

Soit U(A) une fonctionnelle définie en tout élément A d'un 
ensemble E. Si B est un élément-limite de E ou d'un sous- 
ensemble de E, nous dirons que U('A) est continue en B, si : 

c) Il existe un nombre k{B) et un seul tel que, quel que soit le 
sous-ensemble G de E ayant aussi B pour élément-limite et ne 
comprenant pas B, le nombre A"(B) est égal à l'une des valeurs ou 
à l'une des limites des valeurs prises par U(A) sur (j, k(B) étant 
indépendant de G. 

d) Au cas où B appartient à E, U(B) est précisément égal 
à A(B). 

Si U(A) est continue en tout élément-limite de E ou de ses 
sous-ensembles, nous dirons que U(A) est continue sur E. Si UfA) 
est continue sur E, elle est évidemment continue sur tout sous- 
ensemble de E. 

XVI. Mais si nous nous servons de la notion de voisinage, la 
définition de la continuité va devenir beaucoup plus simple. En 
effet, appelons oscillation (V une fonctionnelle sur un sous- 
ensemble déterminé, K, de E la différence entre les bornes supé- 
rieure et inférieure des valeurs prises par la fonctionnelle sur K. 

Si maintenant nous supposons que rensemble E appartient à une 
classe iV)-, où, contrairement aux conventions précédentes (§ VH ), 
les voisinages de B contiennent B, l'oscillation d'une fonction- 
nelle U (A) définie sur E et continue en A sera aussi petite que 
l'on veut sur un voisinage convenablement choisi. Aulreiuent il 
existerait un nombre '^\y.^ £ > o, tel que Toscillalion de U soit 
supérieure à t sur tout voisinage de V. Alors il y aurait un élé- 



j5o piiiîMiEHK PAirnii;. 

ment C de chaque \oisinage V^. distinct de A, apparlen;iul à E el 
tel que 

|U(G)- A'(A)|>i. 

Dès lors, lensemble des éléments C formerait un sous-enscnd)l(' 
de E ayant A pour élément-limite et sur lequel aucune valeur ou 
aucune limite des valeurs prises par U ne pourrait être égale 
à A- (A). 

Pour la réciproque, nous supposerons (jue notre classe ("O) 
satisfait à la condition 2" de F. Riesz. Alors, si roscillation 
de U(A) sur l'ensemble des éléments de E ajipartenant à un \(tisi- 
nage de A contenant A peut être rendue aussi petite que l'on veui 
en choisissant convenablement ce voisinage, la fonctionnelle U(Aj 
est continue en A. En effet, quel que soit l'entier n, il J a un voi- 
sinage V'^' sur lequel l'oscillation de U est Inférieure à -• 
Puisque 2° de F. Riesz est vérifiée, on peut trouver un voisi- 
nage W A contenu dans \ l et \ a', .... un voisinage \A ^ ctmtenu 
dans W"~'' et V'"', .... Alors on aur.i une série de voisi- 
nages W f, ..., Wj"'. ..., chacun contenu dans le précédent et 

sur les(iuels les oscillallons de V sont inférieures à -» • • >—>•••• 
1 1/1 

Si F est un sous-ensemble de E (pielconque ayant A pour élémenl- 
llmlte, sans le contenir, il aura un (dément au moins en commuji 
avec W^\ soit B,j. Puisque, quel cpie soit p. B„ el B^+yj appar- 
tiennent à A\^'". on auni 

|U(B„.)-U(IW,,)|< i. 

Et, d'après nu théorème de Gaiichy, les U(B„) auront une limite/. 
Ce noMd)re / est donc égal à une des valeurs ou à une des limites 
des valeui's prises par U sur F. 11 est aussi indépendant de F puls- 
ipi'll diU'èro de — an plus des xalcurs de V sur ^\ (". (piel que 

xjlt /t. 

De plus, si \ a|»|).irl iciil à 1'., parmi h> \alriii> de l mit \N "' 

doul l'oxillal ion csl ■< • j lii;mc IJ(.\). Donc 

|U(A)-/.|< -, 
' Il 

anlKiiK ni dil. /, = L {\ ). 



MELANGIîS. l'ii 

Eafiii, il ne |)euL y a\uir un autic )i()inl)ie A' joiii^sanL de la 
iiiéine |)r.)|)riélé que /.'. Gir roscillalioa sur tout sous-enseinble 
(le E ayant A pour élénient-liuiile serait au moins égale à | /.' — /." |. 
Or, si 2" est vérifié, tout voisinage de \ a ,V pour élément-limite et 
roscillalion de Une pourrait être infiniment petite sur aucun d'eux. 

Ainsi, pour une classe (v'''). satisfaisant à la condition 2° de 
F. Riesz, la définition des fonctionnelles continues données plus 
haut (§ XV ) se simplifie et devient la suivante : 

Une fonctionnelle U(A) définie sur E est continue en un élé- 
ment-limite B de E si son oscillation sur l'ensemble des éléments 
de E qui appartiennent à un voisinage VV^ de B (voisinage conte- 
nant B) peut être rendue aussi petite que Ion veut en choisissant 
conven dilement ce voisinage. 

XVII. Dans le cas d'une classe ( <^ ). on peut exprimer autre- 
ment la définition des fonctionnelles continues. 

Si I A,^ I est une suite d'éléments de E qui converge vers A, 
toute suite \ A„ j extraite de | A„{ a A pour élément-limite; donc, 
si U est une fonctionnelle continue svlr E en A, ^ (A) est l'une 
des valeurs ou l'une des limites des valeurs prises par une 
suite J U( A„ )| arbitrairement extraite de la suite |U(A„) \. Ceci 
n'est possible que si cette suite elle-même tend vers A'(A). Réci- 
proquement, si les valeurs prises par L sur une suite convergente 
quelconque vers A convergent vers A'( A), nombre indépendant de 
la suite, ce nombre sera égal à l'une des valeurs ou à lune des 
valeurs limites des valeurs prises par U sur un sous-ensemble 
quelconque de E ayant A pour élément-limite sans le contenir. 

Ainsi une fonctionnelle U définie sur un ensemble E apparte- 
nant à une classe (-t^) est continue en A : 

e) S'il existe un nombre /(A) et un seul vers le(|uel convergent 
les valeurs prises par U sur toute suite extr.iite de E qui converge 
vers A, le nombre /«(A) étant indépendant de la suite; 

/ ) Si en outre A (A) = U(A) lors(pie A appartient à E. 

LIMITATION DE LA GÉNÉRALITÉ DL' THKORÉMK DE BOIIKL. 

Dans un aiticle précédent [Bull. Soc. math. France., '9'7)? 
nous avons montré qu'un théorème de Borel. fondamental dans la 



i52 PREMIÈRE PARTIE. 

théorie des ensembles linéaires, peut être étendu aux classes (6), 
c'est-à-dire aux classes (-!^), où tout ensemble dérivé est terme. 
Et nous avons montré aussi que cette condition que tout ensemble 
dérivé est fermé est, dans les classes ((^), nécessaire pour la vali- 
dité du théorème de Borel. 

On peut se demander si, en retenant cette dernière condition, 
on ne pourrait gagner en généralité en considérant des classes plus 
générales que les classes (4^), par exemple les classes de F. Riesz 
ou les classes (V^) définies au paragi'aphe V. 

XVIII. Nous allons montrer de suite que le théorème de Borel 
ne peut s'étendre aux classes (x'^). ni même aux classes (ci ), les 
plus générales. Pour cela, nous conviendrons de dire qu'un 
ensemble E possède la propriété de Borel si, quelle que soit 
une famille dénoinbrable S d'ensembles I„ tels que tout élément 
de E soit intérieur à l'un au moins des I„, il existe une famille S\ 
composée d'un nombre fini des ensembles I,, de S et telle que tout 
élément de E est intérieur à 1 un au moins des ensembles \„ de la 
famille i\ . 

XIX. Si dans une classe ("<?) un ensemble E possède la pro- 
priété de Borel, tout sous-ensemble infini de ¥. a au moins un 
élément- limite appartenant à E. l'.n clVet, dans le cas citntraire, 
il j aurait au moins un soiis-cnseudjle infini F de E n'ayant pas 
d'élément-limite appartenanlà E.et par suite il en ser.ut de inèuie 
pour toute suite S dénondirable d'éléments de F, A,, V.j, ..., 
A„, .... A[)pelons alors Iq l'ensemble des éléuients de la classe 
autres que ceux de la suite S, et 1„ l'ensemble formé de Iq et 
de A„. D'après l'hypothèse, A„ est intérieur îi 1„ et tout éh'menl 
de E autre que ceux (h- S est inlirifur ii Iq. I)ouc les ('It-iiH'iit^ 
de E devraient être intérieurs à un nond>rt' fini îles ("nseud)les Jq, 
J4,l2, ...; <»r un U(iud)re fini dCutrc eux ne peut piuirtanl con- 
tenir qu'un utMubit' liui des »''léments A„ de E. 

Ainsi on voit en particulier que, pour posséder la |)ropricli' de 
liorel, 1*2 doit être au moins com|)act , c'esl-ii-dirc que les cnscinbles 
dérivés de E et de ses sous-enscmbh-s infini> coiniMir l<iii < Imciiu 
au uioi Ils lia «'•li'inciil . Oi uoiis ii\oiis \ ii iiii |tar,i;^r,i|)lif \l qii il 



MÉLANGES. i53 

existe des classes ("Ç } — et laèiiie des classes (<!îl) où tout ensemble 
dérivé est fermé — dont aucun ensemble n'est compact, puisque 
aucune suite dénombrable n'y a d'ébhnent-limite. Dans une telle 
classe aucun ensemble n'auj'a donc la propriété de Borel. hÀw^'i 
le théorème de Borel n'est pas applicable à la classe de F. Piiesz 
la plus générale, même si elle satisfait en outre à la condition que 
tout ensemble dérivé y est fermé. 

Bien entendu, ces conclusions seraient à reviser si, au lieu de 
laisser entièrement arbitraire la contexture des ensembles I„ où 
l'on enclôt les ensembles, on les assujettissait à des conditions 
particulières : comme dans le cas des ensembles linéaires, si l'on 
ne prenait pour les I„ que des intervalles, bien que cela ne soit pas 
nécessaire pour la validité du théorème direct. 

XX. Sous les réserves précédentes, nous allons cependant 
donner un énoncé du théoi'ème de Borel applicable aux classes de 
F. Riesz ou, plus exactement, aux classes satisfaisant aux condi- 
tions 1°, 2°, 3*^ de F. Riesz et à la condition : .^ Tout ensemble 
dérivé est fermé. 

Dans cet énoncé, la condition que doit satisfaire l'ensemble 
considéré E dans la classe est que tout sous-ensemble infini de cet 
ensemble a au moins un élément-limite appartenant à E; nous 
avons d'ailleurs vu, au paragraphe précédent, que cette condition 
est indispensable. Toutes les fois que la classe est telle que, de 
tout ensemble ayant un élément-limite A, on peut extraire un 
sous-ensemble infini ayant un seul élément-limite qui est A, la 
condition précédente peut s'exprimer en disant que E doit être 
compact et fermé. C'est en particulier le cas des classes (J^) et 
c'est en elTet sous cette forme que nous avons donné, dans un pré- 
cédent article, la condition nécessaire et suffisante pour qu'un 
enseudile ait la propriété de Borel dans une classe (r^), c'est-à-dire 
dans une classe (^^) ayant aussi la propriété indispensable que 
nous avons numéroté 5°. 

D'autre part, comme nous l'avons vu plus haut, il doit être 
entendu que, dans certaines des classes possédant les propriétés 
1°, 2", 3", 5", aucun ensemble ne satisfait à la condition exigée 
dans l'énoncé, de sorte que dans ces cas le théorème de Borel. 
j'entends |)ar là sa généralisation actuelle, tombe dans le vide. 



i54 PIIRMIÈIM'. PAirriE. 

XXI. Pour arriver à 1 énoncé, il nous sera d'abord utile de géné- 
raliser un lenime dû à Hedrick ( ' ). Nous pourrons déliiuirer le 
champ de validité de ce lemme de la façon snivanle. Disons 
qu'une classe possède la propriété de Hedrick si, quels que 
soient Tensenible E tiré de la classe, un élément A intérieur à E, 
— ou plus généralement n'appartenant pas à l'ensemble dérivé de 
l'ensemble des éléments autres que ceux de E, — et un ensemble F 
qui a A pour éléuient-limite. il existe un sous-ensemble F( de F 
ayant A pour élément-limite et dont tous les éléments sont inté- 
rieurs à E. Le professeur Hedrick a montré que toute classe (6). 
c'est-à-dire toute classe ( '^ ) satisfaisant à 5°, possède cette pro- 
priété ou plutôt la forme qu'il est loisible de lui donner dans le 
cas d'une classe ( '^ ) en remplaçant F jiar une suite dénombrable 
convergeant vers A et F, par les termes de la suite F à partir d'un 
certain rang. 

Nous allons montrer que la condition nécessaire et suffisante 
pour qu'une classe ( - ) possède la propriété de Hedrick est qu'elle 
soit une classe ( O ) satisfaisant aux contiitions 2" et 5". 

Tout d'abord, ces conditions sont suffisantes. Pniscpu' A est 
intérieur à E. il existe un voisinage V^^ de A qui ap|)irtient entière- 
ruent à E. Puisque les conditions 2°, o" sont vérifiées, on peut 
appliquer le théorème du paragrq)he N. c'est-à-dire (piil existe 
un voisinage V" de A dont tous les éléments sont intérieurs à V\. 
Puisque F a A pour élément-limite. F et \ \ f)nt au moins un élé- 
ment (autre que A) en couimiin. Soit I", l'ensemble de ces 
(■lémcnts comuiuns. D'après 2". l', a aussi A pour élémenl-limltr 
puis(jue F est la souime de F, et d'un ensemble n'ayant aucun 
«'léuieut Commun avec l'un, \", {{(}■> voisinages. Et tons les élé- 
uienls de F, sont lnt<''rieurs à E, d après le lh(''orèm<' du para- 
graphe X. 

Les conditions sont aussi nécessaires. 

D'abord, la classe est nécessairemeul nue classe ( V 1 : citmiiir 



(') Transactions Am. Math. Soc. ii)ii, t. \II. [>. :>H.')-3()'|. 

(') Tinit ce que nous supposons sur la classe esl que les éli'meiits-limilPS de 
cliHque ensriinljle y soienl l)ien définis d'une manière queleonque, pourvu que le 
fail polir un ensemble il'avoir ou non pour cléiucnt-linute un élément «iéterniiné 
ne dépende que (les élémenls de l'ensemble autres que celui ci, c'esl-à-dire que 
nous supposons seulement vérKiée la cundiiion // ) du piiriii;raplii' \l. 



MELANGKS. iV, 

la coiidiliou h) est supposée vérifiée, il suffit de prouver qu'il en 
est de même de i", c'est-k-dire que si un ensemble F a A pour 
élément-limite, il en est de même de tout ensemble F + G obtenu 
eu ajoutant à F d'autres éléments. Or, s'il n'en était pas ainsi, 
l'élément A serait intérieur, d'après la condition 6), à l'ensemble E 
de l'élément A et des éléments autres que ceux de F -(- G. Dès 
lors, si la propriété de Hedrick appartient à la classe, il y aurait 
un sous-enseud)le F, de F qui, étant intérieur à E, devrait au 
moins lui appartenir. Comme on peut, d'après 6), supprimer A de F 
s'il j a lieu, on voit qu'on arrive à une impossibilité. 

Passons à la condition 2°. Si elle n'était pas vérifiée, il existerait 
un élément A qui serait élément-limite d'un ensemble F, somme 
de deux ensembles G, H, sans l'être ni de G ni de H. On peut 
supposer que F ne contient pas A, d'api'ès h). Alors, si l'on 
appelle E l'ensemble des ébhnents de la classe autres que ceux 
de G, A sera intérieur à E et l'on pourra appliquer la pri)priété de 
Hedrick aux ensembles E, F. Dès lors, une partie F, de F devrait 
au moins appartenir à E; cette partie serait nécessairement une 
partie de H. De sorte que l'élément A serait élément-limite dune 
partie F, de H sans l'être de H lui-même et la condition 1° ne 
serait pas \érifiée. contrairement au paragraphe précédent. 

Enfin, arri\ons à la condition 5". Si elle n'était pas vérifiée, un 
certain élément A serait élément limite de l'ensemble dérivé F 
d'un certain ensemble G sans être élément-limite de G. Comme 
(»n a vu que la classe est nécessairement ("C^), il existerait un voi- 
sinage \ " de A sans élément commun avec G. Appelons alors E 
l'ensemble lormé des éléments de V^; A ne peut être élément- 
limite de l'ensemble (T)mplémentaire de V^ à E; donc il existerai! 
une [)artie F, de F cjui serait intérieure à E et aurait A pour 
élément-limite. Il a aurait un élémeiit B distinct de A commun 
à F, et V"^; cet élément appartenant à F serait élément-limite 
de G (' ), c'est-à-dire d'un ensemble d'éléments n'appartenant pas 
à E. D.)nc B (le F, ne serait pas intérieur à E. 

(') Si, dans le iemme de Hedrick, nous avions assujetti A à appailenir à 
lensemlile, et par suite à tui être intérieur, nous aurions «lit ici appeler E l'en- 
semble A H- V^l Cl alors, pour que le raisocmemont actuel soit correct, il aurait 
fa lu admettre que la condition 3° est vérilii-e. Au contraire, on voit qu'on a pu, 
sans celte restiiclion au Iemme et sans invoquer 3°, démontrer que les conditions 
étaient suffisantes. 



,56 PREMIÈRE PARTIE. 

Ainsi, non seulement nous avons donn»' an lemme de Hedrick 
une forme plus j^énérale, mais encore nous en avons donné la 
forme la plus i;énérale dans l'ordre d'idées où nous nous sommes 
placés. Autrement dit encore, pour toute cldsse vérifiant la con- 
dition b), il est équivalent de dire qu elle vérijie l'ensenihle des 
conditions i°, 2°, 5" ,ou de dire qu'elle a la propriété de Hedrich . 

XXII. Dans toute classe ( \'^ ) satisfaisant aux conditions 
2°, 3" et 5", la condition nécessaire et suffisante pour qu'un 
ensemble E d'' éléments de la classe ait la propriété de Borel 
est c^ue tout sous-ensemble infini de cet ensemble E a au 
moins un élément-limite appartenant à E. 

Nous avons vu que la condition était nécessaire. Réciproque- 
ment, si elle est vérifiée, l'ensemble E a la propriété de Borel; 
autrement, il existerait une famille dénombrable rf d'ensembles I,j 
telle que tout élément de E est intérieur à au moins l'un des 1„ 
sans qu'on puisse remplacer les I,, par un nombre lini d'entre eux. 
Alors, l'un au moins A, des éléments de E ne serait pas intérieur 
à I,. Mais A, est intérieur à l'un au inoins des !„; soit l„ le pre- 
mier (n<x > I ). L'un au moins des éléments de E n'est intéiieur ni 
à I,, ni à I2, ni à I;), . . ., ni à I„^, soit A2 nécessairement distinct 
de A,. Et ainsi de suite ; nous formerons une suite illimitée d'en- 
sembles I„ 

et d'éléments de E distincts A,. Ao, A3, Par hypothèse, il 

existe un élément A de E qui est élément-limite de l'enseudjlc V 
des éléments X,. Ao, .... Mais A est inlf-riciir à l'un des ensem- 
bles I», soit I„^. Vlors, comme la classe possède la propri(Ué de 
Hedrick, il existe un sous-ensemble F, de J^' ayant A pour élément- 
limite et intérieur à I„^. Or, pour p assez ^nand, Up sera supérieur 
à /Jo (^oil pour y; > />o ) et par suite \p, par (b'-linilion, ne sera pas 
intérieur à i„ . Donc E, ne conticnl que des élcuienls \ p d'indices 
inférieurs àpo- C'est ici qu'intervient la condition !" qui n'a pas 
encore été utilisée. Combinée avec •'.", elle exclut le cas d'un 
ensemble K, composé d'un nombre lini d'éb-ments el (|ui aurait 
cependant un ('b'-mcnt-liiuite. On obtient bien la contradiction 
prévue . 



MKLAXGI-S. 



MELANGES 



UN ÉCRIT DE BEAUGRAND SUR LA MÉTHODE DES TANGENTES 
DE FERMAT A PROPOS DE CELLE DE DESCARTES; 

Par m, C. de WAARD. 



La publication de cet écrit exige des renseignements préalables 
sur son auteur. Ce qu'on sait de lui se trouve dans des recueils 
divers, où il est question plutôt de ses amis ou de ses adversaires, 
nonobstant le r()le assez important qu'il joua dans l'histoire des 
mathématiques, de i63o à 1640 environ. 

Les premiers de ces renseignements se rattachent à la mémoire 
de Viète. On sait que l'analyste de Fontenay légua une partie de 
ses manuscrits à son secrétaire Pierre Alleaume ; puis ils pas- 
sèrent entre les mains du fils de celui-ci, Jacques Alleaume, 
déchiflreur de dépc^ches au service des Etats des Provinces unies, 
et ingénieur au service de Louis XIIL Alleaume laissa le soin 
d'en publier une partie, en 161 5, au géomètre écossais Alexandre 
Anderson. Plusieurs autres de ses écrits furent possédés par Jean 
d'Espagnet et son fils Etienne, tous deux conseillers au Parlement 
de Bordeaux et connus comme chimistes, qui en firent prendre 
connaissance entre autres à Fermât ('). Enfin une autre partie 
vint en possession de Beaugrand, nommé l'ami de Viète dans la 
dédicace que lui consacra, en iC)3o, le traducteur d'un des Ou- 
vrages posthumes du célèbre mathématicien (-) ; l'année suivante, 
Beaugx-and lui-mèuie édita à Paris une seconde partie de VArt 
analytique de \ iète (^) d'après une copie inédite, rédigée 

(') Œuvres de I'eumat, éd. Tanneij et Henry, t. II (Paris, 1894), p. i33. 

(-) Les cinq livres des zététiques de Fiiançois Viette mis en françois, com- 
mentez et augmentez des exemples de Poristique et Exégétique, etc., par 
J.-L.de V'av-Lezard. mathématicien, à Paris chez Iulian Iacquin,e\.c..MDC.\.\.X. 
— Dans une addilioii à la fin du Volume, on trouve ie nom écrit comme de Vau- 
lezard. 

(') Ad logisticeni speciosam Notœ priores (Paris, Guillaume fîaudry, i63i). 
Bull, des Sciences mathém., 2° série, t. XLII. (Juin 191S.) 12 



158 PREMIÈRE PARTIE. 

probablement sur le manuscrit original que cekii-ci lui avait 
confié (' ). 

La solution d'un certain problème par Beaugrand, dans l'édition 
mentionnée, donna occasion à Hardy et à Roberval d'en envoyer 
une critique à ^lersenne. Beaugrand remit alors de sa part au 
Minime une « reigle de connoistre les changemens dilFerens de 
plusieurs lettres lorscju'une mesme lettre est répétée 2, 3, ou 
plusieurs fois », et il assurait, dans une lettre inédite à Mersenne, 
du 20 février i632 (-), d'avoir « plusieurs moyens de rendre l'ana- 
lyse spécieuse plus générale ». Sans doute Beaugrand était déjà 
lié d'amitié avec Fermât, magistrat comme lui. Nommé par 
Richelieu, au printemps de liVd-U avec Etienne Pascal, Mydorge, 
les professeurs de mathématiques Boulenger et Hérigone et 
d'autres encore, commissaire dans l'atFaire fameuse de la détermi- 
nation des longitudes de Morin (qui le désignait dans des défis à 
ces commissaires comme « l'homme placide »), Beaugrand est 
aussi appelé en cette occasion professeur de mathématiques (=*), 
probablement à tort, car lorsqu'il signa bientcU le jnuvilège j)our 
une publication de Mersenne. dont l'achevé d'iinpiinier est du 
3o juin 1634 (*), il le fit sans doute en qualité de secrétaire du 
roi, fonction qui lui est toujours attribuée dans la suite. 



(') Plus tai'd encore, Beaugrand fut sollicité de comnuini(|uer les inanuscrits 
de \'iète en sa possession. « Quant aux œuvres de Vieta — écrivirent les EIzeviers 
de Leyde le 8 mars i638 à iMersenne — nous le commencerons si lost que nous 
aurons le tout complet. Pourtant il vous plaira procurer par Monsr du Vou- 
grand (sic) tant les corrections que aussi le manuscript du dict aucleur que 
vous escrivez n'estre jamais imprimé. N'ous faisons estât de le faire in-folio, 
comme ferons aussi avecque le temps toutes les œuvres de Galihcus » ( lettre 
publiée en fac-similé chez H. Lempertz, Bllderhefte zur Geschichte des Uucher- 
hanciels, CiJln, iN53-i8ô5, in-fol.). Comp. aussi une lettre de Desoartes à .Mer- 
senne du 3o août 1640 {Œuvres de Descautes, éd. Cli. .Vdam et P. Tannory, 
t. in, p. 167-168). On sait que l'édition des œuvres de Viète, recueillies par les 
soins de FVançois van Schooten le jeune, ne vit pas le jour avant 1646. 

(*) Codex Vindob., 7049. n" 7. 

(') SÉDn,i.0T, Les professeurs de /mi/heinatiqites et de phyftiijiic générale 
au Collège de France [extrait du Bidlctlino di hibliogra/ia e di storia délie 
se. mal. e fis. du prince Roncompai;ni. t. II fi86ç)) cl l. III (18711), p. io')|.\oir 
aussi les Œuvres de lir.Aisi-; Pastai., éd. Mrunsclivii-i; et Huiilroux, l, I (ii)n8), 
|i. ii'.»-i7i et 194-195- 

( ' ) Les questions théologiques, physiques, morales et mathématiques, etc. 
composées jinr Lie) I' {ère) .M(erscnne). A Paris. M.DC.XWIV, avec d'autres 
Ouvrages réunis dans un même volume. 



MÉLANGES. 159 

D'ailleurs, il avait fait déjà en i63i la connaissance .lu [)liil(jsoj)he 
anglais Thomas Hobbes, qui lit alors quelque séjour à Paris ('). 
Et quoiqu'on ne trouve pas Beaugrand mentionné expressément 
parmi ceux qui fréquentaient, comme Etienne Pascal, Mjdorge, 
Hardy, Roberval et Desargues, celte académie de mathéma- 
tiques que Mersenne inaugura vers le mois de mai i635, on ne 
peut guère douter que Beaugrand se joignit à ces savants avec 
lesquels il était étroitement lié à cette époque. Mersenne loua 
alors ses connaissances en harmonie et en géométrie (-); 11 le 
connaissait peut-être aussi comme le dépositaire à Paris des 
manuscrits de Fermât, qui envoya en i(335 à Beaugrand entre 
autres sa méthode pour la détermination des centres de gravité, 
application de la méthode célèbre de maximis et ininimis du 
géomètre de Toulouse (^). 

Les connaissances qu'on attribue à Beaugrand semblent c(jntir- 
mées par le bon accueil qu'il reçut pendant un voyage en Italie 
dui'ant l'automne de i635. En visitant Gastelli à Rome, Gavalieri à 
Bologne et ( ialilée à Arcetri [à qui il envoya à cette époque une 
lettre qui nous est conservée avec la i^éponse ( ')], il ne commu- 
niqua pas seulement à ses hôtes des propositions de Fermât, 
comme celle de la construction d'une parabole qui est donnée par 
quatre de ses points (^), mais aussi des idées du géomètre de 
Toulouse sur la pesanteur et sur des principes qui avaient du 
rapportavec ceux qu'il élabora dans un Ouvrage qu'il préparait ("). 
Ainsi Civalieri, ayant conçu par ces conversations une grande 



(') Œuvres de Uescartes, éd. cit., t. III, p. 342. 

{') «... Doiiiinus Beaugrand Hegis Regia; domus ac regni et a-rarij Sanc- 
lioris consiliarius atque Secretarius, cui piuriimim debebit Geonietria, si quando 
volet » {Harmonicorum libri in quitus agitur de sononuin nalura, etc. Luletia- 
Parisiorum suiiiplibus Gulieliiii Baiidry M. DC. XXXVI, partie seconde, p. 5o). 

(') Voir notre article Lettres inédites de Fermât dans les Mémoires de 
l'Académie de Toulouse, n" série, t. V, 1917, p- 7'). 

{*) Le Opère di Gauleo Galilei (éd. nat. vol. XVI, 190a, p. 335-337 et .34o-344). 

(') Ibid., vol. XVI, p. 3^5 et 366; c'est donc d'avant cette époque que date la 
pièce publiée dans les Œuvres de Feumat. éd. cit.. t. I. p. 84-87. 

C^) Voir la lettre de Gavalieri à Gastelli, du 19 décembre ïii;').!. chez 
Cil. Henry. Galilée, Torricelli, Cavalieri, Castelli [extrait des Mentorie délie 
jReale Accademia dei Lincei {classe di Se. mor.) 3- série, vol. V. 1S80. 
p. 16-17] ^^ ""6 lettre de Gastelli de date inconnue, publiée dans les Œuvres de 
Fermât, éd. cit., t. II, p. 26. 



i6o PREMIÈRE PARTIE. 

opinion de Beaugrand. exprima dans une lettre à Galilée, du 
34 décembre i635, sa joie d'avoir aussi, par son intermédiaire, de 
la communication avec les autres mathématiciens de la France. La 
renommée de Beaugi'and est confirmée encore par un passage de 
la première lettre connue de Fermât à Mersenne ; ce dernier était 
entré en correspondance avec Fermât précisément peut-être par 
l'intermédiaire de Beaugrand, revenu d'Italie : « Vous m'obligerez 
beaucoup — écrivit le géomètre de Toulouse le 26 avril i636 (') 
— de me faire savoir si M. de Beaugrand est à Paris. C'est un homme 
duquel je fais une estime très singulière; il a l'esprit merveil- 
leusement inventif, et je crois que sa Géostatique sera quelque 
chose de fort excellent. Je lui écrirai dès que vous m'aurez 
donné de ses nouvelles. » 

L'Ouvrage de Beaugrand parut avec une dédicace à Richelieu 
du 20 avril, privilège de mai i636 (-). Les entretiens de l'auteur 
avec Galilée j sont mentionnés ; et l'auteur suppose enti'e autres 
que la force, par laquelle un élément du volume d'un corps est 
attiré par un point fixe, est proportionnelle à la distance (^). 
Mais cet Ouvrage fut cependant une désillusion complète pcuir la 
plupart des amis de Beaugrand. Desargues, par exemple, exhorta 
Guy de la Bi'osse d'en publier une sévère critique, qui parut au 
commencement de l'année i63'j, remplie de « paroles d'aigreur » : 
ce fut la cause d'une rupture complète entre Desargues et Beau- 
grand. D'autre part. Fermât, tout en assurant Mersenne au sujet 
de Beaugrand qu'il estimait fort son esprit et qu' : « il m'en a 
donné de si grandes preuves, que j'ai peine à me persuader qu'ayant 
entrepris une opinion contraire à la sienne, je ne me sois éloigné 
de la vérité », ne pouvait en parler enfin que d'une « cause tout à 
fait déplorée » ( '■). 



(') Œuvres de Fermât, éd. cit., t. II, p. 4 5. 

{•) loANNis DE Beaugrand Régi Franciœ doinui regnoque ac œrario sanc- 
tiori a consiliis secretisque Geostatice seu de vario pondère gravium secundum 
l'aria a terrœ {catro) intervalla Dissertatio matliemalica. Piirisiis apud 
liissanum du Bray, via lacobx-a sub Spicis maturis M. I)C. XXWI. In-fol.. 
27 pages. 

(') Voir, pour un expose de la ihéorie de Beaugrand, les Œuvres de Feumat, 
éd. lit., t. II, p. 7-8, la noie 'l, les Œuvres de Descautes. éd. cit., t. Il, p. 6^5- 
f)'j7, et biMiEM, Les origines de la Statique, t. II (Paris, i<)o6), p. 178 et suiv. 

(') (HCuvres de Feumat. éd. cit., l. II, p. i '1 et ni. 



MÉLANGES. i6i 

De son côté, Beaugrand trouva bientôt aussi occasion de 
critiquer. Au printemps de iCyj- les feuilles du Discours de 
Descartes, imprimées en Hollande, arrivèrent à Paris entre les 
mains de Mersenne pour obtenir un privilège français. Beaugrand 
avait déjà signé, peut-être en sa qualité de secrétaire du roi, un 
tel privilège en i634 pour le Minime, comme il le fera encore 
en i638 pour un autre écrit du même (' ). Il eut connaissance des 
feuilles qui traitaient de la. Diop trique et les envoya, contrairement 
aux intentions de l'auteur et sans doute à l'insu de Mersenne (- ), 
à Fermât qui envoya ses remarques sur la déduction de la loi des 
sinus dès le mois d'avril ou de mai lôSj à Mersenne; celui-ci les 
envoya à son tour à Descartes à la fin de septembre, c'est-à-dire 
encore avant que l'Ouvrage même ne fût distribué à Paris, ce qui 
n'arriva qu'à la fin de l'année iGS^. Vers la même époque, et pro- 
bablement encore avant la fin de décembre 1 63-, Beaugrand fit part 
aux mathématiciens de Paris de ses critiques sur cette partie de 
l'Ouvrage de Descartes qui traitait de la Géométrie^ en disant « qu'il 
donnerait dans une préface des moyens pour trouver les tangentes 
de toutes les lignes courbes, qui seraient meilleurs que ceux 
émis dans cet Ouvrage (^) ». Et il continuait de s'occuper d'autres 
critiques encore sur la publication du philosophe, comme le 
prouve une lettre de Descartes à Mersenne, de mars i638 (^j, et 
cette lettre de Desargues à Mersenne, du 4 avril i638 (^). par où 
Desargues tâchait de concilier les vues différentes sur le problème 
de la construction des tangentes, celles de l'auteur de la Géo- 
métrie qui avait laissé en effet dans son Ouvrage trop d'obscurités 
voulues, et celles de ses autres adversaires, Roberval et Etienne 
Pascal, qui mettaient en avant la méthode de Fermât. 

Jusqu'à présent on ne connaissait des attaques de Beaugrand 
que celles qui regardent la partie algébrique du travail de Des- 

(') Les nouvelles pensées de Galilée, etc. (Paris. M. DC. XXXIX). 

(') Œuvres de Descartes, éd. cit., t. I. p. 355 et 890-391; t. II, p. 25, 85 
et 272. 

(î) Ibid.. t. I, p. 478 et 479- 

(<) Ibid., t. II, p. 82. 

(') Ibid., t. XI, 1909. p. VII des Errata à la fin du volume. Œuvres de 
Fermât, éd. cit., t. IV, 1912, p. 47i et l'Analyse d'autographes et d'autres 
écrits de Girard Desargues (i5y3-i662), par H. Brocard { Bar-le-Duc, 1918 ), 
p. 16. 



i62 PREMIERE PARTIE. 

caries avec la solution d'équations et les propriétés tle leurs 
racines. Une lettre de Beaiigrand à Mersenne, que Paul Tanneiy 
croyait être une de ses premières critiques et dont il fixe la date 
vers le mois d'avril i638, a été publiée dans la nouvelle édition 
des CEuvres de Descartes^ t. V, p. 5o3-5i2. Tannerj avait déjà 
publié dans le présent recueil de Tannée 1891 (') trois autres 
pamphlets contre Descartes, répandus à Paris sous forme manus- 
crite et sans nom d'auteur, mais rédigés, sans doute, par Beau- 
grand ; le premier datait probablement d'avant le mois de juin 
i638, les deux autres étaient postérieurs. Sauf le premier, ces 
pamphlets sont rédigés d'un ton assez injurieux, l'auteur appelant 
Descartes, par allusion au titre de son Ouvrage, le Méthodique ou 
le Mélhodique impertinent, ou. rappelant que le philosophe 
avait servi sous le prince Maurice, il l'appelait le soldat phi- 
losophe ou miles philosophas; Descartes, dans ses lettres à Aler- 
senne. lui rendait la pareille, ne l'appelant que le Géostaticien. 
Il portait un jugement sévère, mais juste sur le livre de Beaugrand, 
qu'il avait reçu enfin en Hollande en juin i638. Tandis que le 
but principal de Beaugrand dans ces quatre écrits était d'attribuer 
à son ancien ami \ iète la paternité de la plupart des découvertes 
de Descartes (le dernier pamphlet contenant aussi l'accusation 
fameuse d'un plagiat du philosophe à l'endroit de Harriot), les 
éditeurs de ces écrits ont remarqué que leur valeur réelle consiste 
dans l'usage des locutions positive et négative absolument dans 
le sens moderne en ce qui concerne les valeurs des racines des 
équations, et dans l'usage des exposants, qui suivent déjà avant 
la divulgation des écrits de Beangrand [comme par exemple dans 
l'OuNr.ige (hi Hérigone (2)] sur la même ligne les lettres qu'ils 
alTectcnl, mais se présentent aussi, dans la notation même de 
Beaugrand, comme de vrais exposants marqués en chill'res romains 
dans iMu- paraphrase des œuvres de Vièle, jmbliée en i()3() par 
.Jacques Hume (' ), Ouvrages dont on ne p<;ul i;nrre douicr rpi'ils 
('•laient connus de Bcani^rand. 



(') ({(-imprimée à part sous le litre rie La Correspondance de Descartes dans 
les Inédits du fonds Libri (Paris, 1893), p. /(i-55. 

(*) Cours mathématique, etc., « Paris, M. DC. XXXIV. 

( ') Algèbre de Viète d'une métfiode nouvelle, claire et facile, etc. Pans, chez 
Lucien lioulenger, rue Sainrt-Jaciiuts, à l'image Saiiicl-Louys. M. UC. WXVI. 



MELANGES. i63 

(hiaiU il la |)artie [)lus i;cométrique de l'OuvraL^e de Descartes, 
on n"a\ail jusqu'à présent aucune indication que Beaugrand eût 
exécuté la promesse qu'il avait faite au sujet de la construction 
des tangentes, depuis que cet Ouvrage était répandu à Paris. En 
effet, nonobstant ses relations précoces a\ec Fermât, qui commu- 
niqua ses découvertes à Beaugrand longtemps avant quelles 
vinssent à la connaissance des autres mathématiciens de Paris, il 
y a au contraire toute apparence que l'ami intime de Fermât avait 
gardé jusqu'ici la méthode pour le tracé des tangentes du géo- 
mètre de Toulouse ( car on ne peut guère douter que c'était celle-ci 
qu'il avait en vue dans sa promesse) soigneusement pour soi et 
ce fut Carcavy qui remit à Mersenne, à la fin de l'année i63-, le 
premier exposé de la méthode de Fermât, ne comprenant que son 
application aux sections coniques; et Mersenne fit connaître 
cette méthode aux autres géomètres de Paris et à Descartes. Mais, 
comme on l'a vu, après que Roberval et Etienne Pascal eurent 
engagé, au commencement de l'année i638, des disputes avec 
Descartes sur la méthode de F^ermat, Desargues nomma aussi 
Beaugrand parmi ceux qui critiquaient celle du philosophe et, si 
son nom ne figure pas à cette occasion avec ceux des deux défenseurs 
du géomètre de Toulouse, la raison en est peut-être soit dans ce 
fait que Roberval et Pascal étaient comme le porte-parole de toute 
l'assemblée de mathématiciens de Paris, dont il est parlé plus haut, 
soit dans la circonstance qu'aussi ses relations avec Roberval, 
comme avec Desargues, n'étaient pas alors assez amicales : 
nonobstant les prières de Fermât il refusait en 163; et i638 de 
bailler à Roberval certains manuscrits du géomètre de Toulouse 
qu'il avait par devers lui (') et leurs rapports s'aigrissaient plus 
encore. Ajoutons, à propos des disputes entre Descartes et ses 
deux adversaires, que Fermât envoya à Paris, en juin i638, encore 
un nouvel exposé de sa méthode, mais qui ne contient pas d'autres 
applications que le précédent. 

La pièce que nous publions se trouve dans un recueil conservé 
au British Muséum à Londres (Harleian mss 6796, dit. 18, 
fol. i55 recto- iGi verso) et dressé par Thomas lIobbes,déjà nommé, 
qui correspondait, depuis sa visite à Paris, entre autres avec 



{^ ).OEin-res de I-'krmat. éil. cit., t. FI, p. io'> et i33. 



i64 PREMIÈRE PARTIE. 

Merseiine et qui fréquenta les uiatliématiciens de cette ville 
aussi pendant le séjour de dix années qu'il y lit depuis qu'écla- 
tèrent les troubles en Angleterre l'année i64o. Dans cette pièce 
donc, Beaugrand critique à sa façon la méthode de Descartes. 
Bien que l'écrit ne porte point son nom, c'est lui qui en est l'au- 
teur comme on voit par le texte même. Quant à la date, qui n'y 
ligure pas plus qu'aux autres écrits volants de Beaugrand, le ton 
assez digne, et par lequel Descartes même, s'il avait eu communi- 
cation de la pièce, ne pouvait pas se sentir olFensé, ferait croire 
qu'on la doit fixer antérieurement aux auti^es attaques de Beau- 
grand contre Descartes. Des passages de lettres de Florimond de 
Beaune à Mersenne, publiées par les éditeurs de Descartes, 
semblent indiquer cependant que l'écrit serait de l'automne de 
1(338. 

D'abord ne s'étant pas encore rendu maître de la méthode des 
tangentes de Descartes, le conseiller au présidial de Blois, ne 
s'était mêlé que du problème direct des tangentes ; mais peu de 
temps après la réception de l'Ouvrage à Paris il posa le célèbre 
problème inverse des tangentes qui porte son nom : celui-ci 
était connu de Fermât au milieu de juin i<)38 (') et nous savons 
que Debeaune lui-même proposa le problème pour deux lignes 
courbes certainement avant ou vers le mois de septcndne i(338. 
La condition énoncée auparavant pour la première courl)e faisant 
toujours défaut, Paul ïannery, dans l'édition de Descartes, 
emprunta à un traité anonyme, écrit vers i-oo et conservé k la 
bibliothèque nationale, la définition « d'une (\ef> deux lignes 
courbes qui furent proposées à M. Descaries par ÏNI. de Beaune » 
par l'intermédiaire de Mersenne. « Ce premier cxemph' — dit 
l'auteur du manuscrit (-) — est tel. Soit ceilaiiic ligue cDiiibc ACc, 
dont AM soit l'abscisse et MC soil l'ordonnée que l'on suppose 
luj estre perpendiculaire |)i)ur plus grande facilité. (^)iie la tan- 
gente au point C soit CT. Li nature de cette ligne est telle que la 



(') « On pourrait ensuite clicrclicr — disiiit [•'ernial i'i la lii) de son expose de 
sa cnétlioilc à celte date — la converse de celle piopf)sili(>n cl. la propriété tie la 
tangente étant donnée, clierclier la courbe à qui celle propriété doit convenir; à 
laijuellc question aboutissent celles des verres brûlants proposées par M. Des- 
cartes ■> (Œuvres de Fi:nMAT, éd. cit., t. H, p. ifii). 

(') (Jfi'itires (le Dkscartes, éd. cit.. t. V, p. 5i.'|. 



MÉLANGES. 



i6" 



quantité donnée B jointe à l'abscisse AM soit à AM comme la 
même AM est à l'oitlonnée MC. » 



Fig. I. 




Ni Debeaune ni Roberval ne purent trouver la solution de ce 
problème si facile pour nous ('). Mais avant que Descartes ait 
envoyé de Hollande sa réponse (dans une lettre perdue du 
II octobre i638), Beaugrand fit parvenir à Debeaune une pré- 
tendue solution du problème, dont il est parlé dans une lettre de 
ce dernier à Mersenne du 26 septembre i(338 : « J'ay receu — 
dit-il (-) — deux lettres de vostre part, dans la première desquelles 
est contenue l'invention de la première contingente de celles que 
ie désirois sçavoir de AP Des Cartes, ti'ouvée par ^I' de Beaugrand. 
le luy ay beaucoup d'obligation de la peine qu'il a prise à mon 
subiect, mais ma difficulté ne consistoit pas tant d'avoir ceste 
ligne, qui ne me sert à rien^ comme de sçavoir le moyen de trou- 
ver ces sorles de lignes, qui est une science géométrique que ie 
désirois avoir, et qui m'est beaucoup utile à expliquer mes pen- 
sées. Et néantmoins M' de Beaugrand n'avoit point mis ce moyen, 
ni mesures la démonstration de sa proposition. » 

Or, c'est précisément ce premier exemple du problème inverse 
des tangentes de Debeaune, dont la solution jusqu'à certain degré 
avait été envoyée de la part de Beaugrand et par l'intermédiaire de 
Mersenne à Blois, qu'on retrouve dans notre manuscrit. Toutetois 



(') « Il n'avoit pas remarqué, non plus que inoy — écrivait Debeaune à l'égard 
de Roberval, dans une lettre du i3 novembre i638 à Mersenne — que ce fust une 
hyperbole. » Comp. cependant sa lettre à l^oberval du 10 octobre i63S {Œuvres 
de Descartes, éd. cit., t. V, p. 017 et 528). Enfin pour les eflorts infructueux de 
Debeaune lui-même, Œuvres de Descartes, éd. cit., t. II, p. 424. 

(') Œuvres de Descahtes, éd. cit., t. V, p. 5i5, 



i66 PUEMIEUE PARTIE. 

il ne semble pas qu'on ait le droit d'identifier ce dernier avec 
l'écrit indiqué par Debeanne dans sa letti^e. On reconnaît faci- 
lement que notre manuscrit consiste, pour une bonne partie, dans 
une application de la méthode de Fermât à la construction des 
tangentes. Mais les exposés et exemples que l'inventeur avait 
envoyés à Paris n'étaient pas encore connus du conseiller de Blois 
à la fin de septembre, ni son application à l'exemple qui se trouve 
dans notre manuscrit, puisqu'il pria Roberval dans une lettre du 
lo octobre i638 (' ) « de m'envoyer au plus tost, par nosti-e mes- 
sager, la méthode de M"" Fermai, que vous m'avés promis, avec 
l'analyse de ma première ligne pour m'en servir d'exemple ». 
C'est à cette dernière condition que notre manuscrit répond aussi, 
et mieux que l'écrit précédent de Beaugrand ; Roberval aura donc 
transmis la prière de Debeaune sans doute à Mersenne, qui 
d'ailleurs devait faire tenir l'exposé à Debeaune selon le vœu 
exprès de celui-ci, et le Minime se sera adressé à Beaugrand. Du 
reste, la lettre de Debeaune du aS septembre t638 étant envoyée, 
au moins en ce qui concerne le contenu principal, par Mersenne 
en Hollande à la fin d'octobre iG38, Descartes y répondit le 
i5 novembre i638 (-) : Roberval et Beaugrand lui « semblent 
plaisans, en ce qu'ils se vantent il'avoir trouvé les deux lignes de 
-M. de Beaune, et toutesfois ils n'ont pas seulement sceu connoistre 
que la première, qui est imcomparablement plus aisée que l'autre, 
est une hyperbole (') », et dans la même lettre, au reçu de la cri- 
tique de Roberval à sa solution du premier exemple de Debeaune, 
envoyée [lar Mersenne en Hollande le i°'' novembre i638 : « Ne 
craignez pas que je me sois mépris en disant que la première des 
lignes de AI. de Beaune est une hvperbole, et sçachez que tous 

(") Œuvres de Dkscahtes, éd. cit.. t. V. p. 5i8. 

(») Ihid.. éd. cit., l. H. p. 434-435. 

(') Outre « les plus célèbres inathéinaliciens de Paris», la seconde ligne de 
Debeaune, dont la solution dépend de l'intégration de l'équation différen- 
tielle -j— = — j-^ j fut proposée aussi à hermat (Œuvres de I)esc;artks, éd. 

cit., t. IV, p. 33o). Debeaune lui-même en envoya d'abord, le lo octobre i638, 
une solution erronée à Roberval; enfin Descartes résolut cet exemple, derenu 
classique, du problème de Debeaune, dans sa lettre du jo février l'JSg, en 
démontrant que la courbe était une logarithmique à ordonnées inclinées. Voir 
d'ailleurs les Œuvres de Uescartes, éd. cit.. t. V. p. -uq et suiv., 5^8 cl .SSî, 
et t. II, |>. '('>•». Vi' et .'j'>ij-52'3. 



MÉLANGES. 167 

ceux qui l'ont examiné sans le reconnoislre, se sont «irandement 
mépris » (' ). Parmi ces derniers, on ne peut pas compter Beau- 
i;rand . 

On a \u que les rapports de celui-ci avec Roberval n'étaient pas 
des meilleurs; en effet, dans sa troisième letti^e-circulaire {^), 
Beaugrand pouvait parler ouvertement de « ce fou de Roberval ». 
Quoiqu'il semble avoir gardé l'amitié de mathématiciens comme 
Etienne Pascal et Hardy ('='). ses relations aussi avec Desargues, 
contre qui il publiait en juillet i64o encore un pamphlet, s'aigris- 
saient de plus en plus. Celles-ci nous fournissent encore le rensei- 
gnement suivant, qui se trouve dans un Ouvrage de Desargues. 
publié à Paris au mois d'août i64o, où l'auteur s'exprime ainsi (*) : 
'( Puisqu'un reste dé page et l'occasion y convient, afin qu'après 
ce Brouillon il n'y ait plus en cecy d'abusez que ceux qui le vou- 
dront bien estre, on ne doit pas croire à tout esprit, ny à toute 
apparence; à tout esprit, en croyant que tous ceux qui font en 
particulier une grande monstre de plusieurs belles pensées en 
soit toujours les autheurs. On void escrit à la main une belle 
manière de trouver les touchantes aux courbes, ensuitte des plus 
grands et plus petits, laquelle est avérée de monsieur de Fermât, 
très digne conseiller de parlement de Tholoze. » La première des 
deux pièces dont il est parlé ici peut fort bien être le présent 
écrit de Beaugrand, visé par Desargues, comme il le fut, sans 
doute aussi, après la lecture de l'Ouvrage, par Fermât dans une 
lettre à Frenicle d'octobre i64o {■') et plus tard ouvertement par 
Biaise Pascal C' ). En effet, à ceux qui ignoraient que l'écrit de 
Beaugrand était envoyé à son destinataire comme un exposé de la 

(') Œuvres de Descartes, éd. cit., t. II, p. 444- 

(^) Bull. Se, 2= série, t. XV, iSgijp. 286. ou la réimpression citée ci-avant, p. 55. 

(3) Ainsi le Père Fournier rapporte que l'éclipsé du Soleil, arrivée le i"juin 1689. 
fut observée à Paris : i" par M. de Roberval, professeur en Mathématiques, 
M. le trésorier Mydorge et le R. P. Pétau, jésuite ; 2° M. Beaugrand. secrétaire, 
assisté de M. le Président Pascal et M. Hardi, conseiller au Chastelet; 
3* M. Boulliaud; observée à Blois par M. de Beaune, conseiller du Roy, etc. 
{Hydrographie, etc., i643, p. 582-583). 

(*) Brouillon projet d'exemple, etc. [Œuvres de Desargues réunies et ana- 
lysées par M. Poudra, t. I (Paris, 1864), p. 354-355]. 

(') Œuvres de Feumat, éd. cit.. t. II, p. 207. 

(«) Histoire de la Boulette, i658 [Œuvres de Blaise Pascal, éd. Brunschvicg. 
Boutroux et Gazier, t. VIII (Paris, it|i4)i P- i<>7-i99]- 



i68 PREMIÈRE PARTIE. 

méthode de Fermât, il ne pouvait apparaître que comme un larcin 
fait au géomètre de Toulouse ; celui-ci n y est nommé, en effet, que 
comme un quelconque qui aurait proposé une application spéciale 
de la méthode. 

Ajoutons à ce qui précède que le recueil de Hobbes, auquel 
nous empruntons l'écrit suivant, contient encore deux autres 
pièces importantes à l'égard de la publication de Descartes. La 
première est la rédaction originale par Debeaune de ses Notes 
brieves sur la méthode algebraïque de M' Des Cartes ('), 
reçues par le philosophe en Hollande au commencement de 
l'année 1689 et dont on ne connaît jusqu'à présent que la tra- 
duction latine publiée par Van Schooten en 1649 *^^ ^^ '^^^9 (^)- 
La seconde pièce, intitulée Recueil du Calcul qui sert à la 
Géométrie^ comprend les notes dressées par un gentiliiomme de 
Hollande (Godefroi de Haestrecht ?) et envoyées par Descartes à 
Mersenne en mai et en juillet i638 (^) dont M. Henri Adam, dans 
le Bulletin (2"'" série, t. XX, 1896), puis les éditeurs de Des- 
cartes à la fin du TomeX, ont publié une partie d'après une copie 
trouvée dans les papiers de Leibniz, à laquelle manque cependant 
toute la fin du travail (^). 



(') Harleiaa ins G796, art. 23 (comniencemeiiL : L'algèbre spécieuse^ c'est- 
à-dire qui s'explique par les espèces...; fin : ... (jue par cette règle de 
Cardan). 

(-) Voir les Œuvres de Descartes, éd.. cit., t. II, p. 499, 5io, 523, 075 et 
surtout p. 579-580, t. V, p. 5i3. Dans ces Notes, Debeanne avait proposé pour sa 
première ligne, dont il y a été question plus liaut, le problème direct des tan- 
gentes, comme on le voit aussi dans la traduction de Van Schooten, éd. de 1649, 
p. 146, et éd. de 1609, p. i3i. 

(') Œuvres de Descartes, éd. cit.. t. Il, p. i5:> et 246. 

(') Au-dessus du titre de la copie de Hobbes {Harleiaa ms fiTQG, art. '21 ) 
il y a écrit : J/'" de Caries his Tract, sent me by Mersennus Mardi i, 1O40, de 
la main de Hobbes. A l'égard de cette indication, nous renvoyons, outre les 
lettres citées au bas de la page 660 du Tome \ de l'édition des Œmres de 
Dbs(;artes, plus spécialement à la lettre de Dcscarles it Mersenne, du 
II mars 1640 (t. III, p. 43) et à la lettre de Digby fi Mersenne, du i5 mars 1640 
(t. IV, p. 212). Il résulte de la dernière que Digby. et par lui sans doute 
Hobbes, reçut la copie, de la part de Mersenne, entre le.f'i février et le i5 mars 
de l'année 1^40. 



MELANGES. 



169 



De la manière de trouver les tangentes des lignes colrbes 
PAR l'Algèbre et des imperfections de celle du S. des C. 



C[lier] A[ini], 

Pour le mieux faire connoistre les defFauls de la façon du 
S. des C. pour trouuer des lignes droites qui coupent les courbes 
données a angles droicts, je veux te monstrer l'artifice dont il est 
vrajsemhlable que Apollonius s'est seruj pour trouuer les tan- 
gentes des sections coniques, qui est gênerai et qui peut estre 
employé à toutes sortes de lignes courbes sans aucune excep- 
tion. 

Soit vne Ellipse ACH et qu'il faille tirer vue ligne droite qui 




la touche au poinctC. Tracez l'axe, ou vn autre diamètre, comme AB 
et la ligne droite HCE, supposant seulement que le poinct H soit 
dans l'Ellipse avec les ordonnées CD, HG. D'autant que les lignes 
BD, DC, DA sont données, nous nommerons la première b. la 
seconde h et la troisiesme d. Et la ligne DE estant celle dont nous 
voulons chercher la mesure pour sçauoir par quel poinct du 
diamètre BA doit passer la droicte qui touche l'Ellipse au poinct G, 
nous l'appellerons a, et la ligne DG o, pour la raison que je 
touchera j cv-apres. 

De là il s'ensuit que le rectangle BDA est bd, le rectangle BGA 
bd — do -^ ob — 00. Et y ayant mesme proportion de DE à DC 



que de EG à GH, GH sera 



oh 



D'ailleurs y ayant aussy 



mesme proportion du rectangle BDA au rectangle BGA que tlu 
quarrc de DC au quarré de HG par la 21 yj. i d 'Apollonius, le 



PREiMIERE PARTIE. 



quarré de HG sera 



et par conséquent 



sera esgal au quarré de 



bd 

— do 
-^bo 

— oo 
~bd~ 

bd 

— do 
-^bo 

— oo 
~bd~ 

oh ~ ah 



hh] (>) 



[ )hh\ (i) 



Multipliant, diuisant et estant les quantitez qui s'efracent 

Fig. 3. 
H -^H 




inuUiellement en cette équation, bdo -j- ibda^ sera esgal a 
— daa -+- aab — oaa . 

(Jr si la ligne HCE touche lellipse au poinct C, il est nécessaire 
que la ligne GD soit o, c'est a dire nulle, auquel cas il est très 
euident que toutes les quantitez quelle aura uuillij^liées sont 
nulles, et que, si uous les ostez de la précédente équation, soit 
qu'elles soient marquées de \'\i\ ou l'autre signe, H- ibda demeu- 
rera esgal a — daa -\- aab. dOii luiiis connoistrez que — -; r 

'^ 1 — d -\- b 

est la valeur de âr, et que, si Bl) moins l)\ csl a I) V connue :>IM) 

à De, on hicii si HD est a DA comuie JiE a AE, la droicle ECU 

touchera l'Ellipse en C ainsi que demonslre Apollonius \\Ï p. i. 

Si la ligne ACH est vne hyperbole on conclura auec la uiesme 

facilité (jue -r est la valeur d'rt cl (pic >i Hl ) piii> I )A l'-^l a l ) A 



( ' ) Omission dans U' ms. 



MELANGES. 171 

[comme 2BD à Ds, ou Ijien si BD est à DA](' } comme BE a AE, 
la ligne HCE touchera riiyperbole au poinct C, coiume prouve 
Apollonius en la mesme proposition. 

Mais, si au lieu d'vne Ellipse ou dVne hyperbole, vous conceuez 
que ACH soit vue ligne courbe dont la nature soit telle que les 
lignes DC, HG, S, T^A^^Z^ etc. y estant continuellement propor- 
tionnelles, le rectangle BDA soit au rectangle BGA comme DC a T 
ou comme DG a ,F ou bien comme DC a Z^ si vous faictes la 
ligne DE de telle mesure que BD soit a DA comme BD pkis DE, 
ou comme BD plus 2 DE, ou bien comme BD plus 3 DE etc. y est 
a AE, la ligne droite HEC touchera chacune de ces courbes. Et si on 
suppose que ACH soit vne parabole, on conclura par le mesme 
raisonnement que si DB est a DA comme DE a AE, la ligne HCE 
touchera la parabole au poinct C, qui est vne proposition qui 
n'est point dans Apollo-mus, et qui se peut aussy demonstrer 
facilement par la iprop. de ma Parabolomêtrie (-). 

Si tu prens la peine de chercher les tangentes des mesmes 
lignes par l'inuention que le S"" des C. s'attribiie et qu'il dit n'estre 
pas vne des moindres de sa méthode (^), il te sera facile de juger 
combien celle-cj est plus simple, facile et générale, et. parti- 
culièrement si tu suppose que les ordonnées ne rencontrent pas 
leur diamètre a angles droicts, comme il est nécessaire en sa 
méthode si on ne veut s'embarasser dans vn labyrinte dont 
l'issiie seroit extraordinairement difficile. C'est ce qui la obligé 
luv mesme, lorsqu'il a voulu pratiquer sa reigle en la ligne courbe, 
qu'il nomme seconde parabole ('*), de conceuoir celte ligne 
comme engendrée par le mouuement d'vne parabole sur son axe 
et non sur vn diamètre, qui est coupé obliquement par ses 
ordonnées. 

Au lieu que par la méthode précédente, vous trouucrez vn 



C) Omission dans le ms. 

(-) Cet Ouvrage de Beaugrand, resté manuscrit, semble avoir traité des para- 
boles de degré supérieur, dont le concept était dû aussi à Fermai. Dans une 
lettre à Koberval, du 22 septembre i6.36, Fermât fait mention spécialement de la 
parabole cubique en rappelant « (jue .M. de Beaugrand, à qui j'en lis la proposi- 
tion, l'appelle /ja/*fl6oZe solide » {Œuvres de Fermât, éd. cit., t. II, p. 78). 

(^) Géométrie, éd. de 1637, p. 3.5i. 

(') Ibid.y p. 337 et suiv., 343-34'f, i'>5 et suiv., et 4i''. 



I7> PREMIER [i PAUTIH. 

théorème général suiuant lequel il vous sera facile de tirer vue 
ligne droite qui touche cette seconde parahole à vn poinct donné, 
en quelque façon qu'on se l'imagine auoir esté produite. 

Soient les deux lignes droites AB, AX ( ' ). Si la parabole KGH se 
meut tellement sur AX que celuj de ses diamètres, qui est coupé 
par ses ordonnées a angles de mesme grandeur que l'angle BAX, 
ne s'en sépare en façon quelconque, et si la ligne droite EL se 
meut circulairement a l'entour du poinct B, en sorte que le 
poinct L soit tousiours esgalement distant du poinct K, qui est le 
sommet de la parabole, la courbe, qui sera descrite par l'inter- 
section de la ligne droite BL et de la parabolique KGH, sera celle 
que le S. des G. nomme assez peu bien seconde parabole, pour 
ce que par la mesme raison il faudroit nommer l'hjperbole, c'est 
a dire vne ligne courbe, vne seconde ligue droite^ attendu que 
si HGK. estoit vne ligne droicte et non vne parabole, vous descri- 
riez par ce mouuement vne hyperbole. 

Ne laissons pas de Irouuer une ligne droite qui la touche au 
poinct G, pris ou il plaira. 

Du poinct G et du poinct H, qu'il faut imaginer estre en la 
courbe HG, tirez parallèlement à AX les droites HG, GD (*). lit 
nommez BA, b; AD, y\ DG, x; KL, c; le costé droit de la para- 
bole KGH, d; DE, a. D'autant que les quatre lignes BD, GD, GS, 

LS sont proportionnelles LS sera - — :^, SK c + . > et le 

(juarré de GB cd~\--j-^ — d'où il s'ensuit que yy sera esgal 
a ce? + T et par conséquent a?, c'est a dire DG, sera 

— y y. y ~^yy^ -\- ycd — cdb 
yd 

Par le mesme raisonnement on monstre que HG est C2 et pour 
ce que DE est à DG couime EG a GH, GH sera aussi x 

—yyy ) —yyy 

— yyy — 3yyo — èyoo — ooo -^ byy Ç^^ -^ byy 

-+-yyb ■+■ 'iyob -h oo/j -h cdy 1 -+- cdy 

- ycd ■+• ocd — cdb , , — bcd 1 — bcd 

^ j'd — od " dra 

Muhipiianl et diuisanl les Icruic de riMpialiou (pii résulte de 
(') Le Icclcur est prie de fuirc la (i^urc. 



MÉLANGES. 173 

ces deux valeurs de la li^ne HG et ostanL les quanlilez qui s'ef- 
facent mutuellement 

-h iy"' a-^ yyao -^ yaoo ) sera t -t-J'"— j'^ — yycd -^ ybcd — bcda 
— yyab — yabo \ égal à / -^ y" ^ — JY^"^ — ycdo -+- bcdo 

Après celte réduction et non deuant, eflacez toutes les grandeurs 
que la quantité nulle, c['est] a d[lre] o, aura multipliée et 
vous apprendrez que 

-+- 1 '^' — y'" b — yycd -+- r bcd 
— iy"' -h yyb -+- bcd 

est la valeur de a, c'est à dire de DE, et par conséquent, ayant 
l'autre poinct par ou la tangente de cette ligne courbe doit passer, 
il sera facile de la tracer (*). 

Tu voy que ie n'ay point suppose que l'angle BAX fust droict 
comme le S. des C. et que la construction, qui se tire de cette 
analyse, a lieu lorsqu'il est oblique tout ainsy que quand il est 
droit. Je ne me suis point seruy non plus pour trouuer la valeur 
de la ligne DE d'autres équations que de la principale qui n'a pas 
monté iusques au sixiesme degré comme la sienne. 

Mais ce n'est pas tout. Bien que l'on suppose que le diamètre 
coupe ses ordonnées a angles droicts, le procédé de sa reigle ne 
laisse pas destre assez souuent si long et si pénible, qu'il a faict 
perdre l'escrime au S' de Beaulne, qui s'en vouloit seruir pour 
trouuer la tangente de la ligne courbe qui se descrit ainsy : 

Prenez la ligne droite SAX (*) pour son axe, le poinct A pour 
son sommet, et dans la dicte ligne tel poinct qu'il vous plaira 
comme E. et ayant esleué la perpendiculaire EF, si vous la faictes 
esgaleala troisiesme proportionnelle aux lignes SE, AE, le poinct F 
sera dans la courbe. De mesme, si LM est perpendiculaire a AE et 

(') Ce qui précède forme la première détermination que l'on connaisse, de la 
tangente à la parabole de Descartes par voie analytique. l'entre les années 1637 
et i64o, elle fut construite aussi par Koberval, au moyen de sa célèbre méthode 
mécaniijue: il écrivit à Fermât, le 4 août iC^o, qu'il avait construit par ce 
moyen les tangentes «de toutes les courbes cjui ont pu venir à ma connoissance ». 
On trouve exécutée sa construction dans l'exposé des Observations qui est 
imprimé dans les Divers ouvrages de mathémalique et de physique, par 
Messieurs de l'Académie royale des sciences ( Paris, Imprimerie royale, 
M.DCXCIII, p. iio-iii). 

(-) Le lecteur est prié de faire la figure. 
Bull, des Sciences rnathéni., -î' série, t. XF^II. (Juin 1918.) i3 



174 PRR.MIÈUK PAHTIE. 

Iroisiesme proportionnelle aux lignes SL, AL, le poinct M sera 

clans celte courbe, et ainsy vous trouuerez tous ses autres poincts. 

Si vous desirez auoir vne ligne qui la touche au poinct F, tirez 
la ligne droite XFM, supposant que le poinct INI soit en cette 
courbe et nommez AE, d', SA, b\ SL, o; EX, e. 

D'autant que par la construction de cette courbe SE, AE, EF 

ni^ dd . 1 

sont en proportion continue. Er sera - — et pour la mesme 

raison LM sera — ^— r — -, — - ■> et les quatre lignes XE, XL, EF, 

LM estant proportionnelles, 

dde -\- ddo , , dde -\- idoe -^ ooe 

— sera eseal a -, ; 

d -h b ^ d -h b -~ o 

Multipliant, diuisant et ostant toutes quantitez qui s'effacent 
mutuellement 

dd [e] -i- deo -+- ?.dbe -i- (d)e sera esgal à ddd -h bdd -r- odd. 

Ostant tous les termes que la quantité nulle a uiultipliés, vous 
troutierez que la valeur de, c'est a dire de XE, sera —: — — ;-• Et 

T ' d -r- f.b 

par conséquent, si la droite A\ est double de AS et XE de telle 
grandeur que YE soit a SA comme AE a AX, la droite XF tou- 
chera celte courbe en F, qui est la résolution que ie donnay 
audict S. DE Beaulne sur cette question, de laquelle il numdoit 
avoir besoin dans quelque dessein touchant la DIoptrique. 

Et ayant considéré la nature de cette ligne, i'ai reuiarqué (') 
que ce n'estoit autre chose qu'vne hyperbole, dont le costé droit 
et le trauersant se trouuent en cette façon. Tirez ^ D perpendicu- 
laire a YA etesgale a 2A\ et tirez DAC et la droite A IN peipendi- 
culaire sur J3A, AÏS sera le costé droit et AD le trauersant et les 
ordonnées comme FC, MG, seront toutes |)arallèlesà AL. 

Or afin que tu puisse pleineuieut consickucr lysage de la quan- 
tité nulle que j'introduits en la recherche des tangentes, je ueux 
t'en donner encor vn exemple en la première concluude de Nico- 
MEDE puisque le S. des C. adiioiic (-' ) luy mesme (\\\c si du vouloit 

(') Le manuscrit porte : ic remarqué. 
(') Géonn/trie, éd. de id-i-, \>- 35i-352. 



MÉLANGES. 



I7J 



trouiier la tanoente de celle ligne par la méthode qu'il a expliquée, 
on s'engageroil dans vn calcul autanl ou plus long que aucune 
de ceux qu'il a faicts auparavant. 

Que les deux lignes BE, AD s'entrecoupent a angles droits, et 
prenez en Ivne des deux les poincts A, D, dont l'vn sera le Pôle et 
l'autre le sommet de la courbe ; et tirant du poinct A tant de 
droictes que l'on voudra comme AEC, AIM, si vous faictes CE, 




IM esgales a BD, les poincts C, M seront dans la courbe. Pour 
trouuer suiuant quelles loix sa tangente, au poinct C par exemple, 
doit eslre descnte, tirez KCM en sorte que le poinct K soit en la 
droite EB et le poinct M en la courbe, qu'il faut conceuoir au 
commencement estre ditVerent du poinct C. 

Nommons AE, b] EC, d; BE, k; KE, a; El, o. Le quarré de lA 
sera hh — 2ko + oo. Et d'autant que la raison de IK. à KE est 
composée de la raison de IM ( ' ) a MA et de la raison de AG à CE 
comme Ptolemée et Theon ont demonstré et moy en la 2 prop. de 
la Geostatique (^), et que les lignes IM, CE sont esgales, il y 
aura mesme proportion de IK à KE que de AC à MA, d'où il 



s'ensuit que MA sera 



ab 



ad r K / ., ba — do 
et lA ( * et par conséquent. 



bb — t.ko -\- 00 sera esgal au quarré de 



ba — do 



( ' ) Le niauuscrit portait d'abord LM ; puis ces deux lettres sont barrées et il 
y a écrit en marge IM. En haut de celte page (fol. iGo verso) qui commence 
ici, on trouve une seconde figure identique à la précédente; nous avons cru inu- 
tile de la reproduire de nouveau. 

(') Voir pour cet Ouvrage ci-avant, p. 160. 

C) Ms d'abord LA; barré et en marge JÀ. 



176 PIUÎMIÈRE PAKTIE. 

Multipliant, diuisant et ostant de cette équation les quantltez 
qui s'effacent mutuellement 

-+- oaa -\- 000 1 [ -^ ikaa 

-^labb-^bboS sera esgal à l -\- ^kao — ibad. 
-H ïaoo 1 f ^^ [*] ^i'^" ~*~ ddo. 

Et d'autant que, si la droicte KCM touche cette conchoïde, il 
est nécessaire que El soit nulle, ostez toutes les quantitez ou o se 

, , , bb -\-bd 
rencontre et puis vous connoistrez que la valeur de a est -. 

A' 

et par conséquent, si EB esta AC comme AE a KE, la droicte KC 
touchera la conchoide DMC Ou tu dois remarquer que la défini- 
tion de tangente que donne Elclide au 3 liure des Eletnens, ne 
peut conuenir à la tangente de la conchoide dont il s'agist, pour 
ce qu'il n'y a que celle qui la touche au sommet, qui estant pro- 
longée ne la touche point; toutes les autres la coupent ailleurs 
après l'auoir touchée. Et je m'estonne que Ramus dans ces 
Escholea mathématiques (') où il examine assez rigoureusement 
toutes les définitions et les autres propositions des Elemens n'ait 
dict aucune chose sur celle cy, pour ce que pour estre rendue 
générale, il est l)esoin de la reformer en y adioustant quelque 
chose (-). 

J'adjousterois \eî> tangentes de la seconde conchoide de Nico- 
MEDE (■'), la cissoide de Diocle et de plusieurs autres, mais c'est 



(') P. Kk'sn Scholaruni rnathematicarum libri unus et triginla. Rasillex. par 
Euseb. Episcopium el Nicolai fralris liaîredes. Anno MDLXIX, ia-4°, réimprimées 
Basilese, 1578: Francofurti, 1079, el Ibid., 1627. 

(-) La coDstruclion de la tangente à la conchoide de Nicomkdk fui proposée 
par Fermât à Roberval dans une lettre du 2> septembre i636, à laquelle ce der- 
nier répondit le 1 1 octobre entre autres que « il y a deux points en la conchoide par 
lesquels on ne peut mener des tangentes », question qui fut traitée ultérieure- 
ment dans des lettres du 4 novembre, du 22 novembre et du 7 décembre i63(j 
[Œuvres de Fermât, éd. cit.. t. Il, p. 72, So, 80-87, !M-9^' <"' l'article cité 
ci-avant pa^e 1.59, la note /|). Beaugrand ne semble pas avoir regardé les points 
d'inflexion. Ajoutons que l-'ermal, après avoir donné, dans sa lettre du \ no- 
vembre i'33G, seulement le résultat de la construction de la tangente par sa 
méthode, ne donne la solution complète que vers l'année j'i'j.i (Œuvres de 
Fermât, éd. cit., t. I, p. iGi-itia). 

(') Pour cette courbe, le problème fut proposé par Fermai à Poberval dans 
sa lettre du i<j décembre i63G (Œuvres de Fkhmat, éd. lii.. t. II. p. ^^!^). 



MÉLANGES. 177 

assez d'Algèbre pour vne fois. Au lien de cela je le communi- 
queraj la démonstration de la tangente de l'hélice d'ARCHiMEOE, 
sine jnclinatione ad locuin solidum, que ie fis il j a quelque 
temps à la prière de M. Fermât, conseiller au parlement de Tho- 
loze. Tu scaj que Pappus au 4 Liure de ses Collections accuse 
Archimede d'enauoir faict la solution ex jnipropi'io génère, mais 
d'autant que toutes les propositions du liure r.z^l Ia'.xwv sont en 
forme de tlieoremes. ie ne iuge pas que Pappus ait eu entièrement 
raison de le reprendre, non plus que Apollomls. 

Je te j)rie de m'en dire ton aduis et de me croire tousjours 

C[her]A[ml]. 

Ton très humble seruiteur 



UN THÉORÈME RELATIF A DEUX ELLIPSOÏDES CONFOCAUX ; 
PAn M. F. GONSETH. 



1. Le théorème dont il s'agit présente quelque analogie, dans 
l'espace, avec un théorème très connu de Graves, dont voici 
l'énoncé : 

Si un fil passé autour d^ une ellipse est tendu par une pointe, 
celle-ci décrit une ellipse confocale à la première. 

Le théorème analogue de l'espace sera le suivant : 

Si d\in point P on mène le cône tangent à un ellipsoïde . et 
qu'on calcule l'intégrale de la courbure moyenne sur la sur- 
face fermée convexe formée par le cône arrêté aux points de 
contact, et par la portion de l'ellipsoïde qui lui fait suite, 
cette intégrale reste constante si le point P décrit un ellipsoïde 
confocal au premier. 

J'exposerai la méthode de démonstration tout d*ai)ord dans le 
cas du théorème de Graves. 

2. Supposons ([u'uu enseudile \l. à deux paramètres, de droites 



178 PllEMIÈHE PARTIE, 

nous soit donné; chacune d'elles a une équation de la forme 
x cos(û -=- j' siiio — p = o. 
L'intégrale, étendue à toutes les valeurs (îs, p) de l'ensemble 

M(E) = I fcUdp, 

est, d'après Crofton (' ), la mesure de cet ensemble. 

M. Polja (■-) a montré que, entre toutes les mesures imagi- 
nables 



^'*=/ [/{'-?, P) do dp 



[oùy"('^, p^ est une fonction arbitraire], la mesure de Crofton est 
univoquement déterminée par les trois conditions que voici : 

I. 11 existe des ensembles pour lesquels jM(E)>>o; pour tout 

ensemble on doit avoir 

M(E)^o. 
IL 

M(E,-hE2) = M(E,) -i-M(E2). 

IIL M(E) est invariante pour tout mouvement du plan. 

La première remarque à faire est que ces trois conditions sont 
aussi remplies par les intégrales définissant une aire, euclidienne 
ou non euclidienne (') (en faisant d'ailleurs, pour la première 
condition, abstraction d'une constante du plan non euclidien, s'il 
y a lieu). Supposons que l'enseiuble E soit celui des sécante* 
d'une courbe fermée convexe. La mesure M(E) est alors aussi 
l'intégrale de la largeur de cette courbe; elle est par conséquent (*) 
égale au périniètre de cette dernière. 

3. D'autre part, l'équation de toute drniie de E aurait pu 

(') Croitox, O/i the Tlieoiy of Local l'robabililies {Philos. Trans., I^uiulon, 
IS58, vol. lôS). 

(') G. FoLYA. Sitzuiigsberitclie der Akad.der W'issenscliaften. Wicn, Ahj;. \\a, 
Bd. 12G, Hcfl ;j. 

(•) Les mouveiiicnls clmil il s"iii;il dans la coiidilioii III sont alors iialurcllc- 
menl entendus au sens non encliilien. 

(*) II. AliNKOwsKi, Œuvres complètes, l. II; Veher die Kiirpcr konstanlcr 
Breite, p. 2-8. 



MÉLANGES. 179 

s'écrire 

ux -1- ty -T- I = o . 

Considérons l'ensemble des points de coordonnées rectangu- 
laires 

(A) X ^= u\ y =^ V. 

Les deux formules (A) elFectuent une transformation corréla- 
tive du plan, qui transforme toute droite en un point; qui trans- 
forme la paire de points cycliques a- + (" = o dans la paire de 
droites isotropes de l'origine 

qui transforme enfin les mouvements du premier plan dans les 
mouvements (au sens non euclidien) d'un plan où la conique 

absolue est 

x^- ^- y- ^= o. 

De ce dernier fait, rapproché du fait, rappelé au u" 2, que la 
mesure de E est univoquement déterminée par les trois conditions 
citées, conditions auxquelles satisfait aussi une aire non eucli- 
■dienne, il résulte que : 

La me.ça/'e M(E) est proportionnelle à laire de V ensemble 
des points de coordonnées cartésiennes (a, v) dans un plan 
non euclidien où la conique absolue est x- -+- j'^ = o. 

C'est là la propriété dont nous allons faire application. 

■4. Considérons maintenant deux ellipses confocales E, et Eo- 
D'un point P de E, nous menons les tangentes a et b à Ej ; la 
tangente ^, en P, est bissectrice de l'angle (a, b) {fig- 1). 

Appliquons à cette figure la transformation définie par les for- 
mules (A). Nous obtenons comme transformées deux coniques E', 
€t E!, qui ne soni plus confocales, mais qui sont dans un même 
faisceau ponctuel avec le cercle-point x-^y-=:io (puisque les 
premières étaient dans un même faisceau tangentiel Asec la paire 
ombilicale a- + f^ __ q j 

Aux tangentes a et b, par le point P de E,, correspondent les 
points A et B, sur la tangente jo à Ej. Le point T, correspondant 



i8o PREMIÈRE PARTIR. 

à la bissectrice de (a />), est au milieu de AB (au sens non eucli- 
dien) {Jig- 2). 

Pour démontrer maintenant que le til tendu de P autour de Ipj 

Fiir. I. 




a une longueur constante lorsque P décrit E,, il faudrait faire voir 
que la mesure des droites qui le rencontrent est aussi constante; 
c'est-à-dire, d'après ce qui précède, que l'aire non euclidienne de 
la portion de plan située à l'extérieur de la courbe convexe fermée, 




aV 



formée de /> et de la [)(>rtion de lellipse E', qui contient O, l'est 
éf,Mleruent. Dans ce l>ut, menons uue laniieute /;' très voisine de 
la précédente. En négligeant des inlinimenl petits du second 
ordre, nous poun-ons supposer que le point S. intersection Ac p 
el p' f est au milieu de AB et de \'B'. Les triangles inlinimenl 
petits SAA' et SBB' sont superposables; ce qui suffit pour que 
l'aire du segment détaclié de E., par y> soit constante; ce qui enfin 
démontre le théorème de Graves. 

( . / siiiirc. ) 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. i8t 

COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 



PICARD (Emile). — Les Sciences mathématiques en France depuis un 
DEMI-SIÈCLE. I brochure ia-S de 26 pages; Paris, Gaulhier-Villars, 1917. 

Préface. — On se propose d'indiquer ici succinctement la part 
prise par la France dans le progrès des Sciences mathématiques 
pendant la seconde moitié du xix^ siècle et dans les premières 
années du siècle actuel, sans avoir la prétention de donner en 
quelques pages un tableau complet, et en laissant de côté des 
travaux trop récents, pour lesquels le recul paraît insuffisant. 

Pendant la première moitié du xix^ siècle, les voies les plus 
fécondes avaient été ouvertes par Fourier, Cauchy et Galois. 
L'ouvrage de Fourier sur la théorie analytique de la chaleur est 
célèbre en Physique mathématique; il contient le germe des 
méthodes employées dans l'étude des équations différentielles aux- 
quelles conduisent de nombreuses théories physiques, et les séries 
célèbres qui portent le nom de Fourier ont fait l'objet d'immenses 
généralisations. L'activité de Cauchy fut prodigieuse et s'étendit à 
tous les domaines des mathématiques pures et appliquées. Sa plus 
grande création fut celle de la théorie des fonctions de variables 
complexes; il a ainsi donné une vie nouvelle à l'Analyse mathé- 
matique, et, en ce sens, les travaux les plus modernes relèvent de 
lui. On doit les notions les plus essentielles sur la théorie des 
groupes à Evariste Galois, qui en a fait d'admirables applications 
à la théorie des équations algébriques et montra qu'à chaque 
équation correspond un groupe de substitutions dans lequel se 
reflètent les caractères essentiels de l'équation. D'ailleurs les 
notions introduites par Galois dépassent de beaucoup en réalité le 
domaine de l'Algèbre et s'étendent au concept de groupe d'opéra- 
tions dans son acception la plus étendue. Si brève qu'ait été la 
vie de Galois, qui disparut à vingt ans dan^ une obscure querelle, 
il avait fait aussi en Analyse des découvertes capitales sur les 
intégrales de différentielles algébriques, comme le montre une 
lettre écrite la veille de sa mort. 

Les trois grands noms que nous venons de citer sont représen- 
Bull, des Sciences mathém., 2* série, t. XLIL (Juillet 191S.) i4 



iSa PREMIERE PARTIE. 

tatifs des mentalités que l'un rencontre chez ceux qui cultivent les 
Sciences mathématiques. 

Table des Matières. — I. Les fonctions analjtiqvies. — II. Les 
équations différentielles. — III. Théorie des nombres ; Algèbre 
et Géométrie. — IV. Théorie des fonctions de variables réelles 
et des ensembles. — V. Quelques remarques finales. 



D'OGAGNE (Maurice). — Cours de Géométrie pure et appliquée de 
l'École Polytechnique. 2 vol. in-8°. Tome I (') : Transformations géo- 
métriques. Perspective. Géométrie infinitésimale . Géométrie réglée. 
Géométrie cinématique, xii-375 pages avec i35 figures. Tome II : 
Cinématique appliquée. Stéréotomie. Statique graphique. Calcul 
graphique. Calcul grapho-mécanique. Nomographie . iv-364 pages 
avec 170 figures. Paris, Gauthier-Villars; 1918. 

Le Tome II du Cours de Géométrie de M. dOcagne vient de 
paraître : il est consacré à celles des applications de la Géométrie 
qui intéressent la technique, et c'est sans doute la première fois 
que des notions d'une telle variété se trouvent groupées dans un 
même Ouvrage. 

De cette variété, les titres des Chapitres font foi : Cinématique 
appliquée ; Stéréotomie ; Statique graphique ; Calcul gra- 
phique; Calcul grapho-mécanique ; Nomographie, tels sont les 
sujets qu'aborde l'auteur; mais la diversité des théories n'empêche 
pas l'unité profonde du livre : unité dans la méthode, puisque les 
mêmes disciplines géométriques en font la trame d'un bout à 
l'autre; unité dans le but, puisque, pour les problèmes traités, 
c'est toujours la recherche d'une solution graphique qui est l'objet 
final. 

Le premier Chapitre^ Cinématique appliquée, embrasse 
d'abord les principes géométriques de la Théorie des méca- 
nismes, avec applications aux transformateurs cinématiques : 
engrenages, courbes roulantes, cames, excentriques, et aux trans' 
formateurs géométriques : bielle et manivelle, inverseurs, joints. 

( ' ) Le Tome I a élc analysé en 1917, p. 345. 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. i83 

Une seconde partie est consacrée à un sujet nouveau, que l'auteur 
appelle Cinématique graphique, et où le problème fondamental 
est la détermination des vitesses et des accélérations, à un instant 
donné, pour tous les points des systèmes plans en mouvement : 
comme la plupart des mécanismes usuels se ramènent à de tels 
systèmes, on comprend l'intérêt, à la fois théorique et pratique, 
de la solution. 

Au cours du Chapitre, M. d'Ocagne fait un large emploi des 
propriétés établies dans la première partie de l'Ouvrage : on y 
trouve, par exemple, la solution la plus générale du problème 
des engrenages, déduite avec élégance des principes de la Géomé- 
trie cinématique, et aussi, sous une forme graphique simple et 
nouvelle, celle du problème des courbes roulantes. 

IjdL Cinématique graphique a été surtout l'œuvre du professeur 
anglais R.-H. Smith, et de l'ingénieur français Marbec ; mais, 
M. d'Ocagne en établit les principes d'une manière différente, en 
utilisant la notion de point double des similitudes, rencontrée 
dans son premier Volume, et il arrive ainsi à un mode d'exposi- 
tion plus simple et plus direct. Après les généralités, il donne 
deux applications, qu'il pousse jusqu'au bout, à l'inverseur Peau- 
cellier et au système bielle-manivelle. 

La Stéréotomie^ abordée dans le deuxième Chapitre, est réduite 
à quelques lignes essentielles. Après avoir traité des voûtes en 
berceau simples, M. d'Ocagne parle, avec plus de détail, des 
méthodes d'appareillage dans les arches biaises, en mettant tou- 
jours en relief les idées géométriques directrices ; il aborde 
ensuite les voûtes composées et les ouvrages tels que les trompes 
ou arrière-voussures, alliant sans cesse, aux résultats pratiques, des 
considérations géométriques intéressantes, de natui'e à guider le 
technicien et à rendre attrayants, pour le lecteur ordinaire, des 
sujets un peu austères par eux-mêmes. 

Les quatre derniers Chapitres : Statique graphique^ Calcul 
graphique^ Calcul grapho- mécanique et Nomographie, 
embi'assent l'ensemble des méthodes qui sont destinées à soulager 
l'effort des techniciens dans les nombreux calculs numériques 
auxquels les oblige la pratique. Ces méthodes sont nées des besoins 
quotidiens. Leur constitution définitive, sous forme de corps do 
doctrine, a été précédée d'une longue période de tâtonnements, 



184 PUEMIÈHE PARTIE. 

pendant laquelle les solutions particulières s'accumulaient au 
hasard des questions posées par les applications, sans que se 
dessinât nettement entre elles un lien théorique les rattachant 
a quelques principes simples. 

Des phases analogues ont marqué l'histoire de la Géométrie 
descriptive : avant Monge, la Stéréotomie possédait presque autant 
de procédés qu'elle connaissait de problèmes, une recette spéciale 
existant pour chaque épure ; depuis Monge, elle est devenue une 
branche de la Géométrie descriptive, dont les méthodes générales 
ont remplacé ses procédés particuliers. Et les mêmes périodes se 
manifesteraient dans le développement de la Statique graphique, 
dans celui de l'intégration graphique ou de la Nomographie, qui 
n'ont été fondées définitivement qu'à partir des travaux de Culman, 
de Massau et de M. d'Ocagne lui-même. 

Toute science appliquée repose ainsi sur quelques principes 
théoriques dont elle est l'efflorescence, et sans le soutien desquels 
elle se réduirait à un recueil de règles empiriques ; ce n'est qu'en 
étendant sa base qu'elle peut faire de nouveaux progrès, et dès 
lors, dans l'enseignement, la tâche du professeur consiste, avant 
tout, à mettre en évidence les principes directeurs, sans se perdre 
dans la multiplicité ou dans la minutie des applications, qu'il 
doit abandonner, pour la plupart, aux traités spéciaux. 

C'est une telle initiation que M. d'Ocagne cherche à donner 
à ses élèves et à ses lecteurs ; il y a pleinement réussi. 

En Statique graphique, l'auteur, après avoir établi les pro- 
priétés fondamentales des polygones dynamiques et funiculaires, 
en fait les applications classiques à la détermination des forces 
intérieures, des moments fléchissants et des efforts tranchants dans 
les cas usuels : systèmes réticulaires et pièces chargées ; il donne 
des notions sur le diagramme réciproque d'un système, et sur la 
liaison de cette théorie avec celle du complexe linéaire, exposée 
dans la première partie du Cours : soixante pages lui ont suffi pour 
le double exposé des principes et des applications, et il n'a rien 
omis d'essentiel, si bien qu'un lecteur qui l'a suivi attentivement 
peut aborder sans peine l'étude d'un traité complet de Statique 
graphique, tel que celui de Maurice Lévy. 

Dans le Chapitre consacn'" au Calcul graphique, on traite 
successivement de la résolution graphique des systèmes d'équa- 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. i8j 

lions linéaires, de celle des équations algébriques de tout degré, 
des quadratures graphiques, avec exemples utiles en Statique 
graphique (détermination des aires, des arcs, de leurs moments 
d'inertie, etc.); on expose enfin l'intégration graphique des 
équations différentielles du premier ordre. 

Cette dernière théorie est due au savant ingénieur belge Massau 
dont les travaux d'initiateur n'étaient pas sans quelque compli- 
cation ; M. d'Ocagne leur apporte une simplification notable, en 
utilisant, à côté des lignes isoclines de Massau, ce qu'il nomme la 
courbe directrice de r intégration; la solution graphique finale 
est élégante et nette, et, chemin faisant, elle donne, sous une 
forme saisissante, la détermination des singularités des inté- 
grales. 

Le Calcul grapho-mécanique est l'ensemble des méthodes 
d'intégration qui reposent sur l'emploi d'instruments, au moyen 
desquels on opère sur certains tracés graphiques. Ces instruments 
sont classés par l'auteur en intégromètres, qui fournissent 
la valeur d'une intégrale définie, et en intégraphes, qui permet- 
tent le tracé de courbes représentatives d'une intégrale indéfinie ; 
tous reposent sur les propriétés de la roulette ou de la sphère 
roulante. 

Après un exposé des principes géométriques et cinématiques 
qui sont à la base du calcul envisagé, M. d'Ocagne décrit les plani- 
mètres d'Amsler, de Petersen, de Prjtz, de Marcel Deprez, l'analy- 
seur harmonique d'Henrici ; puis, parmi les intégraphes, celui 
d'Abdank-Abakanowicz, aujourd'hui classique sous la forme que 
lui a donnée le constructeur Coradi, et les principaux appareils 
imaginés par le professeur E. Pascal : ces derniers conduisent à 
l'intégration de certaines équations difierentielles usuelles, telles 
que celle de Riccati, celle du mouvement des projectiles, quand on 
se donne la courbe image de la résistance de l'air, celle du premier 
ordre la plus générale ou même l'équation intégrale de Volterra. 

Dans son dernier Chapitre, l'auteur expose les principes et les 
applications principales de la Nomographie. Bien qu'il soit là, 
on peut le dire, sur son propre terrain, il ne consacre au sujet 
qu'une quarantaine de pages, dans lesquelles il résume, sans 
jamais sacrifier la clarté, les résultats les plus essentiels des tra- 
vaux qu'il a consacrés à la question et qui semblent l'avoir épuisée. 



i86 PREMIÈRE PARTIE. 

L'exposé théorique est accompagné d'exemples particulièrement 
typiques, et complété par l'application générale de la méthode 
des points alignés aux problèmes de résolution des triangles 
sphériques, sous la forme même où ils se posent en Astronomie 
appliquée et en Navigation : on sait que cette élégante méthode 
est due à M. d'Ocagne, qui eaa tiré un parti remarquable, non 
seulement dans le cas des équations à trois variables, mais dans 
des cas beaucoup plus généraux, qui comprennent presque tous 
ceux qu'introduit la pratique. 

Le Tome II se termine enfin, comme le Tome I, par un appen- 
dice renfermant d'intéressants compléments : sur la description 
mécanique d'une courbe algébrique quelconque à l'aide de 
systèmes articulés, d'après le géomètre anglais Kempe ; sur un 
essai de constitution d'une Statique graphique dans Vespace^ 
d'après le professeur suisse Mayor ; sur le planimètre hachette 
et son application, par l'ingénieur général Jacob, à l'intégration 
de l'équation de Riccati ; sur l'utilisation, enfin, de la Nomogra- 
phie dans l'intégration graphique, proposée par M. GercevanofF. 

Ce résumé, nous l'espérons, suffira à montrer toute la richesse 
du second Volume de M. d'Ocagne : bien des mathématiciens, bien 
des géomètres même, seront surpris de voir à quelle variété 
d'applications se prêtent les principes de leur science, mais ils ne 
pourront qu'admirer la souplesse et l'élégance avec lesquelles ils 
sont mis en œuvre par l'auteur. On peut dire que, dans son ensei- 
gnement, M. d'Ocagne est parvenu à introduire des Eléments 
scientifiques dans des domaines où il en existait à peine aupara- 
vant, et nous pensons ici, non seulement à la Nomographie, mais 
peut-être aussi à certaines parties du Calcul graphique ; enfin, nous 
devons ajouter que, malgré la variété des questions traitées, les 
erxposés de l'auteur présentent un caractère commun nettement 
marqué, et qui dérive de celte qualité de concision géométrique 
que nous avons déjà signalée dans notre analyse du premier 
Volume. 

(i. I llMIiKUl'. 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 187 

LANGHESTER (F.-W.). — Le vol aérien. —Tome I : Aérodynamique, 
traduit de l'anglais sur la deuxième édition, par le Commandant 
G. Benoît, i vol. in-8 de xvi-5i2 pages, avec 162 figures et i planche. 
Paris, Gauthier- Villars; 1914. — Tome II : Aérodonétiqiie ^ traduit de 
l'anglais sur la deuxième édition, par le Commandant C. Benoît. 
I volume in-8 de xvni-478 pages, avec 208 figures et i planche. Paris, 
Gauthier-Villars; 19 16. 

Peu après l'apparition en Angleterre de l'Ouvrage de M. Lan- 
chester, la librairie Gauthier-Villars vient d'offrir au public 
français une édition de ce travail, important par le sujet qu'il 
traite et par le nombre des idées neuves et originales qu'il renferme. 
Bien que tout dans l'exposition ne soit pas également à louer, cet 
Ouvrage est appelé à rendre de réels services, à cause du nombre 
des points de vue que le lecteur y découvrira, et des réflexions 
qu'il sera amené à entreprendre; il n'est pas exagéré dédire qu'un 
Livre qui remue beaucoup d'idées au moment opportun est un bon 
Livre, et d'excellent usage, même s'il n'apporte pas la solution 
définitive de toutes les questions qu'il pose. 

L'Ouvrage en question est séparé en deux Parties : Aérodyna- 
mique^ Aérodonétique . Le seul aspect, inhabituel, de ce dernier 
titre, nous avertit suffisamment que nous sommes en pays neuf. 
11 a semblé opportun à l'auteur, dans les jeunes théories concer- 
nant l'aviation (et paroisses joignantes) d'introduire un vocabulaire 
scientifique construit d'un bloc pour éviter les impropriétés de 
termes ou les appellations vagues qu'on a vu naître trop souvent 
en dételles occasions. Il n'y a pas de difficulté à admettre le nouveau 
glossaire que propose M. Lanchester; la construction des termes 
nouveaux y est en général logique et conforme aux bonnes 
habitudes étymologiques, qualité d'autant plus louable qu'elle 
n'appartient pas à bien des vocables de récente introduction. 
Peut-être trouvera-t-on cependant que l'auteur du présent Livre a 
un peu abusé, dans cet ordre d'idées, de sa puissance d'invention, 
et regrettera-t-on qu'il ait cru devoir détourner de leur signifi- 
cation courante certains mots devenus tellement usuels qu'il 
semble chimérique de tenter d'en déshabituer le public, scientifique 
ou non : c'est une entreprise peu aisée que de nous convaincre que 
dorénavant un aérodrome sera une machine volante, et non plus le 
terrain réservé aux expériences et exercices d'aviation (d'ailleurs 



i88 PREMIÈRE PARTIE. 

proprement Sp6[JL0s = action de courir, et non = celuiqui court; d'où 
par extension : emplacement pour la course). Le terme aérodone 
n'est pas non plus très heureux; le verbe §ovcw implique une idée 
d'agitation, de trouble, de ballottement qui n'est guère appropriée 
à un modèle glissant ou planant {cf. Homère, Iliade^ XVII, 55 : 

. . . tÔ Se Ts t:\o\ix\ Sovsouaiv 
;:avTO;tov àvc'txwv. . . . 

Mais il n'y a évidemment pas lieu d'insister sur de telles critiques 
de détail. 

Quoi qu'il en soit, V Aérodynamique de M. Lanchester est 
l'étude de la sustentation des corps, et celle de la résistance 
qu'éprouve un corps à son mouvement dans un fluide. \J Aérodo- 
nétique est l'étude des formes des trajectoires naturelles du vol, 
des questions d'équilibre et de stabilité du vol. 

La forme d'exposition adoptée évite systématiquement l'emploi 
des formules mathématiques, et même le plus souvent possible, 
l'emploi du langage mathématique. Le but ainsi poursuivi, qui est 
de rendre accessible l'ouvrage à un lecteur non mathématicien, je 
n'oserais m'avancer jusqu'à dire qu'il a été complètement atteint ; 
était-il, du reste, entièrement désirable? Je sais bien que l'auteur fait 
état des lignes suivantes de Poynting etThomson (Sound, Préface): 
« Même pour les lecteurs familiarisés avec les mathématiques, 
l'étude des méthodes élémentaires offre des avantages qui 
compensent leur forme gênante; elles mettent plus en lumière les 
points où l'on fait les diverses hypothèses, et rendent plus 
significatives les conditions sous lesquelles la théorie a sa valeur. » 
Encore que certaines réserves puissent être faites à cette manière 
de voir, je ne vois pas qu'elle légitime entièrement la méthode 
qui consiste à se piiver, dans un Ouvrage d'enseignement, d'un 
langage précis dont la commodité compense aiu[)lement l'elTort 
qu'exige son apprentissage. S'astreindre à formuler ses démons- 
trations et ses conclusions en langage non iiialliéiualicpie, c'est se 
condamner à être parfois obscur ou incomplet. El s'il peut être 
utile h un chercheur d'exprimer, pour lui-môme, sa pensée en 
langage courant, de façon à en extraire l'essentiiîl débarrassé de 
son enveloppe abstraite qui peut niomeulaiiéuicnt l'encombrer, 
est-on sur que le lecteur, qui cherche à s'assimiler une théorie, 
tirera de ce procédé le môme avantage? La longueur des explications, 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 189 

qu'une simple formule, écrite à propos, rendrait superflues, ne 
risque-t-elle pas de disséminer l'attention sur des objets secon- 
daires, sans pour cela rendre plus nets les résultats essentiels? Il 
pourra sembler que les lecteurs non initiés au langage mathéma- 
tique, désireux de s'assimiler les principes de la science du vol 
mécanique, agiraient prudemment en acquérant d'abord la science 
du calcul, additionnée de quelques notions de mécanique, s'ils 
prétendent tirer du Livre de M. Lanchester autre chose que des 
idées vagues. 

Fort heureusement, l'auteur n'a pas par trop strictement appliqué 
cette i^éserve concernant les formules; et aussi bien n'eùt-il pu le 
faire qu'en réduisant son Ouvrage à des considérations peu solides. 
Mais pour être conforme à la vérité, il faut dire que dans certains 
Chapitres, où l'absence du secours mathématique est la plus 
frappante, l'intérêt de l'Ouvrage est très notablement ralenti; du 
reste la qualité de la traduction tend à s'en ressentir un peu trop. 
L'exposition est en général claire, d'allure rapide, dans la plus 
grande partie, mais il semble que la partie théorique (surtout^ dans 
le premier Volume, l'exposé des principes d'Hydrodynamique 
indispensables) ne possède pas la même vie et le même intérêt; 
l'œuvre du traducteur laisse en cette partie visiblement à désirer; 
il est fâcheux de rencontrer des phrases telles que les suivantes : 
« Les conditions exigent que le champ soit constitué de lignes 
droites radiales également réparties dans l'espace sur une 
circonférence. » (I, p. 99.) <^' Nous pouvons regarder le procédé 
comme équivalent à un certain nombre de sources et de puits. » 
(p. 1 24 •) « Le corps oscillera autour de cet aspect d'équilibre natu- 
rel, — avec cette note au bas de la page : par aspect, l'auteur entend 
la projection sur un plan » (p. i4o.) Ces passages malencontreux 
proviennent d'une traduction un peu trop littérale et hâtive. 

Mais il n'y a pas lieu d'insister sur ces petits défauts accessoires, 
et il faut dire, après ces quelques légères observations, tout le 
mérite de l'œuvre, et le gré qu'il faut savoir à M. Benoît de son 
utile traduction (excellente presque partout). 

Les premiers Chapitres de l'Ouvrage nous décrivent les essais 
d'explications donnés depuis Newton, des phénomènes de 
résistance dans les fluides : recherches classiques de Rankine, 
Kirchhoff, Helmholtz; la nécessité d'admettre l'existence de 



190 PREMIÈRE PARTIE. 

surfaces de discontinuités dans les mouvements réels est indiquée 
avec une grande clarté. 

En quelle proportion la résistance est-elle due à la viscosité et 
au frottement? Une théorie approchée, où la résistance directe est 
trouvée proportionnelle à la vitesse V (Stokes) ou à V*'^ (Allen) 
ou à \ ^ (Newton) est discutée qualitativement par le secours des 
équations aux dimensions (expériences de Froude, Allen, 
Dines, etc.). 

On trouve des bases plus solides dans les théories d'Hydrody- 
namique qui sont ensuite exposées, avec les principales propriétés 
des potentiels, fonctions de courant, circulations, tourbillons. Ici, 
malgré la très réelle élégance avec laquelle ces résultats classiques 
nous sont présentés, l'absence de démonstrations mathématiques 
complètes cause un inconvénient sur lequel je ne reviendrai pas. 
Suit un historique de l'introduction des mouvements discontinus, 
et une discussion, tout à fait remarquable, des objections que 
Lord Kelvin a faites à cette théorie, objections qui doivent, pour 
de sérieuses raisons, être écartées. 

Les Chapitres suivants, et qui sont presque entièrement 
originaux, sont d'untoutautre caractère : les raisonnements, basés 
plutôt sur l'expérience et sur une traduction un peu libre des 
théories mathématiques, tendent à nous décrire les mouvements 
de l'air dans le voisinage d'un planeur en forme d'aile (aérophylle). 
La figure schématique formée d'un anneau tourbillon, ou d'un 
demi-anneau chargé en son sommet par l'aérophylle, et mobile en 
conservant son énergie indéfiniment, résume les vues, sans doute 
hardies, de l'auteur.sur la sustentation du planeur dans un fluide 
très peu visqueux. Pour le cas du fluide réel, cela permet d'imagi- 
ner un passage aux surfaces de discontinuité lésolues en surfaces 
de tourbillons d'Helmhollz. 

Nous trouvons ensuite le résumé des expériences concernant la 
résistance du plan, normal ou oblique au courant fluide; puis une 
théorie élémentaire de l'aéroplane, avec d'ingénieuses considérations 
sur la forme, le poids, la voilure. Enfin, un intéressant Chapitre 
d'Aérodynamique expérimentale termine le Volume. Signalons les 
quelques Notes additionnelles, spécialement relie sur lalninsmis- 
sion des quantités de mouvement, où le lecteur hoiiveia matière 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 191 

à de profitables méditations sur les principes essentiels des appli- 
cations mécaniqvies. 

Le second Volume {Aérodonétique) aborde la question de la 
sustentation et du mouvement de l'aérodone. En voici le plan 
général : équilibre et stabilité de l'aérodone, étude analytique de 
la trajectoire du vol, en supposant l'appareil libre de se mouvoir 
de façon que son axe longitudinal ne quitte pas le plan vertical où 
il se trouve initialement; on admet que l'aérodone ne perd pas 
d'énergie pendant le vol (par exemple, une force de propulsion 
interne équilibre exactement, à tout moment, la résistance 
qu'éprouve l'appareil). On admet encore que la masse de l'appareil 
est concentrée en son centre de gravité, et que les dimensions en 
jeu sont faibles par rapport au rayon de courbure de la trajectoire. 
On définit alors '( la courbe du vol », et le tracé effectif de cette 
courbe permet d'aborder de suite la discussion de certains 
problèmes : stabilité longitudinale, effet des coups de vent. 

Si l'on fait intervenir maintenant la résistance et le moment 
d'inertie, exclus tout d'abord, la théorie se complique un peu. 
L'effet de la résistance est, en gros, d'amortir les oscillations, et 
l'effet du moment d'inertie est plutôt inverse. Pour de petites 
amplitudes, ces deux influences peuvent se neutraliser de façon à 
ne pas modifier sensiblement la coui'be du vol. On peut établir 
une équation de stabilité, qui définit les conditions de permanence 
de la trajectoire. L'auteur nous décrit toute une série d'expériences 
qu'il a entreprises lui-même pour la vérification des résultats 
indiqués. Les vérifications ont une allure excellente. 

Après ces théories générales, la stabilité de rotation (stabilité 
latérale et stabilité de direction) est étudiée à part, et l'on trouve 
les conditions nécessaires de cette stabilité. Suit un fort attachant 
essai d'Aérodonétique expérimentale. 

Telles sont, en un résumé trop succinct, les principales questions 
traitées par l'auteur. Il faut mettre tout à fi\it à part la théorie du 
vol à voile, qui forme une partie importante de l'Ouvrage. On sait 
qu'on désigne sous cette dénomination le mode de vol qu'on 
observe chez les oiseaux planeurs, qui, par temps de vent, semblent 
glisser, à altitude constante, ou même à altitude croissante, 
pendant un temps indéfini, et cela sans battement d'aile ni 



192 PREMIÈRE PARTIE. 

mouvement (visible) quelconque; cela constitue une contradiction 
apparente avec ce fait que, dans les conditions normales, l'énergie 
nécessaire à la continuation du vol provient de la descente du 
corps sous l'action de la pesanteur. Il faut recommander la lec- 
ture de ce Chapitre, où l'on trouvera la discussion de diverses 
hypothèses présentées pour expliquer l'apparent paradoxe, et des 
conclusions finales qui paraissent assez plausibles. 

Quelques Notes terminent ce second Volume. Signalons 
spécialement la Note sur le gyroscope, sur la dérive des projectiles 
et sur le boomerang australien (dont on connaît les singulières 
propriétés, qui trouvent une explication qualitative dans un effet 
gyroscopique). Ces paragraphes seront lus avec intérêt par tous 
ceux qui s'intéressent à la Mécanique appliquée. Si sur quelques 
points les vues de l'auteur peuvent être contestées, elles sont 
toujours empreintes d'originalité et d'un grand senjs pratique. 
Voici, par exemple, un point où je me permettrai une légère 
réflexion : l'auteur indique (II, p. 420) comme un fait «bien connu» 
que l'axe d'un projectile lancé par une arme rayée est, à chaque 
instant du mouvement, dirigé suivant la tangente à la trajectoire 
du centre de gravité. Non seulement ce fait n'est pas bien connu, 
ni même, si je ne me trompe, généralement admis, mais il y a 
des chances qu'il soit inexact. Si, en effet, l'axe du projectile se 
trouve, au début, dans une direction tangente à la trajectoire du 
centre de gravité, comme cette trajectoire est concave vers le bas 
du fait de la pensanteur, l'air tendra à développer une résistance 
qui n'aura généralement aucune raison de passer par le centre de 
gravité, et qui motivera une précession (vers la droite si le point 
d'application de cette résistance est en avant), ce qui laisse quelque 
doute sur le fait énoncé ci-dessus. 

En résumé, ces deux intéressants Volumes prendront, dans la 
bibliothèque de nos étudiants, une place honorable i\ C()lé des 
exposés classiques de MM. Painlevé et liorel. Sureau, Marchis, etc. 
concernant l'aviation, et sont sans nul doute appelés à rendre 
d'utiles services. 

II. ViLLAT. 



MÉLANGES. 19^ 



MÉLANGES. 



UN THÉORÈME RELATIF A DEUX ELLIPSOÏDES CONFOCAUX ; 
Par m. F. GONSETH. 

( Suite et fin.) 



5. La démonstration du théorème analogue dans l'espace est 
semblable à la précédente. Un plan quelconque, d'un ensemble E 
à trois paramètres, a l'équation normale 

X cosa -\- y cos^ -i-zcosy — /> = o. 
La mesure de cet ensemble est définie par l'intégrale 
MiE) = f f Çdwdp 

(oùdw est l'élément de surface de la sphère unité). 

Comme dans le cas du plan, cette mesure est univoquement 
déterminée par les trois conditions citées plus haut ('). 

En particulier, Vensemhle des plans qui rencontrent une sur- 
face convexe fermée a pour mesure Vintégrale de la largeur 
de cette surface, c'est-à-dire, d'après une formule de Min- 
kowski (^), Vintégrale de la courbure moyennesxxv cette surface. 

Si, d'autre part, on avait écrit l'équation du plan précédent 

ux -^ vy -\- wz -\- i = 0, 

les points de coordonnées cartésiennes 

(B) X = u, y = V, z = w 

formeraient un ensemble qui, pour des raisons analogues à celles 

(') G. PoLYA, loc. cit. 

(') A. HoRwiTZ, Sur quelques applications géométriques des séries de 
Fourier {Annales de r École Normale, vol. XIX, 1902, p. !\ob), ou bien H. MiN- 
KOWSKi, Œuvres complètes, t. H; Volumen und Oberflàche, p. 241. 



194 PREMIÈRE PAUTIE. 

que nous avons invoquées au n" 3, jouirait de la propriété sui- 
vante : 

La mesure cVun ensemble de plans de coordonnées plucké- 
riennes (u, c, (v) esl égale au volume (au sens non euclidien) 
de l'ensemble des points de coordonnées cartésiennes (a, t', (ip), 
dans un espace non euclidien dont la quadrique absolue est la 
sphère-point 

a72_l- j2_,_ -2— o, 

6. Il est à peine nécessaire de terminer la démonstration, qui 
se calque dès ici sur la précédente. 

Soient Q, et Q2 deux ellipsoïdes confocaux. D'un point P de 
l'ellipsoïde extérieur Q, menons le cône tangent y à Qj. Le plan 
tangent t à Q,, en P, fait deux angles égaux avec les deux plans 
tangents menés à y par toute droite qui touche Q) au même 
point P. Transformons cette figure, par la transformation corréla- 
tive définie par les formules (B). 

Nous obtenons comme transformées deux ellipsoïdes Qj et Qg 
qui ne sont plus confocaux, mais qui se trouvent dans un même 
faisceau ponctuel avec la sphère-point x- -\- y- -\- z"^ =^ o . Au 
point P correspond un plan 71, tangent à Q, , qui touche cette der- 
nière en T, et qui coupe Qj suivant une conique C. 

Toute tangente à Q', , dans le plan tt, coupe G en deux points, 
dont le milieu (au sens non euclidien) est le point de contact. 

La démonstration consistera maintenant à faire voir que le 
volume non euclidien de l'espace situé à l'extérieur de la surface 
fermée, formée par le plan tt à l'intérieur de la conique C, et par 
la portion de l'ellipsoïde Q'^ qui contient le centre de la transfor- 
mation O, est constant. 

Dans ce but, on mènera deux plans tangents à Q', , voisins de tz. 
Ces deux plans et ce dernier détermineront un Irièdre, de som- 
met S, dont les arêtes couperont Q, en A et B, A' et B', A" et B". 
En négligeant des infiniineul |)etils d'ortire supérieur, on pourra 
admettre que S est au milieu (nou eucli<lieu) des segments AB, 
A'B' et A"B". Les Irièdrcs infiniment petits SAA'A" et SBB'B"- 
auront un volume égal; ce qui suffira pour que le segment détaché 
de Q2 ait un volume constant, et ce qui démontrera le théorème. 



MÉLANGES. 195 

SUR L'ADDITION DES NOYAUX NON ORTHOGONAUX; 
Par m. Tr. LALESGO. 



Lorsque deux noyaux P(x,y) et Q(x, y) sont orthogonaux, 
un théorème de MM. Goursat et Heywood établit la relation très 
simple qui existe entre les fonctions D(a) relatives à ces noyaux 
d'un côté, et entre la même fonction de Fredholm relative au 
noyau somme P{x, y) -h Q{:r, y) ^='N{x, y). On sait que, dans 
ce cas, on a 

Dn(X) = Dp(X)x Dq(X). 

Lorsque les noyaux P(a7,y) et Q{x,y) ne sont plus orthogo- 
naux, la relation est loin d'être aussi simple. Dans cette Note, 
nous nous proposons d'établir, sous une forme symétrique, la 
relation dans le cas général. Nous signalons, comme application, 
une autre formule, utile dans la théorie des équations différen- 
tielles linéaires d'ordre fini, et que nous avions déjà obtenue 
antérieurement par une voie toute différente ('). 

Considérons l'équation intégrale 

?(^)-+- f [>^P(a^, 5)-+-(jiQ(.r, s)]o(s)ds=/ix), 

'J a 

OÙ P(a:,y) et Q(.2^,jk) désignent deux noyaux non orthogonaux, 
X et [X deux paramètres arbitraires. 
Posons 

N(;r,j) = XP(.r,j')4-|jLQ(:r,^). 
On a 

XP(Sl,5,) H- 1^0(5,, 5, ) ... XP(5i,5„)-4- [JlQ(s,,S„) 



=/ 



dsx . . . dSn, 



(') Sur l'addition des noyaux non orthogonaux {Bulletin de la Section 
scientifique de V Académie roumaine, 1914)- 



196 PREMIÈRE PARTIE. 

d'où l'on déduit immédiatement 

.h 



Si . . .Sn 



S\ . . .S„ 



dsi . . .dsn 



(I) f ^ 

/-* /si...s,i\ ^ r^ /5,...s,A 

= X" / Ko 1 dsi...dsn -+- Cji X"-' u / K, dsi...dsn -H... 

J„ \5,...5„/ J,, \5,...5„/ 

+ G^X^-PjJL/' r Kpi^"'"]ds...dsn-^...^ii" j K„i^"'^'jdsi...ds„, 
en posant 



K,, 



Q(^i^i) 

Q(525,) 

Q(*p«i) 

P(5/,-Hl5l) 
F(5„S,) 



P(a'«5«) 



On en déduit l'expression suivante de D(X, jjl) : 

^a p\ q\J^ '\si...s„+^J 



V+y 



/'. 7 = 



Nous nous proposons maintenant de translornier cette formule 
dans une autre qui contienne \^{oc^ y) et Q(j',j') sous une forme 
symétrique. 

Pour cela, développons le détenninanl Ky( '' ' 1 suivant 

les mineurs d'ordre q formés par ses q premières lij;nes. On a 



(3) K 



X i . . .X p-^-q J 



(_,^a,+a, 



Xi X2 . • •fq 



Xq^\ . . .Xq^/i 



la somme 2. *J'' second membre élanl cloudiif à toutes les per- 
mutations (a, aj ...a^ ^, ... ,3^) des p-f- ^ preniieis noiuhres entiers, 
à condition toutefois que 7/4., > a, cl [jy^, >► |j/. 

Pour préparer celte foruiule eu vue de rint(''i;rali(ui par i'a|ip(irt 
à lotîtes les lettres qui li;;urenl tlans son cx|)i<'>sion, nous consi- 
dérons en lil<.»c le jjrou[)e des termes dans lesquels parmi les 



MÉLANGES. 19: 

lellres x^^ il eu existe r [q =z r + /:) qui se trouvent aussi dan- 
la ligne supérieure x^...Xp. A cause de la condition a/^, > a,, 
ces lettres sont nécessairement les r premières 



Faisons alors, dans la ligne supérieure, les transpositions néces- 
saires pour amener ces lettres aussi au commencement de la ligne. 
On obtient 



' '^' '^M=(— I) 2 (_i)a, + a,+...+a,Q( ' ^ '' 

Xy.,...Xx, X:^^^^.. Xy.^J \2'a.ara,...3^a^ 

L3S k lettres qui suivent x^^^ sont, nécessairement, les k pre- 
mières lettres xp, à cause de l'inégalité ^j^\ ^ j3y. 

D'une manière analogue, ramenons les lettres .r^ qui figurent 
dans la ligne supérieure de P, à son commencement. On obtient 

p /•^^a.+i • • • a"a, ^?i+, • • • Xp^q\ 

\^?. .. X^^ X^,^^...Xj,+^) 

^ (_ ,/^^ -F-(_ ,)a.,.-....+a, p P^- • • -^'/-/^ 

Changeons les notations, pour mettre bien en évidence le 
résultat obtenu. Le terme général considéré peut s'écrire main- 
tenant 

\S\..-Sr y\yî'- -yk) XXiX,.. .x,, tit.y...t, 



en posant 



A = ^J^-±l} + ^^"-"'> + ^ii±i^ + A-^ 



et 

L'exposant A ne dépend plus de la permutation des lettres a 

et ^; on a de plus 

A = A (mod 2), 

en tenant compte de la relation q =z k -\- r. 

Après intégration par rapport à toutes ses variables, le terme 
Bull, des Sciences mathém., 2' série» t. XLII. (Juillel 1918.) i3 



198 PREMIÈRE PARTIE, 

général considéré devient 

r^ f Xi ...XL 5] ...Sr\ 

(4) (-1)^7 p ' M 

X Q f -^ ' ■■■•^'^" ^'"'''\d{s,...s,)d{t,...ti)d{x,y,)...d{xkyk). 

Cette expression nous montre que chaque terme du groupe 
global que nous avons considéré donnera, après intégration, la 
même valeur; il nous suffira donc de chercher le nombre de ces 
termes. Or celui-ci est évidemment égal à 

nr ni 

Le coefficient de l'expression (4) dans la formule (2) sera dès 

lors 

1p lit p\ q\ _ X* (X*" X'' \i.' 

f\ '^v 7\T\ IT7T ~ /Tî ri Tf TT * 

En groupant ensemble les termes qui correspondent à la même 
valeur de A', on obtient ainsi la formule 

(5) D(X,[jl)=Dp(X)Dq(,x) + ... 

que nous voulions établir. On j remarquera la forme symétrique 
sous laquelle se présentent les mineurs de Fredholm. 

Pour donner immédiatement une application de celte formule, 
considérons le cas particulier 

Q(^,j)=/(^)<?(7), 
et posons ). = a. On a 

r»y(X; =!+>-/ f{s)gis)ds, 

l'y ( A 1 — o pour / > l. 

\y\ ■ ■ yk J 



MÉLANGES. 199 

La formule (5) se réduit à 

Les valeurs caracléristiques du noyau 

N(r, y) == P(:r, jk) +/(^) é'if) 
sont donc les zéros de la fonction méromorphe 

(6) ' + ^f f{s)g{s)ds-^\^Jg{s)(${s,t,\)f{t)dsdt = o, 
en se rappelant que 



Dp( ^X 



L'équation (6) est du type 

tanga" = x 

et permet d'établir simplement les relations d'inégalité et asymp- 
totiques entre les valeuis caractéristiques des noyaux ^[x^y) 
etP(:c, 7). 



SUR LES SOMMES ABÉLIENNES DE VOLUMES CYCLIDO-CONIQUES; 

Par m. a. BUHL. 

[Seconde Note (')•] 



1 . La somme des volumes limités, dans un cône quelconque, par 
différentes cloisons appartenant à une même surface algébrique, 
semble prendi-e une importance particulière. 

Au point de vue analytique, toute somme abélienne de même 
cône peut être facilement étudiée comme somme de volumes; 
quant à l'expression de telles sommes sous la forme finale d'une 

(') Voir Bull, des Se, t. XLI, 1917. 



200 PREMIÈRE PARTIE. 

intégrale de ligne à constitution rationnelle, elle est subordonnée 
au fait, pour certaines intégrales doubles rationnelles, en x et y 
seulement, d'être des intégrales de seconde espèce^ complètement 
étudiées par M. Emile Picard. C'est ce que j'ai brièvement indiqué, 
en deux Notes des Comptes ;'e/i<ia5 (28 janvier et 1 1 février 1918). 
Au point de vue géométrique, si nous reprenons la surface algé- 
brique 

et la somme 



,\ V CCI ?'"- 1 , ?'" 1?"' î ?w-3\, o , , , 



telle qu'elle a été définie dans la première Note publiée ici, nous 
pouvons dire qu'il j a, en (2), une étude à rapprocher de celle du 
cône des directions asjmptotiques de (i). Ce dernier cone ne 
dépend que du premier terme de (i); la somme (2) dépend des 
quatre premiers termes. Mais cette dilTérence montre toute la 
variété qui tournera à l'avantage de la seconde étude. 

Dans ce qui suit, on trouvera notamment un théorème des plus 
élégants concernant la cjcllde de Dupin définie comme elle l'a été 
par Gaston Darboux dans ses Principes de Géométrie analytique 
(Livre V, Chap. III). 

Viennent ensuite quelques remarques générales sur des cyclides 
ou même des surfaces algébriques quelconques. Remarquons que 
lorsque (i) peut être rapportée à un centre (au sens général du 
mot), on a 

La somme aùélien/ie (^), qui appartient à (1), appartient aussi 
à la surface à centre, d'ordre 3m, 

Ce théorème esl d'une vérificaliou imniédialc. 

( . t suivre.) 



COiMPTIiS lUÎNDUS liT ANAI.VSIÎS. 20ï 

COMPTAS UKNDUS KT ANALYSES. 



TVCHO.MS BRAHE DAM scrii-ta astronomica, edidit J.-L.-E. Dreyer 
auxilio Joannis Bœder, sumptus fecit G. -A. Hagemann. Auspiciis 
Societatis lingua' et lillerarum danicarum. Tomus I-III, 3 vol. in-»°, 
Lix, 320, 461 61417 pages. Haunia^, in libiaria Gyldendaliana ; igil, 
1915, 1916. 

Pendant que les OEuvres de Kepler et de Galilée ont été publiées 
en de grandes éditions nationales, une partie des écrits de Tycho 
sont encore inédits et d'autres n'existent cpi'à un petit nombre 
d'exemplaires et sont très difficilement accessibles. L'œuvre de 
Tjcho a pourtant inauguré l'Astronomie moderne et elle mérite 
bien d'être connue en tous ses détails. Son Ouvrage le plus 
important, VAstronomiœ instauratœ Progymnasniata, fut 
publié immédiatement après sa mort par les soins de Kepler. Ce 
grand astronome a été pour ainsi dire Tbéritier de Tjcho. Une 
mort prématurée n'a pas permis à Tvcho de tirer tout le parti 
possible de ses observations. Il écbut à Kepler de recueillir le 
trésor qui était renfermé dans la grande collection d'observations 
qu'il hérita de Tjcho. C'est, en effet, grâce k ces observations 
qu'il troviva les lois immortelles qui portent son nom. 

Kepler avait l'intention de publier les observations originales 
de Tvcbo, mais ce plan ne fut pas réalisé. Son fils, le médecin 
Ludwig Kepler, \endit les manuscrits de Tjcho au roi de 
Danemark, Frédéric 111, qui décida de les publier. Il confia cette 
tâche au mathématicien Piasmus Bartholin qui se mit immédiate- 
ment à l'œuvre. Mais quand une grande partie des préparations 
était faite le roi mourut et le plan échoua. L'année suivante ( 167 1 ) 
l'Académie des Sciences envoya un de ses membres, Jean Picard, 
à Copenhague pour déterminer la longitude et la latitude des deux 
observatoires de Tycho qui étaient situés dans l'île de Hveen. Picard 
remporta de Copenhague la copie que Bartbolin avait prise des 
manuscrits de Tycbo pour la faire imprimera Paris. L'impression 
fut commencée, mais une fois encore le travail s'arrêta faute 
d'argent. 

La Société de la langue et de la littérature danoise a maintenant 
Bull, des Sciences mathém., 2» série, t. XLII. (Août 1918.) lO 



■iOT. l'iiii.M lEi; i: l'A in IK. 

pris riniliati\e de 1;\ publicalioii des OEuvres complètes de 
rilIiisU'e astrjiioine diuois. Elle a eu l'iieureuse fortune de pouvoir 
confier cette publicAlion à léminent biograplie (') de Tjcho, 
M. Drejer, directeur de l'Observatoire dxVrmigh, en Irlande. Les 
trois Tomes qui viennent de paidître, témoignent hautement que 
M. Dreyer possède toutes les qualités nécessaires pour s'acquiltei- 
de cette tâche difficile d'une excellente manière. 

L'Ouvrage sera complet en i3 Tomes. A oici un abrégé delà 
Table des Matières : 

ToMcs I. 
Prolegomena. 

De nova Stella (1)73). 

Appendice? ad libnim De nova Stella |iei tinentcs (inédites). 

De disciplinis mathenialicis Oralio ( ijj'i). 

AslrologiïP meteoi-ologica^ frag-menlnm. 

Horoscopus Prineipis Christiani (15-7) (inédit). 

Horoscopus Prineipis Hiildarici (i'»79) (inédit). 

Horoscopus Prineipis Johannis (r58'3) (inédit). 

Triangnlorum Planoruni et SpluTricorum Praxis arilhinetica (ijf)!). 

De Triangulis Spha'ricis et Planis (1Î99) (inédit). 

Annolaliones Ediforis. 

TOMLS II. 

Aslronomi;p inslaurat;c Progymnasmatuni partes prima et secunda. 

ToAits III. 

Astrononiitc in<!taurata' Progvmnasmaluin pars tertia. 

Stellarum inerranliuni Keslit ntio ( 1 )9S j. 

Stellariini incrt aiitiiiin He? lilulionis Appendix (inédit). 

ToML'S I\'. 

De mundi iclherei leccnlioribns Plurnoinenis. 

Lil)ellus do comela anni 1 )77 (inédit). 

Apologelica responsio de Parallaxi comclarun» (( hn rage ([u'on a considéré 

jusqu'ici comme perdu). 
Craigii re«|innsio (int'dilc). 

ToMis V. 

Vstrononiia- instaurala' nicclianica. 



(') Pour ce qui concerne la vie de TvcIki, \oir !)i!i'>i;'i, T)clio liniUc, a 
piclure oj scienli/lc lifi' and wori, in titc sictheeiilli ci'nltuy. I.ondon, 1890. 
Voir aussi K. I^K.noN. Histoire abréger de l'Astroiionue . l'ai-is. i">i)(». 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. mi 

In solis et lun;i' motus restitutos ad diarium A. i5<)8-i")9() Piolegomena 

( iné(Jit). 
Epliemericles sulis aiinorum i iSfJ-gx (^inédites). 
Coinmentarii Geograpliici (inédits). 

ToMis VI, VII, VIII. 
Epistolaî (en grande partie inédites). 

TOMLS IX. 

Diarium meteorologicum. 
Composiliones medicamentorum . 
Carmina. 
Variœ scriptura-. 

ToMus X, XI, XII. 

(Jbservationes (en partie inédites). 

ToMUS XIII. 

Acta ad vitam Tychonis Bralie pertinenlia. 

Bibliographia. 

Iconographia. 

Le Tome 1 coiuinence par un Ouvrage de jeunesse de Tvclio 
sur la nouvelle étoile qu'il découvrit le 1 1 novembre i 5-2 dans la 
constellation de Gassiopée. L'apparition de celte étoile eut une 
grande intluence sur la vie de Tjclio, car ce fut elle qui tourna 
définitivement ses intérêts vers l'Astronomie. Il donne une des- 
cription exacte de l'étoile, sa couleur, son état, sa jiosition, etc. 
Il mesura sans cesse les distances entre les principales étoiles de 
Gassiopée et la nouvelle étoile et il démontra qu'elle n'avait pas 
de parallaxe sensible. Il en conclut que c'était une étoile fixe. La 
plupart de ses contemporains croyaient y voir une comète ou un 
météore, mais Tyclio démontre que cette opinion n'est pas bien 
fondée. 

Ge [)elit Livre est assez remarquable; on devine sans peine le 
fuUu- grand savant. L'auteur parle souvent de ses intentions pour 
l'avenir, de tout ce qu'il reste à faire pour élever rAstronomie à 
la liauteur d'une vraie science, programme qu'il devrait n'-aliser 
plus tard. En comparant ces pages avec le grand nouibre d'autres 
Ouvrages que la nouvelle étoile provoqua. t>n voit clairement 
combien le jeune aslronoiue devançait ses coutetnparains. 



9.o4 PREMIÈRE PARTIE. 

Kepler parle des recherches de Tycho sur la nouvelle étoile en 
ces lermes : « Certe si nihil aliud Stella illa, magnum equidem 
astronomum signifîcavil et progenuit. » Une reproduction photo- 
graphique de cet Ouvrage a été publiée en 1901 par l'Académie 
royale des Sciences de Copenhague pour célébrer le Soo*" anni- 
versaire de la mort de son auteur. 

l.e Mémoire suivant, De disciplinis inatheniaticis Oratio^ est 
le discours inaugural de Tycho à l'Université de Copenhague, 
prononcé le 23 septembre i5^4- H p^^i'le d'abord de la Géométrie 
et de son importance pour le développement de l'esprit humain ; 
ensuite de l'Astronomie dans l'antiquité et il fait l'éloge de 
Copernic. Il s'arrête longuement à l'Astrologie et professe des 
opinions auxquelles il n'eût guère voulu souscrire lui-même plus 
tard . 

Ce beau discours témoigne que son auteur était non seulement 
savant, mais aussi poète. Il arrive souvent que Tycho, dans ses 
Ouvrages, exprime ses pensées en de beaux vers latins. 

Les deux Mémoires qui sont à la fin du Tome I intéresseront 
tout particulièrement les géomètres. Le premier Mémoire ayant 
pour titre : Tviaiigiilovum Planoruin et Sphœricoruni Praxis 
arithinetica qua inaximus eoruin prœsertim in astronomicis 
Us us compendiose explicatiu., date de l'année i.h)i. 11 a été 
publié pour la première fois par Studnicka à Prague (1886). C'est 
un Traité de Trigonométrie plane et sphérique destiné à faciliter, 
pour Tycho et ses collaborateurs, les calculs pratiques dans 
l'Observatoire. Tycho a pourtant eu linlention de [)ublier les 
uK'thodes dont il se servait : c'est ce qu'on peut voir dans ses lettres, 
uiai"> cette publication n'a pas eu lieu. Le second Mémoire est 
publié ici j)our la première fois. 

Les théorèmes qu'expose Tycho n'ont |)as la généralité et la 
sinijiiicité que nous pouvons maintenant leur donner parce qu'à 
cette époque on ne calculait guère avec des iaond)rfs m'-galils. 

Li réduction <les observations qu'on ex(;cuta à l'ObserNaloire de 
l'ycho nécessita des calculs assez pi-nibles. On n"ii\;iil pa^ encore 
iu\euté les logarithmes. Wuiv exécuter des mnlt i|>lications d«' 
nombres d'un gi-and noinbic (h; chinfres, J'ycho se servait d\\\\ 
artilice ([ii'on a aj)|»cl«'' la niéthode prosthaplufrétiqtte (formé 
de T:pc7:7'.r, addil nui, cl y.'^y.'.z,iy.i^ souslr.itl ion ) d (jui m connue 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 2o5 

se réduit à l'application de la formule 

•2 sin a sin 13 = cos (a — ^) — cos roc-i- J3) 

ou de cette autre formule 

2 COS a cos 3 = cos (a — ^) -\- ces C a -^ ^ ) . 

Si l'on veut former le produit des deux nombres positifs/? et q, 
on cherche donc dans une Table de sinus deux angles a et 3 tels 
que sin a = p et sin '^ z= q et l'on forme la demi-différence 

entre 

sin ("go — x-i-3) et ?in(90 — a — P). 

Si p ou q sont plus grands que le rayon /■ de la Table, on les divise 
par une puissance convenable de ro, ou on les décompose en une 
somme de plusieurs nombres <; r. 

La méthode prostliapluerétique a été connue avant Tyclio par 
Ibn Jûnos et par A\ erner, mais cette méthode était tombée dans 
l'oubli et elle a été retrouvée par Tjcho en collaboration avec son 
élève Paul Wittich. Kepler en parle comme dun artificium 
Tychonicum ou régula Wittichiana. 

Tycho fait un usage étendu de ce procédé dans ses calculs et il 
démontre tout particulièrement comment on peut s'en servir pour 
résoudre un Iriaugle plan ou sphérique quand on connaît trois de 
ses éléments. D'Uranibourg la méthode prosthaphserétique s'est 
répandue et est devenue d'un usage commun dans les années 
suivantes. Elle a été développée avec beaucoup de détails par 
plusieurs astronomes pour être successivement remplacée par les 
logarithmes. 

L'application de cet artifice est ce qu'il j a de plus remarquable 
dans les deux Mémoires susdits. Nous en présenterons ici un 
exemple. 

Soient donnés dans un triangle sphérique deux côtés b et c et 
l'angle compris A ; pour trouver le côté «opposé à l'angle A, Tvcho 
procède fp. 289, Doguxa^ ^ I) d'une manière C|ue nous voudrions 
exprimer par la formule 

cos a = cos 6 cosc -i-sin6sinccosA 

= - [cos (6 — c) -V- cos (6 -i- c)] H — [cos (6 — Cl — cos( 6-hc)] cos A, 



2oG PREMIERli PARTIE. 

Mais clans le dernier membre il reste encore une multiplication à 
ex:écuter. Dans le second des Mémoires susdits (p. 298) Tjcho 
évite, à l'aide d'une Table de sinus, celte multiplication de la 
manière suivante. On calcule d'abord x de l'équation 

si 11 (90 — 6-i-c) — sin (90 — b — r j = 2 sin ./-, 
puis )' et :; des équations 

sin (go — ^;-;-c) -4- sin ( 90 — b — c) = 2 k, 

sin(.-r-f- A) -1- sin {x — A) =22 

et enfin rt de récjuation 

jK-i-^=sin (90 — (i). 

Il parait que l'idée d'introduire l'angle auxiliaire x est due à 
Biirgi. 

L'œuvre ^n-incipale de Tjcho est intitulée istronoinid- instaii- 
ratœ Progymnasmata. 11 v travaille pendant les quatorze 
dernières années de sa \ie. Nous avons ici seulement à parler du 
Tome I de cet Ouvra^^e qui a été reproduit dans les Tomes 11 et Ml 
de ces OEuvres complètes. 

Tyclio avait fait construire à l'île d'Hveen, tout près de ses 
observatoires, sa propre imprimerie et sa propre papeterie. La plus 
j;rande partie de ce Tome j a été imprimée et des extraits ont été 
envoyés par Tjcbo à ses amis. Mais pendant l'impression il ajoutait 
les résultats de ses recherches les plus récentes, et pour cette 
raison il n'arrivait pas à publier ce Tome. I^'impression lut 
terminée à Prague un an après la mort de Tyclio. 

Dans le Chapitre I il étudie le mouvement apparent ilu Soleil 
et détermine a\ec le plus grand soin les éléments de l'orbite de 
cet astre. A l'aide de ces constantes il dresse une Table du 
mouvement apparent du Soleil qui représente les observations à une 
petite fraction d'une minute près, pendant que les Tabh-^ de 
Copernic admettent des erreurs qui s't'dèvent à 20 minute>. 

Les observations du^oleil permettaient à Tycho de délcnuiner 
la laliliidf di; son observatoire l r((iuh<>tiri; . Il trouva une v.ileur 
(pli dilb-ra sensiblement de la valeur qu'il avait lroii\<(' à l'aiilede 
l'cMoile polaire. Il expliqua celte différence par riulluence île la 
réfraction et il fut [ainsi amené à étudier ce phénomène. Pendant 



CO.MPTKS lUÎNDUS KT ANAI.YSIiS. 307 

les années ijHr)-i58() il exéciitu nu grand noinhre d'observations 
cti vue de déterminer la valeur de la i-étraction et il construisit 
une Table des r('; tract ions astronouiiques. Les observations du 
Soleil et des étoiles fixes donnaient des valeurs assez didérentes 
parce qu'il avait adopté une valeur tro[) };rande de la parallaxe 
solaire. 

Dans le Chapitre I, Tyclio s'occupe encore de la théorie de la 
Ijune. A partir de l'année i jSy il observait régulièrement la Lune 
dans toutes les |)arties de son orbite et il s'assurait bient(U que la 
théorie de Ptolémée ne suffisait nullement pour représenter le 
mouvement de cet astre. Il réalisa des progrès importants dans la 
théorie de la Lune qui ne cessa pas de l'occuper jusqu'à sa mort. 
En parlant de cei recherches l^ij^lace (M s'exprime en ces 
termes : 

« Les astronomes n'ajoutèrent riea à la théorie de la Lune de Pto- 
lémée jusqu'à Tycho Br.die, qui, eu comparant celte théorie avec 
ses observations de la Lune dans les octants, reconnut l'inégalité 
de la variation, dont le mixlmum correspond à ces points. L'exac- 
titude de ces observaMoas lui fit encore reconnaître c|ue l'équation 
du temps propre au Soleil n'était point applicable sans correction 
à la Lune, et qu'il fallait, pour ce dernier astre, la corriger d'une 
quantité dépendante de l'anomalie du Soleil. Les astronomes ont 
ensuite apjiliqué celte correction au mouvement de la Lune, en 
donnant à cet astre la même équation du temps qu'à tous les autres, 
ce qui ajoute à son mouvement l'inégalité connue sous le nom 
(Véquation annuelle. On supposait, avant Tjcho Brahe, 
l'inclinaison de l'orbite lunaire constante et le mouvement de ses 
nœuds uniforme. Ce grand astronome dut encore à la bonté de ses 
observations la connaissance des deux inégalités principales de 
ces éléments, d'où ri'sulte la principale inégalité de la Lune en 
latiludc. » 

Dans ses recherches sur les planètes, sur la nouvelle étoile et 
sur les comètes, Tycho avait besoin de positions exactes d'un g;rand 
nombre d'étoiles de repère. On avait, il est vrai, le catalogue de 
Pt()tt''inée, mais il laissait beaucoup à ch-sircr et ne suffisait pas h 



(' I (^h'u\'/('s co/ii/i/èh'S, t. \' . p. 3()n. 



2o8 PREMIERE PARTIE. 

ses besoins. Dans le Chapitre II, l'auleur se propose de remédier à 
re défaut; ilparle d'abord des différentes méthodes qu'il appliquait 
pour déterminer les positions des étoiles fixes et il dresse ensuite 
un catalogue de 777 étoiles contenant la longitude, la latitude et 
la grandeur pour l'année 1600, et un autre catalogue de 100 étoiles 
contenant l'ascension droite et la déclinaison pour les années 1600 
et 1700. Dans les dernières années qu'il passait à Hveen, Tycho 
observa un certain nombre d'autres étoiles fixes et il construisit 
iin catalogue de 1000 étoiles qu'il envoya en manuscrit à ses amis 
et protecteurs. On trouve ce catalogue dans le Tome 111 des OEuvres 
de Tycho. Il a été jiublié pour la première fois par Kepler dans 
ses Tabulœ Rudolphinœ (1627). 

Dans le Chapitre III, l'auteur s'occupe de la nouvelle étoile dont 
nous avons parlé plus haut ; il donne une description détaillée de 
sa couleur et de ses varialiijns d'éclat, et il discute les récits 
d'Hipparque et d'autres sur des phénomènes analogues. 

Dans le Chapitre 1\ , l'auteur donne les résultats de ses mesures 
des distances entre la nouvelle étoile et neuf autres étoiles de 
Cassiopée et des distances enti^e les étoiles de repère. On y trouve 
en outre une description des instruments k l'aide desquels on avait 
•exécuté ces mesures. TAcho construisait avec beaucoup de talent 
<les instruments astronomiques qui lui pcruieltaient ilalleindre 
\n\e exactitude qui surpassait essentiellement celle de ses prédé- 
cesseurs. Il se rendait parfaitement compte que ce qui importe est 
d'atteindre la plus grande stabilité et symétrie dans la construction 
et que les erreurs inévittbles, ([ui entachent tout in>li inuenl, sont 
à corriger j)ar des calculs. 

Dans le Chapitre \ , Tvcho donne les positions des neul étoiles 
<h' repère susdites dé(hiltes d'une part de ses propres observai ions, 
d'autre pari des Tables de Copernic et dc:^ Tables Alphonsines. 
(^es positions lui permettent de calculer, de plusieurs uianières 
différentes, les positions de la nouvelle étoile. L'accord entre les 
dift"érenl(;s observations se moulre très satisfaisaul rpi:ind du x' sert 
des positions de Tycho |K»ur le> «'-toiles de repèic. lMai^ mou (|uand 
on applique les posilious anl<'Ti«'ure>. 

Uiiiis le Cli;q)iln' suiv.iiil. laiiteur se dcuiandf qu«d le peut rlrt- 
!.i (li>tauce nitrc rt'Ioiic et la Tcnc. Il di-unuil ic de (pi.ili<' 



MÉLANGES. 209 

manières diftérentes qu'elle est beaucoup plus éloignée que les 
planètes et il en conclut qu'elle est une étoile (ixe. 

Tycho estime que l'étoile était un peu plus grande que le Soleil 
au moment où elle apparut, mais qu'elle diminuait successivement 
en grandeur pour devenir de la même grandeur que la Terre au 
moment où elle disparut. Il saisit cette occasion pour exprimer ses 
opinions sur les grandeurs des diamètres du Soleil, de la Lune et 
des planètes. 

Les Chapitres Vlll-X contiennent une analyse détaillée de tout 
ce qui a été publié par d'autres astronomes sur la nouvelle 
étoile. 

J^Ouvrage se termine par quelques considérations astrolo- 
giques. 

On doit beaucoup de reconnaissance à M. Dreyer pour le grand 
soin qu'il a apporté à cette publication et pour les savantes r^otes 
qu'il a ajoutées. Il a eu pour collaborateur M. Hans Rœder en ce 
qui concerne des questions d'ordre philologique. 

N.-E. jNorluxd. 



MELANGES. 



SUR LES SOMMES ABÉLIENNES DE VOLUMES CYCLIDO-CONIQUES; 

Paiî m. a. BUHL. 
( Suite et fin.) 



^1. Cas de la cyclide de Dupin. — On sait que cette surface 
est engendrée à l'aide d'une ellipse rap|)ortée à ses axes Oxj et 
il'xine hyperbole rapportée de même à 0^", ces deux coniques 
étant focales l'une de l'autre. Deux sphères, toujours tangentes, 
dont les centres décrivent respectivement lesdites coniques, ont 
une même enveloppe qui est la célèbre cyclide. Considérons la 
sphère S, appartenant à la pivinirrc fiuniHe. dont le centre est te 



210 PRIiMIERE PAHTIl!:. 

point A(a, o, o) et donl le ravon est c -h /. . Considérons aussi la 
sphère 5', de la seconde famille, dont le centre est aussi sur Ox, 
en Gfc, o, o) et dont le ravon est a -t- A". 

Soit maintenant un C('ine. de sommet O, découpant, sur S, deux 
aires de ditYérence Tj — 7, et, sur S', deux aires de difterence 

De telles différences d'aires spliériques peuvent s'exprimer pur 

([uand il s'agit d'une sphère de ravon R et de centre {a, /-», r). La 
cloison d'intégration a- est une cloison quelconque tendue dans le 
cône intersecteur; c'est à elle que se r<ip]M>rtent les variahles x. 

y et :■• 

?Sous avons donc maintenant, en posant /- = jr- + )'^ H- 3^, 






Prenons uiaintcnant l'équ.itioade lacyclidedc Dupin, lelle qu'elle 
a été écrite par 0. Dai'houx, 

( X2 + Y^ ^ Z2 — «2 — c2 — k'- )i _ 4 «2 Tx -^ -- y — 4 ( aî — c2 ) V ^ = o. 



On a ici 

'f«i = '■'*, fm~i = O. 'y«,-:j = — Sackx 

et, par suite. 

V -:, = s acA / / ^ ( a r -f- 3 >- -f- Y 5 ) rfj 

Compai.mt avec les dilVérences d'aires spliériques ci-dessus, on a 



i:-^< 



"'^-;7^n "=-'■'■ 



Celte douhie «'galilé t'V|)riiue uu t liiMirèini- (pi ou jx-ul ('uoncer 
couime suil. en langage oïdiiiairt' : 

Si l'on rii/isi//(''i r lu cycliih' de fh/pi/i et 1rs deux sphères 
e/nelojtp'-rs If ni 0/1 1 Intr fe/itr/' en li^iir il/ni/f aycr le ce/ifrc 



MELANGES. 211 

de la cyclide et lespeclivemenl situés aux sommets réels des 
coniques réciproquement focales^ la somme abélienne des 
volumes coniques déterminés par la cyclide dans un cône quel- 
conque^ de sommet au centre de la cyclide^ est proportionnelle 
à la différence des aires déterminées par ce cône sur l'une ou 
l'autre des sphères. 

Peut-être faut-il convenir que la double égalité qui précède a, 
sur cet énoncé, non seulement l'avantage de la concision mais en 
outre celui de fuiie connaître les facteurs de pi'oportionnalité. A 
ces facteurs près, on peut d'ailleurs énoncer le théorème avec 
toute sphère ayant son centre sur Oa?, c'est-à-dire sur la droite des 
sommets réels des coniques focales, mais il est particulièrement 
intéressant de ne point faire intervenir d'autres sphères que celles 
qui engendrent la cyclide. 

Si /■ est nul, la somme abélienne des quatre t, est nulle parce 
cjue O devient alors un centre de symétrie pour la surface. 

3. Généralités. — .l'énoncerai d'abord un théorème qui, comme 
celui terminant le paragraphe 1, seiv» d'une vérification immé- 
diate : 

Si S est la somme abélienne de volumes coniques relative à 
la surfacç générale 

et si S| et So sont les sommes analogues pour les surfaces 

(4) tf/«-f- 'f,„-l -f- Cp/„-2-l- -Km-3-H 'l'w-i-^- • •= o. 

(•5) «?/«-!- •«,-1-4- Ow-2 -H 9//;-3 -4- 0,„_. -i-. . .= O, 

on a 

(()) S^Si-hSo. 

On pourrait d'ailleurs encoi'e généraliser un peu cet énoncé en 
multipliant les équations ( /[ ) et (5) par des facteurs diflérents et 
en leur ajoutant des termes, mais le plus intéressant semble être 
dans une voie contraire. (Cherchons, pour réaliser S d'après (6), 
(juelles sont les surfaces (.'j) et (.')) les plus simples qui puissent 
déterminer les sommes S| et Sa- On peut évidemment prendre les 



212 PHEMIÈKK PAirriE. 

surfaces d'éqiialion 

(7) ~ 5j„, 4- Cp,„_i -H ç.„,_2= O, 

(8) 0„j-f- 9,„_:j= O. 

La premièi'e a un point singuliei* à l'origine avec cône tangent 
d'ordre m — 2; la seconde j a de même un point singulier d'ordre 
jn — 3 qui est d'ailleurs un centre. 

4. Application aux cyclides quelconques. — Imaginons main- 
tenant que l'équation (3) soit celle d'une cyclide quelconque. 
Alors (-) est celle d'une cyclide ayant un point double à l'origine, 
donc en dehors de la ligne double ; c'est l'inverse ou la podaire 
d'une quadrique (G. Dakboux, loc cit., p. 4o8). Quant à l'équa- 
tion (8), étant donné que o,n=^ r'' et que 'Jw,_3 est du premier 
degré, c'est une surface de révolution dont l'axe passe par l'ori- 
gine perpendiculairement au plan 'j,„_3=: o. 

La somme abélienne des quatre volumes délimités dans un 
cône quelconque, par une cyclide quelconque., est la somme de 
deux sommes abéliennes de même cône et de même nature rela- 
tives à deux cyclides dégénérées dont l'une est l'imerse d^une 
quadrique (ou la podaire d^une autre quadrique) et dont 
l'autre est une sur/ace de révolution. 

On aurait j)u J>aser ce théorème sur un calcul un peu plus 
détaillé; je préfère indiquer celui-ci dans un cas un peu plus 
général. 

5. Emploi de V inversion quadrique deJJirst. — (Considérons 
un j)oIjnome homogène, du second degré, tel que 

f(cr,y, z, t)= Ajx'^-i- AoY^-^ AiZ^-r- ihij'z ■}- ^BiZX -+- x \i ^ .ry -\- C t* . 
Soit la surtace du (juahièuic degré 

( ^/.r + y/) -'r- -/z )' + ■^. 9 1 ( .^/x - ' y/y -+■ -/i ) ^- Cf 2 H- ? i -^ 'ro = O , 

ch)nt nous nous ser\ irons pour dclinulcr (pial le \ ol unies dans lui 
cône quelconque ayant loujours O |)our soninicl. L;i soninio al)é- 
liennc S de ces quatre volumes se compose, d'après (6), de deux 
parties S, cl S^ qui sont des sommes abéliennes, de m^'ine (-(Uie, 



MÉLANGES. 2i3 

définies par les surfaces (7) et (S) qui sont ici 

(10) (^f.>.-+-rfy-^-zfzf'^'ii==o. 

Etudions d'abord la surtace (9). Elle a un point double à l'origine 
et la transformation 

X Y Z Tf, 

^ y ^ ^fx-^yfy^^fz 

la change en une quadrique. 

Quant à la surface ('10). toutes les sections parallèles au plan o, 
la coupent suivant des coniques honiothétiques. 

On voit qu'on obtient, en tovis points, une généralisation du 
théorème du paragraphe précédent. 

La transformation (11) n'a n'en d'essentiellement nouveau; c'est 
la combinaison d'une homographie et d'une inversion, mais elle 
n'en est pas moins fort remarquable de par la définition globale 
qu'on en peut donner. Elle transforme M en X surOM, ce point N 
étant conjugué harmonique de M par rapport aux points où OM 
coupe une quadrique qui serait ici/=o; cette intéressante trans- 
formation hiralionnelle est d'ailleurs connue sous le non àî in- 
version quadrique de Hirst et conservée, sous la forme précé- 
dente, par Gaston Darboux (/oc cit., p. 366). 

Il ne peut donc sembler superllu de la faire intervenir dans une 
extension homographique d'un cas traité d'abord, cas qui se 
retrouve si 

Il y aurait sans doute d'autres exemples intéressants quant à la 
transformation homographique des sommes abéliennes de volumes 
coniques. 

0. Dans une Xote Sur V intervention de la géométrie des 
niasses dans certains théorèmes concernant les surfaces algé- 
briques {Comptes rendus., 18 mars i(ji8), j'indique brièvement 
la possibilité de généralisations concernant ce qui précède. 

Si, sur une cloison, on étend une double couche analogue à 
une couche magnétique et de densité constante, le moment 



2i4 iMU<:i\iiÈiU': i-AiniK. 

d'inertie de cette double couche, par rapport à un poiut tel 
que O, est le volume conique compris entre O et la cloison. Si la 
densité constante devient variable, quand on se déplace sur la 
couche, on obtient alors des volumes généralisés j>our lesquels 
existent des théorèmes abéliens analogues à ceux concernant les 
véritables volumes. 

Alors que les volumes coniques ordinaires, étudiés ci-dessus, 
dépendent des quatre premiers termes de (i), il existe des sommes 
abéliennes de ces volumes généralisés qui dépendent des k pre- 
miers ou derniers termes de (i). 

Notons encore que la première intégrale double du j)aragraphe 2, 
qui représente les différences d'aires sphéro-coniques de M. G. 
Humbert, peut représenter aussi des sommes abéliennes de tels 
volumes et que, interprétée ainsi, elle permet d'obtenir, dans les 
cjclides, des résultats identiques à ceux obtenus dans la sphère. 



SUR LES VALEURS LIMITES DE L'INTÉGRALE DE POISSON 
RELATIVE A LA SPHÈRE EN UN POINT DE DISCONTI- 
NUITÉ DES DONNÉES ; 

Par M. Gaston Jl LIA. 



1. [j'élude de l'intégrale de Poisson relative;! la rinonléronce a 
fait l'objet de nond)reux travaux. Si l'on dé(îiiil mu une circonfé- 
rence C de rayon R, une fonction \ (M) du poini M qui Jécrit la 
circonférence, et si P est un j)oint intérieui- à la circtintcrcncf, 
l'intégrale de Poisson a pour valeur au j)oint P 



va.) = i^/^'..s 



/ étant la dislance du point Pau c<Milrc il<^ la cii contcrciiri', et /• la 
dislance PM. Li fonction \ (M) est, nahinllciucnt, supp(»sée inl<- 
grable, soit au sens de Riciuaun. ^<>il au ^cns de M. Lebesgue. 
\ (P) est alors une fonction liarnioniquc (l.iiis ( '.. on clicri-lir sa 



MELANGES. -21; 

valeur liinile loi'sque V tend vers un point détermina M du con- 
tour. Les résultats sont classiques. La limite ne dépend que des 
valeurs de la donnée \ sur un arc de G arbitrairement petit 
comprenant à son intérieur le point ]NL Si la donnée \ est continue 
au point M, \ (P) tend vers \ (M), sur tout chemin intérieur à (^ 
aboutissant en M. Si M est un point de discontinuité de première 
espèce pour la fonction V(M), c'est-à-dire un point tel que \ (M') 
ait deux limites distinctes bornées V(M-t-e) et \ (M -s) lorsque M' 
tend vers M soit d'un ciUé, soit de l'autre du point M, la limite 
de V ( P ) dépend de la tangente MT en M à la courbe suivie par le 
point Pqui tend vers M, et elle varie linéairement avec l'angle que 
cette <lroite Mï fait avec la tangente en M au cercle C. Si a est 
l'angle de MT avec la demi-tangente menée au cercle en M dans la 
direction correspondant à \ ( M -[- ô), la limite sera 

1 V( M - £) -^ ^^-^ \7 M -+- e ). 

On trouvera cette formule dans le Traité d'Analj se deM. Picard 
(Tome J, pages 272-2^5 de la deuxième édition). 

Si les deux valeurs \ (M -r î) et \ (M — t) sont égales à H- ao, 
on peut supposer sans rien changera \ (P) que \ (M) = ^00 et 
la valeur limite de \ (P) quel que soit le cliemln suivi pour 
arriver en M sera ^- ce. Tout se passe comme si \ (M) était continue 
en M avec la valeur -j- oc. 

Au contraire, si V(M -+- t) =-4-00, tandis que \ (M — s)^ — ce, 
la fonction V(P) est complètement indéterminée aux environs 
de M et peut tendre vers n'importe quelle valeur lorsque P tend 
vers M par un chemin convenalile : c'est l'extension du point de 
discontinuité de première espèce; les valeurs limites de \ (P) 
sont, iciezicore, toutes les valeurs comprises entre \ (M — ^) = — ^o 
et V (M + e) = -t-Qo, c'est-à-dire toutes les valeurs po-sibles. 

2. Si l'on étudie le même problème pour l'intc'grale de Poisson 
relative à une sphère S de ravon R 



^'^^-"i^f/:-^"- 



où p est le point intérieur à la sphère située à la dislance / (hi 



■2i6 PREMIÈRE PARTIE. 

centre, M le point qui décrit la sphère (r=:PM), on clierchera 
si V(P) tend vers une limite lorsque P tend vers un point O de la 
sphère suivant une courbe tangente en O à une direction OT, et 
l'on cherchera à préciser le lien qui existe entre la valeur de la 
limite et les deux angles qui fixent la direction OT autour du 
point O. Lorsque la donnée A (M) est continue au point O 
que l'on étudie, il est classique depuis Sch^\arz que ^ (P) lend 
vers V(0) quelle que soit la direction OT. On se propose ici, en 
admettant que \ (M) n ^ est pas continue en O, d'étudier la ques- 
tion et de l'élucider dans une certaine uiesure. 

3. Ainsi qu'on le reconnaîtra de suite, la limite de V'^(P) 
lorsque P tend vers O dans la direction TO (') ne dépend que 
des valeurs de la donnée \ (M) aux points M intérieurs à un petit 
cercle delà sphère S de pôle O, de rayon arbitrairement petit 
d'ailleurs. Il est, d'autre part, indispensable de préciser le mode 
suivant lequel la donnée V(M) sera discontinue en O, si l'on veut 
obtenir des résultats précis quant aux limites de ^ (P). A cet 
ég;ard, on peut adopter différentes hypothèses correspondant à 
différents modes de discontinuité de la fonction V(M) qui dépend 
des deux coordonnées curvilignes de M. \ oici celle que nous 
adopterons : elle est d'un mode très général dans lequel rentrent 
les cas usuels de discontinuité pour les fonctions de deux va- 
riables, et elle ne suppose pas que O snit un point de disconti- 
nuité isolé. 

Nous supposerons V(M) fonction unllormc. bornée (-) et inté- 
grable (ou sommablo) des deux coordonnées curvilignes de M sur 
la sphère S. Lorsque M tendra vers O en suivant une courbe de 
la sphère tangente en O à une direction OU tlu j)lan tangent, 
V(M) sera supposée tendre vers une limite ne dépendant (jue de 
la direction OU. Pour préciser, si Ox et O )' sont deux axes rectan- 
gulaires du plan tangent en O, Os étant la normale dirig<'e vers le 



(') J'emploierai souvent celle «xpression poiu dire que I' Iciul vers O sur 
une courbe tangente en O à la droite OT. 

(') On peut, sRns complication cssenlielle, supposer \ (M) nun hornéc, mais 
toujours sommable; ce (|ui va tHre établi dans rhypolliùsc où V ( M ) est hoince 
s'étendra iminédiateuicnt au cas où V(M) n'est pas hoiiac. Pour la clarté de 
l'exposition, on n'a cnvisagi- ici que la première liv[>olliésc. 



MÉLANGES. 217 

centre de $, la direction OU sera fixée par Taugle -i/ = 0:r, OU, 
et la limite de V(M) pour toute courbe de la sphère tangente 
en O à OU sera y('J;), la fonction f{'\) étant supposée fonction 
bornée, intégrable (ou somniable) de la variable ■} [évidem- 
menty'('l) est périodique par rapport à 'i, avec la période 2-]. Il 
pourra cependant j avoir un nombre fini ou même un ensemble 
infini, de mesure nulle, de directions exceptionnelles OU pour 
lesquelles la fonction /(']/) n'ait pas de valeur déterminée, cest- 
à-dire pour lesquelles \ (M) ne tende pas vers une même limite 
quelle que soit la courbe tangente à OU que suive sur la sphère 
le point M qui tend vers O. 

4. Un exemple courant d'une discontinuité telle que la précé- 
dente se présente pour les fractions rationnelles. Si V (M), que 
l'on peut considérer autour de O, sur la sphère, comme Mfie 
fonction uniforme des coordonnées x et y, peut se mettre 3ans 

Plx y) 
un cercle assez petit de pôle O sous la forme ^ (M) = ^^ , > 

P(a7,j>') et Q(.r, y) étant deux polynômes homogènes du même 
degré, nuls en O, tels cependant que le polynôme Q(^, y) ait un 
maximum ou un minimum en O, de façon que la courbe 
Q(:/:',j') = o ait le point O pour point multiple isolé [ce qui 
revient à dire que l'équation en t : Q(i, i) = o ait toutes ses 
racines imaginaires], O sera un point de discontinuité pour V(M) 
du type signalé; en posant tang-!/ = Ma fonction /(-i) n'est autre 

que la fonction rr^ — - qui, évidemment, est bornée et intégrable. 

^ Q(i, t) 

Comme deuxième exemple, considérons sur la sphère S le grantl 
cercle du plan zOx et supposons que sur l'hémisphère r>o 
on donne ^ (M) = Y,(M), sur l'hémisphère r < o, V(M) = V2(iM), 
chacune des fonctions Vj et A 2 n'étant définie que dans un hémi- 
sphère, ces fonctions n'ayant donc aucun rapport entre elles. On 
supposera V, et Vo bornées, intégrables (ou sommables), et de 
plus, lorsque M tend vers un point M^ du grand cercle qui sépare 
les deux hémisphères on supposei'a que d'un côté de ce cercle \\ 
tende toujours vers la même limite \, (Mo) quel que soit le 
chemin suivi par M dans le premier hémisphère, et, de l'autre 
côté de ce cercle, que \ o tende toujours vers la même limite 

Bull, des Sciences mathéni., v série, t. XtJL. ( AoiU i<)i8.) 17 



2i8 PREMIÈRE PARTIE. 

^2 (Mo) quel que soit le chemin suivi par M dans le deuxième 
hémisphère. ^ , (M^) et V2(Mo) sont deux fonctions du point M„ 
du grand cercle sans rapport entre elles. [On est dans Fhypothèse 
précédente quand on prend par exemple \ , (M) = + i pour )>> (» 
et \2(M)= — I pour r -< o.] Tout point Mo du grand cercle 
séparateur est un point de discontinuité de V(M) satisfaisant 
aux hypothèses énoncées plus haut. 

Pour chacun de ces points, il ja deux directions exceptionnelles 
qui sont les deux directions opposées tangentes au cercle sépa- 
rateur. [Les valeurs de V(M) sur le cercle lui-même ne jouent 
aucun rôle dans la question.] 

o. Dans les hypothèses précédentes, considérons l'intégrale de 
Poisson 



-"')=^/,r-^*- 



où r = PM et où / est la distance du point intérieur l* au centre de 
la sphère. Par une transformation classique, si M' désigne le 
second point d'intersection de Ml^ avec la sphère S, il vient 

et 

d^j dn' 

ce (pii (hume pour A (I*) la nou\elle \aleur 



--lii^/X^ 



V(P) se présente sous la forme i\\\ potentiel en I' dune simple 
couche étalée sur S, la densité an point M' qui décrit hi spiu''re 

étant ■ ' ? M et M' se correspondant <;o w il a <''l('' dit. 

Envisageons nu |»oiiil (h'-hTmint- M' di' la sphère, cl (aisons 
tendre I' \ers O. la (lensil»'> -rrir"" }"'''i' '^'' N-i'icra ave<- P. Pour 
voir si elle a uuc limile, menons le plau (h'Icrminc pai- W cl la 
hiu^ciile OT (' ) ;i la coiirhc siiiNic pai- I* pour ahmilir en ( ), il 



(') Si M' est sur celte tangente on voit bien pur la siiile qirc le plan à consi- 



découpera dans la sphère un cercle v que Ui droite OT partagera 
en deux arcs, sauf le cas écarté pour l'instant où elle est tangente 
à la sphère; sur l'un de ces arcs se trouve le point M', et l'autre 
arc, qui ne contient pas M', admet en O une certaine demi-tan- 
gente OU, correspondant à un angle •]/. On voit alors sans difli- 

culte que la valeur limite (U- la densité en M' sera , _' (puisque 

-M tend vers O dans la direction OU), à condition bien entendu 
que celte direction OU ne soit pas pour la fonction /('i') une des 
directions exceptionnelles dont nous avons parlé plus haut. Si la 
direction OT est tangente à la splière. et correspond à un angle 

Ox, OT^='i>, la limite de la densité en M' sera v^ cf>^iel que 

soit M' sur la sphère, toujours en supposant que OT n'est pas une 
direction exceptionnelle. En tout point M' de la sphère, sauf 
peut-être pour les points d'un ensemble de mesure superficielle 
nulle E formé des cercles dont les plans (>assant par OT con- 
tiennent les directions exceptionnelles, la densité a une limite. 11 
est alors facile de voir quelle va être la limite de V(P) lorsque P 
tendra vers O. 

6. Divisons la sphère S en deux calottes S, et So, S, étant une 
calotte de rayon très petit entourant le point O. M' étant un point 
quelconque de So, M sera dans S, dès que P sera dans le segment 
sphérique recouvert par la calotte S,. Envisageons dans V(P) la 
partie d'intégrale correspondant à S2 



ùJl 






Lorsque I* t(Mi(! vers O, l'élémeut — ^ — de celte intés^rale 
1 , ;• *- 

tend en tout point M' de S vers la valeur ■■Lzb-> où 'l est l'angle qui 

correspond au plan M'OT i>ar le procédé qu'on vient d'indiquer 
au numéro précédent. [H y a exception pour les points M' situés 
sur col ensemble de mesure nulle E indiqué précédemment.] Li 



dérci- esl le plan osculatear en O à la courbe suivie par 1', mais ceci n'a pas 
d'imporlance pour le problème car OT ne perce la sphère qu'en un point, hors O. 



■x>A^ PREMIERE PARTIE. 

valeur limile • ,, ,,, > ainsi a ailleurs que la valeur de l élément ,,.,, 
O Al ^ I M 

lorsque P est assez voisin de O, sont bornées dans leur ensemble; 

il en résulte, d'après un théorème de M. Lebesgue sur le passage 

à la limite dans une intégrale, que l'intégrale jjrécédente tend, 

quand P tend vers O, vers la limite 



\-^ J ./s OM' 



V(M,^,, 



iivec la même correspondance que ])ius luiul entre ^ et M'. 
La portion 

4^J./s, pF 

de l'intégrale de Poisson en P, relative à la calotte S|, est inliuinient 

petite avec cette calotte puisque c'est le potentiel dune simple 

I 17 ■ ' 1 , V(M) , , , • / •• 

couche de densité bornée ——^ étalée sur une aire infiniment 

4 - K 

petite. On ])eut donc rendre l'intégrale 

rv(M) 



T^././ 



PM' 



rfcr' 



arbitrairement petite, quel que soit P intérieur à la sphère ou 
sur la sphère, en prenant simplement la caloiie S, assez petite. 

(Â suii're.) 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES, 



COMPTES UENDLS ET ANALYSES 



HUMBERT (Pierre). — Sur les surfaces de Poincaré. Thèse de 
Mécanique rationnelle présentée à la Faculté des Sciences de l'Univer- 
sité de Paris, soutenue le i8 juin 1918. i vol. in-4", vi-83 pages. Paris, 
Gauthier-Villars et G"-', 1918. 

M. Pierre Humbert commence son travail par une Introduction, 
dans laquelle il fait un exposé historique très complet des 
recherches de Poincaré, de Darwin et de LiapounolFsur les figures 
d'équilibre relatif d'une masse liquide homogène, soumise à l'at- 
traction newtonienne de ses particules et tournant autour d'un 
axe fixe avec une vitesse angulaire constante. Ces auteurs se sont 
servis, pour désigner les fondions de Lamé, de notations variées, 
entre lesquelles il est malaisé de se reconnailre : jM. P. Humbert 
donne un Tableau, très utile, indiquant la concordance des sym- 
boles divers employés avant lui pour représenter les mêmes quan- 
tités. 

Dans le Chapitre L l'auteur s'occupe de la détermination des 
Jacobiens critiques, c'est-à-dire des ellipsoïdes d'équilibre à trois 
axes inégaux dans le voisinage desquels, pour une variation infi- 
niment petite de la vitesse angulaire, il existe des figures d'équi- 
libre non ellipsoïdales, infiniment peu dillerentes de l'ellipsoïde 
deJacobi. 11 simplifie, d'une façon élégante, la méthode de Lia- 
pounoff, d'ailleurs peu connue en France. Il s'occupe ensuite de 
la résolution des deux équations à deux inconnues qui se pré- 
sentent dans cette détermination. Ces équations contiennent un 
entier n : quand cet entier est très grand, les fonctions qui 3- 
iiaurent sont voisines des fonctions de Leoendre ; s'appuvaut siu' 
ce fait, M. Pierre Humbert donne une méthode d'approximation, 
dont les résultats sont déjà satisfaisants pour la valeur «=3, la 
première qui se présente. A cette occasion, M. Pierre Huuiberl 
indique, pour la fonction de Legendre de deuxième espèce, déjà 
tant étudiée, une expression nouvelle, élégante et commode 
pour le calcul ellectif. Depuis le dépôt de sa thèse, il a d'ailleurs 
étendu sa méthode à un cas général concernant la deuxième solu- 
Bull. des Sciences tnathém., 2° série, l. XLII. ( Sepl. 191^.) '^ 



222 pRKMiÈRiî PAirni;. 

tlon d'une cqiuitian dilleivntielle, linéaire et lionioyène du second 
ordre, dont une première solution est un polynôme et dont les 
coefficients sont des polynômes ('); plus récemment (-), il a 
complété ses recherches relatives à la fonction de Legendre de 
deuxième espèce, en les étendant à la fonction analoi;ue, plus 
générale, rattachée aux polynômes déduits du développement de 
(i — 2 'XX + a-)~- étudiés par Gegenbauer. 

Après avoir ainsi formé et résolu les équations approchées, 
M. Pierre Humbert, revenant aux équations exactes, donne trois 
formules de réduction relatives aux fonctions de Lamé de 
deuxième espèce; sa méthode lui permet de mettre l'équation 
donnant le Jacobien critique sous une forme nouxelte 1res 
simple. Il montre ensuite l'identité de cette forme, avec la forme 
plus compliquée donnée par M. LiapounolV. 

Le Jacobien critique une fois déterminé, il reste à étudier les 
surlaces d'équilibre uifluimenl voisines : ce sont ces surfaces que 
l'auleur appelle siujaces de Poincan'. 

Dans le Chapitre II, il s'occupe de la première surface de lN»in- 
caré, surface d'ordre 3, ou surface pirijornie. Comparant les 
scliémas de Poincaré et de INL D.irwin, il (U'inonlre que la section 
de la surface par un des plans de coordonné(\s ne peut jamais pré- 
senter d'inllexions, dans le cas de la ÎNliManique. Il v a là une 
analo^^ie curieuse avec l'herpolliodie doul INnnsot avait donuf uu 
dessin scliématique avec des inilexions, tandis qu'il a été démontré 
plus tard que, dans le cas de la Mécanique, cette courbe n'a pas 
d'inllexions. Par diverses remarques jréomélriques sur les lan- 
genles, la «duibure, etc.. M. Picnr llumbcrt donne le inovcn de 
construire les sectutns piiiuipalcs de la siirlai r piiiloinM' a\e(; 
une grande exactitude. 

Dans le Cliapiire III sont «'Iniliees de nienu' les .««nriaees de 
l^oincan- d'ordre 4i appelées (juelqmdois. surfaces en forme de 
hft If è/r (^u;iiu\ elles sont positives. M. P. Iliimberl calcule exac- 



(').l réduction- foi niti/a for tlir Fitnc/ioii.t of Ihc f^crond hind connecled 
wilh tlie Polynomidls of (t/)j>lie<l lunl/iciiiatics, by l'ierrc lliinibert ( l'rocec- 
f/iiii,'s of llip Hnyal Soriely of h'(/iii(>uri:/i, session 11)17 mi'^. vol. WWIII, 
P.iil I, ri" '.I, |i. itt). 

C) I'. lIcMiiKiiT, Sur i/eii.r /xj/yiioiiirs {/ssocics /lu.r /KdtiiDiucs tic l.e<^endrc 
(Complet rendua, sciincc du 1" juillet nii*^)- 



COMl>riiS HliiNDUS ET ANALYSES. aaî 

teuieal les éléments de ces surfaces; il donne le dessin de leurs 
sections principales et il montre que ces sections présentent des 
points d'inllexion, même pour de petites valeurs du paramètre s. 

Dans le Chapitre IV, l'auteur applique les méthodes, qu'il a 
indiquées dans le Chapitre I, au calcul des Jacobiens critiques et 
des surfaces de Poincaré d'ordres 5 et 6. Les dessins donnant les 
formes des sections sont calculés exactement; la surface d'ordre (> 
est, pour la première fois, discutée. Il faut savoir grand gré à 
IM. P.Humbert d'avoir effectué les calculs numériques nécessaires 
et d'avoir ainsi donné la détermination complète des surfaces 
d'ordres 5 et (>. 

Enfin, dans le Chapitre V", l'auteui' étudie les surfaces de Poin- 
caré, au j)oint de vue géométrique, en élaigissanl leur définition 
statique : il donne une représentation paramétrique des premières 
d'entre elles, et en déduit plusieurs résultats élégants. 

P. Appell. 



STADLER (Sigurd). — Sur les systèmes o'équations aux différences 
FINIES LINÉAIRES ET HOMOGÈNES. Thèsc poiir le docloiat. in-'i", 6i pages. 
Lund, i<)iS. 

L auteur a étudié un système d'équations de la forme 

n 

(i) (.V — \)\Ujix) = ^p,j(x) iiiix) (y = I, ■?.,..., «), 

/ = 1 

où les coefficients |j(j:) sont des fonctions développal)les en séries 
de facultés, cl où l'on a posé 

A // ( .r) = a ( .r ) — u \x — i i. 

On démontre l'exislence d'un système fondamental de solutions 
de la forme 

^^•^ (7.)'' ?o (••'■) + ?i(-'")i-^g -^ -+-•■■ + '■f/-^'^) M<'^' 7) • 

où les ce (.5?) achueltent des développements en séries de tacultcs. 
L'auteur a di-terminé les domaines de convei'uence de ces sc'-ries 



224 PREMIERE PARTIE. 

et il ea a tiré profit pour calculer les valeurs asjmptotiques des 
solutions quand on s'approche de l infini en restant à l intérieur 
d'un certain demi-plan. 

Si les Pu [x) sont des fonctions méromorphes il en est de 
même des solutions Ui(x)^ et l'on sait aisément indiquer les pôles 
des solutions avec leurs degrés de multiplicités. 

L'auteur démontre en outre que ( i ) est le système le plus 
général qui admet un système fondamental de solutions de la 
forme (2). 

iMAI. Birkliofi". Carmichael et Horn ont publié des travaux 
remarquables sur le même sujet, mais les résultats de M. Stadler 
sont, dans une certaine direction, plus généraux que ceux de ces 
auteurs. 

X.-E. ^URLLWn. 



MÉLANGES 



SUR LES VALEURS LIMITES DE L'INTÉGRALE DE POISSON 
RELATIVE A LA SPHÈRE EN UN POINT DE DISCONTI- 
NUITÉ DES DONNÉES ; 

l'ar .M. r.ASTON It M V. 
[Suite et /in ( ' ). | 



7. Lu c()iKlii>i(Ui de tout ceci est que la limite de 

i-i^ .' .'s r.M' 
i)r>(iu(' 1' t<nil \ri> () esl précisciiicut liutij^rule 

i-ll.' .'s U.M' 
(') loir ItMiiiiiicio daoùl i<ji>>, p. ji'). 



MÉLANGES. 223 

où l'un sait élahlir la correspondance entre le point M' de S et 
l'angle 'l. 

On voit en particulier que, si OT est tangente à la sphère sans 
être une direction exceptionnelle, l'angle •} qui correspond à tout 

point M' de la sphère est le même, et c'est -l = 0:r, OT; la 
valeur limite est donc 






c'est précisément la valeur vers laquelle tend la donnée V (M) 
lorsque M, sur la sphère, tend \ers O suivant une courbe tan- 
gente à OT. 

Si (JT est quelconque, il apparaît que la valeur limite de 1 inté- 
grale de Poisson, lorsque P tend \ers O dans la direction TO, 
est égale au potentiel en O d'une masse distribuée sur S de telle 
façon que sur tout cercle v de S dont le plan passe par OT, la 
densité sur chacun des arcs en lesquels O T découpe v soit cons- 

tante et ë£>alt' à -, — —' l'angle <[> étant celui que fait avec i)x la 
* 4 -K ». 1 

demi-tangente en O à celui des deux arcs de *' sur lequel n'est pas 

le point -M' où l'on fixe la densité nouvelle. 11 est clair que 

l'ensemble de mesure superficielle nulle E formé des cercles v 

tangents aux directions exceptionnelles du plan tangent en O 

(et pour lesquels la densité nou\elle n'est pas définie) n'a aucune 

iniluence sur la valeur de l'intégrale j)récédente, d'après la propriété 

bien connue des ensembles de mesure nulle relative à l'intégration. 

La distribution précédente de la densité nouvelle, constante sur 

chaque arc de petit cercle joignant sur S les deux points où OT 

perce S, dépend évidemment de la direction OT. Le potentiel 

en O de cette distribution, qui représente la valeur limite de 

l'intégrale de Poisson dans la direction TO, dépend donc de cette 

direction OT, et la loi de la dépendance est liée à celle de la 

répartition des nouvelles densités. Il importe de l'en affranchir si 

l'on peut, en donnant une représentation de la valeur limite de 

l'intégrale de Poisson qui soit une intégrale double étendue à un 

champ indépendant de la direction OT. La suite précisera ce 

que je veux dire par là. 



2iG 



PREMIÈRE PAiniE. 



8. Du point O projetons stéréograpliiquement la sphère sur le 
plan équatorial normal à Oj;. OT perce ce plan en to, OM' le perce 
en M, ; nous poserons OM, = /', et nous désignerons par d^i 
l'élément d'aire du plan équatorial. Il j a entre /''=:0M' et 
/', = OM, la lelation ?'fr'= 2R-, et entre le>^ éléments do' de S et 
f/cr, du plan, la relation 



,•■^ ~~ 7?" 



d^' 



Ri 



rfa, 



ce qui transtorme lintégrale 



OM' 



dans l 'intégrale 



^^J J ~^ï~' 



étendue à tout le |)laM équatorial. La valeur de ^ qui correspond 
à M, s'obtient aisément comme il suit : par (o uienons loXt paral- 
lèle à l'axe Ox, et soit 'J>, = <oj7, , toM, , on aura visihleuirut 
'l = •l^ -h -, à cause de la façon dont on a lié 'L à M'. 

Mais la repi'ésentation précédente a encore un défaut : l'inté- 
grale précédente est un polentitd (iu)u |tas potentud lU'wtonu'u, 
luais potentiel correspondant à la loi de potentiel —\ au |>oint () 

d Une masse (iistrd)ut''e sur K- pian ('(pialorial île lacon (jue la den- 
sité MIT cluKpic demi-dfoitc (o M , (•mance île (o soit cofistci/ilc et 

cg^a le r/ y ( o , 4- 7r ) |-^ • 

Lorsque OT varie, o) varie et toute la distnhut ion des masses a 
son oriîjine (<) variable. 



1). Il est facile de safliancliir de ce petit incon\ é'nient . Si (o, 
est en elfet le point où la droite VO peice le plan ;; = — R, en 
menant O///, <'quipollent à d) M , , on verra ipie u^^în^ est l'qui- 



pollent à OM,, par suite •]>,=: Oa^, 0/u, et /•,=--(!),/«,, ce qui 
lr.iM>forme rinli-grale précédente en riuti'grale suivante (•Icnduc 



MÉLANGES. 227 

;i la total it(' du plan tancent en O 

-^J J'—^i — ' 

où, cette fois, la distriijulion de la densité constante et é^ale 
à -~ / {'^ t -h T^) sur toute demi-droite 0//i| faisant avec Ox 
l'angle 'J;, ne dépend en rien de la direction OT. C'est seulement 

par le point co,, et, pour préciser, dans la quantité /■, :r=oj,m,, 
qu'interviennent les deux angles habituels Oo et 'Iq qui fixent 

la direction OT ( Ou = O :;, OT, et -i/o est l'angle du demi-plan zOx 

avec le demi-plan :;OTJ. On voit, en évaluant /'i en fonction des 
coordonnées polaires 0, et 'i/| du point m^. que l'intégrale pré- 
cédente s'écrit 



r 



d: 



[R-( 1 -f- taiig2 6u)-i- 2 Kpi taiii; buCosCii/i— 'i>„) -+- p'f ]- 

et l'on voit que, dans le cas général, si l'on ne précise pas la 
fonction y'('!/), cette intégrale dépend de B^ et 'I/q d'une façon assez 
compliquée. 11 en est donc de même, en général, de la limite de 
l'intégrale de Poisson (suivant la direction TO). que cette intégrale 
représente néanmoins de façon explicite. 

10. \ Oici deux remarques de nature très simple où se manifeste 
l'utilité des considérations précédentes. 

a. Si la donnée \ (M) est continue en O, il est clair que la 
fonction /(<L) est, ^Më/ que soit'l, égaleàla valeur constante \ (O). 
L'intégrale 

'^.J J n " 

étendue au plan tangent xOy., sera égale à 



■^i8 PREMIÈRE PARTIE. 

File ne dépefid pas de la direction OT. Pour préciser, on a, 
en prenant pour évaluer / 1 -^ \a variable ^b^ de ;/?, et l'angle es 
de to, //?, avec la direction de Taxe O::, 

f f^r^ I f ^^Rtang<?f/(R tango) c?.].,, 

car les coordonnées polaires de /n, sont p, = Pi tang-^ et •},. tandis 

que r, =r: et elle se réduit à 

co?o 

R- / s.nç. /'. = —. 

Donc, l'intégralede Poisson tend vers la valeur V(^0) lorsque M 
tend vers O suivant une courbe quelconque intérieure à la spbère. 
C'est le résultat classique. 

h. Supposons les données telles qu'il y ail une ligne de discon- 
tinuités, passant par O, ayant en O une tangente qu'on peut sup- 
poser confondue avec O.r. D'un cùlé de C, V(M) tendra vers une 
valeur V, (O) quand M tendra vers O, et. de l'autre ciUé, \ {^l ) 
tendra \ers une vabnir \ o((>). Ces deux valeurs sont deux fonc- 
tions linies du point O de C, qui peuvent n'avoir aucun rap|)ort 
entre elles. On aura alors /■(•]/)= V,(0) pour o < •} < -, et 
y ('};> = ^2(0; pour -<•!/< a-. Les directions -L = o et •]; = t 
sont exceptionnelles. Aloi^ la di>lril)ul ion i\i^ la (len->it('' «Lins le 

|diin xOy est constante et éi;ale à — \|(0) dan> le denii- 
plan )->o. constante et égale à -^ V2(0) dans le demi-plan j< o. 

On voit de suite que lorsque w, se déplace dans le plan :; = — R 
sur une parallèle à O^r. l'intégrale 



ne cbange pas. Elle ne dépend donc que de ian^de a que fait 
le demi-plan xOy avec le demi-plan .rOT. 

Au lieu de calculer ici l'intégrale j 1 • '^' "^.," " ^' étendue au 



a cal 



MÉLANGES. 2>9 

|)lan ; = o, il est aussi simple de revenir à la première représen- 
lation fournie pour la limite de l'intégrale de Poisson : c'est le 
potentiel newtonien en O d'une densité répartie sur la sphère S, 

égale à la constante '_ sur celle des deux calottes découpées 

ilans S par le plan ^OT qui, aux environs de O, est du coté 

des y<io et égale à /_ ^ sur lauli-e calotte. Si l'on désigne 

para l'an^ledu demi-plan j^Oy avec le demi-planjrOT tout revient 

ilculer ; / — élendue à la calotte qui est du côté des )' "> o 
J J OM ^ 

autour de O. Pour calculer r/s- nous nous servirons : i" des cercles 

de la calotte tangents en O à Oœ: 2° des cercles orthogonaux à 

ceux-là. 

I" L'élément d'arc d'un cercle tangent en O à Oj:, et dont le 
plan l'ait avec xOy l'angle 6 -< a sera 2c (lu, u étant l'angle que 
tait OM avec le rayon issu de O du cercle précédent et z le 
rayon de ce cercle : c = Pv sin(l. 

2" L'élément d'arc du cercle orthogonal issu de M sera, si 

TTTT . , y ?'CoillcIh . 11,1, !• • i< ^ "^ r, 

/• = ( ).M, eoal a ^—, — puisque 1 élément tait 1 anele - — y avec 

^ sinO r^ ^ ^2 

la normale en M au plan .2"0T et puisque l'élément de normale 

est lui-même éiial à r cos w dh. 



Donc 



, ior cos u c?0 du _, ,, , 

dG = —^ v—'^ = "iixr cosu ao du, 

sinO 



et l'intégrale à calculer n'est autre que 

/ dh I co? u du = ^Rx. 



2R 

'0 = 



Le potentiel cherché sera donc 

La limite de l'intégrale de Poisson est lice ici très simplement 
à l'angle a des deux plans xOy et j'OT, puisqu'on trouve qu'e//e 



2 3o PHlùMlÈUli PAKTIE 

varie linéairement en fonction de cet angle a entre les valeurs 
V,(0)et V2(0). 

Sur toute courbe tangente en O à une direct ion du demi- 
plan j'>-o (excepté la direction de Ox), la limite de l'intégrale 
de Poisson est \ , (O). Sur toute courbe tangente en O à une 
direction du demi-plan )'<; o, la limite est V^(0). Sur toute 
courbe non tangente en O à la sphère, telle que l'angle du demi- 
plan xOy avec le demi-plan déterminé par Ox et la tangente OT 
à la courbe soit a, la limite est 

1^V,(0)+|V2(0) 

et varie linéairement avec a. 

11. Sur ce dernier exemple, on peut voir que 1 indétermination 
de la limite est plus grande lorsque le point intérieur V tenil 
vers O sur une courbe tangente en O à une direction exception- 
nelle de la sphère. Ici les directions Ox eiOx' sont exception- 
nelles. Choisissons \ , (O) = + i et \ l> (O) = — i , par exemple en 
supposant que V(M) est égal à -j- i sur l'hémisphère J^ > o et 
à — I sur l'hémisphère )' < o, le grand cercle C de la sphère tan- 
gent à Ox étant la courbe de discontinuité. Considérons un petit 
cercle V de la sphère, tan^^ent à Ox situé par exeuq)lt' dans 

l'hémisphère JK><> et ih)nt le plan lasse l'angle a «< - avec le 

demi-])lan .r (Jj' ( )' > (I ). Menons une corik' i)\\ ilans h- plan de 
ce petit cercle. Si P tend vers O sur la conle, li ut «'ivraie de 

Poisson \ (P) tend vers i —■ Si 1* tend sur OF, \(.'rs l'autre 

point d'intersection de la sphère avec 0T|, \ (Pi tend vers i. Il 
existe donc sur OT, un point P, où \ (P,)=a,. ?/, étant telle 

valeur qu'on voudra comprise entre i «i i —■ C-hoisissons une 

s(;rie infinie de cordes O I , . 0\ ^ OT„ . . . . toutes daii> le 

plan de V et tendant régulicremiii I dans l'ordre où on les 
énonce vers la direction Ox de ee |dan et choisissons arbitraire- 
ment une suite de valeurs //,. ii., //„, . . . toutes comprises 

entre i et I — m;iis n'ayant p.is de liniile delei iniiiee. Sur (lia- 



MÉLANGES. 2ii 

cuDe des cordes OT^ se trouve un point 1',^ où V(P„)=a„. 
L'ensemble des points P„ admet O pour seul point limite. La 
ligne brisée P, P^, . . . I*„ . . . est une courbe tangente en O 
à Ox, et, sur cette courbe, l'intégrale de Poisson V(P) ne peut 
tendre vers aucune limite puisque les valeurs en P,, P2. ..., P//, ... 
de V(P) sont des nombres arbitraires w,, Wo, .... u,,' • • . coni- 

jjris entre 1 et 1 Si l'ensemble des valeurs u,i est partout 

dense dans l'intervalle ( 1 , i —) < on voit que sur tout arc de 

la courbe P,Po...P„. ... aboutissant en O si petit soit-iL 
r intégrale de Poisson prendra toute valeurU comprise entre 1 

et 1 —) car une telle valeur pouvant toujours être comprise 

entre deux valeurs u„ et u„ d'indices assez grands pour que les 
points P„ et P„ tombent dans l'arc considéré, l'intégrale N (P) 
prendra sur l'arc P„ P„_^ toute valeur intermédiaire entre u,,^ et ?i„^, 
c'est-à-dire, en particulier, la valeur U considérée. 



QUELQUES REMARQUES SUR LE SYSTÈME VECTORIEL 
DE MM BURALI-FORTI ET MARCOLONGO ; 

Pak m. m. BOTTASSO. 



L'analyse des Lezioni di Meccanica razionale de M. P. 
Burgatti, faite par M. E. Ouivet ('), montre que ce système 
vectoriel est encore l'objet de quelques préventions que je 
tâcberai de dissiper. 

En premier lieu il faut noter que les conceptions, les définitions 
el les notations de notre système ont été établies après de 
nombreuses recherches historiques et critiques faites par MM. C. 
Burali-Forti et Pi. Marcolongo (-). Par conséquent, on trouvera 



(') Voir ce Bulletin, t. \LI. juin 1917; première Partie, p. 177. 
(■) Voir les Rendiconti del Circo/o matematico di Palermo (t. XXIII, XXIV, 
XXV, XXVI, igo'j-iQoS); le A'wofo Cimento {1007); l'Enseignement mothema- 



232 PREMIÈUË PAUTIE. 

bien raisonnable le désir que toute critique, sur un point quel- 
conque du système, tienne compte des raisons exposées par ces 
auteurs sur le point discuté, en montrant pourquoi celles-ci 
doivent être repoussées, ou bien dans quelle part et comment elles 
doivent être modifiées. Ainsi on contribuera même à perfectionner 
cet « instrument scientifique de premier ordre » (comme iNI. Ouivet 
appelle justement le calcul vectoriel), tandis que toute affirmation 
gratuite, ou d'autorité, laisse naturellement chacun dans son 
premier avis, sans aucun progrès pour la question envisagée. 

Dans les travaux Indiqués, MM. Burali-Forti et Marcolongo ont 
montré, par exemple, lillogisme de l'introduction des vecteurs 
olissants, des vecteurs liés, etc. Les vecteurs dits libres son.1 tout 
simplement les vecteuis d'Hamilton et forment une classe linéaire 
à trois dimensions; les soi-disant secteurs glissants (exactement 
représentés par les bipoints de^ formes géométriques Peano-Grass- 
mann) forment une classe non linéaire à cinq dimensions; et les 
vecteurs liés (couples dont chacun est formé par un point et un 
vecteur) forment une classe (non linéaire) à six dimensions. 
Selon le sens comuiun, ces dernières classes de vecteurs qualifiés 
devraient être contenues dans la classe des vecteurs, lantlis que 
cela est évidemuient inqjossible. 

ils onl encore repoussé la cli>lin(t mu cnlre vecteur jDo/rt//r et 
vecteur axial, d'autant plus qu'on peut très bien s'en passer, uiême 
dans l'étude des phénouiènes électriques et magnétiques ( '), dû 
l'on en proclamait la nécessité. L'inlroduclion du vecteur axial, 
engendrée par la CDUSKU'i-.ilion de l'ave i-l ihi inoinenl d iiu couple 
uiécanique, corre>ponil à une analvse luconqïlète (.les id»'e> londa- 
uientales. Ce qu'iui nouime vecleur axial est le résultat d'une 
opération sur deux vecteurs [\e vecteur du bra^ et celui dune des 
forces, pour le couple mécanique). 11 est précisément Vi/ulex du 
hiK'ecteiir formé par ces deux vecteurs dans le calcul de Peano- 



tigue {iÇ)0-, '909, '9'0i >9")'i 'es yoles historiques el critiques ilans les L'ié- 
ments: de calcul vectoriel-, etc. (Paris, Ilcrinann, 1910); la préface du Tome I el 
l'appendice du Tnmc II de VAnalyse vectorielle ccncrole (Pavic. Matlci cl C", 
if.(i3, 1913 ). 

(') Ainsi qu'il résullc, par exemple, du Chapilre IV : /Jlrctroclynamique des 
corps au repos ou en mouvement (p. f)'(-iin)du Tiimcll de lÀnalyse rectoricUe 
générale. 



MÉLANGES. 233 

Grassmann, ou mcme leur produit extérieur déjà considéré par 
Hamilton et Saint-Venant (i845), et c'est encore un vecteur. Il 
dépend du sens des rotations, mais il n'y a aucune raison pour le 
considérer comme un vecteur de nouvelle espèce, différent du 
vecteur commun (qu'on appelle alors polaire). De la sorte on 
devrait pareillement considérer le quotient de deux nombres réels 
comme un nombre d'espèce différente de celle des deux termes. 
Mais, quoique dans la définition du quotient il soit indispensable 
de tenir compte de l'ordre des nombres du couple, tandis que cela 
n'est pas nécessaire, par exemple, pour le produit, personne 
n'atTirme la nécessité de distinguer en deux espèce> les nombres 
qii On lire de ces opérations. Tout le jnonde est d'accord pour 
envisager séparément les opérations indiquées avec leurs propriétés 
sans toutetois faire aucune distinction parmi les nombres auxquels 
elles s'appliquent et les résultats auxquels elles conduisent, en 
harmonie avec ce (jue MM. Burali-Forti et Marcolongo ont fait 
dans le champ vectoriel, conformément à la logique et au sens 
commun. 

Je conclus en émettant le vieu que la critique puisse contriljiier 
à perfectionner, où il est nécessaire, et à répandre partout la 
connaissance du calcul vectoriel sous la forme la meilleure; et 
surtout en souhaitant une application toujours plus large de ce 
puissant instrument scientifique à la Mécanique et à la Physique 
mathématique, pour donner une nouvelle impulsion à ces 
sciences. 



234 PREMIÈRE PARTIE. 



L'AIRE DES SURFACES DE RÉVOLUTION; 

Pau m. Michei. PETRÛVITCH. 

à Belgrade (Serbie). 



Considérons la surface P engendrée pas un arc 5 de courbe 
quelconque tournant autour d'un axe que nous prendrons pour 
l'axe Ox. Désignons : 

i" Par A la valeur absolue de l'aire plane limitée par Tare s, 
l'axe de rotation Ox et les ordonnées des deux extrémités de 
l'arc s ; 

2" Par B l'aire plane ayant pour valeur : ou bien la valeur 
absolue de la demi-dillcrence des carrés de ces deux ordonnées 
extrêmes (dans le cas où la courbe \arie constiuiiiiicni dans un 
même sens entre les deux extrémités de l'arc .s); ou bien la somme 
des valeurs absolues des demi-dilï'érences des ordonnées succe.-.- 
sives aux extrémités des arcs partiels variant toujours dans un 
même sens (en les([uels on ymi partager l'arc .v dans le cas où le 
sens de variation change entre ses extrémités) ; 

3" Par H le C('»t<'' du carré ayant pour surface A -+- H. 

On a le r('sullat suivant : 

Théouème. — L'aire de la surface P est égale à celle d'une 
circonfèn'nce de rayon r = aR, où ), est un farlenr nunu'rique 
compris entre 

(\) V^2 = I, 189207 .. . ft /■■* = I, j I (21 >. . . 

quelque soit Varr s engendrnn l l<i sur/are de rrrohitio/i ron- 
sidcrée. 

Pour le montrer, Mqiposoiis d abord (pu- la courbe varie ((>ii-<- 
lammeiit daii^ 1111 iin'uir s<'iis b; long de I arr \, ru croissant ou en 
(l«Mioissanl , rt Miicnl ( .7„, ) „) et (,r, , )', ) les ciioichuiiuTs de ses 
exlrcmilf's M,, et M , . 



On aura 
el ridciiLilé 

appliquée à 
faisant voir que 



MÉLANGES. 
P = y^ ' yds, 



^ a'^-\-b' I \ la — b\'- 
I 



( a -H 6 )'^ i "2. \a -ir- b 
a —- Ji dx, b =■ 1-2, dy, 



( -y, d.r -h i^dy)- ^ . „^ , , , , 
= «4-:^ (c7i ax H- 72 dy)-, 

touiuit 

ds = 0(^1 dx -+- 72 ^// j, 

où T, et To représentent respectivement l'unité aflectée des sii;nes 
dx et dy le Ion»; de l'arc i', étant un facteur toujours compris 

entre -^ et i. Il s'ensuit que 

P = 2 TiO \ji f y dr -H ^ ( r f - J5 ) J ' 
el comme 

on a 

(2) P = -iTrOfA -+- H) = -IT/-Î. 

où 

(3) r = A R = >. v'A + B , X = v/2ë, 

A étant un facteur nuniéii([ue variant bien entre les limites ( i ), 
conformément au théorème énoncé. 

Considérons maintenant le cas où l'arc 5 change le sens de varia- 
tion un nombre quelconque de fois entre ses extrémit('s Mo et M,. 
On peut alors le partaj^er eu arcs partiels, continus ou brisés 

(4) MoM', ,M'.M", M"M"', ..., 

alTectés chacun d'un sens de variation invariable. Désignons: 

i" l'ar A', A", A'", ... les aires A relatl\es aux arcs res- 
pectifs (4 ) ; 

2" Par R', B", B'", . . . les aires planes \\ relal ives à ces mêmes arcs ; 



236 PRIîMIÈKE PAUTIH. 

3° Par P', P', P'", ... les aires engendrées par la rotation des arcs 
respectifs (4) autour de l'axe Ox. 

On aura, d'après ce qui précède, 

2~( A' — B'^ ^ , 

-^ ^ F'^2-(A -h h ), 

V 2 

■2-C\"^ B') 



/2 



<P"S'2-(A"-f-B"). 



En ajoutant membre à membre on ol)tient 

IJl [ V ,v(r -H 1 B' '■' ] 1 1 P''" ^ 'i r [ S A^'' -i- S B '' J . 

Or, la somme SA^'' est égale à l'aire totale A limitée par l'arc 5, 
l'axe O^et les deux ordonnées extrêmes de Tares; la somme -B''^ 
est égale à l'aire B ayant pour valeur la somme de valeurs absoUies 
des demi-dilVcrences des ordonnées consécutives aux extrémités 
des arcs (4)- 

L'aire totale P = SP'', engendrée par la mjlalion de l'arc .ç 
autour de Ox, a donc encore pour valeur (2), de sorte ([ue le théo- 
rème subsiste dans le cas général où l'arc 5 change d'allure un 
nombre c|uelc(mcpie de fois entre ses extrémités. 

On tire du théorème précédent la conséquence suivante : 

Le rayon r de la cÀrconji'vcnce ayant la xarjacc rgale à 
l'aire 1* a pour valeur 

(5) /• = ojR(i -(- s). 

où Cl) désigne la constante numérique 

v/2-f-v/^ 
(G) "J = î— = I, ^oi-io. . ., 

et la valeur absolue de t ('tant au plus égale à 

(7) -r — T7==","«64'.7.... 

\ii\ posaut 



MÉLANGES- 237 

on a 

— = =1 £H-£* . . .= l -\- 0, 

r I -+- e 
OÙ la valeur absolue de est au plus égale à 

0,086427. . .-(- (0,086427. . .)*H-. . .< 0,1 ; 
et, par suite : 

En prenant pour r la valeur 1,30171 x R, Verreur commise 
iiatteint ïo pour 100 pour aucune surface de révolution. 

D'une manière analogue, l'aire P ayant pour valeur (2) peut 
s'écrire 

(8) P = 27rw'R(n-£'), 
où w' désigne la constante numérique 

(9) w'= -/ i-f- — J = 0,853553... , 

la valeur absolue de e' étant au plus égale à 

I 

(10) = o, 171.o73.. , 

I 

'"71 

E n prenant donc pour l'aire P la valeur 

(11) P = 0,853553 X 2-R = 5,3637015 X R, 

Verreur commise n atteint 20 pour 100 pour aucune surface 
de révolution. 

Remarquons qu'un des avantages appréciables de ces résultats 
est celui de fournir, à l'aide de planimètres ordinaires, et quelque 
irrégulière que puisse être la surface de révolution considérée, des 
limites entre lesquelles se trouve comprise l'aire P ainsi que le 
rayon correspondant P. Les limites ainsi obtenues sont les limites 
le plus resserrées possibles tant qu'on reste dans le cas général, 
car elles sont etfectivement atteintes pour certaines surfaces de 
révolution, comme on le voit dans ce qui suit. 

Bull, des Sciences mathém., a* série, t. XLII. (Sept. 1918.) ig 



23tS PREMIÈRE PAMTfP:. 

Cas limites. — La limite = -—, et par suite aussi la limite 

À= y/2j est eflectiveaiement atteinte dans le cas où la surface de 
révolution est un cdne de révolution dont l'angle des génératrices 
avec l'axe est de 45"- En effet, on a alors (par un déplacement con- 
venable du sommel du cône sur l'axe x) Oy = x, et par suite 

2 2 

de sorte que 

(12) p = 2iïe(j?-^7^)=^ 4-^(7,-^0)^-^" 

où h désigne la hauteur et d le diamètre moyen du Ironc de cône 
considéré. 

Or, la valeur exacte de P est 

P = S1T. -^' - " = /a (ri— vo) X 2-^ — ^— = 2it yf^hd, 

2 ^ ./ 2 

ce qui, par la comparaison avec (la), fournit bien 9= -— , et 

/a 
1 on a 

r = ^ R = ^â /A-t-B = { 8 y/W, 

correspondant bien à 7, = y/^. Ce cas limite correspond à 

aj dx = <3^dy. 

D'autre part, la limite Ô =^ i, et par suite la limite À = y/â, est 
effectivement atteinte dans le cas où la surface P est un cylindre 
de révolution. On a dans ce cas (p étant le rayon de la base du 
cylindre et h sa liante ur) 

\ = ç{xi — Xq) = ç,h (B = o), 
de sorte que 

ce qui montre bien que d =: i ; on a alors 

r = //(A -h H) = v/ao(3*, — Xo) = s/'iph, 
ce qui correspond bien à A = y/:>.. 



MELANGES. 2^9 

Exemples. — 1° Considérons l'aire de l'hémisphère engendrée 
par la rotation d'un quart de cercle de rayon o autour de son rayon 
pris pour l'axe 0<r. On aura 

4 2 

de sorte que 

r = v/A -=1- B = ap-, 
OÙ a est la constante numérique 

<.3) 



= /i + ^ = ^''^'^^^- 



Il s'ensuit qvie le rayon r de la circonférence ayant la mêin^ 
aire que Thémisphère de rayon p est compris entre 

a ^2 p et a y/-2 p-, 
"c'est-à-dire entre 

04) 1,348268,0 et i,6o337op^ 

En prenant donc 

<i5) r= - (1, 348268 -i-ï, 603370) p = i,4758i9p, 

l'erreur commise, d'après le théorèma précédent, n'atteindra pas 
ïo pour loo. 

En réalité, la valeur exacte de r étant 

(16) /• = p v/2 = p X I , i 1 4 2 1 3 . . . , 

Terreur commise en prenant la valeur (1 5) au lieu de (16) est 
de 4? I pour 100. 

2° Considérons, comme second exemple, l'aire du demi-ellip- 
soïde engendré par la rotation d'un quart d'ellipse aux demi-ax6s 
a et è, autour de Paxe a pris pour Ox^ 



L'aire du quart d'ellipse est 
et l'on a en même tempâ 



abr. 



2 



24o PREMIÈRE PARTIE, 

ce qui fournit 



R=/A^=6^/2|^i, 



Il s'ensuit que le rayon r de la circonférence ayant la même 
aire que le demi-ellipsoïde considéré est compris entre 



Pour a=b on retrouve les formules précédentes correspondant 
au cas de l'hémisphère. 



BULLKTIN BIBLIOGRAPHIQUE. 



Belot (Emile). — L'Origine des formes de la Terre et des Planètes. 
I vol. gr. in-S", xii-2i3 pages. Paris, Gaulhier-Viilars et C", 1918. 

Table des Chapitres. — Généralités sur l'ère primitive ou palaîo- 
thermale. — Le niveau de base fondamental de l'architecture terrestre. 
— La période ignée. — La période diluvienne. — Les lois de l'architecture 
terrestre. — Les problèmes orogénique el épirogénique. — Le volcanisme 
naturel et expérimental. — Le magnétisme terrestre. — L'origine cosmique 
des formes planétaires. 



MÉLANGES. 241 



MÉLANGKS. 



LES MÉTHODES MODERNES DE LA RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX; 

Par m. BERTRAND de FONTVIOLANT, 
Professeur à l'Ecole Centrale des Ans et Manufactures. 



Avajnt-Propos. 

1. Les méthodes modernes de la Résistance des matériaux ont 
pour objet deux des questions les plus importantes de cette 
liranclie de la Mécanique appliquée : la détermination des défor- 
mations élastiques et calorifiques, et le calcul des forces de 
liaison dans les pièces et les systèmes de pièces hjperstatiques. 

Ces méthodes, fondées sur le théorème des forces vives et sur 
celui du travail virtuel, sont entièrement générales ; elles 
s'appliqtient uniformément à tous les cas qui peuvent se pré- 
senter. Elles offrent, sur les anciennes mét'aodes géométriques et 
cinématiques, l'avantage d'être dune application plus rapide et 
de ne pas nécessiter l'introduction, dans les calculs, d'inconnues 
auxiliaires dont l'élimination est souvent très laborieuse. 

Cependant elles sont assez peu répandues en France où, parmi 
les nombreux ouvrages didactiques sur la Résistance des maté- 
riaux, quatre seuleineul, à notre connaissance, font mention des 
méthodes modernes, avec des développements plus ou moins 
étendus, savoir : 

Le Traité de Statique graphique ^\e Maurice Levj (IV" Partie, 
i88(3, Xote 1) contient un aperçu de la méthode du général Mena- 
brea et de celle de Mohr, pour le calcul des elVorts dans les 
systèmes articulés à barres surabondantes; 

La traduction en français (i()oii. par Hahn, de la Résistance 
des matériaux de F<ippl, expose la uK-tliode générale de Cisti- 
gliano, pour la {h'"leriuination des déplacements élastiques et des 

Bull, des Sciences malhém., 2' série, t. XLH. (Cet. 191S.) 20 



-i'fi IMIEMIÈRE PAHTIE. 

forces de liaisons surabondantes dans les pièces el les svslèmes 
de pièces à fibres moyennes; 

L'ouvrage de M. Ernest Flainard. intitulé Calcul des sys/èmcs 
élastiques de la Construction (1918). rapjielle la niétbode de 
Castigliano et en tait des applications noinlireuses et variées aux 
poutres droites, aux arcs et aux systèmes articulés; 

Enfin, le Cours de Mécanique profcsséà C Ecole Polytech- 
nique par M. Léon J^ecornu (t. 111, U)i8) donne l'(''quation géné- 
rale de l'élasticité des constructions, ainsi que la métbode de 
Castigliano. avec application à divers systèmes bvpersiatiques. 

Il nous a paru, dès lors, utile de présenter, ici, un exposé 
d'ensemble des diverses métbodes niodernes, exposé que nous 
nous souimes efforcé de rendre aussi simple que possible, en 
nous altacbant, d'ailleurs, à faire ressortir les liens étroits, qui 
unissent ces métbodes. Dans ce second ordre d'idées, nous mon- 
trons cpie la mise en compte des déformations calorifiques, qui 
jusqu'à présent n'av àt été effectuée qu'au moyen du fbéorème (\u 
travail virtuel, peut aussi s'ol)tenir par application du tlu'-orèuu^ 
des forces vives. jNous établissons égaleuienl que ce dernier tbéo- 
rème permet, aussi bien et plus siuiplement que le premier, fie 
démontrer le beau ibéorème de Betti, Boussinesq et Maurice i^evy. 

Il nous a seudîlé intéressant de faire intervenir la Tbéorie 
matbématique de l'Elasticité, alîn de iiu'ttre en luuiièi'c la voie 
dans laquelle devraient, croyons-nous, être dirigées les re- 
cberches des savants lelativcs ;i ('«'tte ibéonc. en \ue (b' pcinicltrc" 
l'extension des métbodes motlcrnes aux svslèmes île corps iso- 
tropes et (raHiaucbir ainsi le calcul des constructions, des bv|)o- 
tlièses de la Uésistance des urih-riaux ; uiais il ne faut |»as se 
dissimuler que de telles recbercbes sont extrtMuement ardues, à 
cause fies diflicultés que présente l'intégral iou des ('quai ions aux 
dérivées partielles de la Tbéorie matbé-ni il i(pic de ri"",lasiicit<''. 

Les métbodes londi'-es sur le iIm'iui nie i\f^ lorees \i\e-< (Uil leiii 
or'igine dans le Méuioire de (llape\ i()ii sur le travail de^ lorces 
«'lasl iques (i S.'xS) ( ' ), et dans ((dui du gé-ué-iMl MeiiabiiM iiililub- 

(' ) Comptes rendiat de l'Académie des Seie/irex, l. \I.\'I, p. miS. — Wdr 
aussi L\Mi';, Leçons sur la Théorie inatliémnti<iiic de ri'.laslicUé des corps 
solides ( iXdCt) : 'riiooicinc de ('.l.ipc} rou, p. Sk. 



MÉLANGES. 24'^ 

Principe général pour déterminer les pressions et les tensions 
dans un système élastique (1868) (*). La première application 
du théorème du travail virtuel k l'étude des dé format ions élas- 
ticpies, a été laite par Mohr, en ce qui concerne les systèmes arti- 
culés, sous le titre Deitrag zur Théorie des BogenfacJiwerhs- 
trciger (1874; (2). 

Depuis, ces méthodes ont fait l'ohjet des recherches de nom- 
breux savants et ingénieurs. On en trouvera un historique très 
complet, accompagné de minutieuses indications bibliogra- 
phiques, dans la Thèse de doctorat présentée en i()i'î. à la 
l'acuité des Sciences de Nancj, par M. Ernest Flamard (^' ). 



Rappel diî quelques notions de Théorie maïhkmaïique 
DE l'Elasticité et de Résistance des matériaux. 

Forces élastiques, en Théorie mathématique de l Elasticité. 

2. Considérons un corps solide élastique, en équilibre sous 
l'action d'un système de forces extérieures. 
Soient {fi g- i) : 

A un point quelconque de ce corps; 

:r, >', z les coordonnées rectangulaires de ce point, av.ml défor- 
mation du corps ; 

dx., dy, dz les longueurs d'arêtes, mesurées avant déformatitui. 
d'un parallélépipède infiniment petit, pris dans le corps, et 
dont A est l'un des sommets; 

fixi txyi txz] tyxi /ly, ty-; t^ri t^yi ^z Ics composantes parallèles 
aux axes, des forces élasticjues, rapportées à l'unité de surface, 
sur les trois faces du parallélépipède, ayant le point A connne 
sommet commun et respectiveuient normales ù Ox, Oy et Oz. 



(') Voir aussi une Noie lue par le géuérai Mcnabrca à la séance de l'Aca- 
démie des Sciences du 3i mai i8J8 {Comptes rendus, t. XL\'I, p. loj(i). 

(-) Zeitsclirift der Architecten iind Ingénieur Vereins zu Ifanno^'er, 1^71. 
p. 0,3. 

(^) Ernesl I-'lamaud (Inspccletir des Constructions niétalliijues à la Compagnie 
des Cliemins de fer d'Orléans), Élude sur les méthodes nouvelles de la Statique 
des constructions. 



244 PREMIÈRE PARTIE. 

Pour préciser le signe de ces composantes, nous considérons 
les forces élastiques comme les actions exercées par les parties du 
corps situées à V extérieur du parallélépipède, sur celles situées à 




z 




















>.( 


k\. 


->- 






y-h- 


' 




G 








X 



V intérieur^ el nous convenons de les compter positivement dans 
le sens positif des axes. 

Suivant l'usage adopté par les ingénieurs, nous dirons que n 
et t sont respectivement les fatigues normales et les fatigues 
tangentielles sur trois élémenls plans, rectangulaires entre eux 
avant déformation, menés au point A. D'après la convention qui 
vient d'être faite, un élément est soumis à la compression ou à la 
tr.iction, selon que la fatigue normale sur cet élément est positive 
ou négative. 

On sait que, sur deux éléments rectangulaires entre eux, les 
fatigues tangentielles, dirigées normalement à l'intersection de ces 
éléments, sont égales entre elles, c'est-à-dire que l'on a 



tz. = ty., l.,Z=tzX, 



ty.c — txr , 



ce cpii rt-duil, (le nt'ul ù m\, le iionduc do (.ili:;iit'> incuiinues sur 
le> troi^ «'•Ir-iiiciit^ trci iiii;ul;i irrs (•ou>idfl»''s. 



MÉLANGES. 243 

Paramètres de la déformation élastique 
d\in corps isotrope. 

3. Soient M, f, w les composantes parallèles aux a\es, du 
déplacement élastique du point A (a:, j", z-). Les six quantités 



du àv ôw 

-r-> £>• = r- ) 'c = T— » 

ox - oy oz 

\0x ày) 



/ dw dv\ (du (iw\ 1 uv vil v 



définissent la déformation élastique du parallélépipède; nous les 
appellerons les paramètres de la déformation élastique. 

£.rî 2j, Zz sont les raccourcissements subis respectivement par 
les arêtes dx.^ dy^ dz du parallélépipède, rapportés aux longueurs 
initiales de ces arêtes. Selon que la valeur de e correspondant à 
une ai'ête est positive ou négative, il y a réellement raccourcisse- 
ment ou, au contraire, allongement de celte arête. 

Yyz5 "^zx-) "xy sont les augmentations subies par les angles droits 
que forment entre elles, avant déformation. les arêtes dy et dz^ 
dz et dx^ dx et dy du parallélépipède. Selon que la valeur de v 
correspondant à l'un de ces angles est positive ou négative, il y a 
réellement augmentation ou, au contraire, diminution de l'angle 
considéré. Les qiiantités y portent le nom de glissements ou dis- 
torsions. 

Les six fatigues normales et tangentielles s'expriment, en fonc- 
tions des six paramètres de la déformation élastique, par les for- 
mules suivantes : 

( n.r = X ( Sa: -I- £;>. -1- £j ) -I- -2 ,U£.i-, ty- = \k^{yz ; 

' n, = X( î.r -+- ^1- + £; ) -1- 2 [Xt:. ^r V = [J-'fxy, 

dans lesquelles X et ijl désignent deux constantes physiques du 
corps considéré. Ces constantes sont liées aux modules d'élasti- 
cité longitudinale et transversale considérés en Résistance des 
matériaux, par les relations 



246 PRIiMIÉill': PARTIE. 

Inversement, les ex:pressions des paramètres de la déformation 
élastique, en fonction des fatigues normales et tani;enlielles, 
sont 

l r - ^ / 1 'V- 

[■2(A-4-îJ.;rt.r — A(/?v-f-/*;lJ. "ô;= -^ '} 



•X('M^-2U.) 






Travail des forces élastiques. 
Potentiel interne d'un corps isotrope. 

4. Au moven des expressions ci-dessus des fatigues normales 
et tangent ielles et des paramètres de la déformation élastique, on 
calcule aisément le travail accompli par les forces élastiques 
agissant sur les six faces du parallélépipède, pendant que celui-ci 
passe de son état naturel à un état de déformation défini soit par 
les valeurs des fatigues, soit par celles des paramètres. Soit ra le 
qimtient de ce travail infiniment petit, par le volume dx dy dz du 
parallélépipède; c'est le travail des forces élastiques, rapporté à 
runité (le volume, au point A(jr, y. r). On trouve 

(3) TO= ^, -^-i-x) ^^^' "^ !-')("'^^ ".' "^ n\)—K(n.^ny-\- n, n.~-n-n,^)] 

-V- -^(4c^/L-t-'l.,), 

I 

Le tr.i\.iil des forcer élastiques, pour le |»ar.illél(''pipède consi- 
déré, est Ts dx dy dz. Si donc on décompose le cor[)s en um- iuli- 
uité de parallélépipèdes élémentaires, par des plans normaux 
aux axes de coordonné-es, on voit que le tra\ail total II des lorces 
élastiques, pour le corps entier, est 

(5) \\= C f JT^drdydz, 

rinl<*grale triple ('taul pii^r pour Ir \(duiut" eut ifi- occupt' parle 
Cftrps. 



MÉLANGES. 247 

Il e^l clair (jiie celle evpression du travail tolal des forces élas- 
liques supplique ci;alenieal à un sjslèuie de corps reli«''s enlre 
eux d'uue uiaait'rc quelconque, di'loruié par des forces e\l<''rieures 
en équilihi'c. I iiitéf^rale élanl alors prise pour le volume total 
occupé par le svstèmc de corps. 

On vérifie immédialement que, si Ion dérive l'expression ( 4) 
(le m. siicces^iv einent pur rapport à ex, •••, *'.rv <^'^ retombe sur les 
expressions ( 1 1 de 71. .... /,-,-, de sorte qu On a 

i)(ji dm 

I^es dérivées partielles de la fonction ro. par rapport aux 
six paramètres de la délormalion élastique du parallélépipède, 
sont donc égales aux fatigues normales et tangenlielles au point 
\.(x,j\ z). On en concliil que les forces élastiques, appliquées 
sur les faces du parallélépipède, dépendent d'une fonction de 
forces et que celte fonctiini est w dx dy dz. Par suite, pour le 
corps entier (ou pour un système de corps), les forces élastiques 
dépendent de la fonction de forces II. 

La déformation élastique d'un parallélépipède quelconque fait 
naître, à l'intérieur de celui-ci, des forces moléculaires; ces 
forces sont incrumues, mais il est facile d'évaluer le travail 
({u'elles oui accompli |)endant la déformation; en eUet. le sys- 
tème de points matériels couq)osanl ce parallélépipède étant au 
repos avant et après la déformation, la somme algébrique des 
travaux des forces extérieures et intérieures sollicitant ce système 
est nulle, en vertu du théorème des forces vives; par suite, le 
travail des forces moléculaires est égal et de signe contraire à 
celui des forces élastiques; sa valeur est donc — mdxdj'dz, pour 
le parallélépipède considéré, el — H, pour le corps (ou le sys- 
tème de corps) entier. Gonséquemment, en ce qui concerne l'éva- 
luation du tra\ail des forces moléculaires, tout se passe comme si 
celles-ci d('pendaienl d'une fonction de forces — Il ou, ce qui 
revient au mémo, cimme si elles dérivaient d'un potentiel H. 
Nous dirons, eu conséquence, que la fonction II est le potentiel 
des forces moléculaires ou, par abréviation, le potentiel interne 
du corps (ou du système de corps) d('formé, sous réserve toutefois 
que, si celte fonction changée de signe représente bien le travail 



9.',8 PRHMIÈRK PAiniE. 

des forces moléculaires pendant la déformation, elle ne saurait 
être utilisée pour calculer les valeurs de ces forces qui demeurent 
inconnues. 

Il résulte de ce qui précède que les forces moléculaires forment 
un système conservatif : leur travail ne dépend que de l'état 
lînal de déformation et non des états intermédiaires: il est exclu- 
sivement fonction des valeurs finales des paramètres de la tléfor- 
mation ou des valeurs finales des falii^ues. 

La fonction II est susceptible dune autre interprétai lou que 
voici : 

La formule (4) montre que ttî est essentiellement [iioilif et qu'il 
s'annule lorsque le corps est a l'état naturel; il en est de même 
du potentiel total FI; ce dernier est donc minimum lorsque le 
corps est à l'état naturel, ce qui prouve (fait d'ailleurs évident) 
que cet état est celui d'équilibre stable des molécules du corps. 
Si l'on imaiiine que le corps déformé revient à son ('tal naturel, 
par suite de la suppression des forces extérieures avant détenu in»'- 
sa déformation, le potentiel de ses forces moléculaires pa■^se de la 
valeur H à la valeur zéro: elles accomplissent donc un travail 
positif égal à H, pendant que les molécules du cor|)s reviennent 
à leur position d'équilibre stable; or, on sait que (' i l'i'nergie 
potentielle d'un système maté-riel occu|)ant une position quel- 
conque est égale au travail essentielleuient }>ositif des force> inté- 
rieures de ce système, lorsqu'il passe de cette position ;i sa 
position d'équilibre stable. H est donc l'énergie potenlitdic iulcrne 
du corps (ou du système de corps) déformé. 

Paramètres de la déformation d'nti corps Isnirope. 
lorsque celle-ci est à la fois élastir/ue et ca/oii/it/i/c. 

o. Soit un corps libre; snumetlons-lc à lactKui (\'\\i\ >\^\r\i\r 
quelconque de forces extérieures en ('■(pniibic cl ><u|)pi>-«(iu^ (pie 
sa température s'élève de t degrés; sali a mui coeflicienl de dila- 
tation linc'-aire. La déformation subie pir un parallt-b'-pipède 
quelconque, pris dans le corps, peul riif ((iMsidé-ré-e comme 
r<'->iihiinl de la .NUperpi)>itii)n de la dt'-loruial mn puitim-nl i'daslu|ue 



(') Maurice Lkvv, Sur le principe de t'éneri.'if'. if^^^, p. <i. 



MÉLANGES. 249 

due aux forces extérieures et de la dilatai i(ja calorifique. Or. 
cette dilatation ne modifie pas les angles que lornient entre elles 
les arêtes du parallélépipède, lesquelles subissent simplement des 
allongements qui, rci|>portés à l'unité de longueur, sont égaux 
à aT. Par suite, £., , ..., ^'xy désignant comme précédemment les 
six paramètres de la déformation purement élastique, les para- 
mètres de la déformation élastique et calorifique sont 

Sa-— ^~, ty— 0-, z- — a-; Yr-> 'Izx, '{xy 

Ces expressions restent valables dans le cas d'un abaissement 
de température à condition, dans ce cas. de compter t négative- 
ment. 

Elles sont égalemeut valables pour les corps non libres, ces 
corps pouvant élre considérés comme lil)res sous l'action des 
forces qui leur sont directement appliquées et des forces de 
liaison correspondantes. 

Remarquons que le potentiel interne ne dépend évidemjuenl 
que de la déformation élastique; par suite, si la déformation est à 
la fois élastique et calorifique, les expressions du potentiel 
interne restent celles données au n" 4. 

Berna r que. 

G. Tout ce qui vient d'être dit des corps isotropes s'applique 
immédiatement aux pièces à fibres moyennes, considérées en 
Résistance des matériaux, si, selon le point de vue très clair et 
très précis du général Menabrea, on considère ces pièces comme 
<les corps semi-rigides. Ce point de ^ ue permet de passer des for- 
mules de la Théorie mathémutique de l'Elasticité aux formules 
correspondantes de la Résistance des matériaux; mais il est plus 
simple d'établir directement ces dernières. 

Forces élasti(/t/cs, en Résislancc des matériaux. 
Eléments de leur réduction. 

7. Soient ( fig. 2) : 
l n corps à fibre moyenne plane ou gauche; 



200 ritKMiÈiU' PAirriiî. 

PQ et P'Q' deux sections iiifialiueat voisines, norma'es à la fibre 



moyenne ; 



Fia. 2. 




(} et G' leurs centres de gravité, d'abscisses (Mirvilignes 5 

et 5 -t- ds, comptées à partir d'une origine prise sur la fibre 

moyenne, à gauche de G; 
GH la tangente positive, en G, à la (il)re moyenne; 
Gtj et G^ les axes principaux d'inertie de la section PQ; 
/<, /-^p ti les composantes parallèles aux axes G^, (jt), G s, de la 

force élastique, rapportée à l'unité de surface, en un point 

quelconque A(r,, t) de la section PQ. 

Pour préciser le signe de ces composantes, nous considérons 
les forces élastiques dans la section PO, comme les actions 
exercées par la partie du corps située à gauche de cette section, 
sur la partie située à droite, et nous convenons de les compter 
positivement dans le sens [)ositif des axes de coordonnées. 

// est la fatigue normale au point A, tr^ et t^ sont les fatigues 
tangentielles; d'aprrs la convention qui vient d'élre faite, il y a 
compression ou traction, au point A, selon que n est positif ou 
négatif. 

Les forces élasti(jues dans la section PQ foruient un systèuie 
(•quivalcnt aux forces extérieures appliquées à gauche de celte 
section. L'iiu comiuc laulre de ces (h^ix svstrmes est r»''ducl ddc, 
au centre de gra\it<'' G de la section P< ) : 

V \' effort normal \ dirig<^ suivant (îç; 

Aux effort!^ tranchants '1,^ et J'r dirigés suivant Grj (;t G^; 



MELANGES. 2ii 

Au couple de torsion Ms, d'tixe <«;; 

Aux couples de flexion Myj et M/, d'axes Grj el Gw. 

Les (amples M^, M-^^ M;; seront considérés comme positifs, s'ils 
tendent à lalre tourner leurs bras de leviers dans le sens des rota- 
tions (|u"il faudrait imprimer aux parties positives G-/\, Gî^ et G; 
des trois a\es de coordonnées, pour les amener respectivement en 
coïncidence avec (ît^, Gç et Gy]. 

Pavamèlres de la déformation élasLi(jue d'un corps 
à fibre moyenne. 

8. Dans la dc' formation élastique, la section PQ prend, par 
rapport à la section P'(^' infiniment voisine, un déplacement relatif 
infiuiujent petit qui équivaut à une translation ég;ale au déplace- 
uienl relatif de son centre de i;ravité G et une rotation autour d'un 
axe passant par ce centre de gravité. 

Soient : 

les coiuj^osantes de la translation suivant les trois axes de coor- 
données 

G£, Gr„ GÇ, 

composâmes comptées positiveuient dans le sens positif des axes; 

2" 0? ds, 0^^ ds, 6/ ds 

les couiposantes de la rotation autour de ces mêmes axes, comptées 
posili\ ement ou négativement dans les uiémes coinlitions que les 
couples de torsion et de llexiou. 

Les six quantités e, v.^, y^, G^, Q^p \ détinissent la déformation 
de la tranche ilu corps coniprise entre les deux sections PQ et 
P'Q'; ce sont les paramètres de la déformation élastique de 
cette Iranclie. 

£ est le raccourcissement, par unité de longueur, ou raccour- 
cissement unitaire de l'élément de libre nioyenne GG'=c^5; 
selon qu'il est positif ou négatif, il j a réellement raccourcisse- 
ment ou, au contraire, allongement. 



232 PREMIÈRE PARTIE. 

yyj et Yr sont les glissements unitaires de la section PO suivant 
les deux directions Gtj et G^. 

6| est V angle unitaire de la torsion. 

6ï) et 8ç sont les angles unitaires de la flexion, autour do Gr, 
et de G^. 

Désignons par : 

Q l'aire de la section PO, 

I| son moment d'inertie polaire, par rapport à son centre de gra- 
vité, 

\r^ et h ses moments d'inertie, par rapport à Gr, et Gî^, c'est-à-dire 
ses moments d'inertie principaux, 

E et G les modules d'élasticité longitudinale et transversale. 

Les six paramètres de la déformation de la ti-.mche PQP'Q' sont 
liés aux éléments de la réduction des forces élastiques dans la 
section PQ (ou des forces extérieures appliquées à gauche de cette 
section) par les relations 

(N=Eos, T., = GQYr„ T. = G1>y.: 

Les fatigues normales et langentielles, en un point quel- 
conque A(rj, v) de la section PO, sont données par les foruiules 

N l M , r Ml 

(8) \'^' = -i-^' 



Travail des forces élastiques. 
Potentiel interne d'un corps ù fibre moyenne. 

9. Pendant que la tranche POP'Q' passe de son état naluicl à 
un état quelct)nque de déformation, les forces élasticjucs appli- 
quées sur les deux sections PQ et P'Q' limitant (MMtc tranche 
accomplissent un certain travail; soit m le (juotimt de (<• travail 
infiniment petit par r<'h'nH'ul GG'=-^/.v de fihir uioyciiuc compris 



MÉLANGES. ^53 

entre ces deux sections : c'est le tivwail des forces élastiques, au 
point G, rapporté à l'unité de longueur de la fibre moyenne. 

En fonction des éléments de la l'éduction des forces élastiques 
développées dans la section P(_), par la déformation, nrest exprimé 
par la formule 

I / N2 T.^ Ti Ml M-^ M? 
(9) ^ = I Vêt» ^ GÔ -^ GÏÏ ^ GÏ7 ^ ËT; "^ Ëh 

et, en fonction des paramètres de la déformation élastique de la 
tranciie, par la formule 

Le travail des forces élastiques pour la tranche PQP'Q' est xjs ds 
et, par suite, pour le corps entier, il est 



(..) n=/ 



HT ds, 

l'intégrale étant étendue à la longueur totale de la libre moyenne. 
Cette formule est évidemment applicable à un système de corps 
reliés entre eux d'une manièi'c quelconque, à condition de con- 
venir que l'intégrale est étendue à la longueur totale des fibres 
moyennes de tous les corps composant le système. 

Il y i\ flexion plane lorsque : \° la fibre moyenne est une courbe 
plane, .i" le corps est de structure symétrique par rapport au plan 
de la fibre moyenne, .5° les forces extérieures sont appliquées 
dans ce plan. Dans ce cas, si Ton suppose que G\'Ct est le plan de 
la fibre moyenne, T,-, Mç, M^, Vyj, Oç, 9ç sont nuls et, par suite, on 
a siuipleuipnt 

(*J> ^=liËII-^GÔ+Ëîj' 

(lo') CT =:= -(EQ£2+Gl>Y2^EIf)2), 

en supprimant les indices î:^ et ■r\ atTectant les lettres T. AI et T, 
Y et H dans les formules (8) et (()). 

De mèuie qu'en Théorie mathématique de l'Elasticité, les forces 
élastiques dépendent d'une fonction de forces. Pour une tranche 
queIcon([ue l*QP'(V, cette fonction est rnds\ ceci résulte de ce 



254 PlUîMIÈHE PAUTIli. 

que, si l'on forme les dérivées partielles de lexpressiou (lo ) de vs. 
par rapport aux six paramètres de la déformation, on retombe sur 
les expressions (~) des six éiéiuents de la réduction des forces 
élastiques; pour le corps entier (ou pour un système de corps), 
la fonction de forces est H. Ou en conclut, comuie précédem- 
ment (n° i'), que la fonction FI est le potentiel des forces molécu- 
laires ou potentiel interne du corps (ou du système du corps) 
déformé et quelle représente également V énergie potentielle de 



celui-ci, 



Paramètres de la déformation^ 
lorsijue celle-ci est à la fois élasti<jue et calorijiijue. 

10. On verrait, de la même façon que précédemment (n° o), 
que les paramètres de la déformation élastique et calorifique 
d'une tranche quelconque sont 

£-a-. Y^, v., Oï, 0^. Or, 

c. .... Or désignant les paramètres de la déformalmii purement 
élastique, a le coefficient de dilalaiion linéaire et - la \ariation de 
température, positive en cas il'élévation. négative en c.i> d'ahaisse- 
ment. 



Pp.EMlKRE MÉTHODE FONDÉE SCU LE THÉOUÈME DES 1 OHCKS VIVES. 

Principe fondamental des méthodes déduites du théoième 
des forces vires : Équation de Clapeyron ; extension de 
cette équation. 

11. (^ansidéi'ons un corps élastique, isotro[)e ou î» lihrc 
moyenne, ou un système de pareils corps, satisfaisant aux condi- 
tions sui\antes : 

(le corps, ou ce syslèuie, possède uu roilaiii nniuluc d'iippui^ 
simples., à rotule ou à encastrement : il est doue aslri'iut à de* 
liaisons dites liaisons d'appui ou liaisons extérirures. Les corps 
c<»mposant le système sont reliés entre eux, diiur manière (pul- 
conquf; ils sont donc astreints à de-, liaisons nMiliiclics, dil^'s 
liiiisoiis intt'rieun's au système. 



MÉLANGES. olV> 

Les forces de liaisons extérieures sont ordinairement appelées 
léac lions d opp u is . 

On dit qu'an corps ou un système est isostatique ou Iiypersla- 
tique^ selon que les forces de liaison peuvent ou non être calcu- 
lées par la Statique pure, c'est-à-dire au moyen des six conditions 
universelles d'équilibre. 

Un corps, ou ini système de corps, hyperstatique peut toujours 
être rendu isostatique, par la suppression de certaines de ses 
liaisons, sans que son état d'équilibre soit troublé, sous réserve de 
lui appliquer les forces de liaison correspondant aux liaisons sup- 
primées. Les liaisons suiisistant alors sont dites liaisons sta- 
tiques et celles supprimées, liaisons surabondantes. 

Ln système de corps est hyperstatique extérieurement on inté- 
rieurement., selon que ses liaisons surabondantes sont extérieures 
ou intérieures. Un système peut, d'ailleurs, être hyperstatique à 
la fois extérieurement et intérieurement. 

On réalise la suppression des liaisons surabondantes exté- 
rieures soit par la suppression complète de certains appuis, soit 
parle remplacement d'apjîuisà rotule par des appuis simples, soit 
enfin par le remplacement d'appuis à encastrement par des appuis 
à rotule ou par des appuis simples. 

i^a suppression des liaisons surabondantes intérieures s'obtient 
soil par la suppression d'un certain nombre de contacts existant 
entre les différents ci>rps du système, soit par des modifications 
apportées à la façon dont ces contacts ont lieu. 

Suivant le nombre et la nature des liaisons d'un corps ( (tu d'un 
système de corps) hyperstatique, il existe une seule manière, ou 
])lusieurs, de le rendre isostatique. Ainsi, il n'y a pas d'autre 
manière de rendre isostatique un arc reposant sur deux appuis à 
rotules, que de remplacer l'un de ces deux appuis, par un appui 
simple; par contre, on peut rendre isostatique un arc encasln'' à 
ses deux extrémités, soit en supprimant pureuient et sijuplemenl 
l'un des deux appuis à encastrement, soit en substituant à ceux-ci 
un appui à rotule et un appui simple. 

Remarque. — Dans la suite, toutes les fois que la direction 
d'une force de liaison sera inconnue a priori (ce qui est le cas, 
[)ar exemple, d'une liaison réalisée ])ar un appui à rotule), nous 



256 PREMIERE PARTIE. 

entendrons par force de liaison, non pas cette force même, mais 
chacune de ses composantes suivant deux directions ai'biti'aire- 
ment choisies. Il importe, en elTet, de ne faire intervenir, dans le 
calcul des forces de liaison, que des forces de directions connues 
d'avance. 

12. Au corps ou au système de corps considéré, isostatique ou 
lijperstatique, peu importe, appliquons un svstème de forces et 
de couples extérieurs initialement nuls et croissant lentement 
jusqu'à des valeurs finales F et C. 11 en résulte une déformation 
élastique : le point d'application de l'une quelconque des forces F 
subit un certain déplaceuient élastique absolu et la droite aa' joi- 
gnant les points d'application des deux forces foruiant un couple C 
subit une certaine rotation élastique absolue. 

Soient : 

). la projection du déplacement élastique du point d'application 
de la force F. sur la direction de cette force, projection comptée 
positivement dans le sens même de la force F. négativement en 
sens contraire ; 

'S la projection, sur l'axe du couple C, de la rotation élastique de 
la droite «a' {^^v projection de la rotation il faut entendre ici, 
et égaleiuent dans la suite de la présente Note, \di projection du 
vecteur représentatif de la rotation^ cette projection étant 
d'ailleurs comptée posiiivemeul ou négaliveuient selon qu'elle 
est de même sens que le vecteur représentatif du couple ou de 
sens contraire') ; 

G le tra\ail accompli [)en(laut la détoriuation. pur les forces et 
couples extérieurs. 

Le Iraxâil des forces de liaison est essenlielleuuMit nul. 

Le hMN.iil des forces intérieures ou uioh'culaires est égal 
à — n (n" i), II désignant le potentiel interne du corps, on du 
système i\r corps déformé. 

Eu \ rit II (lu lln'orème des forces vives, ou a 

Cl?.) G = 11, 

les points maléM'ifds *.\\\ «orps. on du s\>|ènn\ mil i<il<-in<-nt an repos 
elanl juiveniis \\ nii iiiiii\el l'-lal de repos. 



MÉLANGES. 25- 

Donc, le travail des forces et couples exterieiti s. direclfiaent 
appliqués^ est égal au potentiel interne du corps > ou du sys- 
tème de corps) déformé. 

Conséqueinment. ce travail ne dépend que de Irtal liual de 
déformation; il est indépendant des états intermédiaires et, par 
suite, de la façon dont ont varié les forces et couples extérieurs ('). 
Pour le calculer, on peut donc se fixer tel mode de variation qu'on 
juge convenable, de ces forces et couples. Admettons, dès lors, 
que, pendant la déformation, ils restent constamment dans les 
mêmes rapports entre eux, de sorte qu'à un état intermédiaire quel- 
conque de la déformation, ils peuvent être représentés par Fp 
et Cp, p désignant un nombre positif variant de o à i pendant la 
déformation complète. A ce même état de déformation, d'api-ès le 
principe de la superposition des effets élastiques des forces, la 
projection du déplacement élastique du point d'application de la 
force Fp, sur la direction de cette force, est Àp et la projection, 
sur l'axe du couple Cp, de la rotation élastique de la droite aa\ 
est c2p, À et 'û désignant les valeurs de ces déplacements projetés à 
la lin de la déformation. 

Pendant le passage de cet état de déformation à l'état infiniment 
voisin suivant, les forces et couples s'accroissant de <^/(Fp) et 
de ^(Cp), les déplacements projetés correspondants varienl 
de dQ.o) et de <:/('.5o); par suite, ces forces et couples accom- 
plissent, entre ces deux états, un travail élémentaire «^/G ayant pour 
valeur, aux infiniment petits du second ordre près, 

cm = "v F p d(Ko ) -^y c p f/( op ) = (^ y F À -+- y c ■^\ ? do, 

les sommes sétendant à toutes les forces F et à tous les couples C. 
Le travail total, pour la déformation entière, est donc 



C) Pour qu'il en soit ainsi, il faut qu'à un système de forces et couples exté- 
rieurs donné ne puisse correspondre qu'un seul état de déformation du corps, 
ce qui, au point de vue physique, peut être considéré comme évident et a. 
d'ailleurs, été démontré analyliquement par Belti, Kirchliofl" et Cosscrat ( ArrELi., 
Traité de Mécanique rationnelle, t. III, 190'î, p. 5i5). 

Bull, des Sciences matiiéni., 1' série, t. XLII. (Ocl. 191S.) 21 



258 PIlKaiIÈUR PAUTIE. 

En portant cette expression de 5 dans la relation (12) déduite 
du théorôine des forces vives, on obtient l'équation fondamentale 



(i3) 



i(Vp„^2'=^) = "' 



qui n'est autre, sous une forme différente, que l'équation de-Cla- 
peyron i '). La démonstration qui vient d'en êti^e donnée est. 
comuie on le voit, extrêmement simple. 

13. Proposons-nous d'étendre l'équation de Clapeyron au cas 
où la déformation est, à la fois, élastique et calorifique, ce qui, 
pensons-nous, n'a pas encore été fait. A cet effet, considérons un 
système de corps isotropes. Isostatique ou hyperstatlque; soumet- 
tons-le à l'action de forces et couples extérieurs quelconques et 
d'une élévation de température initialement nuls et croissant len- 
tement jusqu'à des valeurs finales F, C et x (t est compté à partir 
de la température à laquelle ont été réalisées les liaisons du sys- 
tème). Soient : 

1" A la projection du déplacement élastique et calorifique du 
point d'application de Tune quelconque F des forces exté- 
rieures, sur la direction de cette force ; 

2" 'j la ])rojection, sur l'axe de l'un quelconque C des couples 
extérieurs, de la rotation élastique et calorifique de la droite 
joiiinant les points d'application des deux forces formant ce 
Ci)uple ; 



;-5" 



les parauiètres d(; la déforjuation élastique et calorifique d'un 
parallélépipède élémentaire, découpé en un point (|uelconque 

(a?, J% ^ ) du svstème de corps, par des plans uoruiaux aux axes 
de Coordonnées ( n" 5); 



«Il 



les fiti^ues iioiiiiii l(;>. sui- les trois faces de rc parai fi'lépipèile, 
avaul \r poiul ( ./'. )', c 1 coiuuie somuiel couiuniu ( n" 2 l ; 



(') L\Mi;, /.erons sur la théorie in(itlieinatif/ii<: île rj.'laslivile des cor/is 
solides. iSS(i, |). Sn, 



MÉLANGES. 259 

'jfj'- ^ZV} 'yzi 'xyr *zXi 'yz 

les taligue> tangenlielles sur ces mêmes faces; 
()" T^dxdydz et fi les potentiels internes respectifs de ce même 
parallélépipède et du système de corps, déformés (n" 4). 

Ces diverses notations sont relatives à l'état final de déforma- 
tion du système; nous les conserverons pour un état intermédiaire 
quelconque, mais en les accentuant. 

Considérons la déformation infiniment petite que prend le sys- 
tème de corps, entre les deux états de déformation intermédiaires, 
correspondant, le premier, aux valeurs F', C et t' des forces et 
couples extérieurs et de la variation de température; le second, 
aux valeurs F'-f- ^F', C'-h dÇI et -:'+ d-' de ces mêmes quantités. 
Pendant cette déformation, le tiMvail des forces et couples exté- 
rieurs est égal à celui des forces élastiques, en vertu du théorème 
des forces vives. Calculons chacun de ces deux travaux : 

Travail des forces et couples extérieurs. — (>e travail est, 
aux infiniment petits du second ordre près, 

Travail des forces élastiques. — Pendant la défoi-mation infi- 
niment petite considérée, les paramètres de la déformation élas- 
tique et calorifique d'un parallélépipède quelconque, varient de 

(h'j. — 'j.d-. di'y — ud-.'. cil'- — 'xdz'. ^yVct '^'ix- ^viv> 

et le polcnlicl interne de ce parallélépipède s'accroît de 

d{ Tjj' dx dy dz ) ^ c/to' dx dy dz. 

JjC lr<i\ail des forces ('lasliques, calculé |)our lu délormalion pure- 
ment (la^liquc du p irallélépipède, définie par hvs variations 
dt',. .... f/v,.,. des six paramètres de la déformation (dastique, est 
égal à raccroissement dr^' dx dy dz du potcntitd interu»'; le tra\ail 
de ces UK^-mes forces, calculé piiur la ({('formation purement calo- 
rifique, définie |)ar l,i v.iri.ition — y.d-:' de l'unique paramètre de 
la déformition calorifi(|ue. est. aux iniiniineiil petits d'ordre su|m''- 



2(3o PREMIEHIÎ PARTIE, 

rieur près, 

— ( /l'j. dy dz)% dz' dx — ( n'y dz dx ) a d-' dy — ( /il dx dy ) y. dx dz 
— — 'x{ n'j. -+- n'y -4- n'- ) d~' dx dy dz, 

puisqu'à celle variation correspondent des allonf;einenls 
oid-ï' dx, yd-.'dj', -xd-.' dz 

des arêtes du [);uallélépipèdc et que le travail des forces élastiques 
langentielles est nul, la déformation purement calorifique s'elTec- 
tuant sans distorsions. 

Par conséquent, le travail de déformation élastique et calori- 
fique est, pour le parallélépipède considéré, 

dr^' dx dy dz — %{ii'j.-\- n'y + n'-) di' dx dy dz , 
et, pour le système de corps entier, 

dW — / / / a ( /< ',. -+- n'y -+- n- ) dz' dx dy dz, 

l'intégrale triple étant étendue à tout le volume occup»'- par le sys- 
tème. 

L'équation exprimant réi;alité du travail des forces et cou[)les 
extérieurs et du travail des forces élastiques, pendant la déforma- 
tii)ii iiiliaiiiicnl |)etile considérée du système de corj)s, est donc 

(r4) ^ i'dV -^^^C d'^'— dW— 1 f 1 x{n'i.-+-n'y-hni)d-.'dxdydz. 

L'égalité de ces deux travaux a lieu égalcmenl pour la didorma- 
tion complète du système, quel que soit, d'ailleurs, le mode de 
croissance des forces et couples extérieurs et de la ieiupi-ralure. 
Plaçons-nous dans l'hypothèse qu'à un <''lal inlermtMlmirc qiud- 
conque de la déformation, on ait, o désignaiil wn uomhre pll^llll 
■croissant de o à i pendant la déformation, 

F'=Fp, C'=Cp, t'=xo, 

et, par suite (ce qui pcul rive iu>]\su\rrv ((imnic ('vidriii au jioinl 
de vue physique). 



>.'=Ap, (f' = oz, n',.— HfO, n'y= Hyp, 



n- = /< - . 



M ÉLAN G lis. 'zG\ 

1 )ès lors, dans celte liypollièse, réquation (i4) s'écrit 



(^ Vfa-+- VCcp j pdp = c/W— a- \ f f I {n.c-^Tiy-^Ji-) dx dy dz 



Of/'.. 



étant admis que l'élévation de température t est la même en tous 
les points du système de corps. 

En intégrant entre les limites p = o et p = r , qui correspondent 
respectivement à l'origine et à la fin de la déformation, et en 
reiuarquant que l'intégrale de «ill', prise pour la déformation com- 
plète, est égale à H, potentiel inlerae du système déformé, on 
obtient 

(i 5 I ' (' y F X + y C -j) = ri — i 7- r ^ A /?.,. -^ n, -^ n. ) dx dy dz. 

Telle est l'équation de Clapevron étendue au cas où la déforma- 
tion est, à la fois, élastique et calorifique. Bien qu'établie pour un 
mode de variation particulier des forces et couples extérieurs, et 
de la température, elle a lieu quelles que soient les valeurs finales 
F, G et T de ces cjuantités, attendu que l'état final de déformalion 
du système est indépendant des états intermédiaires. Mais son pre- 
mier et son second membre ne représentent respectivement le 
travail des forces et couples extérieurs et le travail des forces élas- 
tiques, que dans le cas du mode de variation particulier dont il 
s'agit. Au contraire, dans l'équation (i3) de Clapeyron, les deux 
membres représentent ces deux travaux, quel que soit le mode de 
variation des forces et couples extérieurs et de la température. 

Si le système est soumis à un abaissement de température, il 
suffît de compter t négativement dans la formule (i5). 

La démonstration qui précède, appliquée à un système de corps 
à rd)res jno venues, donne 

N di'siguanl l'efïVjrl normal en une sectu)n transversale quelconque 
de 1 un qu(dconque des corps, ds l'élément de fibre moyenne com- 
pris entre cette section et la section infiniment voisine, et Tinté- 
grale étant prise tout le long des filtres moyennes des corps du 
système. 



262 PREMIERB PAUTIE. 

On peut dailleiirs passer directement de l'équation (i5) à 
l'équation (16), en établissant que, dans tout sAstème de corps à 
libres moyennes, on a 

(17) / / j {ux-^ Hy-^- n.) dx dy dz ^ j 'S ds. 

\ oici la démonstration de cette formule que nous aurons à uti- 
liser pins loin. 

Evaluons Tintégrale triple, d'abord pour une tranche inlinimenl 
mince comprise entre deux sections (S) el (S'^de l'un quelconque 
des corps, faites en deux, points G et G' de la fibre moyenne, dont 
la distance GG'=<i5. A cet effet, considérons le volume de cetle 
tranche comme formé d'un nombre infiniuient grand de parallélé- 
pipèdes élémentaires, de volume dxdydz, dont l'une des deux 
faces dydz serait placée dans la section (S) et dont les cpiatre 
arêtes dx seraient perpendiculaires ;i cette section, l.es c(U*[>s à 
fibres moyennes étant, par hypothèse, considérés comme rigides 
dans le sens transversal à ces fibres, les fatigues jiy el //- sont 
nulles; d'autre part, aux infiniment petits du second ordre près et 
à la convergence près des deux sections (S) et (S'), convergence 
toujours très faible dans les corps de la Résistance des matériaux, 

on a 

ds = dx. 

Par suite, pour la tranche considérée, 

I I I ( fijc-^ 'iy-^ n^) dx dy dz =^ ds j j n^dydz. 

tixdydz l'eprésente la force élastique sur l'élément de sur- 
face dydz de la section (S); l'intégrale double est la somme algé- 
brique de ces forces, pour toute celte seclion. somme qui. par 
définition, est l'elFort nonnal JN. Donc, toujours poui- la liant;lie 
considérée, 

I f I ( 'i.r-+- 'ly-r- H:) dx~dy dz = N ds. 

Par conséfjunil . j)oui- le svsièuic de corps entier, ou a 
III ( n,c-h /ly-h Hi ) d.i- dy dz ~ j \ ds. 



MELANGES. ïù'i 

celle dernière intégrale étant prise tout le long tles fibres iiiovennes 
(le Ions les corps du système. c. q. f. n. 



T/iéo/ème des déniées du t/cnail. de Castigliauo. 

l i. Le corps ou le système de corps, isostatique ou hypersta- 
tique, considéré précédemment (n° 12) ayant pris son élat d'équi- 
libre élastique sous l'action d'un système de forces et couples 
extérieurs F et G, donnons à ces forces et couples des accroisse- 
ments infiniment petits, arbitraires dY et dO. 

Soient : 

d\ et d'^ les accroissements correspondants, positifs ou négatifs, 

des déplacements projetés A et o ; 
d^ l'accroissemenf correspondant du travail des forces et couples 

extérieurs; 
di\ l'accroissement correspondant du potentiel inlerne. 

f/G repi'ésente le travail élémentaire accompli par les forces et 
couples F et C, pendant que ceux-ci croissent de d¥ et de dd et 
que, corrélativement, les déplacements projetés croissent de dX 
et rfcc ; il a donc pour expression, aux infiniment petits du second 
ordre près, 

la substitution de cette expression dans la formule (12) (^n° 12) 
ditTérentiée, donne 

cm =-y F f/À -h V C cfcp. 

D'autre part, en dilTérenliaut réquiitiou londaincutaie ( l '^ ) 
(n° 12), on a 



^?dX-^^ldV-^^Cdo-^^o 



dC= idn. 



En ajoutant membre à mendii^e ces deux deiiiières équations et 
en développant la dinV-rentielle totale d\\, nn (»btient la relation 



IdF 



àu _ v^ <^n 






264 PREMIÈRE PAIITIE. 

qui ne peut être satisfaite que si l'on a séparément 

. dn du 

puisque le> accroissements d¥ et dC sont arbitraires. DV»ù : 

THKORr:\rE. — Si un corps élastique, isotrope ou à fibre 
moyenne, ou un système de pareils corps {isostatique ou hyper- 
statique) est soumis à un système quelconque de forces et 
couples extérieurs : 

1° La projection, sur la direction de l'une quelconque des 
forces, du déplacement élastique du point d'application de 
cette force, est égale à la dérivée partielle, par rapport à cette 
même force, du potentiel interne du corps, ou du système de 
corps, déformé. 

2° La projection, sur Vaxe de l'un quelconque des couples., 
de la rotation élastique de la droite joignant les points d'ap- 
plication des deux forces de ce couple., est égale à la dérivée 
partielle, par rapport à ce même couple., du potentiel interne 
du corps, ou du système de corps, déformé. 

Tel est le théorème de Gastigliauo ('). appelé par cet ingénieur 
théorème des dérivées du travail, dénomination qui se justifie 
par le fait que, d'après la formule (12) (n" IS"), le poteiilitd iuterne 
est égal ;ai travail des forces extérieures pemlant la déf<3rmation. 

J5. CloKOT.LAiRE 1. — Si, parmi les forces extérieures, il y en 
a deux V égales et opposées., V accroissement élastique A/ de la 
distance 1= AB de leurs points d'application A et B est égale 

à la dérivée partielle —^ du potentiel interne, par rapport à F. 

En eliet, supposons d'abord que les deux forces soient inégales; 
désignons par 1^' celle appllqui-e eu A . par I*' " («die appli(jin''<' eu B ; 



(') «lASTranANO, ISoiiK'elle tlieorie de l'é(iuHihrc des syslèfiies ortiru/cs {Actes 
de t' Académie de Turin, 1S75) ; Théorie de l'équilibre des systèmes élastiques 
(Turin, 1^79). 



MELANGES. 265 

on ])eiil toujours [)oser 

(a) F'=A'F, F"=rF, 

/.' el /."désignant deux nombres quelconque > positifs. 
Soient : 

A'/ racci'oissement élastique de la dislance AB = /; accroissement 
qui est différent de A/, mais lui devient égal dans le cas |)arti- 
culier où Â-'= k" z=z i; 

).' et a" les déplacements élastiques des deux points A et B, 
estimés suivant la direction commune AB des deux forces F' 
et F", et comptés positivement, le premier, dans le sens de F', 
le second, dans le sens de F ". 

On a évidemment 

A' / = a' -i- a". 

Mais, d'après le lliéorème de Gastigliano, 

W désignant le potentiel interne qui diffère de II, mais devient 

égal à n dans le cas particulier où F'= F"= F. 

Par suite 

dW on' 

^ t ^ -FT, -^ -TFT/ ' 

dF d¥ 
et, en faisant F' = F' = F. 

Or. n', qui est fonction de F' et de F", peut aussi être considéré 
comme fonction de F, puisque, par hypothèse, F' et F'' sont liés 
à F par les relations (a); ce qui permet d'écrire 

dF ôV o¥" dV dl' 

ou 

d\V _<J^,, an' j., 
dF ~ dF ^ dF" ' 

ou encore, en faisant /,'=/,"=i,ce qui entraîne F'=F":=F 



266 PRE.MlElUi PARTIE. 

et n' = n. 

Par suite, Texpression (h) de A/ devient 

, du 

A/ = -7-, . 



(.. o. r. D. 



Corollaire II. — Si\ parmi les forces extéiieares, il y en a 
quatre appliquées en quatre points «, a' . b. h' situés ila/is un 
même plan, si ces forces sont également situées dans ce plan, 
si celles appliquées en a et en a' constituent un couple C, et si 
celles appliquées en b et en b' constituent un couple égal et con- 
traire au précédent, la droite aa' subit, relativement à la 
droite bb', une rotation élastique dont la projection sur l'axe 

du couple G est égale à la dérivée partielle —^ du potentiel 
interne par rapport à C. 

Ce corollaire découle de la seconde partie du lliéorème de 
Gastigliano et se démontre de la même manière que le corol- 
laire 1. 

Corollaire III. - — Dans le cas d'un corps à fibre moyenne, 
ou d'un système de pareils corps, si un couple C est appliqué à 
une section transversale cjuelconque, la projection, sur L^axe 
de ce couple, de la rotation élastique de cette section, est égale 
à la dérivée partielle, par rapport à ce même couple, du 
potentiel interne du corps, ou du système de corps di'formé. l>e 
plus, s'il y a flexion plane, ce qui exige que iaxe du couple C 
soit normal au plan de flexion^ cette dérivée représente la 
rotation même de la section. 

Soient ( fi g. 3) : 

a et a' les points d'application, sur la section C(»u>id(''i(''P (S), des 

deux forces V eX ■ — V constituant le couple C; 
r la direction de Taxe de ce couple. Iaqu4dl(' <'sl normale au plan 

de V et de — 1' et, par suite, à la droite idi' coutcnuc dans ce 

l)lan ; 



MÉLANGES. 

<î»s la lotalioii de la section (S); 

^^ la rotation de la droite aa' ; 

a la projection de cette dernière r.)tation sur la direction Y. 

Fig. 3. 



26- 




D'après la seconde partie du tliéorènie de Castigliano, on a 

dn 

Il suffit donc, pour établir le corollaire, de montrer que la pro- 
jection de la rotation tpg de la section (S), sur la direction F de 
l'axe du couple G, est égale à la projection o, sur cette même 
direction, de la rotation $ de la droite aa' . 

Or, la rotation <I>s peut être décomposée en : 1° une rotation 
équipollente à<I>, qui amène la droite aa' située dans le plan de la 
section (S), de sa position initiale à sa position finale; 2° une 
rotation W autour de art'; de sorte qu'on a l'équlpollence 

$s = * -4- T. 

Projetons cette équipollence sur la direction 1'; ^' étant normale 
à Fa une projection nulle; donc la projection de la i"otation 4>s 
sur la dii'ection F est égale à la projection œ de la rotation <t» sur 
cette même direction. c. q. f. d. 



Application du tJiéorème de Castigliano^ 
au calcul des déplacements l'iastiques. 

16. Pour appliquer le théorème de Castigliano au calcul des 
déplacements élastiques dans les corps ou les systèmes de corps 



268 PIUî.MIEIll< PARTIE. 

isotropes, il est nécessaire de former Texpression du potentiel 
interne, en fonction des forces et couples extérieurs F et G. A cet 
effet, il faut calculer les six fatigues n et t (ou les six paramètres 
ô et v) (n"^ 2 el 3), en fonction de ces mêmes forces et couples, et 
les substituer dans l'expression générale (3) (n*'^) [ou (4), même 
numéro] du potentiel rapporté à l'unité de volume. Or, en l'état 
présent de la Tliéorie mathématique de l'Elasticité, ce calcul n'est 
possible que dans un très petit nombre de cas particuliers. 11 s'en- 
suit qu'actuellement du moins le théorème de Castigliano est en 
général inutilisable, en ce qui concerne les corps et les systèmes 
de corps isotropes. 

Par contre, il est immédiatement applicable aux corps et aux 
systèmes de corps à fibres moyennes. En effet, l'expression 
générale de leur potentiel est, d'après les formules (q) et (ii) 
(n° 9), 

" ~ -i J \EQ "^ GQ ^ Gû ^ GI| ^ El,., ^ El;, 



et, si l'on porte cette expression dans celles (i 8) (n° 14) de X et 
de cp, on obtient 



N d}i T., àTr 


T- dT: 






EQ dF Gû dV 


Gû dF 



<.9) >.=/( 

' '^ GIe W "^ ËÏ7 ~W "^ ËF ÙV ) ' 

( \ - f ( N ^N T.,, oT-r^ T; dT; 

(2o; o-j y ^^^ ^^ '^ Qo dC " Go dC 

M|^ dMj My, d\lr, .M; dM;\ 
^ Gïï "dC"^ EF,, "dC^ "" Eh dC / *■ 

Dès lors, pour calculer ). el ci, il suffit d'cMcciuer, au centre île 
gravité de chaque section, la réduction des forces extérieures 
appliquées à gauche de cette section (forces de liaisons comprises), 
VA' (\u'\ fait <onuai'trc N, . . ., M; en fonction île F et tie C, puis de 

, .... . ,, t^N dMr <)\ OMr , 

Imiiiici- le> (M-riNccx pari icllt'S — r; > • • • > -rrr J — T. ' • • • ' -ttt » et île 
' OV ôV dC dL. 

sub^iitutir ces résultats dans les foiinules ( i(>) et (•J.o). 

Si le corps (ou le syslèn)e de corps) e>t souuiis à la jlexion 

/.>//^///f' ( n" ) l'expressidM du putciilirl iutrrnc ^c ^iinpl ilie nota- 



.MÉLANGES. -269 

bleineiit el les formules (19) el(2o) se rédiilsciil à 

l^es formules qui précèdent ne font connaître les déplacements 
projetés et les rotations projetées que pour les points d'application 
des forces extérieures et pour les sections d'application des couples 
extérieurs. Mais, par un artifice très simple, il est facile de les 
étendre à un point quelconque et à une section quelconque. 

Ainsi, soit à déterminer le déplacement élastique d'un point 
quelconque A, en projection sur une direction arbitrairement 
choisie A. Appliquons, en ce point et suivant cette direction, une 
force auxiliaire §^ de grandeur quelconque, en sus des forces et 
couples extérieurs donnés ¥ et G; dès lors, les éléments N, 
Ty-, . . ., M^ de la réduction des forces élastiques dans une section 
quelconque (ou des forces extérieures de gauche), au centre de 
gravité de cette section, deviennent N + =)b, + Ty^-h 5.^, ..., 
Mç+011»:, si l'on désigne par dZ, Sy^ ..., i)\\.y ce que seraient les 
éléments de celte réduction, si la force -f était seule appliquée, à 
l'exclusion des forces et couples F et G. Le déplacement élastique 
du point A, sous l'influence du système F, G, ^, a pour expression, 
en projection sur la direction A, 



-J 



^ + Ob d{^^ Jb) Tr, — 5,, ( Tr, + 5/-, ) 






• ' ' as. 



en vertu de la formule (19)- 

Pour obtenir le déplacement projeté clierché, il suffit évidem- 
ment de faire § = o, ce qui entraîne Db = o, ^f^ = <»i • • • 5 '"'11^= o ; 
il vient ainsi, observation faite que X, T^p ..., M;; sont indc- 

pendants de ê' el ciue, xvav suite, — ;» — -' ■> • • ■■> — :P- sont nuis. 



■iyo PREMIÈRE PAIITIE. 

De même, la rotation d'une section quelconque (S ). en projection 
sur une direction V arbitrairement choisie, est exprimée par la 
formule 

dans laquelle DR, ^.^,, . . . , 0\Ly sont les éléments de la réduction 
des forces élastiques dans une section quelconque, au centre de 
gravité de cette section, le corps, ou le système de corps, étant 
supposé soumis exclusivement à un couple auxiliaire, d'in- 
tensité S quelconque, appliqué à la section (S) et de direction 
d'axe r. 

Dans le cas de la Uexion plane, la direction Adoit, bien entendu, 
être située dans le plan de flexion et la direction F être normale 
à ce plan, et les formules (21) et (221 se réduisent à 

r/ N f/Ob T d(E M dX^\ , 

r/N dOL T rfc? M dÛVL\ , 
(^•^> ^=j [rô de ^ GTldZ ^ K\ -dT ) '^'''- 

'S est alors la rotation même de la section (S). 

17. N, IV, ..., M:; sont, dans le système de corps considéré, 
soumis aux forces et couples donnés F et C, les éléuients de la 
réihiction, au ccnire de jir<uit('' d'une section quelconque de l'un 
quelconque des corj)s, des forces extérieures agissant à gauche de 
cette section, forces de liaisons comprises. 

Ob, Gr, 'Ter sont les éléments de uième nature, dans ce 

système soumis soit à la force auxiliaire r', soit au couph' auxi- 
liaire 9. 

Le calcul de ces divers ('h'-iMeats (h> réiluclion exige la th-lermi- 
nation préalai)le des forces de liaisons. 

Si le système considéré est isostalir/ue^ cette (h-lerminalion ne 
relève que de la Stati{{ue pure et n'cdFre aucune diflicuii*'-. 

vS'il est hyperslafir/uc, elle exige l'intervenlion de l,i riit'-orie 
;|e ri'" la si ici ti- : nou^ Ira ilei lUis plus loin cel !<• qiiesl ion. I oiilelois, 
on peut éviter cette iutervent i<ui, en ce (pu concerne le c.ilciil des 
eh'iiieiils r»",. (7,. .">H< \oici coiniiient : 



MÉLANGES. 271 

Soient, (Jaus un système hjperstatique quelconque, .sollicité 
par les forces et couples F et G donnés, Vf les forces de liaisons 
surabondantes extérieures et intérieures, forces qui sont 
inconnues. Considérons le système isostatique, obtenu par la 
suppression de toutes les liaisons surabondantes de ce système 
hyperstatique ; soumettons-le aux forces et couples F, G et aux 
forces inconnues F^ : il prend un étal de déformation identique à 
celui du système hyperstatique, soumis seulement aux forces et 
couples F et G; par conséquent, au lieu de ciilculer les déplace- 
ments élastiques projetés A et les rotations élastiques projetées es. 
dans le système hyperstatique, il revient au même de les calculer 
dans le système isostatique; dès lors, dans les formules (21) et(22) 
(n" 16) : i" les éléments de réduction Db, 5^;, .... SV^y deviennent 
relatifs à ce système isostatique, soumis soit à la force auxi- 
liaire -t, soit au ciiuple auxiliaire C; 2" les éléments de réduc- 
tion N, Tr,, ..., Mr deviennent éf;alement i-elatifs à ce même 
système isostatique, soumis aux forces et couples 1" , G et aux 
forces Fç inconnues; mais ces derniers éléments ont les mêmes 
valeurs que dans le svstèiue hvperstatique soumis seulement aux 
forces et couples F et G donnés, puisque Tétat de déformation de 
ces deux systèmes est le même. 

Donc, dans Tapplication des formules (^21) et (22) [ou (21') 
et (22')] à un système hyperstatique, on peut considérer les élé- 
ments de réduction Ob, (?r, ..., 011^ (ou Ob, 5, 0\i), comme afférents 
au système isostatique obtenu par la suppression des liaisons 
surabondantes de ce système hyperstatique, ce qui les rend cal- 
culables par la Statique pure; quantaux éléments de réduction ^i, 

Tr, ^F. ils restent, par contre, afférents au système hyper- 

si itique, et leur détermlnalion nécessite l'intervention de la 
IMu'orie de l'Elasticité. 

Théorème du général Menabrea. 
Détermination des forces de liaisons surabondantes. 

18. Gonsidérons un corps isotrope ou à libre moyenne, ou 
j)lus généralement un système de pareils corps. Ce système est 
hyperstatique; il est en équilibre élastique, sous l'action de forces 
el couples directeuicnt appliqués F et G; et nous supposons. 



272 PREMIERE PARTIE. 

ce qui est le cas le plus complexe, que ses liaisons surabondantes 
sont, les unes, extérieures, les autres, intérieures. Readons-le 
isostatique (n° 11) par la suppression des dites liaisons surabon- 
dantes, en lui appliquant, d'ailleurs, les forces correspondant 
aux liaisons ainsi supprimées, afin que son état d'équilibre 
élastique ne soit pas troublé; soient F^^ et Ces une force et 
un couple quelconques de liaisons extérieures surabondantes, 
Fjs et Gjs une force et un couple quelconques de liaisons inté- 
rieures surabondantes. Relativement au système rendu isostatique, 
ces forces doivent être considérées comme des forces directeuienl 
appliquées, au même titre que les forces et couples F et G. 

Or, du fait même des liaisons extérieures, la projection A du 
déplacement élastique du point d'application de la force F^^, sur 
la direction de cette force, est nulle, et la rotation de la section 
d'application du couple Cgs est également nulle. On a donc, 
d'après les formules i;énérales (i8) (n" 14), 

dU_ _ d\\ _ 

D'autre part, une liaison intérieure quelconque et. en parlicu- 
11er, une liaison intérieure surabondante, consiste ordinaireuient 
en ce qu'un point A d'une pièce P du systèiue est astreint à 
rester ln\ariablement lié à un point B d'une autre pièce Q. Les 
forces de liaison correspondantes sont une force Fj^ appliquée 
en A, à la pièce P et une force égale et contraire appliquée en B 
à la pièce Q; la distance AB de ("es deux points, nulle avant 
déformation, est donc encore nulle après; par suite, eu \crlu du 
corollaire I (n" io) du tliéorèuie de Cistigliano, on a 

d\\ 

Eafin, si les liaisons sur.d)ond uilfs d iiuc pièce V ii\cc une 
pièce Q consistent en ce ([u<' deiiv poinl> a et a' de hi première 
sont astreints à rester invariableuieni liés à deux |)oinls b el // do 
la seconde, les forces de liaison correspondantes se composent de 
deux forces égales et opposées, apjiliqiu'cs en a et eu b, et de 
deux autres forces ('gales el opposées appliqiu'-es en a et en //; si 
les deux forces appliqu«'es en a el en rf' coust itiieul un couple C,,, 



MÉLANGES. v>73 

les deux forces appliquces en b el en 1/ C(jnstiluenL un nouple 
égal et contraire. Dans ce cas, la rotation élastique de la droite aa' 
relativement à la droite bb' étant nulle, on a, en vertu du coi^ol- 
laire II (n° lo), 

En résumé, les dérivées partielles du potentiel Interne du sys- 
tème déformé, par rapport auv forces et aux couples de liaisons 
surabondantes, tant extérieures qu'intérieures, sont nulles. Donc, 
les valeurs de ces forces et couples rendent maximum ou mi- 
nimum ce potentiel; il reste à décider entre ces deux alternatives. 

Soit A la valeur dune quelconque des forces F^s, valeur satis- 
faisant, par conséquent, à l'équation 

Pour toute autre valeur attribuée arbitrairement à la force F^j, 
la projection, sur la direction de cette force, du déplaceuient de 
son point d'application, n'est ])as nulle : elle a pour expression 

- _ ^" . 

or il est évident que si, à partir de cette valeur arbitraire de la 
force Fgs, celle-ci prend un accroissement f/Fps, la variation cor- 
respondante d\ du déplacement projeté K est de même sens 
que Fgsî c'est-à-dire positive, de sorte qu'on a 

et, par suite, 

— - >o: 

cette inégalité, établie pour toute valeur de F dillerenle de A, 
a lieu également pour Fps = A, attendu que, le potentiel II étant 
du second degré en F^^ ('), sa dérivée seconde par rapport à 

(') n est une fonction du second degré des fatigues normales et tangentielles; 
or, ces fatigues sont des fondions linéaires des forces extérieures qui les pro- 
duisent; donc II est une fonction du second degré de* forces extérieures el, en 
particulier, de la force l'es. 

Bull, des Sciences nidttieni., 2' série, l. \LII. (Ocl. i()i8.) a^ 



274 PREMIÈRE PARTIR. 

cette variable est indépendante de la valeur attribuée à celle-ci. 
On démontre, de la même façon, que les dérivées secondes 
de n, par rapport à Gps, Fj^ et Qs sont positives. Certains auteurs 
en concluent que II est minimum et énoncent de la manière sui- 
vante, ou d'une manière approchante, le théorème du général 
Menabrea : 

Dans un système hyper statique^ formé de corps isotropes ou 
à fibres moyennes, les valeurs que prennent, en fait, les 
forces et couples de liaisons surabondantes extérieures et inté- 
rieures, rendent minimum le potentiel interne du système, 
considéré comme une fonction de ces forces et couples. 

Cet énoncé est très séduisant; mais il va au delà de ce qui est 
réellement démontré : en elTet, la condition du minimum de II 
est que la différentielle totale de cette fonction soit positive, 
pour les valeurs de l"es C„ qui annulent les dérivées par- 

• ,, -v 0*11 t>ll ., , . I 1- 

tielles premières -TT- j •••'—t-\ or, il est seulement établi que, 

1 11'-' .11 A ^ " ^-n 

pour ces valeurs, les dérivées partielle-^ secondes — — , • • • , —^ 

sont positives. Aussi, crojons-nous devoir nous en tenir à l'énoncé 
suivant : 

Théorcme. — Dans un système liyperstatique, formé de 
corps isotropes ou à fibres moyennes, les valeurs que prennent, 
en fait, les forces et couples de liaisons surabondantes exté- 
rieures et intérieures, annulent les dérii'ées partielles pre- 
mières du potentiel interne considéré comme une fonction de 
ces forces et couples. En outre, si, dans cette fonction, on 
remplace ces mêmes forces et couples par leurs valeurs effec- 
tives, sauf toutefois l'une de ces forces ou r un de ces couples, 
la fonction d'une seule variable ainsi obtenue est minimum 
par la valeur effective de cette force ou de ce couple. 

Au surplus, en ce qui concerne les ap[di(Mtlous, la (jueslion de 
savoir si le potentiel interne est ou non uilnimuui est dénuée 
d'intérêt : le seul point ([ul importe est que les valeurs clVecllves 
des forces et couples de liaisons surabondaute^ anuulfiit les 
dérivées partielles premières de ce potmtiel. 



MÉLANGES. 275 

Ce tliéorènie est, comme on le voit, un corollaire du théorème 
de Gastigliano; mais, antérieurement aux travaux de cet ingé- 
nieur, il avait été énoncé, sous la dénomination de « Principe de 
minimum du travail élastique », par le général Menabrea (*), 
pour les systèmes articulés; et, dès cette époque, il se trouvait 
également donné pour un système quelconque de corps à fibres 
moyennes, ces corps pouvant, suivant une remarque de Molir et 
de Winckler, être considérés comme un cas particulier des sys- 
tèmes articulés (-). 

jNous indiquerons le mode d'emploi du théorème de Alenabrea, 
pour le calcul des forces et couples de liaisons surabondantes, 
dans les corps ou les systèmes de corps à fibres moyennes, 
lorsque nous aurons étendu ce théorème au cas où la déformation 
est à la fois élastique et calorifique. 

Extension du théorème de Castigliano 
au cas où la déformation est à la fois élastique et calorifique. 

19. Cette extension a été faite par M. Ernest Flamard, dans sa 
Thèse déjà citée, en ce qui concerne les systèmes de corps à fibres 
moyennes, au moyen du théorème du travail virtuel. Nous allons 
l'elTectuer, au moyen du théorème des forces vives, tant pour les 
systèmes de corps isotropes que pour ceux à fibres moyennes. 

Considérons un système de corps isotropes., isostatique ou 
hyperstatique, déformé par des forces et couples extérieurs F etC 
et par une élévation de température t comptée à partir de la tem- 
pérature à laquelle ont été réalisées les liaisons du système. (Dans 
le cas d'un abaissement de température, il suffira d'affecter t du 
signe moins.) Appliquons à cette déformation l'équation de Cla- 
peyron généralisée (i5) (n" 13) 

7 FX-f- 7 Ccp= >II— I oiz( n,c-^- Hy-^ n.) i/x dy (l^, 



(') Menabrea, Principe général pour déterminer les pressions et les ten- 
sions dans un système élastique (Turin, 1868). — Voir aussi une Note lue par 
le général Menabrea, à la séance de l'Académie des Sciences du 3i mai i858 
{Comptes rendus, t. XLVI, p. io36). 

(^) Maurice Levy, La Statique graphique et ses applications aux construc 
tioiis, 4° Parlie, lî^f^S, p. i|i. 



276 PREMIÈRK PARTIE. 

dans laquelle ; 

A est la projection dn déplacement élastique et calorifique du 
point d'application de l'une quelconque F des forces extérieures, 
sur la direction de cette force; 

<p la projection, sur l'axe de l'un quelconque G des couples exté- 
rieurs, de la rotation élastique de la droite joignant les points 
d'application des deux forces formant ce couple; 

n le potentiel interne du système de corps déformé; 

jixi riyf Hz les fatigues normales sur trois éléments menés norma- 
lement aux axes de coordonnées, en un point quelconque 
(x, j^, z^ du système. 

Cette équation a lieu quel que soit le système de valeurs attri- 
bué à F, G et t; par suite, l'équation obtenue en la dilTérentiant 
par rapport à ces variables indépendantes et par rapport aux quan- 
tités )., C2, n, 11x1 ^'j) '^s fj^i en dé|)endent, a lieu également; ou 
peut donc écrire 

(a) y Fr/À -i-Y Xi/F-^-y G^cp-^y ,i,/c 

-H •: </( /j.r -f- riy-h n-)\ dx dy dz ; 

et, dans cette dernière équation, les accroissements ill\ </G et ch 
sont arbitraires. 

Envisageons la déformation infiniment petite que prend le sys- 
tème de corps, entre les deux états de déformation correspondant, 
le premier, aux valeurs F, G et t des forces et couples extérieurs 
et de l'élévation de température, le second, aux valeurs F + c?F, 
G + dC et T H- dx de ces quantités. Pendant cette déformation, le 
travail des forces et couples extérieurs est égal au travail des 
forces élastiques; l'équation exprimant ce fait a été établie précé- 
demment : c'est celle (i4) (n° 13), laquelle, suppression faite des 
accents, ce qui n'est qu'une question de notation, est 

(b) y 1-' r/l + y C r/'y =3 ^/li — I i / a ( ,1^ 4- n, -(-//;) d- d.v dy dz . 
Retranchons memlirc à mcudirc les équations ( n) et (A); il 



MELANGES. 277 

vient 



(c 



) y A ffV -4- V'f </C z= (/W ^ f I I y-d (/i^.-H /iy-+- i^z) dr dy dz. 



Les latigues n^^ ..., y^j el, par suite, le potentiel interne fl 
dépendent des forces et couples extérieurs F et C directement 
appliqués et des forces de liaisons. Si le système est hyperstatique, 
celles-ci dépendent non seulement de F et de G, mais aussi de la 
température, un tel système n'étant pas librement dilatable; de 
sorte que, dans l'équation (c), «j-, «j, iiz et II sont fonction de F, 
de C el de t. Si le système est isostatique, ces quantités sont, au 
contraire, indépendantes de x, un lel système étant librement dila- 
table. 

Ceci posé, supposons d'abord que le système considéré soit 
isostatique et, dans cette hypotlièse, développons dans l'équa- 
tion (c) les différentielles totales dW et d{nj: + ny->r riz) I il vient, 
étant admis que la variation de température est la même en tous 
les points du système, 

V). f/F+y'f rfc 

= 2jF^'^ -'2um:'''-'-\\ J J [1 ^F dFJdrdyd. 

-""'' f f f(^ — -''"^^V""^'"^ '/g) c/x dj- dz 

ou, en posant 

(•^3) 11 = 11 — at/ / i {n,,.+ ny-\- n-)dxdy dz, 

y À dv -^ V cp dc ^y^"^ dv -^2 ^ ^^c. 

Pour que cette deinière équation soit satisfaite, il faut qu'on 
ait séparément 

(M) A = ^' ?-^' 

puisque les accroisseuients c/F et c/C sont arbitraires. 

Les formules (23) et (24), établies pour les systèmes isosta- 



7,78. PREMIÈRE PARTIE. 

tiques^ restent valables pour les systèmes hyperstatiques. Eu eftet^ 
soient, pour un système hyperstatlque quelconque donné, F, les 
forces de liaisons surabondantes tant intérieures qu'extérieures. 
Considérons le système isostatique, obtenu par la suppi^ession de 
toutes les liaisons surabondantes de ce système hyperstatique ; 
soumettons-le aux forces et couples F, C, F^ et à la variation de 
température ~\ les formules (2.3) et (24) lui sont applicables; or, 
son étal de déformation est identiquement le même que celui du 
système hyperstaticjue donné, soumis aux forces et couples F et C 
et k la variation de température t, et, par suite, les diverses quan- 
tités A, o, II, «j-, riy^ riz ont les mêmes valeurs dans ce système 
isostatique que dans le système hyperstatique; donc les for- 
mules (28) et (24) sont éi;alement applicables à ce dernier sys- 
tème. (.. Q. V. I). 

Les deux formules (2^) ne dillerent de celles (18) (n" 14) que 
par le remplacement de la fonction FI par la fonction Hi elles se 
traduisent donc, sauf ce remplacement, par une proposition 
identique au théorème de Castigliano. 

La démonstration qui précède, appliquée au cas d'un système de 
corps -djibres moyennes, conduit encore aux formules (24), mais 
avec 



(■rj) II = n - oi- I 



i\ ds. 



On peut, d'ailleurs, passer directement de l'expression (28) de H 
à l'expression (20) en remarquant que, d'après la formule (17) 
(n" 13), on a, pour tout système de corps à fdires moyennes, 



I I f * "i -+- "v -+- fiz I ^-^ f^fy dz ^= j ^ 



■h. 



Notons, en passant, que si, dans la formule (2.") ), on remplace II 
par son expression résultant des formules (11) et (9) (n" 9), on 
obtient 



'•'•'•-' "=ir[(i^--^)-i 






./.S-. 



Dans le cas de la llexion [)lane, celte dernière formule se ré- 
duit à 



MÉLANGKS. 179 

20. La quantité H peut s'interpréter comme suit : 

Soient, dans un système de corps à fibres moyennes, liypersta- 
tlque, soumis à des forces et couples F et C, ainsi (ju'à une varia- 
tion de température t, F^ les forces de liaisons surabondantes tant 
intérieures qu'extérieures. Sur le système isostatique obtenu par 
la suppression des liaisons surabondantes de ce système hypersta- 
tique, faisons agir les forces et couples F, G, F^ et la variation de 
température t; Il prend un étal de déformation identique à celui 
du système hyperstatique, soumis aux forces et couples donnés F 
et C et à la variation de température. Imaginons que cette défor- 
mation s'effectue en deux temps, comme suit : 

Pendant le premier temps, le système isostatique est soumis 
aux forces et couples F, G, F.ç, de sorte que sa déformation est 
purement élastique et que, par suite, le travail accompli par les 
forces élastiques est II. 

Pendant le second temps, il est soumis à la variation de tempé- 
rature; les forces élastiques demeurent constantes, le système 
isostatique étant librement dilatable, et elles accomplissent un 
travail dont la valeur est, pour une tranche d'épaisseur ds^ 

— NaTt/5, et, pour le système entier, — y- ^ ds. 

Le travail total des forces élastiques pendant la déformation 
complète, élastique et calorifique, est donc 



II — a- 



A f/5 = II : 



et, si le système est formé de corps isotropes, on trouve, de même, 
que ce travail total est 

Il — y- / / f (rijc-r- Hy-h n- ) dx ciy dz — Il 

M. Ernest Flamard appelle la quantité H travail total de 
déformation d'un système élastique soumis à une variation de 
température. 

Il est à remai'quer que cette dénomination est toute convention- 
nelle; elle n'est exacte que sous réserve que la déformation 
s'effectue en deux temps et dans l'ordre indiqué plus haut. En 
ellet, si la variation de température précédait^ au contraire. 



28o 



PREMIÈRE PARTIE. 



l'application des forces et couples F, C, et F^, le travail des forces 
élastiques se réduirait à FI; si les deux actions étaient simultanées, 
le travail des forces élastiques serait compris entre 11 et II. 

Les formules (24) n'en constituent pas moins une extension du 
théorème de Gastigliano, au cas oii la déformation est à la fois 
élastique et calorifique. 

Ce qui précède s'applique évidemment aussi aux svstèmes iso- 
statiques. 



Applicalion du théorème de Castigliano généralisé, au 
calcul des déplacements élastiques et calorifiques^ dans 
les corps et les systèmes de corps à fibres moyennes. 

21. Les expressions générales (24) (n° 19) des déplacements et 
rotations élastiques et calorifiques se développent exactement de 
la même manière qu'ont été développées, au n" 16, les expres- 
sions (18) (n" 1 i) des déplacements et rotations [>urement élas- 
tiques. On trouve ainsi 

\ d:)L T. dîB 



(•>. 



./.)rL' 



(7.8) 



f\(- 



M^ d.)\'^l 



GQ d3 



Kl' dZ 



(ts. 



Ces formules ne dilFèrent de celles correspondantes (21) et (■^2) 

(n** 16) que par le remplacement de jt^; par ( -rr^ — a- j . Lorsqu'on 

les appliquera à un système lijperstatique, on aura soin, selon les 
indications données précédemment (n" 17, in fine)., de calculer 
les éléments de réduction .%, Sy;, ..-, «^Kç non pas dans le système 
hyperstatique considéré, mais dans le système isostalique obtenu 
par la suppression des liaisons surabondantes de ce système 
hyperstatique. 

Dans le cas où la flexion est plane, on a simplement 






d)i. 



\\iil ""'/ fli ^ GQ f/J 
/T/ N \ r/.K, T dC- 



M 


il.^W 


KÎ 


,n- 


M 


il.^W 


lïï 


itZ 



(// suivre.) 



COMPTIÎS UENDUS ET ANALYSES. 281 



COMPTES HlîNDUS ET ANALYSES 



REY PASTOR (J.;. — Teorîa de l.v representatiô conforme (Théorie de 
la représentation conforme ), Conférences rédigées par M. E. Terradas. 
I vol. in-S". ii5 pages. Publications èeVInstitut cVEstudis catalans, 
Barcelona, s. d. 

Au printemps de i()i5, M. Bev Pastor a fait, à rinslitiil des 
études catalanes de Barcelone, une série de huit conférences sur la 
représeatation conforme. Ces conférences, rédigées par M. Ter- 
radas et traduites en catalan, forment un petit Ouvrage de la Collec- 
tion des Cours de Physique et de Mathématique dirigée par ce 
savant. 

La théorie de la représentation conforme, qui a son origine dans 
le prohième des cartes géographiques, s'est développée jusqu'à se 
rattacher au\ questions les plus importantes de l'Analyse et de la 
Physique mathématique. Au début, il s'agissait d'établir, entre une 
portion de la sphère et une portion du plan, une correspondance 
univoque et réciproque avec conservation des angles (on nepouvait 
songer à conserver les longueurs) et, par conséquent, avec simili- 
tude des éléments infiniment petits. Les anciennes projections 
d'Hipparque et de ■Nlercator et celles, plus récentes, de Lambert 
répondaient à ce but. Lagrange résolut le problème pour les surfaces 
de révolution et introduisit dans la question la notion de variable 
complexe. Gauss, enfin, traita le problème général de la représen- 
tation conforme de deux régions appartenant respectivement à deux 
surfaces données. 

Jusqu'à ce moment le problème est demeuré local : il faut éta- 
blir une correspondance entre les régions \oisines de deux points 
déterminés de deux surfaces. Avec Riemann, la question prend un 
aspect nouveau et le problème cesse d'èlre local. 

Voici l'énoncé du problème de Pviemann : 

Etant données deux aires planes (D) et (d)^ déterminer inre 
Jonction Z=f(z) qui permette d^ effectuer une représentation 
conforme de fune des aires sur l'ctulre, de telle manière cju'à 
un point pris à l intérieur de l'une des deux aires corresponde 

Bull, des Sciences mathéni., 2° série, t. XLII. (Nov. kjiS.) j3 



>82 PREMIÈRE PARTIE. 

un seul point à V intérieur de r autre et que^ aux points du 
contour de l'une des aires ^ correspondent Les points du contour 
de r autre. 

D'ailleurs, si 1 on a effeclué la représentation conforme des aires 
(D) et (d) sur Taire d'un cercle de rajon i, la représentation con- 
forme de (D) sur (d) s'en déduit aussitôt : on peut donc toujours 
supposer, dans le problème de Riemann, que le domaine (d), par 
exemple, est uQ cercle de rayon i. De ce problème Riemann donne 
dans sa thèse une solution aussi simple que belle, au moins en ce 
qui concerne les points intérieurs des aires. Cette solution repose, 
il est vrai, sur le principe de Diriclilet dont la démonstration rigou- 
reuse n'apparut que plus tard, mais l'introduction de la fonction 
de Green est tout à fait naturelle et lorsque, en 1900, M. Osgood 
établit l'existence de cette fonction de Green pour un domaine 
simplement connexe quelconque dont le contour comprend plus 
d'un point, le problème de la représentation conforme pour les 
points intérieurs et pour un domaine quelconque se trouva com- 
plètement résolu. 

L'étude de la correspondance des points des contours a été 
l'objet d'une série de recherches fort intéressantes. La démonstra- 
tion de Riemann laissait cette question dans l'ombre. Schwarz 
ujonlra que la correspondance est univoque et continue pour les 
points du contour de (D) quand celui-ci est formé d'un seul arc 
analyti(|ue; ^L Picard établit la même proposition poui- un con- 
tour formé de plusieurs arcs analytiques; M. Painlevé. j)our le cas 
d'un contour dont la tangente varie d'une manière continue. 

L ne remarque de Poincaré, faite en i8<S3, devait de nouveau 
changer ras[)e(i de la (piestion : la représentation conforme de 
linlérieur de (D) sur l'intérieur de (d) est déterminée à une homo- 
graphie près; elle est entièrement déterminée si l'on fait corres- 
pondre deux éléments de contact choisis arbitrairement, l'un 
dans (IJ), l'autre dans (d). Il en résulte que la correspondance des 
points (les contours ne doit plus lii^urcr dans l'en onci' du pridilènu- : 
("est une condition surahondanle. La coi-respondancc cnli'C les 
hoinis int(''rieurs eu Irai ne ou non comme cons('<|U('n('«' la correspon- 
dance enirc les poinU des contours. I)ans le premier cas, le |M'0- 
lilèrnc de ruemaiin est possd)le ; dans le second, d nest possible (pic 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. '28> 

pour les points intérieurs. C'est M. Caralliéodorv rpn, en ujio, a 
étudié je premier (Tune manière eom|)lèle la cones|)ondar)ce entre 
les points des contours et montré, en parlicidier, fjue le problème de 
Riemann est possible pour des domaines limités [tardes couil)es de 
Jordan. Cette étude a été reprise par diflerenls auteurs; on a même 
pu raltaclier cette question, d'une manière simple, aux éléments 
de la théorie des fonctions de variable complexe et à la méthode 
indroduile par M. Picard pour le cas où la frontière est formée 
d'arcs analytiques. 

L'étude des problèmes précédents a été étendue au cas des 
tlomaines multiplement connexes et à celui de domaines apparte- 
nant à une surface de Riemann formée dun nombre fini ou d'une 
infinité de feuillets; p-ir ce côté, la question se relie à limportant 
problème de l'uniformisation des fonctions. 

On voit la richesse de ce sujet, qu'il embrasse une grande partie 
du champ de la théorie des fonctions analytiques et se relie à bien 
des problèmes importants de l'Analyse. 

Dans ses Conférences, M. Rey l^astor a du se limitej" à quelques 
parties : examinons son choix et le but qu'il s'est proposé. Il a 
désiré donner la solution du |)roblème général de la représen- 
tation conforme sur le cercle de ravon i, d'une surface simple- 
ment connexe d'un nombre quelconque, lîni ou non, de feuillets. 
Il a laissé entièrement de côté la correspondance des contours et 
n'a voulu faire appel qu'à un petit nombre de propositions emprun- 
tées à la théorie dos fonctions de variable complexe et à celle du 
|)Olentiel. Il a réussi, grâce à beaucoup d'ingéniosité, à présenter 
la solution sous une forme très élémentaire. 

L'auteur introduit la notion de rayon d'un doujaine [)Our un 
point déterminé O de ce domaine : c'est le i-nyon du cercle sur 
lequel on peut faire la représentation conforme du domaine, de 
manière (|ue le point intérieur O ail pour homologue le centre du 
cercle et que la dilatation |/'(-:5)| ail., en ce point, la valeur i. Le 
théorème d'existence, pour le cas d un domaine simplement con- 
nexe à un feuillet, est alors établi en suivant la marche de 
MM. Ivoebe et Carathéodory, par itération d'une transformation 
conforme 'd(z) qui remj)lace (D), que l'on peut toujours supposer 
contenu à I intérieur dnn cercle (C^ de rayon unil(''. |)ar une suite 
de domaines qui se dilatent de plus en plus jnsfju'à remplir le 



284 PREMIERE PARTIE. 

cercle(^C). Celte Iransformalion :i;.::)est celle qui représente d'une 
manière conforme un cercle à deux feuillets sur un cercle à un seul 
feuillet: elle introduit mallieureusemenl la nolion de surface de 
Uiemaun clans un problème ne concernant que des aires planes 
ordinaires. Dans une conférence voisine, l'auteur explique la mé- 
tliode alternée de Schwarz pour le cas où le contour est formé 
d'arcs analytiques. Enfin, par une moilification heureuse des 
méthodes utilisées pour le cas d'une aire à un seul feuillet, il 
démontre le ihéorème général pour le cas dune surface simple- 
ment connexe d'un nombre quelconque de feuillets. 

Le principal elTort de 1 auteur s'est porté \ei's la simplicité des 
moyens mis en œuvre et l'utilisation du plus petit nombre possible 
des connaissances de ses auditeurs; il en résulte que les démons- 
trations, dont les détails sont d'ailleurs très clairs, sont assez mor- 
celées; l'elïct de l'ensemble se trouve un j)eu atténué : à trop- 
reoarder les pierres de l'édifice, on perd de vue les grandes lignes 
de celui-ci. Le peu de temps dont il disposait et le désir d arriver 
directement au problème général ont empêché l'auteur d'indiquer 
la solution si intuiti\ede Riemann. de signaler la question, capi- 
tale pour les applications, de la correspondance des points des 
contours ainsi que l'importance [lour la théorie des fonctions du 
j)roblème général. De même, il n'a pu établir de distinction entre 
les progrès faits dans la théorie et ceux (jue l'on a obtenus dans 
l'exposition de cette théorie, en sorte qu'un lecteur insuffisamment 
averti peut confondre les travaux qui ont apporté une contribu- 
tion scientifique nouvelle avec ceux qui ont poursuivi une amélio- 
ration du point de vue didactique. C'est ainsi que. dans son résumé 
historique, l'auteur indique comme travaux fondamentaux de la 
période (jui commence avec l*oincaré, ceux de MM. Koebe, Gara- 
ihéodory et Bieberbach, 

D'ailleurs, dans certains de ces mémoires, il ne s'agit pas tou- 
jours de simplifier des méthodes ni d'amt'-liorerdes démonstrations. 
Dans un travail récent de M. Roebe, par exemple, la préoccupa- 
Jion constante de l'auteur est de pourchasser 1 intégrale de Cauchy 
et d établir la théoiie en n écrivant (pie les noms de \\ eicrslrass, 
de Riemann et de .Schwarz. La raison en serait que la notion de 
série est plus simple que celle d'intégrale, comme si l'importance 
et la beauté d'une <puvre dépendaient de la complication des outils 



M K LANGES. 28 j 

ulilisés |jour la créer et si réiégance d'une théorie inalliéinaliquo 
ne résultait pas le plus sou\ent de l'emploi de moyens naturels et 
conformes à la nature de la question. On peut penser que l'inté- 
grale de Caucliy nurait d'autres mérites qui en recommanderaient 
l'usage si la nationalité de son inventeur était dillVrcnte et qu'il 
y a d autres moyens d lionorer son pays en servant la science. 

Je signalerai en terminant une solution simple et élégante du 
problème de Diiiclilet pour le cas du cercle que l'auteur adonnée 
en suivant une idée de M. Bôclier. Cette solution est à rapprocher 
de la méthode si élémentaire que Darboux avait fait connaître, 
dans ce Bulletin, en i()io. 

Paul Moaïel. 



MELAN(;i<:S. 



LES MÉTHODES MODERNES DE LA RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX; 

Par m. BliP.TnAM) de I-ONTViOLA.NT, 

Professeur à l'i'xole Centrale des Ans et Maniifuctures. 

{Suite. ; 



Extension du théorème du général Menabrea^ au cas où 
les déformations sont à la fois élastiques et calorifiques. 
— Détermination des forces de liaisons surabondantes. 

I^i. L'extension du théorème de Castigliano entraine une 
extension correspondante de son corollaire, le théorème du 
général Menabrea; cette extension s'obtient par le remplacement, 
dans ce dernier théorème, du potentiel interne II p:u- la fonc- 
tion H. 

Pour appliquer le tlu-nrènu' ainsi généralisé, à la détermination 
des forces et couples de liaisons d'un système hyperstatique. on 
introduira les forces et roupies de liaisons surabondantes dans la 
fonction H, dont on formera les dérivées partielles par rapport ù 
ces forces et coiqiles. Les équations obtenues en égalant à zéra 



a86 PREMIÈRE PARTIE. 

ces dérivées, joinles aux équations fournies par la Statique pure, 
feront connaître toutes les forces et couples de liaisons. 

On trouvera de nombreux exemples de cette détermination 
dans rOuvrage déjà cité de M. Ernest Flaniard^ sur le Calcul des 
Systèmes élastiques de la construction. 

Principes de réciprocité. 

23. Théorème. — i" Si u/ie force ¥ j^ égale à l' utiité., appli- 
quée en un point A d'un corps isotrope ou à fibre moyenne, 
ou d'un système de pareils corps, isostatique ou hypersta- 
tique., suivant une direction arbitrairement c/ioisie A^, imprim*' 
à un po-nt V> un déplacement élastique dont la projection . 
sur une direction A^ également arbitraire, est Ac, réciproque- 
ment une force ¥,,, égale à r unité, appliquée au point B, sui- 
vant la direction A,., imprime au point \ un déplacement 
élastique do fit la projection a'(, sui- la direction A^. est égale 
à \^. 

2" Si un couple Otia égal Cl V unité, dont les deux forces sont 
appliquées en deux points a et a' et dont V axe a une direc- 
tion Tati arbitrairement choisie parmi les perpendiculaires à 
la droite aa\ imprime à une droite bb' une rotation élastique 
dont la projection (M sur une direction V/,/,' arbitrairement 
choisie parmi les perpendiculaires à bb' est -^i'I"^,, réciprociue- 
menl un couple ili,/, égcd à l'unité, dont les deux forces sont 
appliquées en b et b' et dont la direction de l'axe est Fj^ , 
imprime à la droite aa' une rotation élastique dont la projec- 
tion cp';'^! sur la direction V„n' est égale à cp'/''/ . 

3° Si un couple €>,,„• égal à l'unité^ dont les deux forces 
sont appliquées en deux points a et a' et dont l'axe a une di- 
rection Vfui-, arbitrairement choisie parmi les perpendiculaires 
à la droite aa' , imprime à un point H un dépbaement élas- 
tique dont la projection sur une direction arbitraire A,i 
est \'f{', rt'-ci proqucnient . une force \'\ égale à V unité, appli- 
quée en ]\ sin\a/i/ la direction A,i. imprime à la dr<dte aa' une 



M; Il I si Lippclt- i|iic \y,\v jiiojeclion d'une rotation, il (;iiil cnlcndir la pro- 
jection du vecteur représentatif rie cette rotation (11° \1). 



MÉLANGES. 2S; 

)Olatioii ('lastique dont la projection '^^,„, sur la diieclion \\ia 
est égale à //„'' (étant entendu, au point de vue de rhomogénéit('. 
que cette rotation n'est pas mesurée par son angle, mais par la 
longueur de Tare intercepté par cet angle, sur une circonférence 
de rayon égal à 1 "unité de longueur). 

Voici la démonstration de la preuiière partir de ce théorème. 

Soient respectivement : 

\\ el\^ les projections, sur les directions A^^ cl Ag, des déplace- 
ments élastiques imprimés aux points A et B, par la force i* ^ 
égale à l'unité, appliquée en A, suivant la direction A^; 

h\ et Âb les projections, sur ces mêmes directions, des déplace- 
ments élastiques imprimés à ces mêmes points, par la force F,t 
égale à l'unité, appliquée en B, suivant la direction Ag. 

(^Dans ces notations, l'indice inférieur désigne le point qui 
subit le déplacement considéré; l'indice supérieur est celui de 
la force qui produit ce déplacement.) 

Supposons que deux forces F'^ et Fg, différentes de l'unité, 
soient appllqviées simaltanénient, la première en A, suivant la 
direction A^, la seconde en B, suivant la direction A^; soient res- 
pectivement a'^ et Ab les projections, sur ces deux directions, des 
déplacements élastiques qu'elles impriment aux points A et B. 
On a, d'après le principe de la superposition des effets élastiques 
des forces, 

(a) à'a = >-.î F; - X]» Fn, Àb - >-Û Fa - À^ Fb 

et, en vertu du tliéorème de (^astigliano (n" 14-), 

dit - , d\\ 

n désignant le potentiel interne du corps, ou du système île 
corps, déformé par les forces F'^ et Fr agissant simultanéiuenl. 
Or, analytiquement, on doit avoir 



OF^àFii JFBdF.v' 



288 PRKMIÈRIÎ PAiniE. 

et. par suite, à cause des reliitu)ns (7> i, 

ou. en remplaçanl ces deux dérivées [lartlelles, par leurs valeurs 
déduites des formules (a). 

'^X = '^U- C. Q. F. D-. 



Le même mode de démcnistration s'applique aux deux autres 
parties du théorème. 

Les trois principes de réciprocité qui viennent d'être énoncés 
sont souvent appelés, à l'étranger, principes de Maxwell, bien 
que ce savant n'ait établi que le preuiier et pour les systèmes 
articulés seulement (' ). 

Lignes d'influence. 

24. Des principes de réciprocité découle une méthode géné- 
rale de détermination des lignes d'influence dans les corps et 
dans les systèmes de corps à fibres moyennes, astreints à des 
liaisons surabondantes (2). Ces lignes, introduites ilans la Résis- 
tance des matériaux par Friinkel (^) et étudiées d'une manière 
remarquable par ^^ inkler (') et Maurice Levy (•'), jouent un 
rôle important dans le calcul (\çi ponts en métal ou en béton 



( ' ) Clerk Maxwell, On the calculation of the eijuilibrium and slilfiiess 0/ 
framess {Philosophical Magazine, t. XXVII, i^*<>h, p. ■J94). 

C) Hertrand dk Kontviolant. Sur la détermination des forces élastiques et 
de leurs lignes d'influence dans les /loutres assujetties à des liaisons surabon- 
dantes {Com/ites rendus de l'Académie des Sciences, l. ("VIII, 1889, p. (5): 
Méthode générale de détermination des lignes d' influence dans les poutres 
pleines ou réticulaires, assujetties à des conditions surabondantes ( Hullctin 
de la Société des Ingénieurs civils de France, novembre i8i)o, p. 71' )! Ponts 
métalliques à travées continues. Méthode de calcul satisfaisant aux prescrip- 
tions du liéglemenl ministériel du }q août iHgt {Comptes rendus de l'Aca- 
démie des Sciences, t. CXV, i><<)3, p. 99^. et Bulletin de la Société des Ingé- 
nieurs civils de France, décembre i^;)', p. iio5). 

(^) l'"iiA\KEL, Théorie des lignes d'influence (Civil Ingénieur, i>^~l>). 

(') WiNKLKK, Application des lignes d'influence {Itevue des Ingénieurs et 
Architectes de Hanovre, 1879). 

(^) Maurice Lk\y, La Statique graphique et ses applications aux construc- 
tions {'' l'ailie, 1^80; .'.' Parlie. if^'^7). 



MÉLANGES. 289 

;iriné: elles toiiruissent. eu edet, le inojen de detenniner les 
elforts maxiimiin produits dans les divei's éléments de ces ponts, 
parle passage des surcharges mobiles; le cadre limité de la pré- 
sente Note ne nous permet pas de nous étendre davantage sur ce 
sujet. 



Seconde méthode fondée sur le théorème des forces vives. 
Equation (;é.\ér\le de l Elasticité. 

2o. L'exposé qui suit dilTère sensiblement dans la forme, mais 
non dans le tond, de celui présenté dans notre Mémoire sur les 
déformations élastiques des pièces et des systèmes de pièces à 
fibres moyennes planes ou gauches (' j. Il est plus général, car 
il concerne non seulement ces pièces, mais aussi les corps iso- 
tropes; enfin, il est plus simple et plus rapide et ne nécessite 
aucune intégration. 

11 consiste à donner, du théorème de Betti (-), Boussinesq (^) 
et Maurice Levy ('), une démonstration nouvelle, très élémen- 
taire, qui ajoute à ce théorème un complément d'où découle 
immédiatement une relation générale entre les déplacements 
élastiques et les forces extérieures qui les produisent. 

E,n. introduisant ensuite, dans celte relation, les déplacements 
calorifiques (ce qui n'avait pas été fait dans notre Mémoire pré- 
cité), nous obtenons Véquation générale de l'Elasticité qui. 
synthétisant toute la théorie des déformations, permet de déter- 
miner les déplacements élastiques et calorifiques d'une construc- 
tion quelconque et de former, dans tous les cas et sans recherches 
spéciales, les équations nécessaires pour le calcul des forces de 
liaisons, dans les corps et les systèmes de corps hvperstatiques. 



(') Comptes leiidiLf de l'Académie des Sciences, t. CVII. itiSS. p. 383, et 
Bulletin de la Société des Ingénieurs civils de France, août iSiSS, p. .>yi, et 
mars 1889, p. 4 '6. 

( = ) Betti, Teoria del Elaslicità (1872). 

(^) Boussinesq, Cours d'Analyse infinitésimale, t. I, fasc. 2, 1887, p. 127 
et 128. 

(*) Maurice I^kvv. Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. CNII, 

18S8, p. 4i'|. 



290 PREMIÈRE PARTIE. 

soumis à des forces extérieures quelconques, ainsi qu'à des 
actions calorifiques. 

Ainsi se trouve présentée une démonstration nouvelle, fondée 
sur le théorème des forces vives, de \ équation générale de 
l'Elasticité^ établie dans notre Mémoire y relatif (M, au moyen 
du théorème du travail virtuel. 

Théoi'cme de Betli, Boussinesq et Mauiice I.ei'y complété. 

26. Considérons un système de corps isotropes ou à libres 
moyennes, isostatique ou hyperstatique (n° IJ) (le cas d'un corps 
unique sera regardé comme un cas particulier). Soumettons-le 
à l'action d'un système de m forces extérieures quelconques, 
que nous appellerons système (A), forces croissant lentement 
depuis zéro jusqu'à certaines valeurs iînales: soient : 

h\ la \aleur finale de rime quelconque de ces forces. 
A/ son point d'application, 
Aj^ sa direction, 

X^ la projection, sur la direction A^ . du déplacciiient élastique du 
point A,. 

On a. en vertu de léquation fondamentale (i)) (11" 12), 



t— 1 



en désignant par 11^^ le |ioteuliel interne tlu système de corp> 
déformé. 

llemplaeons le système de forces (A) par un second sys- 
tème (B), composé de n forces extérieures quelconques, croissant 
comme les premières; soient : 

l''„ la valeiii- hiiide de finie ([iiehonqiie (h* <'<'s loi'ces, 
B/ son point (f ii|)pl icil ion. 



(') Uulletin de la Société des /iigé/iieurs ci^'i/s de France, octobre 1907, 
I». i'i'). — loir aussi Lecoiinu, Cours de Mécanique /irofessé à l'Ecole Poly- 
leclinii/Ké. l. m, 11)1 S, p. '|'(, (i.j, -d. 



MÉLANGES. 291 

Ar sa direclion, 

),,^. la projection, sur la direcliou A,, , du dcpluceinent élastique 
du point B/. 

On a, comme précédemment. 

'6)' ^2^«.'<="^- 

i= 1 

en désignant par IIp„ le potentiel interne du >\slème de corps 
déformé. 

Soient maintenant : 

A^. la projection, sur la direclion A^ , du déplacement élastique du 
point A/, sous l'action du système de forces (B), 

Ag. la projection, sur la direction A^ , du déplacement élastiqui' 
du point B/, sous l 'action du système de force (A). 

Considérons la déformation du srstèuie de corps, non plus 
sous l'action d'un seul des deux systèmes (A) et (B), mais sous 
l'action simultanée de ces deux: systèmes : en vertu du principe 
de superposition, le déplacement élastique du point A/, en pro- 
jection sur la direction A^ est A^ — a!^ et celui du point B/, en 
projection sur la direction Ag., est Ab^H- Ag.- Cette déformation 
peut être réalisée de deux manières dift'érentes, comme suit : . 

1° Appliquons d'abord le système de forces (A), ces forces 
croissant depuis zéro jusqu'à leurs valeurs finales, puis le système 
de forces (B), ces dernières forces croissant de la même uianière 
que les premières; la déforiuation s'ellectue ainsi en deux temps. 

Pendant le premier temps, les points d'application A, des 
forces du système (A) prennent les déplacements a^ , en projec- 
tion sur les directions AJ^., et le travail de ces forces, qui 
croissent de zéro à ¥ j^., est (n" 12) 

•= lit 

tandis que les points B/ prennent les dé|>laeenicnts a^ , en pm- 
jection sur les directions A„ . 



>.92 . PREMIER li PAIlTli:. 

Pendanl le second temps, les points A/ prennent les déplace- 
ments A^ , en projection sur les directions d^ des forces F,, et le 
travail de ces forces, qui demeurent constantes, est 

(=1 

tandis que les points d'application B< des forces du système (B) 
prennent les déplacements Ag., en projection sur les directions A,( 
et que le travail de ces forces, qui croissent de zéro à Fp , est 

Le travail total des deux, systèmes de forces (A) et (B) est la 
somme des trois travaux partiels ci-dessus, et, d'après l'équation 
fondamentale (i3) (n° 12), il est égal au potentiel interne du 
système de corps déformé sous l'action simultanée de ces deux 
systèmes de forces. On a donc, en désignant par ll^ji Fb ^^ potentiel, 

2° Inversement, appliquons d'aboixi le svstème de forces (B), 
puis le système de forces (A), ce qui. île la mènu^ manière que 
précédemment, conduit à l'équation 

/ ;= n i = Il I =r III 

(d) 1 2 F«. '^H. ^2 F«. "4 -+- 1 y^ ^'y '< = "^-^ ^B> 

i—\ (=1 /=! 

laquelle ne dllfère de l'équation (c) que pai- la permutation des 
deux systèmes de forces (A) et ^^B) et des déplacouionts élastiques 
correspondants. 

Fn retranchant les équations {a) et (h^ de l'i-quallon (cK et, 
ensuite, de l •'•(juatlon (f/), ou «ihi lent les deux no u\ elles ('-(pial liuis 

# = /I 

'/) 2''"''' ="'^'"~ ^"'^ """'"'' 

qui --e I i-,iilui-,ent comme ^nil : 



MÉLANGES. 293 

Théorème. — Si, à un corps isotrope ou à fibre moyenne, ou 
à un système de pareils corps^ isostatique ou hyperstatique , on 
applique successivement deux systèmes de forces ( A ) et (B) : 

i" La somme des travaux des forces du système (A), poul- 
ies déplacemeîits élastiques dus au système (B), est égale à la 
somme des travaux des forces du système (B). pour les dépla- 
cements élastiques dus au système (A); 

2° Ces deux sommes de travaux sont égales à la différence 
entre le potentiel interne du corps ^ ou du système de corps ^ 
déformé par les deux systèmes de force {X) et {B) appliqués 
simultanément et la somme des potentiels internes du corps ^ ou 
du système de corps^ déformé par chacun de ces deux systèmes 
de forces appliqué à V exclusion de l'autre. 

La première partie de cette proposition est le théorème de Betli. 
Boussinesq et Maurice Levj; la seconde est le complément 
annoncé plus haut f n" 2o). 

Remarque. — Parmi les forces des deux systèmes (A) et (B) 
ou de l'un de ces deux systèmes seulement, il peut a" en avoir qui 
forment des couples. Ainsi, supposons que le système (A) se 
compose àe p forces ne formant pas de couples et de iq forces for- 
mant q couples; soient : 

a, ela'i les points d'application de deux forces formant un couple, 
C.,,a\ la valeur de ce couple, 

'frt,«; la projection, sur Taxe du couple C„ „;, de la rotation élastique 
imprimée à la droite rt/a^, par le système de force (B) ; 

le travail de ce couple, pour ce déplacement de rotation, 
est Crt;a^cp^ „; et, par suite, on a 

1 = 1 / = 1 i — 1 

ce qui permet d'écrire l'équation (e) sous la nouvelle forme 

(29) 2 Fa,?>î!,+21 ^'"'"'^ '*'"'''' ^ "'^*'''«~ ("'•■^-^ "'■•")• 

si l'on veut j mettre en évidence les rotuions projetées C3,^, „';. 



294 PREMIÈRE PARTIE. 

Principes de réciprocité. 

27. Les trois principes de réciprocité établis précédemment 
( n*^ 23^1 sont des cas particuliers du théorème de Betti, Boussinesq 
et Maurice Levy. Le preïuier correspond au cas où les systèmes (A) 
et (B) se composent chacun dune force unique égale à lunilé; le 
second, au cas où ils se composent chacua d'un couple égal à 
lunité; le troisième, au cas où le système (A) se compose d'un 
couple égal à l'unité et le système (B), d'une force égale à l'unité. 

Relation générale entre les déplacements élastiques 
et les forces extérieures qui les produisent. 

28. Soit un système de corps isotropes ou à fibres moyennes ; sup- 
|)Osons-le hyperstatique extérieurement et intérieurement (n° 11) 
(\e cas d'un système isostatique sera regardé comme un cas 
particulier; celui dun corps unique, également). Ce svstèuie tic 
corps est défornié' p;ir tk's toices e\;tt''ilenres F directenuMit appli- 
quées. 

Appelons : 

I» ).,. li, A3. ... 

les projections des (léplaceMienl> (''lnsi npu'^ d iiu certain nombre 

de points 

A,. A,. A,, ... 

(lu ^\>lème ^\v corps, ^iii- (h'^ dircdioiis ;irbilr.iireinenl choisies 

A,. A,, A3. ...; 
1" !fi, 'f2. 93. ••• 

l("> projections Aa^ roliiluui^ (dii^l iqiir» d 1111 ( cilaiu nombre (b' 
■ h'oites 

conlfiiucs dans le ■^\s|rlll<■ (b; corps, sur i\c> dircci loiis 

r,. ir 1-3, ... 

iirbilr.iiiciiiriil cboisii-. |i.iriiii \i-> d un 1 1011- iioniiib-s ;i ces 
ib oih'-. . 

( ! ilisiib'lMiix III UMlrii.iiil b- >\s(('iiii- i^ost.il Mpic oiilciiM pli' la 



MÉLANGES. agj 

suppression (Jes li;us(jii> surabondantes <Iii système liyperstalique 
donné (' ). 

Appelons Fg, les forces de liaisons extérieures suruhondanles 
et Fjs les forces de liaisons intérieures sur.djondautes du système 
liyperstatique ; panai ces forces il peut y en avoir qui tornientdes 
couples; peu importe; il cst^ d'ailleurs, inutile ici de mettre ces 
couples en évidence. 

Si Ton soumet le système isostatique précité aux fijrces F, Fp. 
(!t Fjs, il prend un état d'équilibre élastique identique à celui du 
svstème liyperstatique soumis aux seules forces F; en particulier, 
ilans ce système isostatique, les déplacements élastiques des 
points A,, Aa, V3, ... et les rotations élastiques des droites «irt, , 
rtart., 1 «.irt'ji • • • sont les mêmes que dans le système hyper- 
siatique. 

Suj)|)rimons les forces F, F^j, Fj^, et, au système isostatique qui 
n'est plus alors soumis à aucune force, appliquons : 

i" Aux points 

A,, Ao, A3, ..., 

des forces, de liraudeurs quelconques, dile forces auxiliaires. 

-h, 4i. Js, ••• 

sunant les diiectious 

A,. Ao, A3, ...: 
2" Aux poinl? 

f/l,rt',, «2,«j: «3! "^'35 •••> 

des forces formant des couples, de grandeurs (pielconques, dil-. 
ro up les a ax ilia ii -es . 

Ol, C2) '^3) • • • 

d'axes dirigés >iii\an( 

l'i- I\>, 1-3, .... 

Cela posé, ap[)li(pions l'équation (2p)(n"!2G, théorème tie Betli, 
J)DUSsinesq et Maurice i^-e^j complété j au sy^stème isostalique, en 
considérant, dans cette équation, le système de forces (A) comme 
ciinstitu»' par les forces et couples auxiliaires r.i',, d'à, ^f^^ 

P) Il a éié indiqué précédemiiienl in" 11) que, suivant le nombre el la nature 
lie ses liaisons, un système iiyperslaliquc peut èlic rendu isostalique. d'une seule 
manière on de plusieurs. Non- considérons ici l'un quelconque des systèmes iso- 
slatiques ainsi ohtemis. 



agG PREMIÈRE PAUTIK. 

Gi, 32, S3, . . . , et le système de forces (B) comme constitué par 
les forces F, F^. et Y,^; il vient 

-îlXl-4--Î2>-2-i--'i^3>'3-+-- . ■— Ciri— S2?2-H S3 03-+-. . . 

= " F, Fes, Fis, f, a - ( n F, Fcs, Fis "^ " J, c) ' 
en désignant par 11,^ ^ ^ . IIi' -i, Op ,.^ p -;r - le potentiel 

~ I !•, l'es, ris cT,'-^ r , l'es- i is,'-' . «^ ^ 

interne total du système isostatique déformé respectivement par : 
1° les forces données F et les forces de liaisons surabondantes F^^ 
et F|j du système hyperstatique ; 2"' les forces et couples auxiliaires 
rf et 3; 3° l'ensemble de ces forces et couples (la barre surmontant 
la lettre IT est destinée à indiquer que ces potentiels sont relatifs 
au système isostatiqvie). 

Nous écrirons, pour abréger, 

(3o) yjA + ySo = n,..Fe„Fi,.i.3-(ïï,..K,,,K.^ + ÏÏ^,£J. 



Équation générale de l' Elasticité. 

29. Supposons que le système de corps, byperstali(pie, consi- 
déré précédemment ( n" 28), soit soumis non seulement à des 
forces extérieures F directement appliquées, mais encore à une 
variation de température t, comptée à partir de la température à 
laquelle ont été réalisées ses liaisons, positivement au-dessus, 
négativement au-dessous. La déformation de ce syslème est donc 
à la fois élastique et calorifique. 

Considérons, dans le système, \\i\ certain nonduc de points cl île 
droites et soient : 

i" Pour l'un quclcon(pie \ de ces points, A la projection de son 
déplacement élastique et calorilicpic, sur uuc tlirection A arbi- 
trairement choisie ; 

2° Pour l'une quelconque aa' de ces droites, s la projection de 
sa rotation élastique et calorifique, sur une direction F choisie 
arbitrairement j)armi les normales à aa' . 

Envisageons le système îsoslatitpie obicuii pai la suppression 
des liaisons surabondantes du syslème hyj)erslatique donné. Sou- 
inetlons-le aux forces extérieures F, aux forces ihî liaisons sura- 



MÉLANGES. 297 

hondaates l',,^ et F,^ (11" i28) du syslciuo hv[)erstalique, et à I;i 
variation de teinpériitiiro t; il prend un état d(; d('forniation élas- 
tique et calorifique identique à celui du système lij[)erstatique 
soumis seulement aux forces F et à la variation de température t; 
en ])articulier, les valeurs de A et de es sont les mêmes dans le- 
système liyperstatique et dans le système isoslatique. 

Appelons )/ et es' les valeurs que prendraient A et ce, si le sys- 
tème isostatique était soumis exclusivement aux forces F, F^j et Fj^^ 
c'est-à-dire si la déformation était purement élastique; À-- et o-z les. 
valeurs que prendraient ces mêmes quantité's, si ce système était 
soumis exclusivement à la variation de tem[)éralure, c'est-à-dire si 
sa déformation était purement calorifique. 

On a, en vertu du principe de la superposition des effets élas- 
tiques et calorifiques, 

(a) X=:X'-t-Xt, cp=cû'-t-œx- 

Ceci posé, examinons séparément la déformation élastique el 
la déformation calorifique [)récitées. 

En ce qui concerne la première, on a immédiatement, d'après 
la relation (3o) (n'> 28), 

(b) ^^^'-^^^?'-='iiF,Ve.,Pis,.i,e-('^i',Ves,Vi.'^'^ri,e), 

J et Z désignant respectivement des forces auxiliaires appli- 
quées aux points A, suivant les directions A, et des couples auxi- 
liaires dont les deux forces sont appliquées aux extrémités des 
droites aa' et dont les axes ont les directions F. 

Pour étudier la seconde déformation, imaginons que, suppres- 
sion faite des forces F, F^^ et Fj^, on applique au système isostaliqinr 
les mêmes forces et coiq^les auxiliaires que ci-dessus; le système 
prend un certain état de déformation et, sur trois éléments nor- 
maux aux axes de coordonnées, pris en un point quelconque 
(:r, >', z) du système, il naît des fatigues normales /i^., /i'^. et «'. (el 
(les fatigues tangentielles (|ui n'auront pas à intervenir ici). Sou- 
mettons alors le système à la variation de température -: : il subir 
une seconde déformation ipii est purement calorifique. Pendant 
cette seconde déformation, les forces et couples auxiliaires. 

Bull, des Sciences niathéni., 1' série, t. XLII. ( Nov. 1918.) >\ 



2'.)S IMII' MIÈlll": P Ali III' 

accoiiiplissenl un haviiil égal à 



p>.-2:^-^. 



et les forces élastiques, qui demeurent constantes (puisque le sys- 
tème étant isostatique est librement clllataljle) acconijilissent un 
travail égal à 

n'j. df dz ( — a -. dx ) -}- n [■ dz dx ( — y.-, dy )-r^ n'~ dx dy ( — i-.dz) 
= — a-( n'^. -(- n\ ->r- n'- ) dx dy dz, 



j>our un parallélépipède élémentaire ilécoupé au point [jc, y, z) 
— JL- j I I ( n\. -h n'y -+- n'. ) dx dy dz , 



et égal à 



pnur le système' entier, l'intégrale triple rt.inl étendue au volume 
total occupé par le système de corps. 

En vertu du tliéorème des forces a i\es. res deux tiavaux sont 



éganx ; donc 



( c ) 2'-^^^"^2^ '^-=-^' f f f' ".'«■ ^ ".» — "'- ) ^^ ^^y ^-• 

En ajoutant membre à membre les deux équations (^b) et (c) et 
en avant égard aux relations (rt), on a linuleuient 

(3i) 2^^>~2^r = î'K.K,,,Fi„j.c-(ïï,,p^^.,.-.^+n;f^e) 

— %- l I I { n ,. -+- n'y -+- n': ) dx dy dz. 

Telle est VEqualiun s^('/iérale ch' l'i-lasiirif)' des systèmes Je 
ioips isotropes. 

Si, en Tliéorie matb(''matique d«* ri'>las| icitt-. on savait formei' 
les expressions des latigucs normab^s et langenl udb^s et, par suite, 
<raprès les foruiMle> ( 1) ri ( .")) (n" ii celb' du potentiel interne, 
v'n fonction des forces extérieures produis. ml et'- fatigues. \\\ sus 
<lile é-quation permettrait de résoudre lou^ les problèmes relatils 
:nix déformations élastiques et cabu-iliques des constructions, sans 
qu il suit nécessaire de leeoiiiii' aii\ h \ pnl lièsc^ de la Piesislance 
«les iiialé'iia II \ . I il pint:rès iiii|iiii'laiil seiMil dcuie aeeoiuidi si l'on 



MÉLANGES. 299 

parvenait à vaincre les difficultés que présenU- lintégration des 
équations aux: dérivées partielles de la Tlié-orie mathématique de 
l'Elasticité. 

30. En reprenant la démonstration qui précède, dans le cas d'un 
système de corps à fdjres moyennes, on trouve 

( 3->. ) y^t/. -H^^ ? = ÏÏf, Fe., Fis, -J, C 

- (ÛF, Fes, Fis-^ n.l G • - ''--/^'^ ^/-^ 

en désignant par .IL reflbrl normal pi'oduit, en une section quel- 
conque de l'un quelconque des corps du système isostatique 
obtenu par la suppression des liaisons surabondantes du système 
liyperstatique donné, sous l'action des forces et couples auxi- 
liaires J et S. 

On peut d'ailleurs passer directement de l'équation (3i) à 
l'équation (02), par application de la relation (17) (n° 13) qui 
donne ici 

/ / / ("!i- -i- n'y-+- ni) dx dy dz — j Ob ds. 

Le second membre de l'équation (Sa) se transforme comme suit : 
D'après la formule (i i ) (n° 9 ), on peut écrire : 

(«) nF.Fcs,Fis,J,S- 1 %.Fes,Fu -^ °.7,S ) 

= / [^l--,Fes.Fi,.J,S - <^F,Fes.Fis-^^i,G)]^*- 

en désignant respectivement par ^f.Fcs.Fjs' ^rJ.Z' ^F. Fes, Fis, -5', £ 
le potentiel interne, rapporté à l'unité de longueur de la fibre 
moyenne, de l'un quelconque des corps du système isostatique 
défini précédemment, déformé par : 1° les forces directement appli- 
quées F et les forces de liaisons surabondantes Fg^ et Fj^ du sys- 
tèuie liyperstatique donné; 2° les forces et couples auxiliaires ^ 
et 2; 3° l'ensemble de ces forces et couples. Appelons : 

I" ^, T./.., T^, M?, Mv, M^ 

les éléments de la réduction (au centre de gravité d'une section 
quelconque, de l'un quelconque des corps) des forces élastiques 



3oo PREMIÈRE PARTIE. 

développées dans celte section, par l'application au système i.s'05fa- 
tiqiie^ des forces F, F^^ et F;, (ces éléments sont identiquement 
les mêmes que dans le système hjperstatique soumis seulement 
aux forces F) ; 

2" X, Sr,, S;;, ;)1Lh, oïl,,. .'^Ic!: 

les éléments de réduction analogues, le système isostatique étant 
supposé soumis aux forces et couples -j' et G. 

Fn vertu du principe de superposition, si ce système est soumis 
à l'action simultanée des forces et couples B, F^^, Fj^, ^ et ©, les 
('•Icments de réduction deviennent 

N + X, T.r,-+-Sr,, T^+î^v, Mi+Dllf, IN^-i-Oliv,, Mr+ OR.. 
Cela posé, d'après la formule (ç)) (n" 9), on a 

I / N2 Tf, M; 

Or, cette expression île to^ p p. est une fonction liomogène et 
du second degré des six quantités IS, T-,, . . ., M^; et, pour obtenir 
les expressions de gj^ o et d(; ttîc- r k i ^- il suffît d'y rem- 
])lacer resj>ectivement ces six quantités, d'abord par Oô, 5,. ..., 011/, 
puis par ÎS — X, Ty^H- Grp • • -5 JVIr+ OIL^. On a donc, d'après une 
propriété des fonctions homogènes et du second degré ('), 

r, Tes, • iS)'-' î ^^ \ r, Tes, lis t) , v^ / 



(tu. en reinpiaçani les (l('iiv<''es partielles par leurs valeurs (b'duiies 

(') Voici renonce de celte propriclé t'l;ii)lic |);ir Eiiier. Soient : 

f(x, y, ...) une fonction, homof;ènc et du second degré, d'un noinbic quel- 
conque de variables x, y, ... ; 
x'. y', ... un système de valeurs quelcon([ues allriljuées à ces viiriables. 

On a idenliqiieinent 

f\{jc-hx). (y+r-. ...)\-l/(.r. y. . . .) -h /(x, y', ...)] 

_ 0/(x,y,...) , )/{x.y,...) ,if{x\y\...) ,if{.r\y\...) 

-"" ô^ ^^ d>^ '■ ^ ^Â? '"-^ ûy' "*"•••• 



MÉLANGES. 3oi 

de lexpression de rn^ u- i? -. 

1 I' , Tes, ris 

'^F, Fes, Fis. J'S e — ( ^F, Fes, Fis — ^i, 3 j 

Par suite, en substituant dans la formule (« ), ou a 
(^) np^Fes,Fis,^,G-(nF.Fes,Fi,+ ÎÎ.Tf,£) 

Et, dès lors, l'équation (32) devient 
(33, 2^,,^2^?=/[-'"^ (li — ) -^'.fe -«^(^ 



;)rt? ^ + Olt.^ ^ + oit: -^ I ds. 



'ElJ 



Dans les applications il importe de ne pas perdre de vue que : 

i** Les déplacements projetés A et cp, ainsi que les éléments i\, 
T-r, ..., M:; de la réduction au centre de gravité d'une section 
quelconque de l'un quelconque des corps, des forces élastiques 
agissant dans cette section (ou, ce qui revient au même, des 
forces extérieures appliquées à gauche de cette section), sont 
relatifs au système hyperstatique donné, soumis aux forces 
données F ; 

2° Les éléments de réduction similaires 3C), Sr,, •••, 31tç sont 
relatifs au système isostatique obtenu par la suppression des liai- 
sons surabondantes extérieures et intérieures du système hyper- 
statique donné, système isostatique soumis aux forces et couples 
auxiliaires 4 et G ; ces derniers éléments, étant slatiquement 
déterminés, se calculent très aisément. 

Il va de soi que l'équation (33) reste valable dans le cas où le 
système donné est isostatique; toutes les tpianutés qui y entrent 
sont alors relatives à ce système isostatique. 

31. Rotation élastique et calorifique d'une section quel- 
conque. — - 11 est utile, au point de vue des applications, de faire 



3o2 PREMIÈRE PARTIE. 

intervenir dans l'eqnation (33) ( n° 30) la projection, sur une 
direction F arbitrairement choisie, de la rotation élastique et calo- 
rifique d'une section transversale quelconque (S) de l'un quel- 
conque des corps; voici comment : 

Dans la section considérée (S), menons une droite aa' de direc- 
tion normale à F [ce qui est toujours possible; il suffit, pour cela, 
que aa' soit dirigée suivant l'intersection de la section (S), avec 
un plan normal à F]; appliquons, en a et en à', deux forces for- 
mant un couple auxiliaire S, d'axe dirigé suivant F; à ce couple G 
correspondra, dans l'équation (33), un terme G'j, où o désignera 
la projection sur la direction F de la rotation de la droite aa' . Or, 
par les considérations cinématiques déjà utilisées (n" 15) pour la 
démonstration du corollaire III du théorème de Castigliano, on 
établit aisément que cette projection est égale à celle de la rota- 
tion de la section (S), sur la direction F. On peut donc dire que, 
dans chacun des termes Ses de l'équation (33), o représente la 
projection, sur une direction arbitrairement choisie F, de H rota- 
tion d'une section quelconque (S), à condition que le couple 
auxiliaire S soit appliqué sur cette section et que son axe ait la 
direction F. 

32. Cas de la flexion plane. — Si le corps, ou le système de 
corps, considéré, isostatique ou liyperstatique, est soumis à la 
llexion plane, en toute section, les éléments de la réduction des 
forces élastiques sont exclusivement un efiort normal x\, un eflbrl 
tranchant T situ('' dans le plan de la ou des fibres moyennes (plan 
de llexion) et un couple de flexion M, d'axe normal à ce plan, far 
suite, l'équation (33 ) (n" 30) se réduit à 



(33 



Dans l'utilisai Kin de <clte dernière foriuiile, on applupiera : 

i" Les forces auxiliaires .f, en des points situés dans \c plan de 
llexion et suivant des directions A menées dans ce plan; 

2° Les couples auxiliaires C. sur des sections transversales, en 
dirigeant leurs axes normalement à ce m«'me |>liiu. 

Il s ensuivi-a que les (juaul ih'-; k seront les projections des 



MÉLANGES. 



'>o3 



J(''[)lacements des poiui^ considérés, sur les directions A. el que 
les quantités es seront les rotations incines des sections consi- 
dérées. 



Expressions générales des déptacemcnls élastiques et 
calorifiques, dans les corps et les systèmes de corps à 
fibres moyennes. 

33. r^roposons-ndiis de (oriner l'expression générale : 

i" De la [)roje(ti<>n /. du déplacement élastique et calorifique 
d'un point quelconque A. sur une direction arbitraii^enient 
choisie A ; 

2° De la project i<jn 'j; de la rotation élastique et calorifique 
iTune section quelconque (S), sur une direction arbitrairement 
choisie r. 

Ces deux expressions découlent immédiatement de l'équation 
générale de l'élasticité, prise sous la forme ( 33) (n° 30). 

Pour obtenir la première, il suffit de ne faire intervenir, dans 
celte équation, quuue seule force auxiliaire ^ ., de grandeur quel- 
conque, appliquée en A. suivant la direction A; on obtient ainsi 



(34) 






M 



^5. 



Pour obtenir la seconde, il suffit de ne faire intervenir, dans 
cette même équation, qu'un seul ccniple auxiliaire £, de grandeur 
quelconque, d'axe dirigé suivant F; ce qui donne 






ds. 



On ne perdra pas de \ iie que. si le svstème considéré est 
hjperstatique, les éléments de réduction î)b, Or,- •••» '^1^: doivenl 
être calculés dans le système isostalique obtenu par la suppression 
des liaisons surabondantes de ce svstème hvpei'slatique ( n" 30, 
in fine). 



Cas d'un sysième soumis à la flexion plane. — Dans ce cas, 



3o4 PRHMIÈUE PAHTIE. 

les formules précédentes se réduisent à 



(35') 






OLZ \ -h -=: 






G GO 



Rappelons que, dans ce dernier cas, l'axe du couple auxi- 
liaire S, appliqué à la section considérée (S), doit être dirigé 
nornialenient au plan de flexion et que es est la rotation même de 
■cette section. 

Formules de M. Ernest hlamard. 

34. Si dans l'équalion générale de l'élasticité (oa) (n" 32), rela- 
tive aux systèmes de corps à fibres moyennes, on fait intervenir 
€xclusi\ement d'abord une seule force auxiliaire éF, puis un seul 
couple auxiliaire C, on olitientles deux formules 



<(«) 






-qui se réduisent, si le système de corj^s n'est soumis à aucune 
variation de température, à 



•(*) 






Ainsi qu'on le \(''rilie aisément si. au conlraire, le >vslèuu' est 
soumis à une variation de leui|)(''iMl me. ou pcMil ('•(•nie les deu\ 
formules (a) sous la forme 



■ir) 






"F,Fes,Fi.:7 -C'«F.Fes.Fis-^"j) 
'"F,F....!V3:-(''F.F....Fis-*-''c) 
<'ii N lul l'iidniMiiil la fiiiHlKin II cxpriiucc pur la fiuinulc i :>.,')) 



MÉLANGES. 



W 



(n" 19); el en convenant: que H^ p p. représenle la valeur de la 
fonction H afiférente au système isostatique soumis aux forces F, 
Fpsi l'is et ^i ^'^ \arialion -: de température; que IIp p p. ^ 
el Hp p p., 3 représentent respectiveuient les valeurs que premi 
cette même fonction lorsque le système isostatique est soumis, en 
outre, à la force auxiliaire ^ ou au couple auxiliaire S. 

Les formules (b) et (c) ont été établies, autrement d'ailleurs 
qu'il vient d'être indiqué, par M. Ernest Flamard, dans sa Thèse de 
doctorat déjà citée. Elles restent valables dans le cas des systèmes 
isotropes. 

Accord entre les résultats des deux méthodes 
fondées sur le théorème des forces vives. 

33. Comparons les expressions générales (2-) (n^Sl) et (34) 
(n" 33) de la projection du déplacement élastique et calori- 
fique d'un point quelconque A, sur une direction arbitrairement 
choisie A, 



.m- 
/[lié 



di 


G<> d^ ' ■■■ Kl: d^ 


\ 


^0 Tr, _^ ,^^rc^ M: 
j Gi) •• ,f EI^ 


d.s; 



ds, 



expressions obtenues respectivement par la preuùère et par la 
seconde méthode fondées sur le théorème des forces vives. 

Dans ces deu\ lormules, Oô, Sr,. .... OW^ sont les éléments de 
la réduction, au centre de i^ravité d'une section quelconque de 
l'un quelconque des corps, des forces élastiques développées dans 
cette section, j)ar l'application de la force auxiliaire d" au point A. 
suivant la direction A; et. si le système est hyperstatique. ces 
éléments doivent. quOn utilise l'une ou lanlrc des deux iormules, 
être calculés dans le système isostatique obtenu |>ar la suppression 
des liaisons surabondantes de ce système hyperstatique. Or, en 
vertu du principe de la superposition des elfets des lorces, les 
forces élastiques dans une section quelconque et, par suite, les 
éléments z)b, C-^, . . ., ;1H^ de leur réduction, sont proportionnels 



3o6 PHHMIÈKIÎ PAUTIE. 

à la force extérieure 5 qui les produit ; on peut donc écrire : 

01, = a -T. Ç-r, = bi, i)\\x, = f^, 

<(. h. . . . , y désignant six constantes indépendantes de 5"; d'où 

di)K^ , 



= a, 

d7i 


dS 


et. par suite. 




d^ ^ 





d^ ~. ' 

ce qui prouve l'accord entre les deux expressions (aj) et (34) du 
déplacement, projeté \. L'accord entre les deux expressions (28) 
fn" 21) et (3.5) (n" 33) de la rotation projetée C2, se démontre de 
la même manière. 

Détermination des forces de liaisons surabondantes, dans 
les systèmes de corps à fibres moyennes. — Equation 
aux liaisons surabondantes. 

36. La méthode de calcul des forces de liaisons sural)ondantes 
découle de l'équation générale de l'Elasticité. Pour en simplifier 
l'exposé, nous supposerons que le système hyperstatique consi- 
déré, déformé par des forces dii'ectement appliquées F et pai- 
une variation de température t, eslsouuiis à la llexion plaiie; dans 
ce cas (n" 32) l'équation générale de ri''Jasticité se réduit à 

Comme forces et couples auxiliaire^ à ;i|>|>li([U('r au s^slèu^<' 
isostatique obtenu |>;ir la siippicssion des liaison> siirahondanles 
du système li vpersliil ique consitléré, adoplous : 

1° Des forces J, de grandeurs arbitraires, ayant mêmes points 
d'application et mêmes tlirections que les forces de liaisons snra- 
ixtndantes extérieures du système liypcrslatique ; 

'*" Des couples Z-, de grandeurs arbitraires, oyaul nuMues sec- 
lions d'iipplical ion cpie les couples de liaisons suraln)ndanles exté- 



MÉLANGES. 807 

rieures du systèiiie hyperstatique et ayant, comme ceu\-ci, leur> 
axes normaux au plan de flexion; 

3" Des forces j'', de grandeurs arbitraires, ayant mêmes points 
d'application et nn-mes directions que les forces de liaisons sura- 
l)ondantes intérieures Axysysleme hyperstatique et, comme celles-ci, 
deux à deux égales et opposées; 

4" Des couples o', de grandeurs arbitraires, ayant mêmes sections 
d'application que les couples de liaisons surabondantes inté- 
rieures du systrme hyperstatique, ayant, comme ceux-ci, leurs 
axes normaux au plan de flexion et étant, comme ceux-ci. deux à 
deux égaux et de sens contraire. 

Dès lors, l'équation (33') s'écrit 

Il est facile de voir que son premier membre est nul. 

En effel, les projections X des déplacements élastiques des points 
d'application des forces auxiliaires .)' et S' sur les directions de ces 
forces, ainsi que les rotations o des sections d'application des 
couples auxiliaires © et S', sont afférentes au système hypersta- 
tique, déformé par les forces F et par la variation de tempé- 
rature t; or : 

1° Sur les direct ions des forces ^, qui, par hypothèse, sont celles 
des forces de liaisons surabondantes extérieures, les projections \ 
sont nulles, en rals(ui de ces liaisons mêmes, et, par suite, la 
somme S-f A est également nulle; 

2" Les rotations cp des sections d'application des couples de 
liaisons surabondantes extérieures sont nulles en raison de ces 
liaisons mêmes, et, par suite, la somme SCo est également 
nulle ; 

3" Par hypothèse, les forces auxiliaires §' sont deux à deux 
égales et opposées, de sorte qu'à toute force -\- §' correspond une 
force — ^' ; or, ces deux forces +,#' et — J' sont appliquées en deux 
points qui, dans le système hyperstatique, sont astreints à rester 
en contact, et dont, par conséquent, le déplacement projeté a est 



3o8 PIlliMIÈKE PAKTIE. 

le même; donc, dans la somme S-f'A, à chaque terme -{--l'A cor- 
respond un lerme — §'\, et, par suite, cette somme est nulle; 
4° La somme SS'j est nulle pour la même raison. 

L équation (a) se réduit donc à 

C'est V équation aux liaisons surabondantes^ dans laquelle 
les éléments de réduction N, T, M sont afférents au système 
hyperstatique considéré, soumis aux forces F et à la variation de 
température t; et ceux 5iL, G, Olu, au système isostatique soumis 
aux forces et couples auxiliaires 3^, 8, 3^' et £' définis ci-dessus. 
Cette équation s'utilise de la manière suivante : 

Supposons, sans faire de distinction entre les liaisons sura- 
bondantes extérieures et celles intérieures, qu'il y ait m forces 
et n couples de liaisons surabondantes, ce qui entraîne l'appli- 
cation àe m forces auxiliaires .f,, ..., Sm et n couples auxiliaires 
3,, ..., C„, au système isostatique. Les éléments de réduction 
correspondants )b, S, 511, en une section quelconque, sont des 
fonctions linéaires et homogènes de ces forces et couples; on 
peut donc écrire : 

S = 3^iYl-t-. • -H- ^in'lm-+- 3iO, — . . .— S/jÔ,,, 

orc = ,?, £l-^...^-^,„£,., H-£,Oi -4-... -h £„e„, 

a, j3, Yi ^5 -1 ^ désignant des fonctions des coordonnées x et j' du 
centre de gravité de la section considérée. 

Substituons ces expressions dans réqualiou (^.U)) et grt)upou> 
respectivement les termes en §^^ ..., ,f„j, 3,, 3„; il vient 

-h 

+ :^,nf [«,„ ( A _ ^,^ ^ -^,„ JL -4- ,,„ j^ I ,/, 



MÉLANGES. iog 

r?i, ..., à mi £i- •••• ^w étant de grandeur arl)ilraire, pour que 
cette équation soit satisfaite, il faut (ju'cjn ait séparément 

/ ["'" ( è - '^) "- ' - ^ -^- ^"' et] ^^ = "' 

...., 

Ces m + n équations, si l'on j remplace N, T, AJ, en fonction 
des m -\- n forces et couples de liaisons surabondantes inconnus, 
fournissent les valeurs de ces forces et couples. 



Méthode FO^'DÉE sur le THÉORf:ME du travail virtuel. 

37. Le théorème du travail virtuel a été utilisé, pour la pre- 
mière fois, en Résistance des matériaux, par Molir ('), pour la 
détermination des efforts dans les systèmes articulés à barres 
surabondantes. 

Depuis, les applications de ce tiiéorème aux autres svstèmes 
employés en construction ont été largement développées par 
divers auteurs, notamment par Muller-Breslau (-). 

Enfin, ce même théorème nous a permis d'établir Véqiiation 
générale de l'élasticité (j^ ) dont nous venons de donner plus 
haut (n"' 29 et 30) une démonstration nouvelle déduite du théo- 
rème des forces vives. 



(') Zeitschrift der Architecte» und Ingénieur Vereins zii Jfannover, i'*'7h. 
p. 22.3. 

(') Die Metlioden der Festigkeilslehre und der Stali/c der Baukonstriic- 
tionen, iSS'J. 

(') L'équation générale de l'élasticité des constructions et ses applications 
{Bulletin de la Société des Ingénieurs civils de France, octobre 1907, p. 3G5). 



3io PKKMIÈRE PAirriE. 

Equation générale de l'Elasticité. 

38. Soit un sjstème de corps isotropes; supposons-le liypei- 
statique extérieurement et intérieurement (n" ii) (le cas d'un 
système isostatique sera regardé comme un cas particulier; celui 
d'un corps unique, également). Ce système de corps est déformé 
sous l'action de forces extérieures F, directement appliquées, ol 
d'une variation de température de t degrés, comptée à partir de 
la température à laquelle ont été réalisées les diverses liaisons du 
système. 

Appelons : 

1" >vi, X,, A3, ... 

les projections des déplacements élastiques et calorifiques d'un 
certain nombre de points 

/^i, A.2, A3, ..., 
du système de corps, sur des directions arjjilrairemont choisies 

A,. A,. A3, ...: 

'>" <?i, 92, Çs, ••• 

les projections des rotations élastiques et caloriliques d'un certain 

nond)re de droites 

<7i<7', , rtoa'2, rtaa'j, ..., 

conlcnues dans le système de corps, sur des direct i()u> 

r,, r.., T,, ..., 

arljilraircmenl choisies parmi les direction^ normales à ces 
droites : 



les six paramètres de la dé-formation élasti(juc (!t caloriliquc (n"5) 
d'un paraUélé-pipède élémentaire, pris en un point (piclconquc 
(.r, j)', ::) du système; 

.\" T7i^: h- potentiel interne, nipporlé- à l'uniii' dt> \oluruc, an 
même point (j?, )', z); 



MÉLANGES. 3ii 

5" \\^ et Fjs les iorces de liaisons siiiMljoutlanles exlérieures el 
intérieures du système. 

Considérons maintenant le système isostatique obtenu par la 
suppression des liaisons surabondantes du système hyperstatique 
donné. Si on le soumet aux forces F, l\^ et Fj^, ainsi qu'à la 
variation de température de t degrés, il prend un état d'équilibre 
élastique identique à celui du système byperstjrtique soumis airx 
seules forces F et à la variation de température. En particulier, 
dans ce système isostatique, les déplacements élastiques et cabt- 
rifiques des points A,, A2, A3, ..., les rotations élastiques el 
calorifiques des droites a^a^, a.^cC, ^s^'^in •••et les paramètres 
de Ja déformation d'un parallélépipède quelconque sont les 
mêmes que dans le système hyperstatique. 

Le potentiel interne est également le même, de sorte qu'on 
peut écrire, d'après l.i formule (4) (n" ■^) et la Remarque du n" o. 

r , r es, l'is 2 

en désignant par Wp ,,. ^ p. le potentiel interne, rapporté à runlli- 
de volume au point (ic, J^, ^). du système isostatique déformé par 
les forces F, F^^, F,^ (la barre surmontant la lettre ra est destinée 
à indiquer que ce potentiel est relatif au système isostatique). 
Au susdit système isostatique, supposé soustrait à l'action des 
forces F, F^^, Fj^ et de la variation de température, appliquons : 

1° Aux. points 

Al, A2, A3, .,., 

des forces auxiliaires^ de grandeurs quelconque^. 

^1, ^2, ^3, ..., 
suivant les directions 

^I) ^i- ^i, . ■ .'• 

2" Aux points 

((\,a\, a2,o.'.2, a-f,a,^ 

des forces loriuant des couples auxiliaires, de grandeurs quel- 
conques. 



3i2 PREMIÈUH TA uni-:. — BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE. 

daxes dirigées suivant 

11, r,, l\, .... 

Sous l'action de ces foixes et couples auxiliaires, le système 
isostatique prend un nouvel état de déformation; soient : 

X, , a!, , Vg, ..., es, ,c3!,, cSj, ... les nouvelles valeurs des dépla- 
cements projetés et des rotations projetées A|. Aj^^s? •••» 

'f I « 'f 2' 'fa? •••5 
£ , s' , £_, *'.., "1^, •'' les nouvelles valeurs des pai'amètres de la 

déformation d'un parallélépipède élémentaire pris en un point 

quelconque (x, y, z); 
^^ ^ le potentiel interne, rapporté à l'unité de volume au point 

(a:, y, z), potentiel qui a pour expression, d'après la formule (4) 
(n°4), 

n^ ^ le potentiel interne total du système, qui, d'après la for- 
mule (5) (n" 4-), a pour valeur 

U^ ^ — I I I m^ ^ dx dv dz . 

{A suuTe.) 



BULLiniN lîlBLIOGU AFRIQUE. 



CuLLis (G. E.). — Matrices and Deterninoids. \oL IL In-8, x\iv-5")6 pages. 
(University of Calcutla, Reader Ship Lectures.) Cambridge, at ihe 
Lniversily Press, 191 H. 



MÉLANGES. 3i3 



MELANGES 



LES MÉTHODES MODERNES DE LA RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX 

{fux): 

Par m. BERTRA.ND de FONTVIoLANT. 
Professeur à l'École Centrale des Arts et Manufactures. 



Faisons subii', au système isostatique ainsi déformé, une défor- 
mation virtuelle compatible avec les liaisons de ce système; el 

soient o>;j, oÀ',, ^^^^ •••5 ^'fn ^'f' ' ^'f'p •••' ^-ir^ ^-', • 0-;5 ^Yj;- ^Vsx- 
oY^ ., les variations virtuelles correspondantes des déplacements 
projetés, des rotations projetées et des paramètres de la défor- 
mation. Le théorème du travail virtuel donne immédialemenl 
Téquatlon 

il oX; -f- #î oX'2 -h iz sx;, -+-... -h Oj Stp; -t- z. o^p; + 3:, ocpjj 



/■/7( 



(9ra^ 9 '^^«^ 3 '^"^i z 



0£ 



^ [yz "(zx "[(y 



le premier membre de cette équation re[)résente, en etfet, le 
travail virtuel des forces et couples auxiliaires ('), et le second 
membre, qui est la variation virtuelle du potentiel interne n^ £. 
représente le travail virtuel, changé de signe, des forces inté- 
rieures. 

Or, la déformation virtuelle étant seulemenl astreinte à élre 
(;ompatll)le avec les liaisons du système isostalique considéré, on 
peut [)rendre, pour cette déformation, la déformation réelle sidjle 
par ce système, sous raction des forces F, F^^, \'\^ et de la varla- 

(') IjCS forces de liaison du syslèuie isostatique su[)|)osé soumis aux forces -J, 
'^21 'J's) ••• n'interviennenl pas dans l'expression du travail, attendu que les Ira • 
vaux virtuels de ces forces de liaison sont nuls, en raison de ces liaisons nicmes. 
Bull, des Sciences mathétn., 2' série, t. XLII. (Dec. 1918.) 2b 



3i4 PREMIÈRE PARTIE. 

tioii de température de t degrés, ce qui entraîne : 

-?3, ■••: 

^Y.V.r = 'i'.ty 
et. par suite, 

( b I ^i 1 1 -h ^i À, -!- 3'3 ^^3 -t- . . • H- ^l'f 1 — S 2 92 + ^3 'f 3 — • • • 



otp, = 91, 


O-io = Ço. 


ôî.'r =ïx— X-, 


0£^. == £_, 


ST;-. = Vrc, 


ôïki- = T=.f. 



.^ ,' "^ s r -I- -i 7-r— V < V / d^ dy dz 



étant admis que la variation de température - est la même en tous 
les points du système. 

Transformons les deux intégrales du second membre de l'équa- 
tion (6). En ce qui concerne la première, imaginons qu'au sys- 
tème isostatique on applique simultanément : 1° les forces F, 
IpsCtFjj; 2" les forces et couples auxiliaires 5^ et C, sans d'ailleurs 
•soumettre ce système à aucune variation de température: d'après 
le principe de la superposition, les paramètres de la déformation 
élastique produite par l'ensemble de ces forces et couples, ont 
|)()ur valeurs, en un point quelconque (x, y, ;), 

par suite, en désignant i)ar ro.. r. ,. -j ^ le potentiel interne 

I r^ l I-, l'es, I iS)-*, "i- i 

rap[)orté à l'unité de volume en ce point du système déformé |>ar 
les forces et coujiles précités, on a 

1,1 es, lis,-' , <^ ^' 

+ [x [(£x -h £.;. y- -H (e, -(- t'y y^('-z + £3 )*l 

+ ^ [^ Y.vr + y'v. »' + ^l'î.r + Yr.r)* "»- ( Y^r "t" Y.'r.v)*]- 

L'expression (a) de cip p ,. est une fonclion liomogène cl du 

second degré des six quaulili's Sj., ^'jy el, poui- passer de relie 

expression à celles (r/ ) et (a") de cjj ^ cl de Tn|.- |,- |.- 7 £, il 
suflit d'y remplacer ces six (juantités, d'abord par ;',., y'x^' 



MELANGES. 3ij 

puis par (^x + £L)----(Y.r) ■ + y^v) ! P*^ conséquenl, en vertu de la 
propriété des fonctions homogènes et du second degré déjà utilisée 
au n" 30, on a identiquement 

-^iT" '" "^ ■ ''"^ "^ïir '^"'^ "^F. l'es, Fu, ^, e " ('^I^ Fes^ 

En multipliant les deux membres de cette identité ^àr dx dy dz 
et en l'intégrant pour le volume total occupé par le système de 
corps, on obtient 

= "f, Fe., Fis, -1 3 ~ (" F, Fes, Fu -^ ".f , s)- 

C'est l'expression transformée de la première intégrale du 
second memlire de l'équation (6), expression dans laquelle 
ITc 17 c 1 Hf ^ et On. c- f représentent les valeurs du potentiel 

r, Tes, fis' ■•'■, "^ r. Tes, ris ^ ^ 

interne total du système isostatique, déformé respectivement 
par : i" les forces F, Fg^, Fjj 2" les forces et couples auxiliaires ? 
et S; 3" l'ensemble de ces mêmes forces et couples. 

Quant à la seconde intégrale de l'équation (/>), on peut écrire, 
en vertu des formules (()) (n° 4), 

= I / l {n'y.-\- n'y -\- ni) dx dy dz^ 

en désignant par /i^, /j^, n'. les fatigues normales sur trois élé- 
ments rectangulaires entre eux, menés en un point quelconque 
(ar, jKî ^) d" système isostatique soumis aux forces et couples 
auxiliaires .î et S. 

En remplaçant les deux intégrales du second membre de léqua- 
tion (6), par leurs expressions (c) et {d). et en écrivant le pre- 
mier membre sous forme abrégée, on obtient linalement 

(37) 2^'>^-^2!^^==VFe.F..i,8-("F,Fes,F.-^^f,3) 
^ oiz I I / ( n'c -+- n'y ■+- n'. ) dx dy dz. 



3i6 PREMIÈRE PARTIE. 

Nous retrouvons ainsi l'équation générale (3i) (n° 29) de 
l'élasticité des systèmes de corps isotropes. 

En reprenant la démonstration précédente dans le cas d'un sys- 
tème de corps à fibres moyennes, on retrouve également l'équa- 
tion (Sa) (n° 30), dont le développement conduit à l'équation 
générale (33) (même numéro") de l'élasticité des systèmes dont il 
s'agit 

(38) ^n-^'^eo =/[^^^^(i^--) +^.^ +...-orc,§] ds. 

L'application de cette dernière équation au calcul des dépla- 
cements et des rotations élastiques et calorifiques, ainsi qu'à la 
détermination des forces de liaisons des systèmes hyperstatiques, 
a été exposée précédemment (n°* 33 et 36); il n'y a pas lieu d'y 
revenir. 

39. Variantes de l'équatiojv géjnérale de l'élasticité. — 
I. Cas des systèmes de corps isotropes. — Pour établir, au n" 38, 
l'équation générale {^~ ) de l'élasticité des systèmes de cor|>s 
isotropes, nous avons considéré le système isostatique obtenu par 
la suppression des liaisons surabondantes du système hypersta- 
tique donné, et nous avons appliqué le théorème du travail virtuel 
à ce système supposé soumis aux forces et aux couples auxi- 
liaires 5^ et S, dont la grandeur est arbitraire, en prenant, comme 
déplacements virtuels, les déplacements réels résultant de la 
déformation du système byperstatique soumis aux forces données V 
et à la \ariation de température donnée t. 

Si l'on reprend exactement la même démonstration en consi- 
dérant non plus ce système isostatique, mais le système liypersta- 
tique donné, on obtient la variante que voici do l'i/qu-ititui (3-), 

(39) ^SX+^Z'^ 

= "F,.f,G — ("F^-"i,£) — ^" / / / {n",-^n"y-\-nl)(lx(lyctz. 

en désignant par /i^, iiy^ n". b's ratiguc> uoriiuib's sur trois ('b*- 
menls rectangulaires, menés en un pctint (jiudconc|ue (-î", J', ^) 
du système hyperstati(|ue soumis aux forces cl conplrs auxi- 
liaires ,f et S. 



MÉLANGES. 3i7 

Si, enfin, on reprend encore la même démonslration, en consi- 
dérant le système isostatique inlérieurement et complètement 
libre extérieurement, obtenu par la suppression des liaisons 
surabondantes intérieures et de toutes les liaisons extérieures du 
système hyperslatique donné, et en supposant ce système soumis, 
non plus à des forces et couples auxiliaires de grandeurs absolu- 
ment arbitraires, mais à des forces et couples auxiliaires ^ et S 
astreints à la condition de s'équilibrer sur ledit système, on 
obtient la seconde variante 

(40) 2^^^^2^' ""f'Fe'f-''^'^ 

-(nF,Fe,Fi,+ %3) 

— 'xz I I f {n%-h n'y-h 71; ) dx dy dz, 

dans laquelle : ffp p^ p.^, ÏÏ^ 3 et Dp p^ p.^^ c^ désignent respecti- 
vement le potentiel interne total du système isostatique intérieu- 
rement et complètement libre extérieurement déformé par : 1" les 
forces F données, toutes les forces de liaisons extérieures F^ du 
système hyperstatique donné et les forces de liaisons intérieures 
surabondantes F,-^ de ce dernier système; 2" les forces et couples 
auxiliaires # et S; 3" l'ensemble de ces forces et couples ; 

/i™, /i'"., n'I sont les fatigues normales, sur trois éléments rectan- 
gulaires menés en un point quelconque (ic, y\ z) du système 
isostatique intérieurement et complètement libre extérieurement 
soumis aux forces et couples auxiliaires 5^ et G. 

lï. Cas des systèmes de corps à fibres moyennes. — Aux 
deux variantes, qui viennent d'être indiquées, de l'équation géné- 
rale (3-) (n° 38) de l'élasticité des systèmes de corps isotropes, 
correspondent deux variantes de l'équation générale (38) (même 
numéro) de l'élasticité des systèmes de corps à fibres moyennes. 

Ces deux dernières variantes montrent que, dans l'équation (38), 
on peut, à volonté, considérer les éléments de réduction ^L, 
5.^^, . . . , OlLr, comme résultant soit de l'application de forces et 
couples auxiliaires § et S, de grandeurs arbitraires, au système 
isostatique défini précédemment, soit de l'application de ces 
mêmes forces et couples au système hyperstatique donné; soit, 
enfin, de l'application, au système isostatique intérieurement et 



3i8 PREMIERE PARTIE. 

complètement libre extéiieurement^ défini précédemment, de 
forces et couples auxiliaires § et G astreints à la condition de 
s'équilibrer sur ce système. 

G est au dernier de ces trois points de vue que nous nous 
sommes placés dans notre Mémoire déjà cité sur l'équation géné- 
rale de C élasticité et ses applications; ici, nous avons adopté le 
premier, parce qu'il rattache d'une manière plus directe la seconde 
méthode fondée sur le tliéorème des forces vives, à la méthode 
fondée sur le théorème du travail virtuel. En ce qui concerne la 
facilité des applications, ces deux points de vue sont d'ailleurs 
absolument équivalents : eflectivement, qu'on choisisse l'un ou 
l'autre, les éléments de réduction 3b, Çr,, .... Ollç sont toujours 
statiquement déterminés et, par suite, se calculent aisément. 

Le second point de vue n'a qu'un intérêt purement théorique. 

Théorème de Betti, Boussinesq et Maurice Levv, 
complété. 

40. Ce théorème découle immédiatement de l'équation <;énérale 
de l'élasticité. Considérons vin système de corps isotropes ou à 
fibres moyennes; supposons-le hyperstatique (le cas d'un système 
isostatique sera regardé comme cas particulier; celui d'un corps 
unique, également). 

Appliquons-lui un premier système de forces (A). Soient : 
m le nombre de ces forces, F^ Tune quelconque d'entré elles, 
A/ son point d'application. A/ sa direction, Wy^ le potentiel interne 
total du système de corps déformé par ces forces. 

Remplaçons le système de forces (A) par un second système de 
forces (B). Soient : n\e nombre des forces de ce second système, 
Fg. l'une quelconque d'entre elles, B/ son point d'application, 
Ag. sa direction, W^^ le polouticl interne total du système de corps 
déformé j)ar ces forces. 

Appelons : 

A^. la projection, sur la direction A;^ , (\\\ {h''|)laccment élastique 
du point A/ sous l'action du syslèuie de forces (B); 

\^. la projection, sur la direction A„ , du déplacement élaslicjuf (hi 
poitii M/, sous l'aclion <]u svstème de forces (A); 



MÉLANGES. 819 

"fa Fk **'^' ^t,. F ^'^ \aleiirque px'entli'alt le potenllel inlernc total du 
svstrme (le corps, si celui-ci était déformé par les deux systènie>. 
de forces (A) et ( B) agissant >iinultaaéinent. 

Cela posé, la variante (Sg) (a° 39j de réquatioii générale de 
l'élasticité, si Ion y annule la variation de température t, qui 
n'intervient pas dans la question présente, et si l'on y annule égale- 
leuient les couples auxiliaires £, se réduit à 

Cette équation appliquée à la déformation du système de corps, 
par le système de forces (B), donne immédiatement, si l'on prend 
c<jmme forces auxiliaires S, les forces du système A, 

/ z= III 

/= 1 

Appliquée à la déformation du système de corps, par le système 
de forces (A), cette même équation donne, si l'on prend comme 
forces auxiliaires les forces du système (B), 

Les deux relations (a) et [b) sont précisément celles [e) et (/) 
(n" 26) qui se traduisent par le théorème de Betti, Boussinesq cl 
Maurice Levy, complété. 

- ipplication de V Equation générale de V Elasticité, 
à la Statique graphique des arcs élastiques. 

41. Dans son magistral Traité de Statique graphique. Maurice 
Levy a exposé de très reuiarquahles méthodes graphiques, pour le 
calcul des arcs élastiques, astreints à des liaisons surabondantes et 
soumis à des forces extérieures agissant dans le plan de leur lil)r(' 
moyenne, ainsi qu'à une variation de température. 

Ces méthodes ne tiennent compte que des déformations élas- 
tiques correspondant au couple de tlexion; elles négligent celles 
correspondant à l'elTort normal et à l'etFort tranchant. 



320 PREMIERE PARTIE. 

Elles sont fondées sur les propriétés que possèdenl des forces 
fictives parallèles entre elles, appliquées à chaque élément ds de 

la fibre moyenne de l'arc et égales à ^ds^ M désignant le moment 

de flexion dans la section d'abscisse curviligne s, \ le momeni 
d'inertie de cette section et E le module d'élasticité longitudinale 
de la matière constituant Tare. Ces propriétés, particulières à 
chaque type d'arc, résultent des conditions auxquelles celui-ci 
est astreint, dans sa déformation élastique, du fait de ses liaisons 
surabondantes ; elles sont établies, dans le Traité de Maurice Eevv, 
au moyen des expi^essions des déplacements élastiques, obtenues 
par les méthodes géométriques et cinématiques de calcul des 
déformations; elles se déduisent, d'ailleurs, plus simplement de 
l'équation aux liaisons surabondantes (n° 36) ou (ce qui, au fond, 
revient au même), de l'équation générale de l'élasticité des sys- 
tèmes de corps à fibres moyennes, 

(„) ^i-,^z,^j\^{±^-.;)^^i^^^^,., 

réduite à 

'^) ^-^^^-+-2^^ = — U-. I DX, ds -\- j OIV^ f/5, 

par la suppression des termes correspondant aux déformations dues 
à l'ertort normal N et à l'efTort ti-anchant T. 

Le degré d'approximation qu'on obtient en négligeant ces 
déformations peut souvent être considéré comme suffisant; mais, 
dans certains cas, notamment lorsqu'il s'agit d'arcs surbaissés, il 
n'en est plus de même et il est alors nécessaire de tenir compte, 
sinon des déformations dues à l'elTorl tranchant qui sont toujours 
les plus faibles, du moins de celles dues à l'efl'ort normal. On 
peut j parvenir par des correctifs assez simples qui, tout en n'alté- 
rant en rien la contexlure des méthodes graphiques, permettent 
d'y faire intervenir, à volonté, soit seulement ces dernières défor- 
mations, soit également celles dues ;» l'eUbrl Ir.iuchanl ('). \ Oici 
comment : 



(') Uriithand I)i: I'"ontviolant, Mémoire sur la Staticjitc i(rap/ii</ue des arcs 
tlastif/urx (Comptes rendus dr l'Académie des Sciences, l. C.\, 1^9'". p. (>()-, cl 
liullrliii de la Société des Ingénieurs ri^-ils de France, iiviil iH()0. p. f^o'^). 



MÉLANGES. 



321 



42. Inlroductioii des déformations dues à L effort normal. 
— /■ désignant le rajon de gixation d'une section quelconque (S) 
de l'arc, autour de l'axe mené par le centre de gravité G de celte 



Fi g. \. 




section i fig. \) normalement au plan de la fdire moyenne, portons, 
sur l'intersection de ce plan avec celui de la section (S). 

GH'= GW=r. 
Appelons : 

Points conjugués relatifs à la section (S), les deux points H' 
et H" qui ne sont autres que les deux sommets de l'ellipse centrale 
d'inertie de la section; 

Lignes conjuguées^ les deux lieux A'B' et A"B" des points H' 
et H" relatifs à toutes les sections de l'arc; à chaque élément ds de 
la fibre moyenne AB de l'arc correspondent deux éléments ds' 
et ds" des lignes conjuguées; 

Moments conjugués relatifs à la section (S), les deux sommes 
respectives des moments, par rapport à H' et à H", des forces élas- 
tiques développées dans cette section (ou des forces extérieures 
agissant à gauclie de cette même section); 

M' et M' les valeurs de ces moments, dans l'arc liyperstatique 
considéré, soumis à des forces extérieures données F et à une 
variation de température t; 

.'Te' et d\\" les valeurs de ces mêmes moments, dans l'arc isosta- 
tique, obtenu par la suppression des liaisons surabondantes de 
l'arc hyperstatique, et soumis à des forces et couples auxiliaires ^ 
et e. 

On a immédiatement 

M'=M + Nr, M"=M — Nr; 



V2-2 


PREMIER 


E PARTIE. 


d'où 








M— M" 
-\ = > 


■2 


De même. 








3b = > 


,,.^,T.+OIV 



Or. l'équation générale (a) (n° -41), suppression faite du terme 
correspondant aux déformations dues à l'etïort tranchant, peut 
s'écrire 

En remplaçant, dans la seconde intégrale, les ellorts normaux 
et les moments de flexion par leurs expressions ci-dessus, et en 
ayant égard à la relation I = Qr-, on obtient, après réductions, 

les intégrales s'étendantà la longueur totale de la fibre moyenne AB 
de l'arc. 
Posons 

et convenons de représenter indistinctement par : 

M' l'un ou l'autre des deux moments conjugués M' et M"; 
;)rt' l'un ou l'autre des deux moments conjugués ."Jll.' et ;^l\."; 
ds' l'un (tu l'autre des deux éléments ds' et ds" des deux lignes 
conjuguées, correspondant à un élément ds de la fibre moyenne. 

Moyennant cela, on peut écrire 

M' ils 



(c) 



2*>-2^^=— /'^"^-/>'-^'lf.^"- 



la seconde intégrale s'élendant à la longueur totale des deu\ lignes 
conjuguées A'B' et A"B". 

En comparant l'équation (b) (n" il) qui néglige les déforma- 
tions dues à l'eflort normal, à l'équation (c) (jui en tient conjpte, 
on voit que, pour passer de la preuiièrc à la secontle, il suffit d'y 
remplacer les moments de flexion M et .'^IL par les moments cou- 
jugués M' et .">lt', les moments «linerlic I. par l'=^2l, et il'v 



MÉLANGES. Î23 

regarder la seconde intégrale comme élendue non plus à la lon- 
gueur tolale de la ligne moyenne, mais bien à la longueur totale 
des deux lignes conjuguées. 

On peut, dès lors, concevoir, sans entrer dans la démonstralicjn 
donnée dans notre Mémoire sur la Statique graphique des arcs 
élastiques, que : 

Pour introduire les déjorinatious dues à l'ejjort no}inal, 
dans les méthodes de la Statique graphique qui les négligent^ 
il suffit de remplacer ^ dans ces méthodes^ les forces ficti\es 

M 

parallèles -Frrds, appliquées aux divers éléments ds de la fibre 

moyenne de Varc considéré^ par des forces fictives 

M' ds _, , M' - 

parallèles aux premières et appliquées à chaque élément ds' 
des deux lignes conjuguées. 

43. Introduction des déformations dues à l'effort normal et 
à V effort tranchant. — Appelons points conjugués relatifs à 
une section quelconque (S), de centre de gravité G {fig- 5 ), les 
ti'ois points H', H" et H'" qui, situés dans le plan de la fibre 
moyenne, ont pour coordonnées rapportées à la tangente Qx l\ 
cette fibre et à la normale G )' : 

, /• 1/2 a , r v/6 
X = — ^ — , y = -— , 



/• v^i a ,, r i/6 

x" = , y =: j 

2 "^ 2 

x'" =:■ — /• y/a « , y ^^ ^) 

a désignant le rapport du module d'élasticité longitudinale E au 
module d'élasticité ti^msversale G. 

Dès lors, par analogie avec ce qui a été dit précédeuiuient. l'arc 
admet trois lignes conjuguées A'B', A"B", A"'B"', et à chaque 
élément ds de sa fibre moyenne, correspondent trois éléments «/.n', 
ds" et ds'" des lignes conjuguées; île plus, à toute section (^S) 
répondent trois moments conjugués. 



024 



PREMIÈRE PARTIE. 



Soient 



M', M", M"' les valeurs de ces moments, dans l'arc liyperstatique 
considéré, soumis à des forces extérieures F et à une variation 
de température t; 

.'Tl', DIL", DVC" les valeurs de ces mêmes moments, dans l'arc iso- 
statique, obtenu par la suppression des liaisons surabondantes 
de l'arc hyperstatique et soumis à des forces et couples auxi- 
liaires ^ et S. 

Fis. 5. 




On a immédiatement 



D'où l'on tire 



M 



" = M-N^-f- 



/• \/ ■>. a 



M"'= I\I _T /•/;.«. 



N = 
T = 
M = 



I\I'— IM" 



/ 


Vô 




M' 


-f-M"- 


-2 M" 




3r\/ÏM 


M' 


-hM"-^ 


- M'" 



De même, 



dL 



fo = 



on = 



MELANGES. Sa: 

011 ' — 0)1" 

rs/Q 
mi' + OlL"— 2DII'" 



3/' v/â^ 

niL' -4- Ole "4-011" 



En portant ces valeurs des efforts normaux, des efforts tran- 
chants et des moments de flexion, dans la seconde Intégrale de 
l'équation générale (a) (n" il) écrite sous la forme 

E 
on obtient, en tenant compte de ce que « = — et de ce que 1 = 0/'-, 

les intégrales s'étendantà la longueur totale de la fibre moyenne AB 

de l'arc. 

Posons 

r=3I 

et convenons de représenter indistinctement par : 

M' l'un quelconque des trois moments conjugués M', M" et M'"; 

oïl' l'un quelconque des trois moments conjugués OÏL', OÏL" et OÏL'''; 

ds' l'un quelconque des trois éléments ds', ds" , ds" des trois lignes 

conjuguées, correspondante un élément f/5 de la fibre moyenne. 

Dès lors, on peut écrire 



{d) ^§ \ -^2 ® * = - aT Ab cls H- f ; 



,,. , M' ds , , 



la seconde intégrale s'étendantà lu longueur totale des trois lignes 
conj uguées A' IV, A" B", A'" B"'. 

Cette équation est exactement de même forme que l'équation [c). 
et l'on en conclut, comme précédemment, que : 

Pour i/itrodaire les dèj'ovinatlons dues à l'ejfort normal et 
à l'effort tranchante dans les méthodes de la Statique gra- 
phique qui les négligent, il sufjit de remplacer , dans ces 



326 PREMIÈRE PARTIE. 

méthodes, les forces fictives parallèles ^ds appliquées en 

chaque élément ds de la fibre moyenne de l'arc, par des forces 

ficthes 

M' ds , , M' , 

parallèles aux premières et appliquées éi cliacjue élément ds' 
des trois lignes conjuguées. 

Ajoutons qu'ainsi qu'il est établi dans notre Mémoire précité, k 
une section de l'arc ne correspond pas qu'un seul système de trois 
points conjugués, mais bien une intinilé, el. par suite, une infînilé 
de systèmes de Irois moments conjugués; qu'un arc admet, par 
conséquent, une infinité de systèmes de trois lignes conjuguées. 
La proposition ci-dessus est applicable à l'un quelconque de ces 
systèmes ; mais le plus commode entre tous, à utiliser dans les 
applications, est celui défini plus haut. 

Observations finales. 

44. De l'exposé qui précède se dégagent les quelques remarque-^ 
suivantes : 

Les mt'thodes présentées sont entièrement concordantes el 
toutes trois tiennent compte non seulement des ellets des forces 
extérieures, mais aussi des eft'ets calorifiques. 

Bien qu'ayant entre elles des rapports étroits, elles n'ont ni la 
même portée ni le même caractère tliéoncpies : 

La première conduit, comme les deux autres, aux principes de 
réciprocité qui sont dans des cas |)articuliers du théorème île Betli, 
Boussinesq et .Maurice Le\v; mais, dans sou ('tat actuel, elle ne 
permet d'établir directement ni ce beau théorème, ni l'équation 
générale de l'élasticité, synthèse de toute la théorie des déforma- 
tions; elle est donc, à cet égard, moins satisfaisante que les deux 
dernières. 

Au j)oinl de vue de l'exposé, cette première métliotk', fondée 
sur le tli(''orèmc des foices vives, est assez (h'Iieale. du moins dans 
la partie relative aux d<'rorm;Uions ealoriliques, (|ui nécessite 
l'extension faite ici de l'équation de (îlapeyron. La seconde 
mi'liiodc, également dt'-duile du th('-orème des forces vives, est, au 



MELANGES. 39.7 

contraire, simple et élémentaire. La troisième, tirée du théorème 
(lu travail virtuel, tait appel à des notions de Mécanique ^éné- 
rale plus élevées, mais elle permet de mettre eu compte, dès le 
début et simultanéuient, les déformations calorifiques et les défor- 
mations élastiques. 

A cette troisième méthode il a été reproché de reposer sur une 
base peu solide, parce qu'il n'existerait pas. a-t-ondit. de démons- 
tration rigoureuse du théorème du travail virtuel. Sans entrer, hcf 
sujet, dans une discussion qui ne saurait trouver place ici. nous 
croyons devoir rappeler que, dans l'une des Notes dont il a illustré 
la Mécanique analytique de Lai;range ('), l'un des mathéma- 
ticiens les plus subtils du siècle dernier, Joseph Bertrand, s'ex- 
prime ainsi : « La première démonstration rigoureuse à\x principe 
des vitesses virtuelles est due à Fourier [Journal de V Ecole 
Polytechnique, t. II, an VII). >> Au surplus, dans les nombreuses 
applications qui en ont été faites, le théorème du travail virtuel 
n'a jamais, que nous sachions, été trouvé en défaut, et, ainsi qu'il 
ressort de la présente ?sote. les résultats auxquels il conduit, en 
ce qui concerne spécialement les calculs de déformation, sont 
entièrement d'accord avec ceux déduits du théorème des forces 



ADDITION A LARTICLE DE M. C. DE WAARD (2;. 

La perte de trois figures eu chemin de la Hollande pour la France, étant 
parvenue trop tard à la connaissance de la rédaction et de l'auteur par la 
difficulté des communications postales à cette époque, on s'était contenté 
de mettre les notes qu'on trouve aux pages 172 et ijS. Nous faisons ici 
suivre les trois figures relatives au texte de ces pages ('), en saisissant loc- 

(') Œuvres de Lagrange (publiées pur les soins de J.-A. Serret et Gaston 
Darboux), t. XL 1888, p. 263. 

(-) Voir Bulletin des Sciences mathématiques, 2« série, t. XLIF, >9i6, 
p. 15--177. 

(') Nous remarquons que Beauijrand, dans sa description de la Parabole de 
Descarlcs à la page 172, suppose un système de coordonnées rapportées à un 
diamètre et la tangente à l'extrémité de ce diamètre comme l'avait fait Apollo- 
nius {Conica. I, 11, 1"2, 13, éd. Ileiberg, l. p. 3(3-53): c'est à ce système aussi 
que se rapportent les mots de ordonnées et de sommet. 



328 



PREMIÈRE PARTIE. - MÉLANGES. 



casion de signaler que, page 172, ligne 24, il faut lire GS au lieu de CB et 
que tous les derniers quatre termes du nominateur de la fraction seconde 




Fig. 2 (p. 172). 




0/DE A 




à la lin de l'avan t-dernière ligne doivent rire multipliés |)ar o; cnlin quo, 
page iG3, ligne î, il faut lire i yyao au lieu de yyao et, page 174, ligne 5, 
il faut lire VA. an lieu de SI.. 0. dk Wwiio. 



TABLES 

Di:s 

MATIRRES ET NOMS D'AUTEURS. 

TOME XLH: 191S. — l'REMIÈRE PARTIE. 



TABLli ALPHABÉTIQUE 

DES AUTEURS. 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 

Pages. 

Fabry ( E.). — Problèmes de Mécanique rationnelle 68-72 

HuMBERT (P.) . — Sur les surfaces de Poincaré. Thèse 221-220 

Jordan (C). — Cours d'Analyse de l'Ecole Polytechnique 98-100 

JuLiA (G.). — Etude sur les formes binaires non quadratiques à indé- 
terminées réelles ou complexes, ou à indéterminées conjuguées 5-9 

Laxchester ( F. W.). — Le vol aérien i8'7-i92 

.Mac-.Mahon ( Major Percy A.). — Combinatory Analysis 87-^0 

Michel (Ch.). — Cours d'Algèbre et d'Analyse 126-129 

Myrbeug (P.-J.) — Zur Théorie der Konvergenz der Poincareschen 

Ileihen 9-1 1 

Ocagne (M. D). — Cours de Géométrie pure et appliquée de l'Ecole 

Polytechnique 182-186 

Picard (E.). — (Ji-luvres de Charles H ermite i35-i2'J 

Picard (E.). — Les Sciences malliémaliques en France depuis un 

demi-siècle 181-182 

Rey Pastor (J.). — Fundamentos de la Geometria projecliva superior. 61-6S 

— Teoria de la represenlatio conforme 281-2.^5 

Stadler (S.). — Sur les systèmes d'équations aux différences finies 

linéaires et homogènes. Thèse 228-22 j 

Tychoms Brahe Dani. — Scripta astrononiica 201-209 

Whittaker ( E. T.). — A Treatise ou the analytical Dynamics of par- 
ticles an rigid bodies whitli an introduction to the problem of lliree 

bodies 1 i-r.> 

Bulletin biblio(;raphique 36, 2.|0. 3 12 

Bull, des Sciences niathéni., 2' série, t. XLH. (Décembre 1918.) 26 



33o PREMIÈUE PARTIE. 

MÉLANGES. 

l'ages. 
Bertrand de Fontviolant. — Les niélliotles luoclernes de la résistance 
des matériaux j^i-aSo. 285-3i3. oiS-oj; 

BiUKHOFF (G. D.). — Sur la démonstration directe du dernier théo- 
rème de Henri Poincaré, par IVI. Dantzig 4 '-4'^ 

BoTTAsso (M.). — Quelques remarques sur le système vectoriel de 

JMM. Burali-Forti et Marcolongo .>3i-23.î 

Brillouin (M.). — Sources électromagnétiques dans les milieux 
uniaxes i3-3G 

BuHL (A.). — Sur les sommes abéliennes de volumes cylindro- 
coniques Kjcj-aoo. •>oi)-.îij 

FuKcHET (M.). — Sur la notion de voisinage dans les ensembles 
abstraits i38-i5<> 

GoNSETH (F.). — Un théorème i-elalif à deux ellipsoïdes confocaux. 

177-180, iqS-ij)^ 

.(ui.iA (G.). — Sur les valeurs limites de l'intégrale de Poisson relative 

à la sphère en un point de discontinuité des données v>i4-2-'o, a26-i>3i 

Lalesco (Th.). — Sur l'addition des noyaux non orthogonaux icjô-ig;) 

Petrovitcii ( M.). — L'aire des surfaces de révolution .?34-a4o 

Vergne (H.). — Théorie élémentaire du mouvement de précession et 
de la déviation des projectiles ioo-12'i, i3o-i37 

ViLLAT (H.)- — <)uelques récents progrès des théories hydrodyna- 
miques 4^~^^f . 71-9 ' 

Waard ( C. de). — Un écrit de Beaugrand sur la méthode des tan- 
gentes de Fermât à propos de celle de Descartes i. '17 -177, 837-328 



TABLE ALPHABÉTIQUE DES NOMS D'AUTEURS 



D'ANALYSES. 



Appell (P.)- 12 I. 
Cahen ( E.). 3;. 

COTTON (E.). I t . 
HUMBERT (G.), T, 

Kœxigs (G.), 68. 

I.ATTÈS ( F.), 126. 



Lebesgue ( H.), 93. 

MONTEE (P.), 281. 

NôRLUXD ( N. E.). 9. 

PÉRÈS (J.), 61. 

Picard (E.), i.j'>. 

ViLLAT (H.), 1*^7- 



FIX DES TABLES DK l-A PREMIERE PARTIE DU TOME XLII. 



PARTS. - IMPRIMERIE GA UTH I E H-VI LLA RS ET C, 
58498 Quai des Graiids-Auguslins, 55. 



BULLETIN 



SCIENCES MATHÉMATIQUES. 

(SECONDE PARTIE.) 



COMMISSION DES HALTES ÉTUDES. 



MM. Emile PICARD, Président. 
P. APPELL. 
E. BOREL. 
J. HADAMAKD. 
E. GOURSAT. 
M. BRILLOUIX. 
A. GUILLET, Secrétaire. 



AVIS. 

Toutes les communications doivent être adressées à M. Emile Picard, Secré- 
taire perpétuel de l'Académie des Sciences, rue Joseph-Bara, n" 4, Paris, VI*. 



«Si'jS l'aris. — lMi|jriiiicriL LiAuriiii.ii-\'ii • " - ' i '' , .|uai des LiraiiJs-AUjUollii.'-, 



BIBLIOTHÈQUE DE L'ÉCOLE DES HAUTES ÉTUDES, 

PUBLIÉE SOUS I.ES AUSPICES DU MINISTÈRE DE l' INSTRUCTION PUBLIQUE. 

BULLETIN 

DES 

SCIENCES MATHÉMATIQUES, 

RfiDlGÉ PAU MM. É. PICARD ET P. APPELL, 



AVEC LA COLLADOnATION DE 



MM. BRILLOUIN, E. CARTAN, J. DRACH, E. GOURSAT, C. GUICHARD, J. HADAMAR; , 
G. KŒNIGS, G. LORIA, S. RINDr, H. G. ZEOTHKN, ETC., 

ERN. LEBON, Secrétaire de la Rédaction. 

Sous la direction de la Commission des Hautes Études 

PlItMCATION FOXDKK liX 1870 PAU M. G. DAIIROIX, 

CONTINUÉE DE 1871 A iSyS PAR MM. G. DARBOl X ET J. HOUEL, 
DE 1876 A 1886 PAR MM. G. DARBOUX, J. HOUEL ET J. TANNERY, 

DE 1886 A igoâ PAR MM. G. DARBOUX ET J. TANNERV, 

DE 1905 A I91O PAR MM. G. DARBOUX, É. PICARD ET J. TANNKRY, 

ET DE 19IO A 1917 PAR MM. G. DARBOUX ET É. PICARD. 



DEUXIEME SÉRIE. 
TOME XLII. - ANNÉE 1918 

(l.IIl' VOLUME DR 1,A COLIT-CTION . ) 



SliCONDE PAiniK 




PARIS, 

GAUTHIEU-VIIXARS ET C". ÉDITEURS, 

LIBRAIRES Di: IIUREAU DES LONGITUDES, DE l'ÉCOLE POLVTECMNIQUE, 
Quai «les Grands-Aiigiistins, 55. 

1918 



BULLETIN 



SCIENCES MATHÉMATIQUES. 



SECONDE PARTIE. 



REVUE DES PUBLICATIONS ACADÉMIQUES 
ET PÉRIODIQUES. 



AVIS 



A MM. LES RÉDACTEURS d'ANALYSES DE MÉMOIRES 

POUR LA « Revue des Piblications académiques et périodiques ». 

Il semble nécessaire de modifier, dans le Bulletin des Sciences 
mathématiques^ la façon dont a été conçue parfois l'analyse des 
Périodiques. Ces analyses doivent être courtes, ayant au maximum 
une page pour chaque Mémoire. Une analyse bibliographique ne 
peut remplacer la lecture d'un Mémoire. Il importe seuiemeut 
que le lecteur du Bulletin apprenne l'existence d'un travail 
susceptible de l'intéresser, avec son objet général et un ou deux 
énoncés principaux, s'il y a lieu. Presque personne ne lit en- 
tièrement les analyses quand elles contiennent trop de détails. Le 
point essentiel est que de nombreux journaux soient analysés, et 
le plus rapidement possible après leur apparition. C'est seulement 
ainsi que le Bulletin rendra tous les services qu'on peut attendre de 
lui, en ce qui concerne le dépouillement des Recueils scientifiques. 

Pour des Mémoires très importants, des analyses pourront ctre 
faites à part dans la première Partie du Bulletin comme pour les 
Ouvrages. II y a aussi grand intérêt à ce qu'un groupe de travaux 



6 SECONDE PARTIE. 

récents relatifs à un même sujet fasse de temps à autre l'objet 
d'un article d'ensemble; ces sortes de Pievues seraient très 
appréciées de nos lecteurs. Nous ne doutons pas cjue les colla- 
borateurs du Bulletin voudront bien apporter tous leurs efforts 
à l'amélioration d'un Pvecueil qui doit s'etForcer de tenir le public 
malhématique, en Fiance et à l'étranger, au courant des publi- 
cations les plus récentes, en même temps qu'il donne dans ses 
Mélanges des articles originaux. 

Rappelons que, pour tout Ouvrage ou Mémoire écrit en langue 
étrangère, le titre original doit d'abord être transcrit et que ce 
titre doit être suivi, entre parenthèses, de sa traduction en français. 

Emile Picard. 



ACTA MATHEMATICA, 

Tome 27 (igoS) (i). 

(Ce Tome des Acta est consacré à la mémoire d'Abel et se termine 
par le fac-similé d'un manuscrit d'Abel.) 



Painlevé {P-)- — Sur les fonctions qui admettent un théorème 
d'addition (i-54). 

Le théorème à démontrer est le suivant : 

Tout système de n fonctions {indépendantes) à n variables qui admet un 
théorème d'addition est une combinaison algébrique de n fonctions abéliennes 
{ou dégénérescences) à n arguments et aux mêmes périodes. 

Pour deux variables (la méthode est identique pour un nombre quelconque), 
ce théorème se ramène au suivant, énoncé par \\ cierstrass sans démonstration : 

f( Soient u — l{x. y. z). v ■=■ i{x, y, z) deux intégrales de différentielles 
totales attachées à une surface 'è>{x,y. z) = o, et qui possèdent au plus trois 
couples de périodes. Si les fonctions inverses x{Uy v), y{u, v), z{u, v) ren- 
ferment rationnellement les constantes initiales ( x... t„, r„), ce sont des 
fonctions hyperellitiques dégénérées ». 

(') Voir Bull, des Se. math., t. X.VXVI,, p. léb; t. WWIL, p. y. L'analyse 
du Tome 2G. étant dans les papiers d'un des rédacteurs qui a été mobilisé et 
qui a disparu, sera publiée seulement lorsque l'on saura ce qu'est devenue celte 
analyse. La rédaction remercie M. Michoux d'avoir bien voulu analyser le 
Tome 27. Voir les Analyses des Tomes 28 et suivants à partir du TomcXLI du 
Ilulletin, p. 55. 



REVUE DES PUBLICATIONS. 7 

La difficulté de la démonstration consiste dans la discussion des courbes 
polaires d'une intégrale de diflërentielle totale. 

L'étude précédente permet de déterminer la nature des fonctions inverses j;, 
y, z de u et v et ce théorème trouve >on application dans la théorie des équa- 
tions différentielles du deuxième oidre dont l'intégrale générale renferme algé- 
briquement tes deux constantes. 

Liouville (B.). — Sur une équation différentielle du premier 
ordre (55-78). 

Il s'agit de l'équation déjà considérée par Abel 

où /?, q, r, s sont des fonctions de x. 

I. L'auteur définit des invariants absolus et la ramène ainsi à une forme 
canonique. 

IL II examine ici les différents cas d'intégration. L'équation considérée par 
Halphen dans la théorie des fonctions elliptiques peut s'y ramener. 

m. On peut enfin rapprocher de cette équation la suivante ; 

dv 



dx 



2 y- ji- X- — n^x i -^ o /i. j-'- 



Cette équation ne peut pas avoir d'intégrale algébrique. 

IV. L'auteur étend les cas d'intégration du deuxième paragraphe a un 
S3stème de trois équations linéaires aux dérivées partielles du deuxième 
ordre. 



Koch [H. von). — Sur le prolongement analytique d une série de 
Tajlor (79-104)- 

M. Mittag-Leffler a défini ce qu'il appelle V étoile principale pour une série 
entière 

Co -(- Cl ( z — a ) -f- c. ( .: — a )= + 

L'auteur définit une étoile meromorpbe, qui est l'étoile la plus étendue à 
l'intérieur de laquelle la branche /(■=) de fonction analytique définie par une 
telle série reste méroniorphe. 

Il forme ensuite une expression de /(~) valable en tout point régulier inté- 
rieur à celte étoile. Les formules obtenues permettent de décider si un point de 
l'étoile méromorphe est régulier ou singulier pour la fonction /(«). 

Volterra {V-)- — Sur la stratification d'une masse tluide en équi- 
libre (io5-i24). 



8 SECONDE PARTIE. 

Dans ce Mémoire il est établi qu'il n'existe aucune figure d'équilibre pour un 
ellipsoïde hétérogène stratifié par couches homothétiques et concentriques, la 
densité (et ce 'point constitue la difficulté de la question) étant soumise à la 
seule condition d'être une fonction intégrable. 

Des résultats de ce genre, quoique négatifs, sont d'un gros intérêt en Méca- 
nique céleste. 

Stàckel {P-)' — Beweis eines Satzes von Abel ûber die Glei- 
chung x"-hy'^ -i- z"=^ o. (Démonstration d'un théorème d'Abel 
sur l'équation x"-^y"-h z" = o) (i25-i28). 

X, y^ z désignent des entiers non nuls positifs ou négatifs et n un entier 
premier impair positif. L'auteur démontre les formules données par Abel sans 
explicati'ons. 

Goursat {E .). — • Sur un problème d'inversion résolu par Abel 
(129-134). 

L'équation fonctionnelle 

, . r" f{x) dx 

riaj=J^ ^^^-^ry ("<"<■) 

est ici résolue par la considération d'intégrales doubles. 

Baker [H. -F.). — On a system of diflerential équations leading 
to periodic fonctions. (Sur un système d'équations diflférentielles 
résolu par des fonctions périodiques) (i35-i56V 

Ce Mémoire contient uue solution élémentaire et uniquement algébrique d'un 
système d'équations difTérentielles satisfaites par toutes les fonctions hyperel- 
liptiques sigma, système donne sans démonstration dans les Proceedings of 
Cambridge, vol. LX, part XI, 1898, p. bi3. La méthode suivie est en connexion 
avec la théorie des intégrales de différentielles totales de M. Picard; elle 
permet de généraliser les fonctions sigma, et, en particulier, de faire la géo- 
métrie de la surface quartique de K uni mer. 

Bevry (A.). — A généralisation of a tlieorem of M. Picard with 
regard to intégrais of the lirst kind of total difl'crentials. (Une 
généralisation d'un théorème de M. Picard concernant les 
intégrales de première espèce de difTérentielles totales) (107- 
1Ô2). 

Pour qu'une surface d'ordre n admette une intégrale de dincrciUiellcs totales 
de première o?pcce, il est nécessaire qu'elle satisfasse à certaines conditions. 
Inversement, si cette surfjce admet une telle intégrale de première espèce, elle 



IlliVUI'; DliS IMJIMMCATIONS. 9 

doit avoir au moins un point singulier. L":iuteur se propose d'étudier les 
conditions, d'.iilleiirs tri'-^ mai connues, qui concernent les singularités d'ordre 
plus élevé. 

W iman {A.). — Uehei- die metacyklischen (ileichtuigeii von 
Prlinzahlorad. [Sur les ('•qiiiitions metarveliqiies de dej^i'e pre- 
mier] (i()3-i -() ). 

L'auteur se propose de compléter les rcclierclics de Ivronecker, llilbert et 
Weber sur la résolution des équations mélacycliques (c'est-à-dire résolubles 
par radicaux) et de degré /> premier. En premier lieu, il étudie le groupe du 
corps défini dans le domaine de rationalité donne par les racines de l'équation 
et une racine jy'""" de l'unité. Il étudie ensuite les résolvantes, les formes des 
racines et enlin les transformations rationnelles de racines. 



Hadamard (M.). — Deux tliéorèiiies d'Ahel sur la convergence 
des séries ( i 77-1 -S.J ). 

L'auteur démontre les deux lliéorèmes suivants : 

Etant données une suite de nombres S^, ?,. . . ., ;„, . . . et une scrie com-er- 
gente (absolument ou non) 



la condition nécessaire et suffisante pour r/ii'clle donne naissance à une 
série également convergente 



^.\"i 



est que la série 

soit absolument convergente. 

Le résultat subsiste si les % sont imaginaires. 

Réciproquement : la convergence de la série ç„«/^ entraine celle de la 
série u„, si, à la condition que la série (2,,^., — ;„) est absolument conver- 
gente .^ on ajoute celle (jue sa somme est différente de zéro. 

Suivent diverses applications. 

Stôrmer {C). — (Quelques propriétés aritliinéliques des intégrales 
elliptiques et leurs applications à la théorie des fonctions entières 
transcendantes (i 8.V208 ). 

Voici les diverses parties de ce Mémoire. Soient 
£ull. des Se. math., >■ série, I. \LII. (Février ii|i8.) lî.j 



lo SECONDE PAKTIE. 

avec y = x pour u = u: si n est un entier |)ositif, on a 

/j ( «« ) — j- ( «0 = — '-Ht — • 

I. Limite supérieure des 'y : on a 

I V„ I < ^""% 

rt élanl une conslanle inclépcnflantc de n, et dépentlant iini(iuemoiU des valeurs 
données k y, ^.., g.^. 

II. Limites supérieure et inférieure de \p{nu)\ quand j', g.,. ^^ sont dos 
nombres algébriques donnés (définisciMUtne fonctions enliéres à, coeHicicnts 
fractiomiaires d'une même iriationnellc ). On a 

<»-"''■'«■< \p{nu) I < i''i'i\ 
où ).. )>' sont deuK conslanlcs indépendantes de l'entier /;. 

III. Limites supérienrc, et iiifi-ricure d'une forvctitm algébrique de 

\ pi n^ u, - n.,u.^-f-. . .4- ii.ji ^ } I : 

on a encore des limites de la forme e— /'."' et e'"-. où A, a' sont des constantes 
indépendantes des entiers /?,. 

IV. Application de ces résultats aux fonctions algébriques et abélienncs. Si 
en particulier un nombre incommensurable réel a est le rapport de deux inté- 
grales elliptiques, on aura 

I «, a — «._, I > e-">'-. 

V. Application à la tln-orie des fonctions iransi endantes entières V{z) dont 
la distribution des zéros est r>rdinaire. L'auteur appli(|ue les résultats obtenus 
à la fonction 

V(Z) =5,(C).7,(C). 

où l'iin pose 

et où Ion suppose ii'cls les tlciix rappoiis a — — i f, — —r- Il lr<iuv<' des ron- 

(■) , (0 , 

ditiptis suflisantes pour que la dts^ribution. des zéros de 1\{3) soit ordinaii'f,; il 
montre i|ue ces comlilions s'.t xpnmcnl e.\plii,ïi\ emcnt i)ar des propriétés arilli 
métifjues de a et |ï. 

llobson {h.-U.). — On ihc inliî^tMl inn ni" ^eiirs. [Sur riiil('';;r,tt ion 
des s«'Ties. ] (.•>.<>(.)-:>. i (i ). 

Celte Note a pour but de dével(>|)per les idées d' \b(l. Scidel, Stockes. Osgood 
el lîaire «nr la convergence uniforme d une séiic 

u,{.r) ; Itj(X) -r-...-t- U„{.T) -i-..., 

dont !'•■< termes sont de> fonriions continues de la variable réelle ./• dans un 



REVUE DES PUBLICATIONS. ii 

inloivalle (a. b). En supposant <|ue celle série est convergente et a pour 
somme s{x). l'auteur nionlrc que la série peut être intégrée terme à terme (dans 
l'inlervalle a, b) et a pour somme l'intégrale de la somme s{x). pourvu que 
dans rintervalle d'intégration il n'y ait aucun point où la mesure de la conver- 
gence uniforme soit infinie. 

liiunside (H •)• ~ On soluble Irrediiclilj'.e groups ot" linear 
substitutions in a prime number <»t' variables. [Sur les groupes 
irréductibles résolubles de snbst iliil ions liac'aii-es à tin nombre 
premier de variables.] [:>. i j-aa^). 

Un groupe de substitutions linéaires à p variables est dit irréductible s'il 
est impossible de trouver q {<.]>) l'onclions linéaires de variables se transfor- 
mant en elles-mêmes par les substitutions du groupe. 

Si un groupe est isomorphe (simplement ou non) à un groupe iiréductible 
de substitutions linéaires à ]> variables, p doit être un diviseur de l'ordre du 
groupe considéré. 

Les groupes G de substitutions linéaires à p variables {p premier j peuvent 
se diviser en deu>c classes. Le sous-groupe I (d'ordre n). formé des opérations 
invariantes de G, est un groupe cyclique. 

En premier lieu, on suppose ([ue le sous-groujie .1 (d'ordre m), invariant et 
abélien dans G (et (jui contient [). possède des opérations n'appartenant pas 
à I. Le groupe G | J e^l alors simplement isomorplie à un groupe de permu- 
tations des p variables, transitif cl résoluble. Les opérations de G sont de la 
forme 

où oj, est une racine />'' " de l'unité, et ai -^ b pris selon le module/^. L'auteur 
appelle groupe avec facteurx un groupe dont les opérations sont de celle 
forme. 

En second lieu, on suppose que l est le plus grand sous-groupe invariant 
abélien de G. Soit H le sous-groupe invariant de G contenant I et d'ordre le 
plus faible; FI est représentable par un groupe de permutations cycliques avec 
facteurs, ce qui n'a pas lieu pour G. 

W ebei [H). — Ueber Aljels Summation tMidlicber DilVerenzen- 
reiben. [Sommai ion par A bel de suites aux diirérence.^ finies.] 
( .'î2.'j-:>3'î). 

Il s'agit de l'équation aux dilTérences finies 

/(j;-.)-/(,r) ---^{x). 

Par l'application du théorème de Cauchy, l'auteur donne deu\ formules de 
résolution de cette équation, dont la seconde a été donnée par Abel pour 
X réel. Il applique la première formule au calcul des sommes de Gauss en posant 

z{x) = e " , 
cl la seconde an (:alcul des nombres de Bcrnoulli. 



12 SIÎCONDIÎ PAUTIIL 

Schott/\}( F.). — Ueber die Moduln dei" Tlielafunctionen. [Sur 
les modules des fonctions thêta.] ( 23.')-238). 

Les fonctions abéliennes définies au moyen de fonctions tlièta dépendent 
p( -I- i) 
de — ! paramètres (qui sont les modules de périodicité), et celles défmies 

par la théorie de Riemann dépendent seulement de 3p — 3 paramètres. Elles 
sont donc de nature particulière dès que p ^ 4> ce qui exige entre les modules 
un certain nombre de relations. Le but de cette Note est l'élude de ces 
relations. 

On sait qu'à un système de fonctions thêta paires ou impaires appartenant ;i 
une même classe, à la moitié des périodes correspond un groupe de permu- 
tations. On définit alors des permutations formant une syzygie ou une azygic. 

On définit ensuite le groupe de Gopel et les suites az^gistiques fermées. On 
peut définir toutes les fonctions thêta d'un même système en parlant d'une 
azygie qui est soit fermée, soit non fermée. L'existence de telles suites était 
connue de Hiemann. 

On peut classer (comme cela vient d'être fait pour les fonctions thêta) les 
produits de fonctions thêta; et, en se limitant à ceux composés de fonctions 
thêta de même nalure. les classer au moyen de suites a/ygisiiques. 

On est alors en mesure de former les relations cherchées et de calculer les 
coefficients entrant dans ces relations. 

Grain (J.-P.). — ■ iNote sur les zéros de la {"onction ^(.v) de Rie- 
mann (289-30'!). 

Cette Noie conlient un grand nombre de résultais numériques; en parliculier 
sur le calcul des racines qu'on y effectue au moyen de l'équation 



■(^L^ti^^o. 



Lindelof (E.). — Sur une formule somniatoire générale (3o.")- 

3l2). 

Il s'agit de l'une des formules déjà rencontrée au Mémoire de Weber. L'auteur 
l'applique d'abord au prolongement analytique des séries de Taylor / y( » ) x" 
cl il en liie ensuile doux expressions de la fonction ^(s) de Hicmann. 

Horel {tL.)- — Siii- l('-< |)cri()(les des intégrale.-, aljcliennes et sur 
un nouveau proldrmc Irès général (3i.')-3i(3). 

Ce prr>blonic très géiiéial cl particulièremonl diflicile concerne les procédés 
Iransccndanlo par les(|ucls on peut délinir des nombres entiers. 

/lendixsfjfi ( / .). iJéleiiniual ton de-; ((jniilnin^ ic-^dlulilc^ algé- 
l»ri(|u<'uient (.! 1 --'A'aH ). 

Li' iiiil il(î ( (■ Iriivail ("<l lie |i.ii\(.inr ,1 l,i di-hi in iii.il mn ih > c cnidil inn»* néccs- 



KliVUK Dl'iS l'IJin-ICATIONS. i3 

saires et suflisanles pour (|u'iinc Oqiialioii algébrique soit résoluble algébrique- 
ment, sans faire appel à la théorie de Galois, mais en utilisant les méthodes des 
deux .Mémoires célèbres d'Abel sur la résolution des équations algébriques. Les 
équations, auxquelles ou est conduit, sont identiques au fond à celles qu'on 
rencontre dans la méthode de Galois. 



Kapteyn {W-)- -- Sur rinh-uiMlicn <lc> diUérenliclles hiaoïnes 
(329-338). 

Soit y une fonction algébrique de x définie par l'équation irréductible 

9(a:, jk) = o: si lintt'grdle I y dx est algébrique en x, elle est exprimable 

par une fonction entière de y dont les cocflicienis sont fonctions rationnelles 
de X. 

L'autour développe ces résultats dans le cas de réi|ualion algébrique j)"' = F (a-), 
et pour liivcrscs formes simples de F(x). 

Lercfi {M.). — Sur un poiul de la llu-oric des t'onclions géaéra- 
irices d'Abel (33()-35î>). 

4 

Soit 9(r) une fonction réelle de la variable x inlégrable, conlinueou discon- 
tinue, défuiie dans tout rinlervallc (o. x), cl soit l'intégrale 



]{(!)= I e^"'^-^{x).dx. 



On trouve démontré dans celte Noie le lliéoréme suivant : 

Si cette, intégrale existe pour une certaine valeur de a, elle existera pour 
toute valeur plus grande. De plus, elle ne peut s'annuler pour une infinité 
de valeurs positives de a qui forment une suite arithmétique sans que l'on 
ait identiquement J(«) = <i et en général ■ç.ix) = n. 

Suit une application de ces fondions génératrices. 

Mansion (P.). — Sur la métliode d'Abel pour ria\ersi(iu de la 
nreinlt'ie intéiirale elliptlijue dans le cas où le module a une 
valeur iiiiai;uiaire complexe (.').")3-3(i'l ). 

La mélhode suivie pour réaliser l'inversion des intégrales elliptiques géné- 
ralise très simplement la mélhode suivie par Abel dans le cas d'un module 
réel. Les propriétés des fonctions elliptiques sn, en, dn se retrouvent diine 
façon élémenlaire. 

Fredhobti {T.). — Sur une classe d'i'qualions lonclioiiuolles (3().i- 
3()o). 



iX SliCONDI-: l'AHTIl'. 

Ce Aléinoire concerne les équations du type 



■■? ( "^- ) + / /( -^^ ^ )'-?(« ) ds = ■; (x ), 



où <f{a:) esL une fonction inconnue. 

Nous ue croyons pas devoir insister sur ce Mémoire fondamental dans la 
théorie des équations fonctionnelles, car tous les résultats en sont aujourd'hui 
classiques et développés dans de nombreux Traités d'Analyse. 

M. MicHorx. 



THE QU.VRTERLV .lOURNAL OF PUKE 
AND APPLIED MATHEMATJCS. 

Tome X\\\ m. i.jo; (' ). 



Basset {.i.-JJ). — Mulliple points on sut laces. [Le> |)iiinis mul- 
tiples sur les surfaces.] (1-27 ). ^ 

L'auteur admet (sans l'avoir démontré) (|ue loul point singulier d'une sur- 
face est formé par la réunion de « nodes » (points doubles ordinaires) et de 
(( binoiles » (points doubles où le cône des tangentes se décompose en deux plans), 
et que pour un point multiple d'ordre /> où le cône des tangentes n'a pas de 
génératrice double, les constituants sont des « nodes » au nomljrc de 

- p(p — 1)'. 11 a donné dans un article précédent les rais<ins (|ui le poussent à 

supposer la vérité de ces propositions. 

Partant de là il détermine le nombre lie ers points constituants en général. 
Exemples : t)uand le cnne des tangentes en un point multiple d'ordre p a 
génératrices doubles et /. génératrices de rebroussement, le nombie des 
" nodes » et des » binodes » constituants sont respectivement 

C = - p{ p — i)' — 5 — .! /. et 1$ = ô T 3 ■/.. 

Quand le conc des tangentes se réduit à /> plan- ne |ia-sanl pa- |>ar une mi'iiii' 
droite, on a 

C= J/W/^ -!)(/> -M. 1; -,j(p^,). 

Si les /) plans passent jiar une niriin- ilmiic. mi a 



c= -{p-xy(p- '). u (p . 



etc. 



1 \iùv /{il//, (/es Se. in(il/i.. I. XI-lj, i')'7. p 



UliVUE Ui:S 1>UIJI.ICATI0NS. •' 

llalso/i I (i.-V.). — The <'\panslou-^ <.f |)i-..duil> ni liypergeo- 
iiieuif t'iiuciion-. [I.es (l('-veloppcinenl- «le produil> de fonr- 
lioiis hypergéomélrlques.] ( 27-01). 

M. Gour<al a donut- le développement en séii<- enlicre du carré de la fonc- 
tion hypergéoniélriqiie l'i 2, }, y. x) dans le ras où a -^ 'i — - y, et y n'étant 

pas un entier. 

Dans le présent travail lauleur donne d'abord des développements pour les- 
produits des intégrales eliiptitjues ordinairement dénommées par K, K', E, E'. 

Comme on sait que K = - -F/-» -» 1. k'), on voit que ces intégrales n«' 

rentrent pas dans le cas étudié par M. Gouisal. L'auteur s'occupe ensuite de 
cadrés de fonctions liypergéométriques non disculées par .M. Goursat, et enfin 
il. évalue (juehiues intégrales dclinies comprenant les produits des intégrales h. 
K', etc. La nuthodc consiste en ciiangemenls de variables ramenant les équa- 
tions dirtérentielles auxquelles satisfont ces expressions à la forme étudiée par 
M. Goursal. 

Searle < J .-H .-C .\. — Ou llie propagalioii ot waves in an atmo- 
sphei'e ot" varyinf; densilv. [Sur la propagallon des vagues dan> 
une almosjihère do densité varialile.] .n-()()). 

Le problciue «le la propaj;alion des vagues dans l'atmospliére n'a guère été 
étudié que dans le cas d'une atmosphère homogène et isotherme. Ces deux 
hj'potlièses et en particulier la |iremi<ie sont loin de la réalité, d'oii la néces- 
sité. dune nouvelle étude. 

L'auieur arrive à une équation dillércntielle qui donne la vitesse en un 
point lorsque la température est connue en fonction de la hauteur. 

Il examine ensuite deux cas : celui de la température constante, celui 
de la température fonction linéaire de la hauteur, et intègre dans ces cas 
l'équation par les fonctions de IJessel. Mais vu l'incerliuide des données expé- 
rimentales, les résultats précédents sont surtout intci ■ ■^ants au point de vue 
aualyti.i]ue. 

1 oung ( \\ .-II.). ( )u iIk' di^liucl ion ot riglil and Irll al points 
of discontiniiilv . [Srn- la disl iixGÙ<*iL enlae di'oil>e et gauelie 
aux ])oint>> de discunhuiiilé. | < (iy-cS.) 1. 

L'objet principal de ce Méiiioirr est dç dénionUer que les points de discon- 
tinuité de j)i'€tnière cs/Kce i\' fine fonction, e'est-à-diie ceux où f{x-i-o) et 
f(x — o) existenl, mais ont des valeurs dillerentes, forment un ensemble 
nnnvéra^jk;. Les auires discontinuités (|ui doivent être considérées comme plifS; 
compliquées -peuvent au contraire former un ensemble non numérable. Ce sont 
donc ellcâ qui sont le cas général. 

Si ni l'une ni l'autre des limites /'(.r-^o), /(.r — o) n'evisie, il > a en 
général trois nombres à considérei- : 



i6 SECONDE PARTIE. 

2° 9(.'c) (lélliii (le la façon siii\aiile : On consitlrre la borne supéi"ieure 
(le/{x) clans un inlcrvallc x — s, x, on lait lendre = vers zéro, celle borne a 
une limite; on refait la même opéralion pour l'inlervallc x, x + î, on trouve 
une seconde limite; enlin on preml tic ces deux limites celle qui est inférieuie 
ou égale à l'autre. Le nombre ainsi obtenu est ■z>{x): 

3° <]>{x) défini comme '-^{x), mais en prenant les l)orncs inférieures au lien 
des supérieures. 

Les cas où il y a plus de Irxis nombres à considérer sor.l numérables et 
doivent par conséquent être considérés comme exceptionnels. 

Roiith (E.-J.). — On a curions cljiiamical property ot particles 
in equilihrium, and on sonie properties of spherical trilinear 
coordinates. [Sur une propriété dynamique curieuse des points 
matériels en équilibre, et sur quelques propriétés des coordon- 
nées trilinéaires sphériques.] (84-()i)- 

Un point libre est supposé en é<|uilibre stable à l'origine des coordonnées 
sous l'action de la force 

X = rt X- -(- J'y -i- e :. V = /" x + by -t- dz, Z = e' x 4- d'y -+- c c. 

On aslreinl ce point à rester sui' une surface passant par O. Alors O est 
encore une position d'équilibre, mais cet équilibre n'est plus forcément stable. 
L'auteur donne la condition géométrique pour qu'il en soit ainsi. Il fait usage 
des coordonnées trilinéaires sphériques. Soient sur une sphère un triangle ABC, 
son triangle polaire LMN et P, un point quelconque. Les coordonnées en ques- 
tion sont les quantités 

cosAP cosLP 



liées par la relation 



cos .\L 



Dixoii (^A.-C.J. — The hinomial llieorem. | i^*' lli<?or('-me du 
binôme. ] (().^-(j()). 

Démonstration simple de la formule du liinomc, et du développement de 
log(i — j) dans tous les cas possibles. 

Banies { h\-}V.j. — Ou i;en('ralised JAîgendre lunclions. [Sur 
les fondions de IjOgcndre i^é-néralisécs.] fj^. {}-j-2(i^\). 

Au moyen des fonctions ordinaires de Legondre l*„(.i;), Q„(?"). <"» délinit 
les foDctions associées P,'"('^), Qnix), dans le cas on m e^i entier, par les 
équations 

(1) V = I ./•= — 1 I'" - — 

o;;'(.r)\ ''•^"' I Ô„(.r) 



lUiVUlî DliS l'UlJLlCA ilONr). 17 

Elles saLisfotit à 

dx- dx \ i — X- \ ■' 

Lorsque m n'est pas enlier, V'H {x) et QJ"(j:) sont définies comme solutions 
de cette équation, se réduisant à leurs valeurs données par (i) lorsque m 
devient entier. Mais on peut chercher à appliquer encore dans < e cas la défini- 
tion (i). On sait en effet que si 

f{x)= l<t'is)x'dx, 
où 4> et le contour d'intégration sont indépendants de x, alf)rs 

dx"' -> ^ ' J ^ ' T{s — m -^-i) 



et cette définition s'applique même si m n'est plus entier. 
Or d'après un Mémoire précédent de l'auleur 

sinn- "^ ' 2-iJ r(i-+-.s) ' 2 ^ M 

pourvu que arj;. (x — i) < ~. Il en résuite que 

sinn- " > ^ 2T.iJ r(i — m-HS)T 

Telle est Ki nouvelle définition de l'',','(x); une analogue s'applique à Q','/ (x). 
Cette façon de procéder simplifie beaucoup les calculs, en particulier ceux 
relatifs aux développements en série de ces fonction?. 

Elle a donné à l'auteur des résultats nouveaux relativement aux développe- 
ments asymptotiques de P'/i'{x) et QJ5*(;r), m, n, x ayant des valeurs com- 
plexes quelconques, et aussi à l'évaluation de certaines intégrales définies 

telles que / [P/'f { j;)]- f/.r, / Y^'H {x) (l'!}{x) dx, .... qui s'expriment p;ir 

<-' "- 

des séries hypergéométriques d'ordre supérieur. 

Dickson {L.-E .). — A class ot ^a-utip? in an aihitraiv realin con- 
nected with the coiifigiii-atioii o( tlie 37 lincs on a ciihic siif- 
face. [Classe de groupes dans un domaine arbitraire, en rap- 
port avec la figure des 27 droites sur une surface cubique.] 

(20-5-20()). 

.Addition à un >lémoire précédent {Ouaiterly Journal, vol. WMI, 1901, 
p. 145-173) : Simplifications, correction d'une erreur failc sur l'ordre du 
groupe. 

Miller (G.-A.). — Transitive groups of degree p = 2q + \ , 

Bull . des Sciences niathéni., a* série, t. XLII. (Mars 191'^.) li..^ 



i8 si<:coM)i<: l'Ain Ni. 

p and rj beiiii; prime nunibers. [Groupes transit ils de de^ré 
p ^= iq -\- \ , p et q étant des nombres premiers.] (210-2 16). 

L"aiiteur donne, pour former tous les groupes de celte sorte, d'un degré 
donné, une méthode plus simple que celles [connues. Il, l'applique en parti- 
culier au cas de p = 83 et il trouve six groupes transitifs de ce degré. 

} oitJig ( W.-H.). — On the construction of a poinlwise discon- 
tinuons function ail of whose continu il ies are infinities and 
whicli lias a finite generalised intégral. [Sur la conslruclion 
d'une fonction ponctuellement discontinue, dont tous les 
points de continuité sont des infinis et qui a une intégrale 
généralisée finie.] ('217-22 1 ). 

M. Pompéiu avait déjà formé une fonction jouissant de ces propriécés, mois 
celle de M. Young a l'avatilage de pouvoir être calculée avec n'importe quelle 
approximation pour n'importe quelle valeur de la variable. 

Ihonuvicli (T.-J.-J'a.) et Hardy (G. -II.). — The définition of 
an infinité intégral as llie limit of a finite or infinité séries 
[Définition d'une intégrale infinie comme limite d'une série 
finie ou infinie.] (222-240). 

Lci auteurs appellent intégrale infinie {infinité), une intégrale dans ^a(|ucIle 

la fijhclion sous le signe / devient inlinie dans les limites de l'intégralion, ou 

liieii une intégrale dont une ou les deux limites sont inQnies. 

lis distinguent deux types principaux aux(]uels se ramènent la plupart des 

autres : i" les intégrales dans lesquelles les limites sont finies, la fonction 

devenant infinie pour l'une de ces limites; 2° celles dans lesquelles l'une des 

limites devient infinie. Ces intégrales sont des doubles limites, car, par 

/•' 
exemple / f(x)dx, où Ion suppose /(o) = oc, est égale à 

i- — y I n — >• ao _ _ ^ ' 

Cnmine aucun des/( — j n'est infini, même pour .r - 1 , on peut se ticmander 
i-i l'intégrale ne serait pas égale tout simi)l(:mcMt à 

^^ ^\^A-,]- 

r — I 

L'auteur démontre fjue c'est vrai lur-.qiic f i) leiid vi'rs x en variant 
toujiturs dans le même sens. 



REVUE DES PUBLICATIONS. 19 

Pour les intégrales du scrond lypp / .f{x) dx^ les auteurs démontrent le 
théorèmes suivants : 

Appelons 0^ des incrvalles successifs de o à ce, dépendant d'un paramè<re a 
et tendant, quel que soit v, vers zéro en même temps que a; soient U„ et L^ les 
limites supérieures et inférieures de f{x) dans l'inlervalle S^; on suppose que 
/{x) tend vers zéro en variant toujours dans le même sens quand a:— vx. 

5^ l'on peut trouver un système d'intervalles tel que /^ tl^^„ et \ L^&_ 
sont convergents pour a > o e^ tendent, lorsque a tend vers zéro, vers la 
même limite A, alors j f{x)dx a la valeur A. 

La réciproque est vraie. Le système d'intervalles le plus simple est o, /(, 
2/1, ... dépendant du paramètre h. Suivent d'autres tliéorènies du même genre 
et des applications. 

Jourdain [Philip-E .-B.). — A(Klitii)u lo papers on the eqiia- 
lions ot" mechaiiics. [Additions à des Mémoires sur les équa- 
tions de la Mécanique.] (?.4i-25o). 

Corrections à quelques formules du Mémoire du Quarterly Journal 
(vol \XXVI, 1906, p. 284 296), et remarques sur celles du Mémoire du 
même Recueil (vol. XXXV, 1904, p. 61-79). 

Basset [A. -D.). — Biralionil transformation ofstirfaces. [Trans- 
formation biratlonnelle des stirfaces.] (aSo-aGa). 

Emploi de la transformation quadratique pour analyser les points consti- 
tuants des difrérenles espèces de singularités sur une surface. L'auteur montre 
les analogies entre cette théorie et la théorie analogue pour les courbes, et il 
étudie les particularités qui se présentent lorsque le cône tangent en un 
point singulier présente lui-même des généralrires singulières. Un point mul- 
tiple d'ordre p sur une surface correspond à une courbe de degré p sur la sur- 
face transformée, une génératrice multiple sur le cùnc tangent au point 
multiple correspond à un point multiple sur la courbe, etc. 

Young (W.-/J.). — Note on lelt iind liglit lianded semi conli- 
nuGus tunctlons [Note sur les fonctions seml-coiitiniies à 
droite et à gauche.] (2(j3-265). 

Toute fonction semi-cnnlinuc à droite ou à gauche appartient à la première 
classe de Baire. 

Glaishei- (J.-JV.-L.). — On elliptic-fiinction expansions in 



SECONDE PAUTIIÎ. 

which llie coefficients are powers of the complex niimbers 
having n as norm. [Sur les développements de fonctions ellip- 
tiques duns lescjuels les coefficients sont des puissances des 
jionibres complexes ajant n comme norme.] (266-299). 
Par exemple : 

1 

( 4 k'- k'' + k\ k'' ) p« = G4 2^ /. ( " ) y"> 
1 

où 

/.a'0 = 7y^' «^i /.s('0 = ly^^ 

les sommes élant élendues à tous les entiers complexes t qui ont n pour 
norme ; formules annoncées dans des Mémoires précédents ( Quarterly Journal, 
vol. XXXV'in, p. 33 et 3oo) et démontrées ici. D'une façon générale la pre- 
mière Partie du .Mémoire traite des séries entières en q. où les coefficients 

sont de la forme / /"■. 

La seconde Partie traite des fonctions X(/?i )î P("î). Ql"^)) ^{ni) définies 
dans des Mémoires précédents comme coefficients des développements respecti- 
vement de 

3 

-La-7.'\o\ —k-k'c\ -La^'^pS AA-A^p6 
ib lO ' ib ib 

On riiontre ici (]ue 

I »^ 

/ (//i ) = 77 * (— ') '^ « si m = '\k + 1, 

= o si m = \k + 3, 

P(/«) = 2- y (3a-' - b-" - c"- - (P) , 
24 ^^ 

s - 1 

Q{m)=:^- y{-,)~T~a(a''- — l>-' — i''cP) si «j = 4A-f-i, 

.s — 1 

= 7 7 ( — i) '^ ùccl si »i = .'1 A -H 3, 

4 •*- 

Q( wj) = -, V(a'-hd''-Hc'-+-rf' — aa'fc'' — art-c""— 3a'c?— aiV- ji-(/'-3cV/'), 

où le siijiie ^ s'éleiiil à toutes les représentations de //( cotiime somme de 

quatre carrés a' -f- 6' -+- c- -+- cP, n élant impair et b, c, d pairs c|uand m =4A -+- 1 , 
a étant pair et b, c, d impairs quand nt -= !\k -\- 3, enfin s -- « -f- ^ -i- c -t- d . 
La troisième Partie contient dos formiilrs du même îicnre pour la fonc- 
tion e(/j ) définie par 



W !•; VLl-: Dl'iS l'il lU-lC A I IONS 21 

Enfin dans la qiialrième Partie, >.(/«), P(«')) etc., sont exprimés comme, 
somme des puissances semblables de certains nombres complexes que l'auteur 
appelle dérivés des représentations de m en somme de quatre carrés. 
Soit m — a- + 6^ -(- c^ -+- d"^, les déiivés sont les nombres a -^ cb —c — cd. 

Jessop {C.-M.). — On collineations of space. [Sur les collinéa- 
tlons dans l'espace.] (3ui -3 1 .") ). 

La transformation poncluelle linéaire la plus générale revient à faire corres- 
pondre les pùles d'un même plan par rapport à deux quadriques fixes U et \ , 
et les invariants de la transformation s'expriment au moyen des invariants des 
deux quadriques. Lauteur donne l'interprétation géométrique de l'annulation 
de ces invariants. Il examine spécialement les transformations linéaires de 
période 4 ou 3, et termine par la recherche des transformations qui laissent 
invariante une quadrique donnée. 

Dickson (L.-E.). — On t'ainllies of quadratic lornis in a gênerai 
field. [Sur les familles de formes quadratiques dans un do- 
maine de rationalité.] (p. 3 i (3-333). 

Ce travail traite de la réduction à une forme normale des familles de formes 
bilinéaires ou quadratiques à n variables )>,^, + \^2 +• ■ -"^ ^'m^m» P""^ ''^* 
transformations portant sur les paramètres X, et sur les variables x qui entrent 
dans les formes, le champ de ces variables étant quelconque. L'auteur traite 
le cas de n = 2, puis celui de « = 3, m = 2. Le problème est particulièrement 
difficile lorsque la famille ne contient pas de formes binaires, ou lorsque les 
formes binaires sont toutes irréductibles. Ni l'un ni l'autre de ces cas ne se 
présente lorsque le champ des variables est celui de tous les nombres réels ou 
complexes, ou bien celui des nombres réels seulement. Dans le premier cas il 
y a 8 types de familles, tians le second il y en a i3. 

Basset [A.-B.). — Singular lines and curves on surfaces. 
[Droites et courhes singidirres sur les surfaces.] (334-3r)G 1. 

Le sujet n'avait guère été étudié que pour les surfaces de degré ne dépas- 
sant pas 4» mais certaines particularités ne se révèlent que pour un degré 
supérieur à celui-là. 

L'auteur étudie les droites de la surface qu'il appelle du second ordre 
situées sur la surface et telles que toute section plane de la surface possède 
un point singulier du second ordre au point où le plan coupe la di'oile. Et 
d'ailleurs on appelle point singulier du second ordre sur une courbe plane, 
le point obtenu par la réunion de plusieurs points singuliers se déplaçant le 
long de la courba. Les propriétés de ces droites sont dilTcrenles suivant que 
le plan tangent en un point de celte droite varie ou non quand ce point se 
déplace. 

L'article se termine par ce théorème : « Si une surface du qualricme degré 
possède une cubique gauche de rebrousscment. clic est dcvcloppablc. la 
cubique étant srm arête de rebrousscment. » 



22 SKCOM)!'; l'AUTlK. 

Hardy [G.-H.). — Sonie multiple intégrais. [Quelques inté- 
grales multiples.] (35^-3-5). 

Ce sont des intégrales contenant les fonctions de Bessel sous le signe d'inté- 
gration. Incidemment l'auteur est conduit à ré\aluation de certaines intégrales 
simples. Voici un exemple de ces formules : en posant 



^«(^) = / e"' ~~- l'oeil. 



r 



<!^^{ax)''^^{bx)x'' dx 

X' dx 



'^ n 



{i + a'x'-) - (i + b'^x") ' 

pourvu quev> — i et a-(-j3 + v>-3. 

Jourdain (P/nlip-E.-B.). — On infuiile sums aud producls ot" 
cardinal uumbers. [Sur les sommes et produits infinis de 
nombres cardinaux.] (3^5-384)- 

/..'auteur démontre (dans des conditions plus générales) la relation donnée 
par M. Kônig [Ver/i. d. ^. Internation. Kongress in Heidelberg in i()o'j 

(1905 ), p. i',4] 

Y Y 

puis le théorème de Cantor (Jaliresber. d. deutsii. Math. Vereing., lîand. !, 
1892. p. 75) 



sans faire appel à l'axiome de multiplication, et cnliu 



i^ étant un no:iibrc limite, ? un nombre cardinal tel que S: soit le nombre 
cardinal d'un ensemble pouvant être bien orhinné en une série du l}pe 1^, 
cl '/ un nombre ordinal. 



iU';vui': 1)1' s i'uhmca i ions. 23 

AINNALKS SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE. 
Série in, Tome XXVI, igrxj ('). 

Picard (Emile). — Sur une équation aux dérivées partielles du 
second ordre, relative à une surface fermée, conespondant à 
un équilibre calorifique (91^). 

L'équalion considérée est 



(0 h\ Z—^. +£; z;:^^ =ciu,.),/tG-V^X. 



M 


Ou Oi' j Ou ôv \ _ 


Ou^ 


V V''EG — i<= / c»y \^ ^EG - F^ / 

rfs- = E chû + 1 F du dv -H G rft>- 



esL le carré de l'élément linéaire d'une surface fermée. En introduisaiU des 
solutions de l'équation (i) n'ayant qu'un point singulier, correspondant à une 
source de clialeur, et en multipliant le second membre par un paramètre a, 
M. Picard ramène à une équation de Fredholm homogène le problème de la 
recherche d'une solution de (i) continue sur toute la surface; si c est positif 
(cas le plus important en Physique), il y a une infinité de valeurs de >> telles 
qu'il existe une telle solution continue non nulle identiquement : cela résulte 
de propositions classiques ; si c n'est pas partout positif, la conclusion subsiste, 
comme M. Sanielevici l'établira dans le Mémoire ci-après. ftL I^icard donne 
ensuite les conditions nécessaires et suffisanlcs pour qu'il existe des intégrales 
n'ayant d'autres singularités sur la surface que n sources données. lîniin cfs 
résultais sont appliqués à la sphère, en introduisant les fondions Y,, de Laplace, 
et au tore; ce dernier cas serait intéressant à approfondir davantage. 

SanieleK'ici (S.). — ■ Sur les équations différentielles des cordes 
et des membranes vibrantes (19-91). 

Ce Mémoire débute par l'élude de l'équation 
(.) g+XA(^)y = o. 

L'auleur traite divers problèmes relatifs à des conditions aux limites qui se 

rencontrent en Physique; on se donne aux deux extrémités d'un intervalle (a, 6) 

soit les valeurs de y, soit celles de certaines combinaisons linéaires de y 

dv 
el~~-- M. Sanielevici ramène ces problèmes à certaines équations de Fredholm ; 

mais son originalilé consiste surtout à ne faire aucune hypothèse sur le signe 



f) Voir liiill. des Se math., t. XXXItl, lyog. p. i52-i<33. 



.>4 SECONDE PAIITIE. 

de A, sinon que ce signe change seulemenl un nombre fini de fois enli-e a cl b : 
il parvient à démontrer que l'équation de Frcdholm correspondante a dans ces 
conditions une infinité de valeurs caractéristiques. Si A est périodique, il y a 
également une infinité de valeurs de À pour lesquelles (i) admet des intégrales 
périodiques. 

M. Sanielevici traite ensuite l'équation 

à"- Il (Pu , , 

( 2 ) -r-, + — -;; -t- A A « = 0, 

ox- ôy 

relativement à laquelle il considère des problèmes analogues : u devant être 

défini et continu, ainsi que certaines de ses dérivées, à l'intérieur d'un certain 

contour, on peut se donner sur le contour les valeurs de u ou celles de cer- 

,. . , , . . . , du . , , 

taines combinaisons linéaires de u et de sa dérivée —r- suivant la normale 

an 

intérieure. Là encore, on rencontre, quel que soit le signe de A, une équation 

de Fredholm avec une infinité de valeurs caractéristiques. Cette conclusion 

s'étend à réqintion considérée par M. Picard dans le Mémoire ci-dessus. 

Cartan (E.). — Les groupe.s de transfornialions conlintis, 
Infinis, simples (gS-iôi). 

La détermination complète des groupes infinis simples présentait des diffi- 
cultés qui ne se présentaient pas dans celles des groupes finis simples, diffiiullés 
dues surtout à l'absence d'une théorie précise sur la structure des groupes 
infinis. M. Cartan détermine tous les groupes infinis primitifs à « varialile», ce 
qui fait connaître les structures de tous les groupes inliiiis transitifs simples; 
ces groupes se partagent en six grandes classes : 

1° Li groupe de toutes les transformations à n variables; 

2" Le groupe des transformations à n variables qui laissent in^aria/its les 
volumes; 

3° Le groupe des transformations à n variables i/ui reproduisent les 
volumes à un facteur constant près; 

4° /-e groupe des transformations à n > 'i variables {n pair) qui laissent 
invariante l'intégrale double 



fO 



r/jT, dx, -f- . . . -t- C(?x„_, dx„ ; 

5" Le groupe des transformations à n \ \ variables (n pair) qui re/iro- 
duisenl Vintégrale double précédente à un facteur constant prrs ; 

(')" Le groupe de toutes les transformations de contact flans l'espace 

à dimensions ( /i imjiiir), considéré comme groupe de transforma- 
tions ponrtiicllrs à n rarialiles (n ^•i). 

l'urnii ces groupes, ceux des classes i", 2", '|^ 6' sont simples. lUslenl lus 
groupes infinis simples qui ne sont isomorphes i'i aucun groupe transitif; il y 
en a deux calégorics : 

I' f.es groupes simples proprement dits : on les obtient en prenant un 



REVUK DliS PUBLICATIONS. ^5 

groupe simple transitif i/ini ou injini) et en faisant dépendre de la manière 
la plus générale possible les éléments arbitraires de p variables invariantes 
par le groupe; 

2° Les groupes simples improprement dits ; chacun d'eux est isomoiphe à 
un groupe dont les équations ont la forme suivante : 

en désignant par f la solution la plus générale d'un certain système d'équa- 
tions aux dérivées partielles linéaire et homogène, à coefficients fonctions 
données de x^. x^. ..., a;,, ,. 

Ces résultats, rapprochés de ceux de M. Vessiol, conduisent à une proposition 
importante sur l'intégrai ion des s\'stétiies différentiels. 

Trayixaid. — Polygones et combes de fréquence ( 163-192). 

Ce travail a pour objet de « mettre à la portée du lecteur français les 
Mémoires importants du professeur Pearson » renfermant les principaux résul- 
tats à connaître pour pouvoir appliquer aux sciences naturelles les méthodes 
de la statistique et du calcul des probabilités. M. Traynard a complété ou rec- 
tifié sur certains points les résultats de ces Mémoires; il ne donne aucun 
exemple numérique, mais on peut en trouver dans le Mémoire anglais plusieurs 
sur la Zoologie, la Botanique, la Méflecine, la Météorologie. 

Dans un premier Chapitre sont définis le polygone de fré(iuence et la courbe 
normale; celle-ci représente seulement une première approximation : des 
courbes générales de fréquence sont définies dans le second Chapitre ; enfin, un 
troisième Chapitre traite de la représentation d'un polygone normal par une 
courbe : les types de courbes introduits paraissent satisfaire à tous les usages 

Rérny {L.). — Sur une classe de surfaces algébriques liées aux 
fonctions abélieunes de genre 3 (193-258). 

Ce Mémoire traite des surfaces algébriques dont les points correspondent aux 
couples de points d'une courbe C non singulière de genre 3. Il est divise en 
deux parties, dont la première traite du cas où un seul couple de points de la 
courbe correspond à un point de la surface, et la seconde du cas où deux 
couples de points de la courbe correspondent à un point de la surface; dans 
chacune des deux parties, le cas hyperelliptique est traité séparément du cas 
général. L'Auteur étudie, dans chacun de ces cas, le nombre des intégrales 
doubles de première ou de deuxième espèce, le nombre des intégrales de diffé- 
rentielles totales de première espèce attachées à la surface; il détermine les 
invariants /?('' et /><'' de M. Nôther et étudie les courbes algébriques tracées sur 
la surface. 

Pour cette étude, M. Rémy fait surtout usage d'une représentation paramé- 
trique due à M. Humbert : les coordonnées d'un point de la surface sont des 
fonctions abéliennes sextuplement périodiques de trois arguments «, i', w, liés 
par la relation 

£r( M, V, w) = o, 

Bull, des Se. math.., 2' série, t. XLII. (Avril 1918.) R.4 



26 SECONDE PARTIE. 

où Sr est la fouction ihéla normale du premier ordre et de caractéristique nulle. 
Citons quelques-uns des énoncés obtenus : 

Toute courbe algébrique tracée sur la surface peut être représentée par 
une équation de la forme 

(i ) 6(m, V, (v) = o, 

étant finie et satisfaisant aux équations fonctionnelles d'une fonction thêta 
pourvu que S? = o Mais on ne peut pas toujours éviter que l'équation (i) ne 
représente, en même temps q-ie la courbe donnée, une autre courbe, que 
M. Rémy détermine. 

LHnvariant relatif p est égal à 2 pour les surfaces dont les points 
admettent une correspondance univoque, sans point fondamental ni courbe 
exceptionnelle, avec les couples de point d'une courbe algébrique non singu- 
lière et non unicursale. 

De là se conclut que {'invariant p, de M. Picard est égal à i4 pour les 
surfaces considérées dans ce Mémoire. 

Rémy {L.). — Sur le nombre des intég^rales doubles de seconde 
espèce d'une classe de surfaces algébriques (259-2^4)- 

Dans ce nouveau Mémoire, M. Kémy étend d'abord à toutes les surfaces qui 
correspondent aux couples de points d'une courbe algébrique non singulière la 
méthode qui lui a permis, dans le Mémoire précédent, de délerniiner l'inva- 
riant Pd dans le cas où la courbe est de genre trois. Il trouve 

Po = '^P'—P- • 

p étant le genre de la cmirbe. 

Ensuite est considéré le cas des surfaces dont les coordonnées d'un point 
sont des fonctions non symétriques des coordonnées de deux points d'une 
courbe algébrique : l'invariant relatif p est maintenant égal à trois, pourvu 
que la correspondance soit univoque et sans coirbe exceptionnelle, et que la 
courbe algébrique ne soit ni singulière ni unicursale. Quant à l'invariant 
absolu p„, on trouve maintenant 

P.. = 4/>'-«- 

L'hypothèse que la courbe algébrique n'est pas singulière est essentielle : 
M. Kémy le montre sur le cas particulier des surfaces de Kuniuier. 

Slekloff [\l' .). — l*robl('ine du inouveinenl d'une niasse lluide 
incompressible de la forme ellipsoïdale dont les parties s'allireiil 
suivant la loi de Newton (suite) (2-5-33()). 

Le commencement de ce .Mémoire a été public dans le même Hecueil en 190H 
{roir l'Analyse dans l'année 190;) de ce Ihilletin). Continuant son étude, 
M. Stekioiï considère le cas où la grandeur des axis de l'ellipsoïde (liiidc ne 



KKVUK DKS PUHMCATIONS. 27 

change pas pemlant le nujuvemenl; son analyse lui permet de signaler 1 inexac- 
titude d'une proposition de Riemann relative à ce sujet. Il examine ensuite le 
cas où le mouvement d'eiitr.iînement se réduit à la rotation de l'ellipsoïde 
autour d'iia de ses axes principaux, et démontre que la seule circonstance où 
cela arrive est celle qu'a considérée Riemann. M. Stekioff cherche encore tous 
les cas où la direction des axes de l'ellipsoïde ne varie pas avec le temps, et 
trouve que les seuls ras possibles sont ceux de KirchhofT et de Dirichlet. Enfin 
le travail se termine par quelques « remarques générales sur l'intégration des 
équations du mouvement ». L'auteur indique certaines intégrales dont la con- 
naissance permet de ramener le problème à des quadratures en nombre déter- 
miné. 

Zaremba {S.). — Le problème biharmonif|iie restreini (33'j-4o4). 

L'auteur entend par problème biharmonique celui qui consiste à trouver une 
fonction w, satisfaisant dans un domaine (Dj à l'équation 

A'w — o, 

où A est l'opérateur de Laplace, et telle que sur la frontière (S) de (D), 
w et -7— prennent des valeurs données, n étant la normale à (S). 

Le problème biharmonique restreint est celui où les conditions aux limites 
imposées à w «ont satisfaites par une fonction 9 donnée à l'avance et satisfai- 
sant à certaines conditions de régularité. 

L'auteur montre que ce problème se ramène à celui-ci : une fonction (^ étant 
donnée, trouver une fonction v telle que, pour toute fonction h harmonique 
dans (D), on ait 



f '\hd'= f vhd'. 



la fonction donnée '^ et la fonction cherchée v, ainsi que h, sont assujetties seu- 
lement à certaines conditions de régularité. 
Enfin ce dernier problème est effectivement résolu par iM. Zaremba. 

Vcssiot {E .). — Essai sur la propagation par ondes (4o5-448). 

M. Vessiot s'occupe de la propagation par ondes dans un milieu à n dimen- 
sions « dont la nature varie avec le temps. Le problème est traité à un point de 
vue purement cinématique. Le milieu est défini par le système des ondes élé- 
mentaires qui ont pour origines, à chaque instant, les divers points du milieu. 
La loi de propagation est le principe des ondes enveloppes; mais nous suppo- 
sons seulement qu'il ait lieu pour un intervalle de temps infinitésimal, et 
aux infiniment petits près d'ordre supérieur. Un des résultats obtenus est 
que le principe est alors rigoureusement vrai, dans tout intervalle de temps ». 

Les considérations de M. Vessiot le conduisent à une théorie nouvelle et 
intuitive de l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre. 
Enfin M. Vessiot ramène la recherche des trajectoires des points du milieu à 
une question de calcul des variations; dans cette dernière question, il démontre 
que les extrémales donnent effectivement le minimum : sa méthode, nouvelle, 



28 SKCONDIi PARTI K. 

est équivalente à celles de Weierstrass et de M. Hilbert, et elle est susceptible 
d'extension. 

Darboux (Gaston). — ■ Sur certains svslèmes d'équations diflé- 
rentielles linéaires (449-47')' 
Les systèmes considérés tout d'abord ici. sont de la forme 



P.,l^k («" = 1^2, ...,«), 



HT ~ ji^ 
avec les conditions 

Toute solution du système satisfait à la relation 

n 

^ _ xî = consl. ; 

on reconnaît là une généralisation d'un système rencontré dans la théorie du 
mouvement relatif. M. Darboux, à la suite d'autres auteurs, montre d'abord que 
pour /» = 4 l'intégration du système peut se ramener à celle de deux équations 
de Riccati ; sa méthode repose sur la considération des intégrales pour les- 
quelles 2. ^} = o- Puis il indique comment sa méthode s'étend au cas de n 

quelconque, en considérant séparément le cas où n est pair et celui où n est 
impair. 

Tout sys'.ème linéaire homngène admet ce que M. Darboux appelle un système 
adjoint, el l'ensemble de ces deux systèmes, considéré comme formant un sys- 
tème unique, est du type qui vient d'être considéré. M. Darboux étend consi- 
dérablement cette notion de système adjoint en considérant les déterminants 
d'ordre p formés à l'aide du tableau des valeurs des inconnues dans p solutions 
particulières du système; ces déterminants, qui sont liés par un grand nombre 
de relations, satisfont à des systèmes d'équations linéaires qui généralisent le 
système adjoint. Ces systèmes peuvent se ramener à d'autres ijui généralisent 
l'équation de Riccati. 

Liapounojf {A.). — Sur une classe de figures d'c(juilibre d'un 
liquide en rotation (473-483). 

On sait qu'une masse liquide homogène, soustraite à toute action extérieure 
et dont les particules s'attirent suivant la loi de Newton, admet certaines 
figures d'équilibre pour lesquelles le mouvement de la masse se réduit à une 
rotation autour d'un axe i\xt. Certaines de ces (igures d'éijuilibre sont des 
ellipsoïdes de révolution a|datis ou des ellipsoïdes à trois axes inégaux. 
M. Liapounolf a étudié dans d'autres Mémoires la question de trouver des 
ligures d'équilibre non ellipsoïdales, mais formant des ensembles continus 
d'où l'on puisse passer d'une façon continue aux ligures ellipsoïdales. 
.M. Liapounolf montre ici qu'il n'y a pas d'autres telles séries de figures non 
ellipsoïdales (|ue celles qu'il a découvertes dans ses prccédcnls travaux. 



RKVUE DES PUBLICATIONS. 29 

Zorelti (Ludovic). — La notion de ligne (480-497). 

Dans ce travail sont étudiés « brièvement les rapports qui existent entre les 
deux définitions de- la ligne que nous devons à M. Cantor et à .M. Jordan ». 
M. Schœnflies a publié de nombreux travaux sur ce sujet; le Mémoire de 
M. Zoretii ne contient pas de résultats plus précis que ceux de M. Schœnflies, 
mais l'intérêt de ce Mémoire réside dans sa manière propre de poser la question 
et d'énoncer les résultats. Sa méthode fait bien moins que celle de M. Schœn- 
flies appel à la Géométrie. 

Minkowski [Uerinann). — Espace et temps ; conférence faite à 
la 80^ réunion des naturalistes et médecins allemands à Cologne, 
le 21 septembre 1908, publiée par les soins de M. A. Gutznier, 
traduite par MM. A. Henne(|uin et J .Marty (499-517). 

Cette conférence traite le sujet de la Mécanique de la relativité, où les 
notions d'espace et de temps ne sont plus distinctes. Les lecteurs de ce Bulletin 
ont pu lire récemment (t. XL, 1916, p. 94-104) sur ce sujet une étude de 
M. Vergne. 

Bottcher [Lucien). — Nouvelle méthode d'intégration d'un sys- 
tème de 11 équations fonctionnelles linéaires du premier ordre 

de la forme 

/=" 

(519-543). 

La méthode de M. Bottcher repose sur la connaissance d'une solution parti- 
culière quelconque de l'équation fonctionnelle 

dans laquelle h est une constante, arbitraire sous la condition 

|Al<i. 

A l'aide de cette fonction B sont formées des séries; les fonctions U, cher- 
chées sont représentées chacun* par un quotient de deux telles séries. L'Auteur 
trouve ainsi rt solutions indépendantes au système donné. Quelques indications 
sur les zéros et sur les singularités des fonctions trouvées terminent le 
Mémoire. 

Tome XXVII, 1910. 

Boussinesq (</.). — Sur une importante simplification de la 
théorie des ondes (|ue produisent, à la surface d'un liquide, 



3o SKCONDK PAHTIK. 

l'émersion d'un solide ou l'impulsion d'un coup de venl 
(9-42). 

Ce Mémoire a pour but la simplification des méthodes données vers i8i5 par 
Cauchy et Poisson pour exprimer, au moyen de séries convergentes, en fonc- 
tions des coordonnées x, j-, z et du temps t, le potentiel f des vitesses et la 
dénivellation /i, dans le problème des ondes infiniment petites produites dans 
un bassin indéfini latéralement comme en profondeur, par léniersion d'un 
solide suivant une surface infiniment petite, ou par une impulsion superficielle 
suivant une surace également infiniment petite. M. Vergue, dans sa Thèse, 
ayant déjà notablement simplifié les démonstrations de Cauchy et de Poisson, 
M. Boussinesq simplifie encore la démonstration de M. Vergue, en l'étendant 
au cas d'un bassin limité quelconque. Il résulte encore de ce Mémoire que les 
formules de Poisson et de Cauchy peuvent elles-mêmes, dans certains cas, 
s'étendre à des bassins indéfinis en profondeur, mais limités latéralement par 
des parois verticales; par exemple dans le cas où le bassin alfecte la forme 
d'un prisme à base rectangulaire, ou triangulaire équilalérale, ou hexagonale 
régulière. 



Fatou (P.). — Sur une classe remarquable de séries de Taj'lor 
(43-53). 

Soit6(?^) une fonction, holomorphe à l'intérieur d'un cercle V de centre a. 
et telle que pour tout point u intérieur à F, on ait 

|6(u)-aI<K|«-al (8<K<i). 
Soient encore 

e,(u) = 9(w), e„(") = 6[9„-,(")L 

a = 6'(a). 
Considérons la série entière en z 

/(x:) = «-+- Vz"e„(M) 

71=1 

M. Fatou démontre que cette série représente une fonction méromorphe 
de z qui est le quotient de deux fonctions entières de genre zéro, la fonction 
dénominateur étant 

{x-z)ii-az)(,-a'z)...(i-a"z)..., 

M. Fatou obtient même quelques indications supplémentaires sur les fondions 
entières introduites, et donne une généralisation de celle proposition. 

Poincaré {II-)' — Sur les courbes tracées sur les surfaces algé- 
briques (55-io8). 

MM. Fnriques, t^aslelnuovo et Severi ont démontre (|uo le nombre des inté- 
grales de dilTérenticlle totale dc7 première espèce d'une surface algébrique 



REVUE DES PUBLICATIONS. 3i 

dépend des systèmes continus algébriques, non linéaires, de courbes algé- 
briques qu'on peut tracer sur la surface. M. Poincaré retrouve ce tbéorème 
par une voie purement transcendante. Il introduit des valeurs de y qu'il 
nomme critiques. Soit p le genre de la section de la surface par les plans 
y = const. et considéions les intégrales abéliennes de premières espèce 



fB.dx .. . 



où R est une fonelion rationnelle de x, y, z : les valeurs critiques de première 
espèce de y sont, par définition, celles pour lesquelles il existe des cons- 
tantes )k; telles que 

£)>,R, = o; 

ce sont ces valeurs critiques qui jouent le principal rôle dans ce Mémoire. 
Leur nombre est étroitement lié à la différence entre p et le nombre des 
surfaces d'ordre n — ^3 qui passent par les courbes doubles de la surface donnée 
d'ordre n. 



Cartan {E .) — Les systèmes de Pfaff à cinq variables et les 
équations aux dérivées partielles du second ordre (109-192). 

Les systèmes en involution de deux équations aux dérivées partielles du 
second ordre à deux variables indépendantes jouissent de la propriété que leurs 
surfaces intégrales sont engendrées par des multiplicités caractéristiques du 
second ordre dépendant de cinq constantes arbitraires. Ces caractéristiques 
doivent être associées de façon que leurs cinq paramètres satisfassent à un 
certain système de trois équations aux différentielles totales (équations de 
Pfaff). M. Cartan dit que deux systèmes en involution sont équivalents si l'on 
peut, par un changement de variables, passer du système de Pfaff correspon- 
dant à l'un au système de Pfaff correspondant à l'autre : il faut et il suffit 
pour cela qu'on puisse passer de l'un à l'autre des systèmes donnés par une 
transformation de contact. 

Si l'on considère une équation aux dérivées partielles du second ordre à 
caractéristiques confondues dépendant de constantes arbitraires, on est con- 
duit encore à introduire un système non intégrable de deux équations de 
Pfaff à cinq variables. 

M. Cartan, dans ce Mémoire, forme les invariants des systèmes de deux et de 
trois équations de Pfaff à cinq variables par rapport au groupe général des 
transformations à cinq variables. Puis il applique les résultats obtenus aux 
systèmes en involution de deux équations aux dérivées partielles du second 
ordre, ainsi qu'aux équations à caractéristiques confondues, dont on vient de 
parler. Il arrive à déterminer la structure du groupe des transformations de 
contact qui ne changent pas un système en involution donné, et donne ainsi 
une classification de ces systèmes. En dehors de certains cas, qu'il précise, 
les caractéristiques s'obtiennent par des quadratures et, au plus, une équation 
de Riccati, et l'on a des renseignements sur les opérations à faire pour les 
associer. M. Cartan obtient des résultats analogues pour les équations à carac- 
téristiques confondues dont il a été question. 



(A) 



32 SECONDE PAHTIK. 

Fréchet (^Maurice). — Sur les fonclionuelles continues (iqS- 
216). 

M. Fréchet étudie dans ce Mémoire une mélhode de représentation des fonc- 
tionnelles continues par des séries d'intégrales multiples. Il obtient d'abord ce 
résultat que toute fonctionnelle continue Hr de la fonction / de x continue 
elle-même dans l'intervalle (o, tt) est représentable sous la forme 

LV=lim u^O-h/ u,l'{x,)f(x^)dx,A-f /■ u'-^'{x,,x^)f{x.}f{x^)dx,dx^-^... 

n = x |_ J(, Jo Jq 

-+- / / •■• / u"^''''{x^.x._,...,xr,)f{xr„)...f[x.)f{x^)dx^dx....rlx, 

où les «„'" sont des fonctions continues, ou même, si l'on veut, des polynômes, 
qui sont déterminées par la fonctionnelle U indépendamment de la fonc- 
tion f{x). Il étudie ensuite la nature de la convergence de ce développement 
dans certains ensembles, nommés com/>ac^s, de fonctions/, et prouve que cette 
convergence est uniforme. 

Ce développement (A) peut être établi de plusieurs façons pour une fonc- 
tionnelle donnée, de même qu'une fonction continue peut être développée de 
diverses façons en série de polynômes. M. Fréchet définit une classe particu- 
lière de fonctionnelles, dites d'ordre entier, pour lesquelles on peut énoncer 
un résultat plus précis. Enfin il s'élève à la notion de fonctionnelles ana- 
lytiques, comparables aux fonctions holomorphes d'une variable complexe, 
et dont un certain développement, cas particulier de (A), est unique. 

Diverses propriétés, que nous n'avons pu indiquer ici, et qui étendent aux 
fonctionnelles des propriétés des fonctions, sont en outre données dans ce 
travail, 

Rados [Gustave). — Sur une théorie des congruences à plusieurs 
variables (2 17-28 i). 

Considérons la congruence 

m n 

F(^, r) =^ V A*/'jc"— ^"-* = o (mod/>), 

p étant premier. M. Rados donne une condition nécessaire et suffisante pour 
qu'elle admette une solution où ni x, ni y ne soient divisibles par p; puis 
une condition nécessaire et suffisante pour qu'elle admette une solution quel- 
conque. Pour obtenir la première condition, il ranuiie m et n à être égaux 
à /) — 2, au moyen du théorème de Fermât : la condition est alors qu'un 
certain déterminant à ( /> — ')' lignes soit nul. Pour obtenir la seconde condi- 
tion, il ramène m ei n à la valeur p — i, et la condition est qu'un certain 
déterminant à /)• lignes soit nul. M. Hados énonce encore deux propositions 
donnant, au moyen du ran^ de ces déterminations, le nombre des solutions 
dilTérenles de l'espèce considérée, mais il renvoie pour les démonstrations à des 
travaux parus ailleurs. 



UI'VUIÎ l>KS PUUIJCATIONS. 33 

Bernstein [Serge). — Sur les surfaces définies au moyen de leur 
courbure moyenne ou lolale (233-256). 

Ce Mémoire contient des applications de résultats généraux démontrés par 
l'auteur dans un Mémoire Sur la généralisation du problème de Dirichlet 
paru dan? les Mathematische Annalen, 1910; étant donnée une équation ana- 
lytique elliptique 

(i) ¥{r. s, t. p, q, z, x,y) = o [4 F'^F^ — ( Fip > 0], 

le problème de Dirichlet consiste à en déterminer une solution analytique à 
l'intérieur d'un contour C et prenant des valeurs données sur le contour C. 

Après avoir rappelé les conditions nécessaires et suffisantes qu'il a obtenues, 
M. Bernstein les applique d'abord aux équations 

(2) (i-f- ^2) r_ 27?^.s -+-(!+/>')< = 0, 

(3) {x + q-^)r-2pqs^{i^p-^)t = z{i-hp-'-^q^), 
(\) (ï-hq-) r — 2pgs^{ï-hp'')t = i-i-p- -^q'', 

( 5 ) ( , ^ çî ) r — 2 pqs -^ (j ^ p-) f = k ( i ^ p'' ^ q^)- . 

Pour les équations (2), (3) et (4) le problème de Dirichlet est toujours 
possible et même régulièrement : c'est-à-dire que, si la suite des valeurs 
données sur le contour est analytique, les dérivées des deux premiers ordres 
de la fonction inconnue sont bornées même sur le contour'. Pour l'équa- 
tion (2), le problème de Dirichlet se confond avec le problème de Plateau. 
Pour l'équation (5), au contraire (surfaces à courbure moyenne constante), 
le problème est, suivant les cas. possible régulièrement ou non, ou impossible. 
iM. Bernstein considère ensuite les équations 

(6) rt — s' = k', 

(7) z-^ — s^ = A-^(H- /?=-+- 7-). 

Pour la première, le problème de Dirichlet est toujours possible et admet 
deux solutions; pour la seconde, il est possible avec deux solutions si A' est 
assez petit. Si k^ tend vers zéro, les surfaces solutions de cette dernière équa- 
tion tendent vers des surfaces irrégulières applicables sur le plan. 

Haag (J.). — Familles de Lamé com|)05ées de surfaces égales. 
Généralisations. Applications (207-33-). 

Extrait de l'Introduction. — Mon travail se divise en quatre Chapitres : 

Dans le premier, je m'occupe des familles de Lamé composées de sur/aces 
égales. Je n'y établis guère de résultats essentiellement nouveaux. Néanmoins, 
la méthode que j'ai employée m'a paru digne d'être exposée parce qu'elle 
permet d'obtenir très rapidement tous les résultats connus jusqu'à présent et. 
en outre, parce qu'elle donne le moyen de déterminer, d'une façon commode, 
les systèmes triples orthogonaux dont elle démontre l'existence. 

Le second Chapitre est une généralisation du précédent. Je me propose d'y 
déterminer toutes les familles de Lamé dont les différentes surfaces ont des 
Bull, des Sciences mathém., a' série, t. XLIL (Mai 1918.) R.6 



14 SECONDE PARTIE. 

représentations sphériques égales. Je suis arrivé à Jes résullals d'une forme 
assez élégante, qui permettent d'aborder, par une nouvelle voie, le problème 
qui fait Tobjet du premier Chapitre. 

Dans le troisième Chapitre, je me pose la question suivante : Peut-on 
trouver deux familles de Lamé composées de surfaces deux à deux égales, 
mais placées dans des positions relatives dij/érentes ? Cette question est 
intimement liée à celle des familles de Lamé composées de surfaces égales et 
peut donner naissance à d'intéressantes applications. C'est ainsi, par exemple, 
qu'elle m'a permis de déterminer toutes les familles de Lamé composées 
d'hélicoïdes, ainsi que celles dont les différentes suif aces admettent chacune 
un plan de symétrie, variable d'une surface à la suivante. 

Enfin, le dernier Chapitre généralise le troisième, comme le second généra- 
lise le premier, c'est-à-dire que je me pose encore la question précédente, 
mais en supposant simplement que ce sont les représentations sphériques qui, 
deux à deux, sont égales. 

J'aurais voulu développer, dans un cinquième Chapitre, l'application à 
différents cas particuliers très intéressants des théories exposées dans les 
quatre autres. Mais j'ai dû me borner, pour ne pas allonger outre mesure ce 
travail, à indiquer sommairement les résultats olitcnus et ceux que j'espère 
obtenir. 



Bachelier (/-'.). — Les pr()l);ibilités à pltisieiirs vari;il)les (33()- 
3Go). 

M. Bachelier introduit dans le lalcul îles probabilités des variables con- 
tinues : supposant (jue le calcul s'applique à un jeu oii n joueurs jouent ji 
parties, il admet que |x et les pertes de /) joueurs sont des variables continues; 
il appelle cela le calcul des probabilités à « — i variables, variables qui sont 
les pertes de n — i des joueurs. Il a ainsi l'avantage de pouvoir utiliser dans 
son calcul des équations ordinaires aux dérivées partielles. Il admet ici que 
ses joueurs ont chacun une fortune infinie. Représentant par x^,.r.^, ...,j~„ , 
les pertes des joueurs entre les parties ix et ia,, et par f{^, \>.^,x^,x^, ...,x'„_,) 
la probabilité pour (jue ces pertes aient les valeurs o",, x.,, ..., a:,, ,. l'auteur 
trouve que y satisfait aux conditions 

/([i,, p., X,, J?3, ...,x„_^) 

/ ••■ / /(ao,!^„X„X,. ...,X„_,) 

X/Cix,, [1. X^ — \^. X^ — \.^s . . ., J7„., — X,,^,) </X, r/\.. . .</.\„_, 



lim / / ••• / f {yx.,\i. u^, u^. . . . , u .) du.du. . . . du . 



Si Ion introduit la fonction d'instabilité çiii) relative an joueur A, pour 
l'ensemble de |a parties, c'csl-à-dire le double de la valeur moyenne du carré 
de la perte de A, dans un jeu équitable, et si 1 on introduit encore les valeurs 
movrniics /,^(a; : 2 des x\x^ dans les nu iiic> cunditions, <>n Iroiive ijuc les 



RI-VUK DIiS PUBIJCATIONS. 35 

relations précédentes entraînent 

n— 1 n — 1 « — 1 ^ 






i=i y = i 

d'où M. Bachelier lire diverses conséquences, notamment pour la théorie des 
épreuves répétées, et pour celle des probabilités mêlées. Le cas du jeu non 
équitable est aussi envisagé. 

Lebesgue {Henri). — Sur lliilégration des fondions discon- 
tinues ( 36i-43o). 

.M. Lebesgue s'occupe principalement ici de la dérivation des intégrales 
multiples. Il rappelle les notions relatives aux ensembles mesurables et aux 
intégrales définies, puis il introduit la notion d'intégrale indéfinie comme 
fonclion d'ensemble, et indique que, pour des familles régulières d'ensemble, 
la dérivation est presque en tout point l'opéralion inverse de l'intégration : 
il nomme dérivée en P de sa fonclion d'ensemble -•' (E) la limite de .^t (E) : /n(E), 
E étant un ensemble contenant P et dont toutes les dimensions tendent vers 
zéro. Il envisage aussi une autre notion d'intégrale indéfinie comprise dans la 
première, due à M. Vitali, à propos de laquelle s'introduit la notion de fonc- 
tion absolument continue, qui donne une condition nécessaire et suffisante 
pour qu'une fonction soit une intégrale indéfinie. M. Lebesgue considère 
ensuite la dérivation des fonctions à variation bornée, puis la dérivation par- 
tielle des intégrales indéfinies; il arrive à cette conclusion que, si l'on fait 
abstraction d'un ensemble de mesure nulle convenablement choisi, l'inté- 
grale -^(x,, x^, ..., J7j ) d'une fonction sommable f admet sur l'ensemble 
restant E une différentielle totale première permettant de calculer les nou- 
velles dérivées premières de  après un changement de variables quel- 
conque. Enfin, dans un dernier paragraphe, sont réunies diverses formules, 
relatives les unes au calcul approché des intégrales, notamment à une remar- 
quable généralisation du second théorème de la moyenne, les autres au calcul 
exact, notamment à linlégration par parties et au changement de variables. 

Clfiiriii (J.). — • Sur les transtornialions dune classe d équations 
aux dérivées partielles du second ordre ( '{51-489). 

Considérons l'équation 
(O r ^ f{x. y, z, p. q, s, t) = 

et supposons qu'elle admette un groupe continu (G ) de transformations de con- 
tact d'ordre pair 2«. M. Clairin prolonge (G ) en introduisant les dérivées de z 
jusqu'à l'ordre n, exprimées à l'aide de relies d'entre elles où ne figure au plus 
qu'une dérivation par rapport à ce, et démontre que (e) peut se ramener, par 
une transformation où figurent ces mêmes dérivées, à une équation de Monge- 
Ampérc; on peut même s'arranger pour que celle-ci contienne linéairement les 
dérivées secondes, \dmeltant ensuite que (G) soit d'ordre impair 2/j— i, 
M. Clairin démontre qu'on peut faire correspondre à (s) deux équations de 



36 SliCONDE PAIMIE. 

Monge-Ampère. II peut pourtant, que (G) soit d'ordre pair ou impair, se pré- 
senter un cas exceptionnel où ces conclusions sont en défaut. 

Dans une seconde Partie, .M. Clairin étudie les propriétés des transformations 
qui viennent d'être définies. Il démontre rvotamment la possibilité de les rem- 
placer dans certains cas par une suite de transformations plus simples. 

Les transformations indiquées dans la première Partie sont encore impos- 
sibles si (s) n'admet qu'une seule transformation infinitésimale de contact : 
iM. Clairin montre qu'on peut alors parfois remplacer les transformations 
étudiées par une transformation de Biicklund de deuxième espèce. 

Boussinesq (J.). — Sur les pi-incipes de la Mécanique et sur leur 
applicabilité à des phénomènes qui semblent mettre en défaut 
certains d'enlre eux (491-528 ). 

Dans cette très intéressante étude philosophique sur les principes de la 
Mécanique, M. Boussinesq admet comme principes fondamentaux que dans un 
système de points matériels seuls dans l'espace : 1" l'accélération de chaque 
point ne dépend que de la configuration du système, nullement des vitesses de 
chaque point: 2° que ces points peuvent, pour une même configuration, 
recevoir toutes les vitesses possibles; 3° qu'il existe, pour chacun d'eux, un 
coefficient constant nommé masse, jouissant des propriétés bien connues, et 
notamment de celle de la conservation de l'énergie, par l'introduction de 
l'énergie actuelle, ou cinétique, et de l'énergie potentielle. Or certains faits, 
comme le mouvement d'un boulet éprouvant de la part de l'air une résistance 
fonction de la vitesse, semblent contredire ces lois. Mais M. Boussinesq montre 
que la contradiction peut n'être qu'apparente, et due aux approximations que 
notre intelligence, dans sa faiblesse, est obligée de faire dans l'étude des 
phénomènes; par exemple, on peut admettre que, dans le cas du boulet, pour 
chaque vitesse du boulet il tend à s'établir un régime permanent d'écoulement 
de l'air dans son voisinage; dès lors, si cette vitesse ne varie pas trop vite, ce 
régime sera toujours prés d'être atteint, et par suite la configuration des par- 
ticules d'air au voisina§e du boulet ne dépendra, en première approximation, 
que de sa vitesse : d'où l'explication de la contradictidu apparente. Nous ne 
suivrons pas M. Boussinesq dans l'étude des autres phénomènes qu'il étudie 
ici; il nous suffira de noter que ces explications ingénieuses et du reste fort 
plausibles lui permettent de rendre compte de phénomènes où la masse de 
certains corps parait varier, dépendre de la grandeur et de la direction de la 
vitesse; et même où l'accélération d'un point du corps à chaque instant paraît 
dépendre de l'ensemble des états antérieurs de ce corps. Ces considérations 
sont appliquées aux planètes, dont la masse fictive est praiiquemenl égale à la 
masse vraie, et aux particules des rayons cathodiques, pour lesquelles il est 
loin d'en être de même. 



Sainte-Laguë {A.). — La représenlalioti proporlionnelJe et la 
méthode des moindres carrés (529-542). 

Soit à partager l'entier N proportionnellement aux noniliros .V. B, C, ... 
dont la somme est S; on trouve des valeurs exactes a, b. c, ..., que l'on rem- 



REVUE DES PUBLICATIONS. 87 

place par des valeurs entières a, |î, y, .... Lauleur cherche à faire la réparti- 
tion de manière que la somme 

. /a -N 

-■^\\ S 

soit minimum, et trouve qu'il suffit pour cela de remplacer les diviseurs i, 2, 
3, 4i .•. de la mithode d'Hondl par la suite des nombres impairs i. 3, 5, -, .... 
Celte méthode est ensuite comparée à celles qui ont été précédemment pro- 
posées par d'autres auteurs. 

Vergîie {H.). — Sur ceiHaines propriétés des systèmes d'équa- 
tions difTérentielles (543-563). 

Ce Mémoire est consacré à l'élude des propriétés qu'ont certains systèmes 
d'équations différentielles, notamment des sjstèmes canoniques. M. Vergne 
rappelle d'abord certains résultats connus, relatifs par exemple aux change- 
ments canoniques de variables 11 en tire des conséquences remarquables pour 
les systèmes canoniques : par exemple une expression dépendant des inté- 
grales du système et de leurs dérivées jusqu'à un ordre quelconque, et qui 
reste invariante par un changement canonique de variables, est une inté- 
grale. Ces résultats comprennent le théorème de Poisson et beaucoup d'autres, 
dus notamment à Poincaré. Ils permettent de retrouver les invariants inté- 
graux de Poincaré. 

Passant aux sj'Slèmes quelconques d'équations difTért-ntielles, M. Vergne 
démontre que la connaissance de certains invariants intégraux et d'un certain 
nombre d'intégrales permet d'obtenir des muliiplicateurs du système. Ces 
résultats appliqués aux systèmes canoniques permettent de retrouver des pro- 
priétés déjà établies dans ce Mémoire. 

Brouwer [L.-E .-J.). — Sur les continus irréductibles de 
M. Zoreiti (565-566). 

M. Brouwer relève certaines erreurs contenues dans l'article sur la Notion 
de ligne publié par M. Zi)retti dans le même recueil, 3= série, t. XXV, 
p. 485-497- 

Zoretti. — Rematqiie au sujet de la remarque de M. Brouwer 

(567). 

M. Zoretti, auquel ces erreurs avaient déjà été signalées par M. Janiszewski, 
a déjà, dans une Note aux Comptes rendus de l'Académie des Sciences 
(1.151, 1910, p. 201), indiqué les rectifications que doivent subir ses énoncés. 
Il indique ici le point exact où se trouve l'erreur principale signalée par 
M. Brouwer. 

Picard [Emile). — Sur une classe de fonctions fondamentales 
et sur certains développements en série (569-574)- 



8 SKCONDK PARTIE. 

M. Schmiiil a ramené, dans son élude des Mathematische Annalen, 
t. LXIII, la possibilité du développemenl dune fonction / suivant une certaine 
série de fonctions fondamentales à la possibilité de la résolution d'une équation 
intégrale de première espèce. M. Picard considère ici le cas simple où cette 
équation est du type d'Abel et de M. Volterra, et montre que, dans des cas 
étendus, la possibilité des dével<ippemenls de .M. Sclimidt est certaine. 
M. Picard signale comme particulièrement intéressant à étudier le cas où le 
noyau de celte équalion est e'}, les limites étant un nombre positif a 
et + 30 : les fonctions fondamentales sont alors définies par les équations 



■^{x) = \ I «-'->■ ■; {y ) cly , 
•l{x) = \l e-^yo{r)dy. 



Georges Giraud. 



RE\DIC0\T1 DI:L CIRCOLO M VTEMATICO Dl PALERMO. 
Tomo X\ II. igoi (') (I" Partie : Memorie e Coviunicazioni ). 

Giulotto ( V.). — Sopra una nuova eslensione délie funzioni sfe- 
riclie di Leoeiidre. (Sur une nouvelle extension des fonctions 
sphérlques de Legendre. ) ( i-43. ) 




Loria (G-). — Sui loitdanicnli dclla leona piojelliva délie nirve 
al<;el)rlche sgliemhe. (Sur les fondements de la lliéiirio projec- 
' live des rourhes alg('d)ri(jiies ganclies. ) ( \ \-6\- ) 

L'auteur pi'ésente une exposition didactique élémentaire des propriéli-'s lun- 
Hamcntalt's des courbes j<auclies; il l^s définit comme étant le lieu d'un point 
dont les cooidonnées liomogèncs ont pour rxpres-ions 

J7.= ç.(^,, t,, l,) (/■ = !, :•. 3. ',). 
(') Voir Bull, des Se. nuUli., t. M-L, p. V'^'-''- 



KKVUIÎ DliS l'U H Lie ATI ON S Sg 

les 9; étant homogènes, et les t salisfaisanl à une lelalion algébrique. Il étudie 
ainsi la tangente, le plan osculaleur cl son envelo[i[)e. ainsi que certains entiers 
remarquables liés à la courbe. 

Perna {A.). — Le equazioni délie curve in coordiiuiLe coinjDlesse 
coniugate. (Les équations des courbes en coordonnées com- 
plexes conjuguées.) (65-^2.) 

Posons x; = .r -(- iy, z' = x — iy, et soit f (z, z' ] — o l'équation d une courbe 
plane; pour une courbe algébrique réelle, / est un polynôme dont les coeffi- 
cients doivent satisfaire diverses conditions qu'indique l'aulciir. 

Severi {F-)- — Su alcune qucstioni di poslulazione. (Sur quelques 
questions de postulation.) ('j3-io.3.) 

Précédemment, M. Severi avait calculé le nombre des conditions imposées au\ 
hypersurfaces d'ordre l assez élevé qu'on assujettit à contenir une variété, 
appartenant à un S^ et intersection cini; icte de /* hypersurfaces. L'auteur montre 
d'abord que, moyennant certaines conventions de langage, la restriction précé- 
dente peut être supprimée. Puis il étend le théorème du reste aux courbes et 
aux surfaces de S^ : ainsi, pour les premières, supposons cjuc /• — i hypersur- 
faces se coupent suivant deux courbes C et C; par définiiion, toute hypersur- 
face passant par C sera une adjointe pour C; et l'auteur établit que toutes les 
adjointes à C, d'ordre donné tt passatit par un gr<iupe de points donnés sur C, 
y découpent une série complète. Puis, à l'exemple de M. lùiri(|ues, il construit 
la série canonique en se servant des séiies jacobiennes; et il termine en étu- 
diant les systèmes adjoints des sections hyperplancs d'une hypersurface et de 
Icui's multiples. 

De Franchis (J^J-). — Sulle varlelà oc- délie copie di puuli di due 
cuive o di una ciirva algebriCii. ( Sur les \ariétés oc- des couples 
de points de deux courlus tm d Une couilx' aigéhiique. ) 
(io4-i2 I . ) 

L'auteur détermine les invariants absolus /;„, /?„, /j"\ et les invariants rela- 
tifs I et w pour les variétés images des couples de points de deux courbes ou 
d'une même courbe. Chacun de ces cas exige une discussion spéciale, qui pro- 
cède à la fois de la Géométrie et de l'Analyse. 

Del Re (A.). — Sulla leoria dcgli as^i-segnicnli. (Sur la théorie 
des axcs-seginents. ) (122-128.) 

En s'appuyiint sur ce fait que dans un moiiMincnt hélicoïdal le travail d'un 
lorseur est égal à celui de ses composantes, l'auteur parvient à simpli.ûer la 
méthode par l.iqiicile Hall avait établi les formules de transformation , de la 



4o SECONDE PARTIE. 

théorie des vis. En outre, le procédé de l'auleur n'exige plus que les systèmes- 
vis de référence aient leurs six composantes respectivement parallèles. 



Del Re {A.). — Sopra una superficie del quaito ordine. (Sur une 
surface du quatrième ordre.) (129-158.) 

L'auteur approfondit l'étude de la surface pecténoïde 
{ x^ -k- y'^ -\- z" ) z- — h-x" — G, 

qui avait été entreprise par Bail. Il en fait la représentation plane d'ordre mi- 
nimum (par un système de cubiques); puis il cnumère sur la surface dix 
droites imaginaires (dont six isotropes) et huit systèmes de coniques (dont 
deux sont des cercles). 

Burgatli i P .). — SuUe equazioni liiieari aile derivate parziali del 
secondo ordine con n variabili independenli. (Sur les équations 
linéaires aux dérivées partielles du second ordre à n variables 
indépendantes.) (i 39-167.) 

L'auteur traite successivement les problèmes suivants : reconnaître si une 
équation linéaire du second ordre à n variables peut être ramenée à une équa- 
tion analogue an — i variables, et dans l'affirmative faire la réduction; recon- 
naître si l'intégration des équations linéaires de Dini (Lincei, 1^96) peut être 
ramenée à l'intégration successive de deux équaiifms du premier ordre. 

Marletta (G.). — La Irasformazione quadralica ('2,2) fra piani. 
[La transformation quadratique (2,2) entre plans.] ( i-.)-i84.) 

L'auteur considère les deux plans comme immergés dans un Sj ; el, par deux 
droites fixes de S,, ainsi que par deux points correspondants pris sui- les deux 
plans, il fait passer deux plans variables qui se cou|)ent suivant une surface il, 
rationnelle, du sixième ordre, à sections hyperplanes elliptiques. Celle surface 
permet de définir géométriquement la correspondance; mais on peut aussi l'uti- 
liser pour donner des constructions géométriques de la même correspondance 
sans sortir de chacun des deux plans. 

Pascal (E.). — Su di una equazione dilTerenziale di forma più 
générale di quella di Rircali, e sid rapport© anarmonico di 
qualtro radici di unii ('(piaznmo algebrica a coefficienli vaicibiii. 
(Sur une éqiialion dilliTenlielle de forme plus générale (pie 
celle de Riccali, et sur le rapport anliarmoniquc de cpiatie 
racines dune équation aigébricpie à coefficienls \ariables.) 
(185-190.) 



RHVUK DES PUBLICATIONS. 4i 

Les intégrales de l'équation 

satisfont à la condition 

(^172X37^) = Ce-' , 

où C est constant, et où les A' s'expriment par des wronskiens à quatre lettres 
y^ y2^ yi^ yi- L'auteur applique ensuite cette formule aux équations algé- 
briques. 

Giudice {F.). — Sixlle successioni cli nunieri reali. (Sur les suites 
(le nombres réels.) (191-19-.) 

Au sujet de l'ensemble dérivé d'un ensemble dénombrable, M. Giudice se pose 
divers problèmes, tels le suivant : Déterminer les conditions nécessaires et 
suffisantes à imposer à une suite pour qu'elle puisse être transformée en 
suite monotone. 

Toffoletti (C). — SuUa funzione del modulo massimo nelle 
Irascendenti iiitere di génère finito. (Sur la fonclion du module 
maximum dans les transcendantes entières de genre fini.) (198- 
22 I .) 

Après avoir rappelé difTérenls points classiques de la théorie des fonctions 
enlièies, l'auteur donne divers énoncés sur les sommes et les produits de fonc- 
tions entières : il les étudie surtout au point de vue de l'ordre et de la régula- 
rité de la croissance. 

Fiibini (G.). — Di un metodo per Tintegrazione e lo studio délie 
equazioni aile derivate parziali. (Sur une méthode pour l'inté- 
gration et l'étude des équations aux dérivées partielles.) (222- 
235.) 

L'auteur applique la méthode de Cauchy-Lipschilz aux équations aux déri- 
vées partielles; dans le développement des calculs, il se limite aux équations 
linéaires de Laplace. 

Pexider [J.-W). — Une application d'une formule de Caucliy. 
(286-240.) 

L'auteur se sert d'une formule de Cauchy pour calculer l'intégrale d'une fonc- 
tion définie par une relation implicite. 

Tedoiie {0.). — Sulle equazioni dell' equilibrio elaslico per un 
corpo isolropo con spéciale riguardo aile iorze di massa e su 
Bull, des Sciences matliéni., a* série, t. XLIL (Juin igtS.) U.G 



42 SECONDE PARTIE. 

alcuni pioblemi relativi alla sfera elaslica. (Sur les équations de 
l'équilibre élastique pour un corps isotrope dans le cas spécial 
où il existe des forces de masse et sur quelques problèmes rela- 
tifs à la sphère élastique.) (241-274-) 

M. Tedone étend les résultais qu'il a obtenus antérieurennent pour les pro- 
blèmes d'équilibre élastique isotrope au cas où les forces agissant sur les 
éléments intérieurs ne sont plus nulles. Après avoir rappelé les notations et les 
principales formules de son Mémoire des Annali di Matematica (sér. III. 
t. 8, p. 129), il étudie successivement la sphère élastique soumise à des dépla- 
cements superficiels donnés (quelconques, normaux ou tangents), puis à des 
efforts superficiels donnés (mêmes hypothèses), et il termine en résolvant le 
problème dans le cas où l'on connaît les composantes tang^entielles des déplace- 
ments et les composantes normales des efforts (ou vice versa). 

Calapso (P-)- — Sulla superficie a linee di cur\ attira isolenne. 
(Sur la surface à lignes de courbures isothermes.) (275-286.) 

Soit S une surface à lignes de courbures isothermes, prises pour courbes 
coordonnées; en écrivant les déterminants de Gauss sous la forme 

D = -l3(w -1- .'i)e?, D"= -^(tu — fl)eî [cls'' = e'-'i (du'-h dv^)], 
Tauteur montre que w satisfait à l'équation 






liu Ov / du ôv 



w' = G ; 



il étudie par celte voie les invariants de S relativement à l'inversion, et il ter- 
mine en rattachant la transformation de M. Darboux à une autre, plus géné- 
rale. 

Sinigallia (L.). — I simboli di Chrislofl'el estesi per le forme 
difl'erenziali di primo ordine e di grado qualunque. (Les synj- 
boles de ChrislolTel étendus aux formes différentielles du pre- 
mier ordre et de degré quelconque.) (287-296.) 

Soit F une telle forme; l'auteur considère des matrices formées au moyen 
des symboles de Christoffel relatifs à b' (au sens, généralisé, de .M. Pascal); ces 
matrices jouissent de propriétés invarianles par rapport aux changements de 
variables. Pour qu'elles aient la caractéristique 1 ou a, il faut et il suffit que F 
soit la puissance d'une différentielle exacte, ou dune expression de Pfaff com- 
plètement intcgrable. 

Mineo iC). — Sulla curva liu)go dci puiili di coutatto dellc 
superficie d'un fascio d'ordiue n con le superficie d'un fascio 



REVUE DES PUBLICATIONS. 43 

d'ordine n' . (Sur la courbe lieu des points de contact des sur- 
faces d'un faisceau d'ordre n avec les surfaces d'un faisceau 
d'ordre/?'.) (ag^-Sio.) 

Après avoir construit la courbe (comme intersection complète de deux sur- 
faces), l'auteur en détermine l'ordre et le genre; il calcule le nombre des 
couples (le surfaces qui ont des contacts stationnaires ou des doubles contacts ; 
et comme application, il étudie le cas où l'un des faisceaux est formé de plans. 

Ferretti (G.). — Sulla generazione délie involuzioni piane di 
classe zéro ed uno. (Sur la génération des involutions planes 
de classe zéro et un.-) (3ii-326.) 

Les premiers travaux systématiques sur les involutions planes I d'ordre >i 
remontent à M. Castelnuovo; ils reposent sur la considération d'une surface F, 
normale dans un S_., et fournissant une image birationnelle de l'involution. 
L'auteur développe cette méthode et montre, notamment, qu'à toute courbe 
d'ordre m appartenant à I, correspond sur F une courbe d'ordre m et inverse- 
ment. Puis il aborde la construction elTective des involutions de classe o (et, 
en particulier, celles de de Jonquières); il termine par différentes propositions 
relatives aux involutions de classe i. 

Petrovitch {M-)- — Généralisation de certaines formules de 
Stieltjes. (327-334.) 

Dans la théorie de la fonction F, Stieltjes avait établi diverses formules, que 
généralise M. Pelrovitch; voici l'un de ses énoncés : Si, pour <!R(^)>>> 
et cR.(f)>>., f{t) et ^{z, t) sont holomorphes, /* tendant vers zéro 
avec I <"'!, on a 

Cette formule et ses analogues facilitent le calcul des coefficients du développe- 
ment d'une fonction en série de Taylor. 

Orlando (L.). — Sulla deformazione di un Iriedro trlrettangolo c 
di una lastra indefinita, elastici, isotropi. (Sur la déformation 
d'un trièdre irirectangle et d'une plaque indéfinie, élastiques, 
isotropes.) (335-352.) 

Puglisi [M .). — La deformazione del triedro isotropo Irireltan- 
golo per speciali condizioni ai limili. ( La déformation du trièdre 
isotrope trirectangle avec des conditions aux limites de forme 
spéciale.) (353-36^.) 

Les deux auteurs étendent au trièdre les méthodes données par M. Marco- 



44 SECONDE PARTIE. 

longo pour le dièdre; ea outre, M. OrlanJo étudie le cas de la plaque, abordé 
précédemment par M.M. Gerruti et Somigliana. 

Viçanti [G.). — Dimostrazione diretta d'un teorema sulle série 
asintoliche. (Démonstraliou directe d'un ihéorème sur les 
séries asjmptotiques.) (368-3-0.) 

Il s'agit du théorème qui permet de dériver une série asymptolique (lorsque 
la dérivée existe). L'auteur le démontre par un procédé récurrent fondé sur ce 
fait que si, pour a? = oo, il existe une valeur limite pour la dérivée dune fonc- 
tion /(a:) à valeur asymptotique finie, cette valeur est nulle. 

Marletta (G.). — Le trasforiuazioni cubiche (2,2) fra piani. 
[Les transformations cubiques (2, 2) entre plans.] (^3^1-385.) 

M. Marletta étudie les transformations (2,2) entre deux plans, transforma- 
tions qui font correspondre aux droites de l'un des cubiques de l'autre. 11 
montre que ces cubiques doivent être de même genre dans les deux plans, ei, 
suivant que le genre est o ou i, il indique comment on peut construire géomé- 
triquement la transformation sans sortir d'aucun des plans. 

René Garmeu. 



ACTA MATHEMATIGA. 

Tome 32, 1909. 

//. Schumacher. — Ueber eine Riemannscbe Luuklioiieukhisse 
mit zerfallender Thetafunktion. (Sur une classe de fonctions de 
Riemann comprenant une fonction llièta dégénérescente.) 

Soit/(^) une fonction entière; l'auteur rappelle que M. Wellslein a montré 
{/Vova Acta Leopolclina, i. LWIV, n"'!), par l'emploi d'un système canonique 

normal de rétrosections, sur la surface de Hiemann relative à s = V/{:) que, 
si n est un nombre premier et que f{z) ait exactement n.m zéros distincts, 
les modules de périodicité des intégrales de première espèce du corps défini 

par s= V/i^) "c dépendent sculementque de n.m —3 des modules des points 
de rainilication. La mélliode de M. Wellstein avait déjà été appliquée à 
quel(|ues cas particuliers. Dans ce travail, l'auteur l'applique au cas de n = b, 
m = i. Il montre en particulier, en s'appuyant sur les travaux de M. Emile 
Picard, que, l'invariant du i8* ordre de /(s) étant nul sans que pour cela des 
zéros de celle fonction viennent à coïncider, (juatre intégrales de première 
espèce sont réductibles; la fonction llièla correspondante se décomposcen deux 
facteurs, représentant deux f<jnclions de genres j cl \. 



REVUli DES PUBLICATIONS. /,5 

Hartogs {F.). — Ueber die aus den singularen Stellen einer 
analjtischen Funktion mehrerer \ erànderlichen bestchenden 
Gebilde. (Sur les figures formées par les points singuliers d'une 
tonction analytique de plusieurs variables.) 

Celte étude des singularités d'une fonction analytique de plusieurs variables 
s'applique seulement au cas restreint qui correspondrait, pour une fonction 
d'une seule variable, à une singularité isolée. Dans ce cas, les figures singulières 
dune fonction analytique sont elles-mêmes analytiques. M. Hartogs étudie en 
particulier le cas d'une singularité non essentielle, où la fonction considérée 
peut se mettre sous la forme du quotient de deux fonctions analytiques régu- 
lières. Dans le cas général, la figure singulière se définit en égalant à zéro 
une fonction des variables qui, elle, est régulière au voisinage de la singularité 
de la fonction que l'on étudie. 

Korn {A). — Ueber die Gosserat'schen Funktionentripel und 
ihre auwendungen in der Elâstizitàtstlieorie. (Sur les sj'stèmes 
triples de fonctions de Cosserat, et leur application à la théorie 
de l'élasticité.) 

MM. E. et F. Cosserat ont démontré que, pour K <<i, le système 

A U,. + K.. --! = o, A W + K. — ' = o, 

de,. c/U,. OY: dW: 

AV.-^K,.--' =0, 0.= — !h '-h^^ 

' ' dy I ox ôy oz 

admet des solutions continues et univoques U , V-, W., s'annulant sur la sur- 
face (i) d'un volume i dans lequel 6 est une fonction harmonique donnée. Ils 
avaient, de plus, laissé entrevoir que, dans le cas général de l'équilibre élas- 
tique, il serait sans doute possible de développer les solutions u, v, w des 
équations fondamentales de l'élasticité sous la forme 

w =C,U, -^-CjUj-H..., t' = CiV.+ CnV, ..., (v= C,W,+ C,W,-T-.... 

M. Korn étudie ces développements, dans le cas où la surface w est à cour- 
bure régulière. 

Baire (René). — Sur la représentation des fonctions discontinues 
(deuxième Partie). 

L'auteur, pour poursuivre l'étude des fonctions de classe >i [voir l'Analyse 
du Tome 30 (')], introduit une notion nouvelle, celle d'ensembles de suites 
d'entiers, ou d'espace à o dimension; puis, après avoir étudié les fonctions 
dont l'argument est un élément de tels ensembles, M. Baire termine en donnant 
une condition très large pour qu'une fonction soit de classe £3. 

(') Bulletin, t. XLI, 1917, p. loi. 



46 SECONDE PARTIE. 

Schœnflies {A.). — Ueber eine vermeintliche Antinomie der 
Mengenlehre (Sui^ un prétendu paradoxe de la théorie des 
ensembles). 

M. Schœnflies a en vue, dans celle courle Xole, de montrei- que Targumen- 
lation de M. Richard {voir Analyse du Tome XXX) est fautive. 

Zermelo (E.). — Sur les ensembles Unis et le principe de 
l'induction complète. 

L'auteur, en recourant au principe du « clioix arbitraire )>. montre d'abord 
comment se ramènent l'une à l'autre les diverses délinitions des ensembles 
finis, et donne une nouvelle définition du caractère fondamental de ces 
ensembles. Le principe de l'induction complète se trouve, en définitive, réduit 
à la définition des ensembles finis. 

Poincaré ijl.)- — Réflexions sur les deux >.otes précédentes. 

M. H. Poincaré examine d'abord les diverses ciiliques que présente, sur le 
travail de M. J. Richard, M, Schoenfiies, dans lavant-dernière .Note; aucune 
d'entre elles ne résiste à un examen approfondi, mais elles permettent à 
l'auteur de faire de profondes réflexions sur l'infini actuel et les ensembles 
dénombrables. ainsi que sur une démonstration donnée par Al. Zermelo dans 
la Note précédente. 

Lauricella (Giiiseppe). — Sur l'intégration de l'équalion rela- 
tive k l'équilibre des plaqnes élastiques encastrées. 

Ko remplaçant cette équation A' U — f{x,y) par un système de deux équa- 
tions où les dérivées premières de U figurent comme inconnues nouvelles, et en 
généralisant la notion de potentiel newtonien, l'auteur traite le problème dans 
les deux cas du pioblème intérieur, puis extérieur (plaqued'aire infinie), mais 
en supposant que le contour ne forme pas d'angles. Le cas du rectangle est 
ensuite traité à part par une nouvelle méttiode directe. 

Monlessns {R. de). — Les fr.iclions continues aliiébriquc-^. 

L'auteur étudie d'abord la question du développement d'une fonction en 
fraction continue; la méthode de Laguerre n'est pas susceptible d'extension. 
Knsuite, .M. de Monlessus étudie la convergence de certaines fractions continues, 
et généralise une méthode qu'il a donnée précédemment pour obtenir les lieux 
de divergence d'une fraction continue. 

l'J m iques [Federigo) et Sere/i [l'rd/icesco). — .M»'iuoiiv> sur le> 
surfaces hyperelllpliques. 

Ce Mémoire est consacré à l'étude des surfaces algébriques \^(.T,y, s) = o, 



HEVUE DES PUBLICATIONS. Î7 

où X, y, z peuvenl scxprimer en fondions quatlruplenienl périodiques de 
deux paranièires. Le< auteurs inUoduisent plusieurs caractères de ces surfaces 
(diviseurs, rang, genre) et, utilisant de nombreux travaux de M. E. Picard 
sur les fonctions abéliennes. font une étude approfondie des surfaces hyper- 
elliptiques, les classent en famille et étudient leur mode de représentation. 

P. Drouin. 



ATTI DEL R. fSTITUTO VEiNETO DI SGIENZE, 
LETTERE ED ARTL 

Tome LXIV (t. MI rie la Séiie 8^), 1904-1905. 



Fcwaro {A.). — [\ 7] Amlci e corrispondenti di Galileo. — 
XII. Vincenzo Renieri. (Amis et correspondants de Galilée. 
XII, Vincenzo Renieri.) (i i i-ipô.) 

DelVA^nola (C.-A.). — [Dl2a] Analogia Ira alcune série di 
polinomi e le série di potenze. (Analogie entre certaines séries 
de polynômes et les séries de puissances.) Note I (423-429), 
Note li ( 1143-11 54). 

Théorème relatif à l'existence d'un champ connexe, à Tintérieur duquel une 
série de polynômes est convergente. 

Rossi (L.-V.). — [S36] Contribiitoairidraulica lagunare. Metodo 
teorico per calcolare le portate e le velocità medie eftettive a 
traverso le foci portuali. (Contribution à l'hydraulique des 
lagunes. Méthode théorique pour calculer les portées et les 
vitesses moyennes efïeclives à travers les embouchures des ports.) 
(549-581.) 

De Marchi [L.). — [S36] La morfologia lagunare e il régime 
stazionario di marea. (La morphologie lagunaire et le régime 
stationnaire de marée.) (683-- i4, une planche.) 

Severinî (C). — [Di6a] Sulla série di Fourier. (Sur la série 
de Fourier.) (8oi-8i3.) 

Zanon (G. -A.). — [Di/^a] Porlala d'una bocca di estuario. 
(Portée d'une bouche d'estuaire.) (8i5-83i.) 



48 SFXONDK PAIITIR. 

Cattaneo (P.). — [06r] Alcuni teoremi intoruo aile sviluppata 
armonica. (Quelques théorèmes sur la développée harmonique.) 
(io39-io52.) 

Lieu du conjugué harmonique de chaque point d'une surface donnée, par 
rapport aux deux centres de courbure. 

Bernardi (-£".). — [R8c] Soluzione del prohlema générale dello 
sterzo corretto console aste reticolate per un sistema comunque 
complesso. (Solution du problème général du guidon corrigé 
avec de seules tiges articulées pour un système complexe 
quelconque.) (i33i-i345, une planche.) 

Favaro (^.). — [^ ^] ^niici e conispondenti di Galileo Galilei. 
XIII. Vincenzo Galilei. (Auiis et correspondants de Galilée. 
XIII. Vincent Galilei.) (i34f)-i 3--.) 

Levi-Civita (T.). — [S2<;/] Sulla contrazione délie vene liquide. 
(Sur la contraction des veines liquides.) (!4<3G-i4~2.) 

En se fondant sur le théorème de Green, l'auteur établit une formule dont 
on peut déduire les cas connus relativement à la contraction, c'est-à-dire qup 

le coefficient de contraction est plus grand que -» et se réduit égal à - lorsque 

l'orifice est muni d'un tube cylindrique intérieur. De la formule de l'auteur on 

déduit aussi que le coefficient de contraction devient plus pelil que - pour les 

orifices munis d'un tube intérieur divergent. 

Severini (C). — [D^jlnlorno aile série di funzioni analiticlie. 
(Sur les séries de fonctions analytiques.) (i()o()-i(ii3.) 

Si la série 

dont les termes sont des fonctions analytiques dans une aireT, est convergente 
pour toute valeur de 3 appartenant à un ensemble de points, uniformément 
coadensé en T, et si, pour tous ces points, on a 

|S„(z)I = |/,(z) + ...+/,.(z)|lG, 

quel que soit n, la série est convergente pour toute valeur de •: et représente 
une fonction analytique en T. 

Ce théorème, dû à Osgood, a été aussi démontre par une aiUre voie par 
M. Arzelà et par l'auteur {Bendiconii dei Lincei, 5* série, t. 111, a* semestre). 
M. Arzelà a démontré aussi que si l'aire T est simplement connexe, il doit 



RHVUE DES PUBLICATIONS. 49 

exister une ou plusieurs fonctions analytiques uniformes auxquelles s'approchent 
uniformément des successions tirées de la succession 

Sj, Sj, . . ., S„, .... 

L'auteur démontre d'une manière élémentaire cette proposition de M. Arzelà 
et en déduit d'autres conséquences et généralisations. 

Mazzelli (C). — [D2ao] SuUa continuità di una série doppia di 
tunzioni. (Sur la continuité d'une série double de fonctions.) 
(1693-1704.) 

Condition nécessaire et suffisante pour la continuité. 

Tome LXV; igoS-igoô. 

Favaro {A.). — [^ "^J Amici e corrispondenti di Galileo Galilei. 
XIV. Giacomo Badoer. XV. Martino Hastal. (Amis et corres- 
pondants de Galilée. XIV. Jacques Badouère. XV. Martin 
Hastal.) (i83-2o8.) 

Paoletti (T.). — [S36] Studio sul calcolo dei canali regolati. 
(Etude sur le calcul des' canaux réglés.) (249-263.) 

Lorenzoni (G.). — [U] Il problema délia correzione di un'orbita 
secondo il prof. Bauschinger. (Le problème de la correction 
d'une orbite suivant le professeur Bauschinger.) (Sig-S^o, une 
planche.) 

Sartori {A.). • — [R7] Movimenti piani conservativi a traiettorie 
circolari. (Mouvements plans conservatifs à trajectoires circu- 
laires.) (399-433.) 

Le potentiel U est déterminé par les équations 

dz iJz d^x 

au ()y dx.dy 

(Èi\ _ ("liy 'Il — ^li - 

\dxj \ôyj "^ dx"- ây' ~ ^' 



-5=:logv Q(U + b;), 

E étant une cunstanté. L'inlégruliun, dans l'hypothèse que les trajectoires 
Pull, des Science'! mathém., 2' série, t. XLII. (Juillet 1918.) H. 7 



5o SECONDE PARTIE. 

soient des cercles, donne 



V^2(U-+-E) =-| a:--^y-—c }-', 

où A: et c sont des constantes. 

Ces trajectoires sont représentées confonnémenl sur les lignes géodésiques 
d'une surface dont l'élément linéaire est 

rfs, = \ 2'\\.cit, 

où 

T,= 2(U + E)T, 

et l'on trouve que cette surface est à courbure constante, positive ou négative 
suivant que c est négative ou positive. On réduit les surfaces à deux types, 
celui de la sphère et celui de la pseudosphère. Dans le premiers cas, les cercles 
en question sont ceux qui coupent diamétralement un même cercle; dans le 
second, ce sont les cercles qui coupent orthogonalement un même cercle. 

Zanoii (G. -A.). — [S3 réf. U8] Origine del tlusso e del ritlusso 
' nell'estuario veneto. Conseguenze j^ratiche délia ricerca. (Ori- 
gine du tlux et du retlux dans Testuaire vénitien. Conséquences 
pratiques de la recherche.) (4i5-44^-)- 

Rossi [L.-V.). — [T26] Le prove slatiche del nuovo ponte 
' metallico sul Po di Venezia presso Gorhola (Adria). [Les essais 

statiques du nouveau pont sur le Pô de Venise près de Corbola 

(Adria).] (445-44<'5 tme planche.) 

DelVAgnola [C.-A.). — [A3rta] Sul tcoronia fondamentale 
dell'Algebra. (Sur le théorème fondamental de l'Algèbre.) 
(5.5i-55G.) 

Démonstration de lexistence d'une racine, fondée sur les propriétés de la 
correspondance 

entre deux plans complexes x et y. 

De Marchi (L.). — Considerazloni gênerai i su lie circolazione 
délie atmoslere délia teira,del sole e di ("liove. (Considérations 
générales sur la circulation des atmosphères de la Terre, du 
Soleil et de Jupiter.) (5«)i-Hio.) 

Favaro{A.). — [^'^7] Amici e corrispondenti di Galileo Galilei. 



REVUE DES PUBLICATIONS. 5i 

XVI. Beniaaiino Engelcke. (Amis et correspondants de Galilée. 

XVI. Benjamin Engelcke.) (585-592.) 

Favaro (A.). — [^~] Amici e corrispondenti di Galilée Galilei. 

XVII. Lodovico Settala. (Amis et correspondants de Galilée. 
XVII. Lodovico Settala.) (597-654.) 

La numérotation des pages doit être 627-654. 

Sei'eri{F.). — [M28] Osservazionl varie di Geometria sopra una 
superficie algebrlca e sopra vma varietà. (Quelques observations 
de Géométrie sur une surface algébrique et sur une variété.) 
(625-643.) 

La numérotation des pages doit être 655-678. 

Si l'on a un système continu de courbes algébriques A sur une surface F, et 
ces courbes sont telles que les courbes AA donnent des groupes d'une même 
série linéaire sur une courbe C, capable de définir un système continu infini 
(différent d'un faisceau irrationnel), les courbes A sont équivalentes. 

Pascal {E.). — [G4-] Sulle matrici formate cogli elementi di un 

sistema covariante. Estratto di una lettera al prof. T. Levi- 

Givita.(Sur les matrices formées avec les éléments d'uns^'Stème 

covariant. Extrait d'une lettre à M. le Professeur Levi-Civita.) 

(11 17-11 20. j 

Si l'on a un système covariant de fonctions X/,.../^ de a:;, .... a:„. à m indices, 
où l'on fait une séparation des indices en deux groupes de K et de m — K indices 
respectivement, et si l'on dispose les X/,...,,„ en une matrice, en posanl dans une 
même ligne celles qui ont un même système des K premiers indices et dans 
une même colonne celles qui ont un même système des m — K autres, toutes 
ces matrices ont une caractéristique invariante pour toute transformation de 
variables. 

Scrosoppi (P.). — [H9/t,3] Estensione del uietodo délie caratte- 
ristichealla integrazione di sistemi di più equazioni. (Extension 
delà méthode des caractéristiques à l'intégration de systèmes de 
plusieurs équations.) (i 12 i-i i44-) 
Le système considéré par l'auteur est 



V 

1 


A^ 


Ou 


-H B^ 


dv' _ 

(JX^\ " 


= F. 


(^„ 


1 x^^ 


^3)' 


3 

y 


C, 


du 


-r- D, 


(h- ' 
' dx^ 


= F, 


ix. 


. J";. 


x,). 



52 SRCONDE PARTIE. 

Les surfaces caractéristiques sont 

f{x„ x._, ^3) = 0, 
/ étant une fonction qui satisfait à l'équation 



*(/)=^H,, 



'^ A/ ^o. 



ôx^ dx 
1 

où 

Lorsque l'équation 

.!.(/) = G 

admet des intégrales réelles, on peut appliquer la méthode Riemann-Volterra. 
En introduisant la considération du système adjoint 



1 



l'auteur trouve une formule fondamentale qui a, dans ce cas, un office analogue 
à celui de la formule de Green. La détermination des intégrales auxiliaires 
est facilitée par une opportune décomposition. 
La recherche est faite pour le cas où 



^^f^-m-m-m- 



De Toni {G.-B.). — [\ ] Leonardo da Vinci e Luca Paciolo. 
(Léonard de Vinci et Luca Paciolo.) (i \/\h-\ i48.) 

Levi-Civita {T.). ■ — [S6/>] Sulla penetrazione dei proiettili nei 
mezzo solidi. (Sur la pénétration des projectiles dans les milieux 
solides.) (1149-11 58, une page d'errata.) 

Explication d'un paradoxe apparent. La pénétration ne < ndt pas constam- 
ment avec la diminution de la distance du hut, mais il y a une dislaoce cor- 
respondant à un maximum de pénétration. La cause de cela est dans la défor- 
mation que le projectile subit en rencontrant une paroi solide, et qui crott 
lorsque la distance diminue, en opposant une résistance toujours plus grande à 
la pénétration. 

Barbieri ( U.). — [U 10a] Sulla precisione que si puù reggiungere 
col metodo Villarceau nelle determinazlone del geoide. (Sur la 



REVUE DES PUBLICATIONS. 53 

précision que l'on peut atteindre avec la méthode Villarceau 
dans la détermination du géoïde.) (i 239-1 263.) 

Gisotti (U.). — [S2e] Sul paradosso di d'Alerabert. (Sur le para- 
doxe de d'Alembert.) (i 292-1 295.) 

Un solide plongé dans un liquide indéfini, et doué d'un mouvement uniforme 
de translation, ne rencontre aucune résistance, en supposant que le mouvement 
que le liquide prend par effet du mouvement du solide soit partout continu. 

Fubini (G.). — [G6] Snlla teorie delle funzioni automorfe. (Sur 
la théorie des fonctions aulomorphes.) (1297-1299.) 

Exposé des résultats (sans les démonstrations) qui se trouvent dans un 
Mémoire que l'auteur annonce à publier dans les Acta mathematica. 

Severini [G .). — [Q3] Sopra i concetti di continuità e connes- 
sione nello spazio. (Sur les concepts de continuité et de con- 
nexion dans l'espace.) (i3oi-i3o6.) 

Ensemble que l'on obtient en ôlaut d'un espaee S„ un ensemble de points ou 
même d'espaces subordonnés. Conditions sous lesquelles cet ensemble résiduel 
est connexe. 

Tome LXVI; 1906-1907. 



Favaro {A.). — [V7] L'invenzione del telescopio seconde gli 
ultimi studi. (L'invention du télescope suivant les plus récentes 
études. ) (1-54.) 

Favaro {A.). — [V^'^] Amicl e correspondenti di Galileo Galilei. 

XVIII. Ratraello Gualterolti. (Amis et correspondants de 
Galilée. XVIII. Rapliaël Gualterotti.) (119-139). 

Favaro (-^•)- — [^ '^] A'iiici e corrispondenti di Galileo Galilei. 

XIX. Giannantonio Rocca. (Amis et correspondants de Galilée. 
XIX. Jean-Antoine Rocca.) (141-167.) 

Sibirani (F.). — [M, 3] Costruzione delle tangenti aile curve di 
cert£ classi. ^Construction des tangentes aux courbes de cer- 
taines classes.) (339-362.) 

Étant w, w' les angles que les droites OM. OM font respectivement 



54 SECONDE PARTIE. 

avec 00', l'équation 

«( tj, w' ) = 

représente une courbe. Lorsque -p est une fonction rationnelle entière des 
fonctions trigonométriques de w, w', on peut construire la tangente à cette 
courbe par la règle et le compas. 

Lori {F.). — [T7c] Alcune formule relative aile scariche oscil- 
latorie. (Quelques formules relatives aux décharges oscilla- 
toires.) (SS^-SgS.) 

Viterbi {A.). — [UlOa] Sulla determinazione del potenziale 
esterno délia gravita e dell' equazione del geoide mediante le 
deviazioni délia verticale. (Sur la détermination du potentiel 
extérieur de la gravité et de l'équation du géoïde au moyen des 
déviations de la verticale.) (425-45 1.) 

Cattaneo (P-)- — [Jl«] Sulle sostituzioni irreducibili. (Sur les 
substitutions irréductibles.) (oSg-SôS.) 

Ce sont les substilutions par lesquelles tous les n éléments changent de 
place. Leur nombre est 

Scrosoppi (P-)- — [G4a] Invariauti differenziali dei sistemi di 
due equazioni lineari ed omogenee a derivate parziali del primo 
ordine. (Invariants ditïerenliaux des systèmes de deux équations 
linéaires et homogènes aux dérivées partielles du premier 
ordre.) (<J8i-6(:)5. ) 

Etant donnés deux de tels systèmes, où entrent deu\ fonctions u, v, et dont 
l'uQ est relatif aux variables j:,, ..., x,„ l'autre aux variables x', , ...,a:'„, 
l'auteur étudie les conditions sous lesquelles on peut transformer l'un des 
deux systèmes en l'autre par un changement de variables indépendante». 



Tome LXVIf, 1907-1908. 

Favaro {A.). — [^7] Amici e corrispondenti di Galileo Galilei. 
XXI. Bened£tto Casielli. (Amis et correspondants de Galilée. 
XXI. Benedetto Castelli.) (i-i3u.) 



«EVUE r)ES PUBLICATIONS. '.5 

D^Arcais (F.). — [H 10] Sulle integrazione délie equazioni 
lineari a derivate parzialid'ordinequalunque. (Sur l'intégration 
des équations linéaires aux dérivées partielles d'ordre quel- 
conque.) (191-209.) 

Application de la méthode s3'mbolique, eo partant de l'observation que si 
l'on indique par D" l'opération de dérivation, on a 

D"(C,-i-Cja; + ...-(- C„a;"-') = o 

et que, par suite, l'équation linéaire ordinaire 

F w = ( D" + a, D"-' -h ... -h a„_, D -t- a„ ) fi = o 

étant donnée, on peut calculer la fonction u par l'opération inverse de F 

11 = Lo = i.D"(C, + C3a;'+...-HC„a,--'), 
r r 

où — est développé en série. 
r 

Cisotti {C). — [S2âf] SuU'impiego délie funzioni ellittiche in 
una questione d'idrodinamica. (Sur Temploi des fonctions ellip- 
tiques dans une question d'hydrodynamique.) (293-3ai.) 

Écoulement des liquides. Calcul des intégrales pour le cas où il y a une 
embouchure interne. 

Severi {F.). — [M28] Sulle superficie algebriche clie ammettano 
un gruppo continue permutabile a due paramelri di trasforma- 
zioni birazionali. (Sur les surfaces algébriques admettant un 
groupe continu permutable à deux paramètres, de transforma- 
tions birationnelles.) (409-419-) 

Ces surfaces, étudiées d'abord par M. Picard {Journ. de Malli., 4' série, 
t. V, 1889, et Rend, di Palernio, 1895), puis par M. Painlevé {Act. math., 
t. XXVII, igoS) et M. Enriquez {Rend, di Palermo, igoS), sont étudiées ici 
par l'auteur par voie synthétique Ou prouve que pour une telle surface il doit 
être 

P„=-'- />,= ! 

et l'ordre de la courbe canonique = o. Ces conditions sont aussi suffisantes. 

DaRios (L.-S.). — [Di] Sul slstema di due equazioni implicite, 
studiato da Laplace. (Sur le système de deux équations impli- 
cites, étudié par Laplace.) (437-4^2.) 



56 SECONDÉ PARTIE. 

Le système est le suivant: - 

y —x-hr(y. z) = o, 
z — t -^<i^{y, z) = o. 

Fai'aro [A.). — [U2/?] Intorno ad une scrittura inedita di Ar- 
chimede, nuovamente scoperta e pubblicata. (Sur un écrit inédit 
d'Archimède, récemment découvert et publié.) (635-638.) 

De Maichi (L.). — [So] Teoria délia doppia oscillazione diurna 
del barometro. (Théorie de la double oscillation diurne du 
baromètre.) (639-657.) 

Favaro {A.). — [^'^] P^r la storia del compasso di proporzione. 
(Pour l'histoire du compas de proportion.) (723-739, une 
planche. ) 

Torelli {R-)- — [M, 2] Sulla linearilà délie iavoluzioni pi^ù volte 
infinité appartenenti ad una curva algebrica. (Sur la linéarité 
des involutions plusieurs fois infinies, appartenant à une courbe 
algébrique.) (83 1-835.) 

L'auteur en donne une démonstration qui ne sort pas du cliamp de la Géo- 
métrie sur une courbe. 

Voir aussi une observation à la page i33G. 

Levi-Cùita (T.). — [T7] Sui campi elcttromagneticl purl dovuli 
a moti piani perinanenti. (Sur les champs électromagnétiques 
purs, dus à des mouvements plans permanents.) (995-1010.) 

On considérait le mouvement de réldlricilé, ou comme une conduction 
(courants galvaniques), ou comme une convexion {ions éleclrolytiques). Pour 
les rayons cathodiques on adoptait l'hypothèse de la convexion. A la suite de 
certaines incongruences résultant de celte dernière hypothèse, on considère 
(Abraham et Kaufmann) un mouvement d'électricité sans intromission de 
matière pondérable. Mais cela aussi avait ses inconvénients, car il fallait 
supposer que le mouvement des charges satisfasse à des conditions riuéma- 
tiques données et qu'il continue à èlrc rigide même à la limite. L'auteur 
renonce à tout lien additionnel et étudie li^ mouvement en supposant la vali- 
dité des relations fondamenlnies des champs électromagnéliques, et que pour 
chaque charge élémentaire la force mécanique totale soit nulle, l'oiir ces 
champs électromagnétiques purs, l'auteur a donné dans les Comptes rendus de 
V Académie des Sciences, août 1907, p. 4 «7, un lype de solutions pour le cas 
des ondes planes; puis M"" Caffarelti {J\'uovo Cimenta, 'f»o8, p. Stig) a donné 
les solutions pour les mouvemci.ts rigides et slationnairrs. Ici l'aulcur di.niie 



REVUE DES PUBLICATIONS. 67 

lotîtes celles correspondant à des inouvenienls plans ayant caractère station- 
na ire. 

Sibirani (F.). — [HLO] Esistenza de|j;Ii integrali in alciiiii tipi 
di equazioni aile derivate parziali. ( Evislence des inté^^rales 
pour certaines types d'équations auv dérivées partielles.) 

(11 53- M 83.) 

Torelli {11.)- — [M, 2] Sulle série algebriche di <;ruppi di punli 
appartenenti a una curva algebrica. (Sur les séries algébriques 
de groupes de points appartenant à une courbe algébrique.) 
(i 323-1 335.) 

Le nomijre des groupes de /■ + 1 points, communs à des groupes d'une série 
d'ordre \l et d'indice v, par une courbe de genre ~, et à des groupes d'une série 
linéaire g,i, a été trouvé par Schubert. L'auteur fait l'extension aux séries 
plusieurs fois infinies. Autres observations, particulièrement sur les surfaces 
contenant des faisceaux irrationnels de courbes. 

S. R13.DI. 



ANNALI DI MATEMATICA PURA ED APPLIGATA. 
Série III, Tomo XVII, 1910. 

heli {F.). — Losung bestimuiter Intégrale durcli \ eninderung 
des Integrationsweges. (Calcul d'intégrales définies |)ar change- 
ment du chemin d'intégration.) (1-28.) 

Calcul de différentes intégrales définies se déduisant d'intégrales connues par 
des changements de variables qui transforment le chemin d'intégration. L'auteur 
transforme de la sorte l'intéyrale 



où le chemin d'intégration est formé des deux bords d'une coupure tracée le 
long de la partie négative de l'axe réel et d'un petit cercle entourant l'origine. 
Il transforme d'autres intégrales se rattachant à la fonction V et il obtient 
ainsi de nombreuses formules relatives à cette dernière fonction. 

Tonolo [A.). — Sull' integrazione délie equazioni fondamentali 
dell' elettrodinaraica.. (Sur l'intégration ties équations f<iuda- 
menlales de l'élecirodynanùque.) (2()-5(>.) 

Bull, des Sciences malhé/n., i" sèi'ic, t. NLIL. (Août 1918.) i>.>*^ 



58 SECONDE PARTIE. 

L'auteur considère les équations de Maxwell-Hertz et il se propose de déter- 
miner la force électrique E et la force magnétique H en tout point intérieur à 
un champ S, en supposant qu'on donne à chaque instant les valeurs de ces 
forces sur la surface s qui limite le champ, et cela dans l'hypothèse d'une sur- 
face ~ variable avec le temps. L'auteur utilise la formule de Kirchhofl' lelative 
à réquatii>n canonique des petits mouvements et il emploie des méthodes d'inté- 
gration introduites par AL Volterra et par M. Tedone dans d'autres questions 
de Physique mathématique. 

En supposant que la surface j est fixe, il démontre que la connaissance de 1"^ 
et de H sur la surface s à chaque instant ( E et H vérifiant deux conditions 
nécessaires) entraine celle des dérivées normales des projections de E et de H 
sur les trois axes et il en déduit, sous une forme simple, les expressions de ces 
composantes. Il passe ensuite de là au cas d'une surface s mobile avec le 
temps. 

Levi {E .-E.). — Studii sui punti singolari essenziali délie fun- 
zioni analitiche di due o più variabili complesse. (Eludes sur les 
poinls singuliers essentiels des fonctions analytiques de deux 
ou plusieurs variables complexes.) ((3i-8-.) 

Soit f{x,y) une fonction analytique monodrome de deux variables com- 
plexes. I^'auteur se propose de montrer que les variétés de l'espace [x, y) à 
quatre dimensions formées par les points singuliers fsse/j^i'e/* de f{x, y) sont 
assujetties à des conditions très restrictives, contrairement à une affirmalion de 
Weierstrass d'après laquelle, étant donné arbitrairement dans l'iiyperespace un 
champ continu à quatre dimensions, il existerait toujours une fonction méro- 
morphe dans le champ et ayant pour singularités essentielles tous les points de 
la frontière du champ. 

^L Harlogs {Acta malheinatica, 1909) a caractérisé les champs dans lesquels 
la fonction peut être régulière. M. Levi cherche à caractériser de même les 
champs dans lesquels la fonction peut être méromorphe. Parmi les propositions 
qu'il lionne à ce sujet, citons les suivantes : 

1° L'ensemble des points singuliers essentiels dune fonction analytique de 
deux variables est parfait: 

■:•' Si une fonction /(x, j)) est méromorphe en tous les points d'une hyper- 
surface fermée, elle est méromorphe à l'intérieur de celle-ci. Il en résulte qu'une 
fonction monodrome méromorphe de deux variables ne peu! pas avoir des 
espaces lacunaires situés entièrement à distance finie. 

Enfin, en [losant 

.r -. x^-h ix^. y = yi+iyi^ 

M. E.-l*;. Levi cherche à quelle condition l'hypersurface S. (|ni a pour écjua- 
lion 

■f (a;,, x„, y^,yj) = o, 

où » est continue ainsi que ses dérivées premières et secondes, peut être la 
frontière du champ d'existence d'une fonction analytique, niéromorplie dans 
l'un des deux champs 9 > o, 9 < o ou dans une portion de l'un de ces champs, 
les pi)int'i <lc l,i fronlii-re «•lanl di!s poinls sint:iilier>. esseni iels. Il trouve con)mp 



REVUE DES PUBLICATIONS. 59 

condition nécessaire qu'un certain polynôme dépendant des dérivées partielles 
preiTiiéi-es et secondes de » doive avoir un signe constant dans le champ consi- 
déré. Ce polynôme doit être nul si S doit être la frontière commune de deux 
fonctions méromorphes, l'une dans le champ v > o, l'autre dans le champ .?<o, 
de sorte que la fonction 9 est alors une intégrale d'une équation aux dérivées 
partielles. Dans ce dernier cas, l'auteur montre que la condition trouvée est 
suffisante et il montre comment on peut construire les deux fonctions méro- 
morphes répondant à la question. 

Signorini {A.'). — Siilla perimitabililà délia traslorinazlone H 
colla trasformazione B;;- nella teoria délie superficip applicabili 
suUe qiiadrlche. (Sur la permutabilité de la transformation H et 
de la transformation By^ dans la théorie des surfaces appli- 
cables sur les quadricjues .) (89-1 o3.) 

L'auteur étend à un espace à courbure constante quelconque certaines pro- 
priétés des transformations H et B^. établies dans l'espace ordinaire f Bianchi, 
Lezioni di Geometria differenziale, t. III. n" 78). 

Russyan {€.). — Dimostrazionc d'un teorema sopra i massimi e 
niinimi délie funzioni di più variabili indipendenti. (Démons- 
tration d'un théorème sur les maximums et les minimums des 
fonctions de plusieurs variables indépendantes.) (lo.Vioc).) 

Nouvelle démonstration de l'existence d'un maximum ou d'un minimum pour 
la fonction f {x, y, .... z) en un point où toutes les dérivées partielles jus- 
qu'à l'ordre an — i sont nulles, la forme de degré m constituée par les termes 
de moindre degré de la formule de Taylor étant une forme définie. 

Fubini (G. ). — Ecpiazioni intégral! e \aiori eccezionnali. (Equa- 
tions intégrales et valeurs exceptionnelles.) (1 1 i-ioq.) 

L'auteur développe par une méthode directe la théorie des équations inté- 
grales polaires dont les bases ont été posées par M. Hilbert en se servant des 
formes quadratiques à une infinité de variables. L'équation homogène est dans 
ce cas 

/ K{s, l)\{s)ç{s)dS = <x-j{i ), 
'-a 

où K(5, t) est symétrique et où V(s) est une fonction inlégrable prenant seu- 
lement les valeurs +1 et — i. .M. l'ubini cherche pour quelles valeurs de a il 
existe une fonction œ non nulle, intégrable ainsi que son carré, vérifiant l'équa- 
tion précédente (fonction exceptionnelle obtenue pour une valeur de [a dite 
exceptionnelle). La principale difficulté réside dans la démonstration de l'exis- 
, tence des valeurs et des fonctions exceplionuelles. L'auteur ramène cette démon- 
stration à celle de l'existence de la solution d'un certain problème de 
minimum. 



6o SKCONDE PARTIli. 

Tedone {O.). — Saggio di una leoria générale délie equazioni 
deir equilibiio elastico per un corpo isotropo. (Essai d'une 
théorie générale des équations de l'équilibre élasliqiie pour un 
coips isotrope.) (i4»-i77-) 

Ce troisième Mémoire est consacré à l'ellipsoïde de révolution. Après avoir 
défini les fonctions harmoniques élémentaires relatives à rellipsoïde de révolu- 
tion, l'auteur résout le problème de l'équilibre élastique ; i" lorsqu'on donne 
les déplacements à la surface; 2" lorsqu'on donne les efforts à la surface. II 
examine comment les solutions devraient être modifiées dans le cas d'un milieu 
élastique indéfini extérieur à un ellipso'ide de révolution. 

Sannia (G.). — Saggio di geonietria dill'erenziale dei complessi 
di relte. (Essai de géométrie dillerentielle des complexes de 
droites.) (i-ij-a^'S.) 

L'auteur applique aux complexes de droites une méthode analogue à celle 
qu'il a donnée pour l'étude des congruences de droites {Annali^ t. XV). Son 
but est de donner ici, comme pour les congruences, une théorie semblable à la 
théorie des surfaces de Gauss, fondée sur l'emploi de deux formes quadratiques 
fondamentales. Dans le cas des complexes, ces deux formes sont des formes 
ternaires, dont la première est réductible, car elle dépend seulement de la direc- 
tion des droites du complexe et ne contient par suite que deux paramètres 
essentiels. M. Sannia traile ensuite le problème inverse qui consiste à partir des 
deux formes différentielles données o priori et à chercher à quelle condition 
il existe des complexes admettant ces deux formes comme formes fondamen- 
tales. 

L'auteur retrouve, par cette méthode intrinsèque, les propriétés connues des 
complexes; il étudie particulièrement : i" les rayons singuliers du complexe 
caractérisés par ce fait que toutes les surfaces réglées du complexe passant par 
un pareil rayon sont tangentes en un même point fixe du rayon; 2° les rayons 
bisinguliers caractérisés par ce fait que toutes les surfaces du complexe pas- 
sant par un pareil rajon se touchent en deux points fixes du rayon. Enfin, 
l'auteur étudie d'une façon systématique les complexes définis par les expres- 
sions des coordonnées d'une droite quelconque du complexe en fonction de trois 
paramètres indépendants. 

Pizzetti (P-)- — Inlorno aile possibili distribuzioni délia massa 
nell' interno délia Terra. (Sur les di.siribulions possibles de la 
masse à Tinlérieur de la Terre.) (225-208.) 

l-^n parlant di- la forme supposée connue du !.;éoïile Irrrcsiro, c'est-à-dire 
d'une surface de niveau extérieure à la masse terrestre, l'auteur se propose de 
rechercher quelles sont les distributions do la masse à l'intérieur de la Terre 
compatibles avec cette forme du géo'ïdc. \ cet effet il cherche, dans une pre- 
mière partie du travail, quelles sont les modifications dans la distribution de 
la masse (|ui laissent invariables les surfaces de niveau extérieures. Il ilcmonlrc 



KEVUIi DIîS PUBIJCATIONS. 6i 

d'abord que les deux corps C et C correspondant à deux distributions diffé- 
rentes des masses inférieures doivent avoir la même masse totale, le même 
centre de gravite et les mêmes axes principaux d'inertie : en outre, en dési- 
gnant par P, Q, R les moments principaux d'inertie de C et par P'. Q', R' ceux 
de C, les différences Q — P, Fi — Q doivent être respectivement égales 
â O' — P', R' — Q'. Le problême ainsi posé revient d'ailleurs à chercher toutes 
les distributions fictives des masses donnant lieu à un corps d'attraction nulle 
en tout point extérieur à ce corps. M. Pizzelti donne plusieurs méthodes per- 
mettant d'obtenir de pareils corps d'attraction nulle, en particulier dans le cas 
où la surface est un ellipsoïde. 

Dans une deuxième Parlie, l'auteur recherche quelques modes de distribution 
de la masse terrestre compatibles avec la forme d'un ellipsoïde de révolution 
aplati attribuée à une surface de niveau extérieure. De chacun de ces modes, on 
déduit tous les autres modes possibles à l'aide du problème traité dans la pre- 
mière Partie. 

Dini {L-.). — Sliidii siille equazioni differenziali lineari per 
riguardo ai loro intégral! normali. (Eludes sur les équations dif- 
férentielles linéaires relativement à leurs intégrales normales.) 

(259-280.) 

Dans ce Mémoire, .M. Dini développe diverses conséquences d'un théorème 
général relatif aux intégrales normales des équations dilférentielles linéaires 
qu'il a donné dans les Annali ( t. XII, p. 179 ). Il étudie en particulier les équa- 
tions du second ordre 

a^,y" -h «iJk'-i- «o.t = X, 

où a„. a,., a., et X présentent les mêmes parlicularités que dans le précédent 
travail de l'auteur (voir Bulletin, t. XL, 1916, p, loi). Moyennant diverses 
hypothèses relatives aux conditions aux limites pour x = a et pour x =b et à 
la façon dont se comportent les intégrales fondamentales pour ces valeurs 
limites, M. Dini indique des cas généraux où l'on pourra affirmer que X est nul 
dans tout l'intervalle a, b. 

Scorza {G.}. — Le superlicie a curve sezioni di génère 3. (Les 
surfaces dont les sections planes sont des coui^dcs de genre 3.) 
(281-330.) 

Suite du travail paru dans le Tome précédent des Annali sous le même titre. 
Dans ce travail antérieur, >L Scorza avait énuméré les types de surfaces nor- 
males de l'espace ordinaire possédant la propriété indiquée dans le titre. Il 
caractérise maintenant les surfaces normales des hyperespaces. En outre, il 
montre comment on peut réduire toute surface normale de seconde espèce à un 
cône cubique elliptique à l'aide d'une transformation de Cremona et il indique 
explicitement les formules de transformation pour chacun des cas énumérés 
dans le premier Mémoire. 



62 SECONDE PARTIE. 

Tomo X^ III, 191 1 . 

Bianclii (L.). — Sopra iina classe di defoi^mazioiii conlinue délie 
superficie pseudosferiche. (Sur une classe de déformations con- 
tinues des surfaces pseudosplu'-riques.) (r-68.) 

Ce Mémoire est consacré aux déforniations isogonoles des surfaces à cour- 
bure constante. Dans une pareille déformation, les trajectoires des divers 
points de la surface S font un angle conslant a avec cette dernière, cet angle 
pouvant varier ou non lorsqu'on passe d'une surface du système à une autre. 

Étant donnée une transformation isogonale infinitésimale, menons par 
chaque point I"' de S, et dans le plan langent, la normale au déplacement du 
point F. La congrucnce des droites ainsi obtenues est une congruence pseudo- 
sphérique, c'est-à-dire que la deuxième nappe S' de la surface focale est déduite 
de la nappe S décrite par F à l'aide de la transformation B^ de Backlund 

( distance FF' des foyers constante et angle des plans focaux conslant égal 



L'auteur passe ensuite à l'étude des déformations isogonales continues : une 
pareille déformation est déterminée lorsqu'on se donne la trajectoire que doit 
décrire l'un des points de la surface S. La détermination des surfaces - ainsi 
déduites de S dépend d'un système d'équations aux dérivées partielles : les 
méthodes géométriques de la transformation complémentaire et celle de la 
transformation de Backlund permettent d'avoir, par des quadratures, des solu- 
tions dépendant d'un nombre quelconque de constantes arbitraires. En outre, 
l'auteur étend aux systèmes S le théorème de pernuttabilité qu'il a donné dans 
d'autres questions de déformation : ce théorème permet, connaissant trois sys- 
tèmes de transformées isogonales d'une même surface S, d'en obtenir un qua- 
trième par des calculs algébriques et par des dérivations. 

Lei'i (^E.-E.). — Sullo ipersuperficie dello spazio a \ diniensioni 
che possono cssere frontiera del campo di existenza di una fiin- 
zione analilica di due \ariabili coniplesse. (Sur les liypersui-faces 
de l'espace à \ dimensions qui |)euvent ser\ ir de frontière au 
domaine d'existence d'une fonction analytique de deux vaiiaMes 
complexes.) (ôçj-'jg.) 

l'^n posant x :=■ x^-{- ix.,, y = j-, -f- iy.^. l'auteur a ilonnè. dans le Volume pré- 
cédent des Annali, une condition nécessaire que doit remplir une fonction 
cp(.r,, x.^,y,, y.j) pour que l'hypersurfacc S, qui a pour équation 

<p(a:,, X.,, y^,y^) = o, 

soit la frontière du champ d'existence d'une fonction «nal\ tique des deux 
variables complexes a;, ^' monodrome dan» l'un des(lcu\ domaims y > <>, f ^^ o. 



1U':VUK Dl'iS l'UlJMCATIoNS. 63 

M. E.-E. Levi démontre ici que la condition est suflisanle e« tant (^ue propriété 
infinitésimale, c'esl-à-diie que lorsqu'elle est remplie on peut, étant donnée 
une portion S de la surface S suffisamment |jetite, trouver une fonction analy- 
tique de X cl de. y régulière aux points du domaine » > o voisins de S et 
admettant S comme frontière. Il indique enfin des cas où l'on est assuré que le 
théorème est vrai pour tout le ciiamp -s > o (ou -^ < o) limité par S. 

ToveUi (/?•)• — SuUii poslukizione di una varietà e siii niodiili di 
forme algebriche. (Sur la « postulation » d'une variété et sur les 
modules de formes alj^ébriques.) (8i -98.) 

La dimension du système linéaire des hypersurfaces d'ordre / qui passe par 
une variété donnée V est fournie, à partir d'une valeur de / suffisamment 
grande, par la formule 

(^^■j-.-/.,(v,. 

où /• est la dimension de l'espace, /;(V) un membre que les géomètres italiens 
appellent la « postula zione » de la variété V et qui est fourni par une formule 
connue due à M. Hilbert. M. Severi a donné une formule qui lie la postulation 
d'une variété ^' divisée en deux parties V et V, aux postulations de ces parties. 
L'auteur étend la formule de M. Severi et il applique ensuite ses résultats aux 
modules de formes algébriques : il cherche la condition nécessaire et suffisante 
jl^our qu'une forme k r ~- 1 variables appartienne à un module f F,, F,, .... F,J 
de h formes données à /• -^ i variables, dans des cas où la variété définie, en éga- 
lant à zéro CCS dernières formes, est formée de plusieurs parties de dimensions 
diflérentes. 

Tonelli {L.). — Sulle série di funzioni analitiche délia forma 
^a,i{x) x'^. [Sur les séries de fonctions analytiques de la 
forme ^««(x) jr".] (99-133.) 



(1) «^(j:), a,(x), . ., «„(j7) 

une suite de fonctions analytiques régulières à l'intérieur d'un domaine A com- 
prenant l'origine. Supposons en outre que la suite des fonctions | \ rt„(.r) | soit 
formée de fonctions également continues en tout point intérieur à A et que 
cette suite soit bornée supéiicurement pour ar = o; sous ces hypothèses, l'auteur 
démontre l'existenct autour de l'origine d'une étoile S de convergence absolue 
pour la sèi ie 

(2) a„(a7) -f- a, ( x) J7 -h a, (.r)a:--4-. . .-4- a„(.r)a;"-:-. . ., 

la convergence étant uniforme dans tout domaine fermé intérieur à Véloile : la 
série représente donc, à l'intérieur de l'étoile, une branche monodrome de 
fonction analytique régulière. Aux conditions précédentes, M.Tonelîi substitue 
ensuite des conditions plus restrictives, mais d'une application plus commode 



64 SECONDE PARTIE. 

et pernietlaat. dans un grand nombre de cas. la détermination clTective de 
l'étoile S. 

La série Jla'„{a;) a:", où a', est la dérivée de a„, est aussi uniformément con- 
vergente dans tout domaine fermé intérieur à S. 

Supposons maintenant que les fonctions de la suite(i) vérifient les conditions 

A„>o. ^■>/,, 

oii p est un nombre positif indépendant de n et oii a„ et A,_ désignent respec- 
tivement la borne inférieure et la borne supérieure de |a„(j;)| dans le 
domaine A. Toute fonction i''{x) analytique et régulière dans A est, dans le 
voisinage de chaque point ^r,, intérieur à A, développable eu une série de la 
forme 

Sc„a„( j:) ( x — ^o)"- 

absolument et uniformément convergente. 

Le Mémoire se termine par quelques exemples oii l'étoile S est déterminée 
complètement : citons en particulier la série 

1( i-i- ^ -7- :r'-J-. . .-I- j:"^' )"J^", 

pour laquelle S comprend les points x du plan pour lesquels on a simulta- 
nément 

|x|<i et |x|<|i — j:|. 

Dini (U.). — Stiidii siille equazioni dift'erenziali lineari in rela- 
zione ai loro inlegrali normal!, pel caso di alcune equazioni del 
secondo ordine. Polinomii integfali. (Rechei'clies sur les équa- 
tions différentielles liuéaires rclalives aux intégrales noi'inales 
de ces équations, dans le cas de certaines équations du second 
ordre. Intégrales polynômes.) (i35-i83.'i 

L'auteur applique les considérations développées dans son précédent Mémoire 
(Annali, t. WII) à quelques classes spéciales d'équations linéaires du second 
ordre 

pour lesquelles «„, a,, a., sont de la forme 

a,= (x— a)'' [A„-^B„(x — a)/'], 
CT,= (a; — a )'•-'[ A, 4- B,(a;— oi)f]. 
a, = (^ — a)''-=! A,^- A;'-?(3) 4- [11.,-^- B;»(3)] (j:- a)/';, 

avec h—o. i ou 2. 

Il examine pour quelles valeurs de 9(-) ces équations admettent des inté- 
grales se réduisant à des polynômes. Les équations de la forme 

(x — a) (ù — x)y + (\j.-^ '/x )y' + n(n — i — v)j' = o 

I I ■ . 1 I I ij. -t- va , ..... . , 

admcltcnl des intégrales polynômes lorsque — n est efjal ni a zéro, ni a 



UKVUIÎ DKS PUBLIC AXIONS. 65 

lin entier négatif, et ce polynôme sera en général de degré n. Ces polynômes 
sont, aux notations près, les polynômes de Jacobi. Comme cas plus particulier, 
on trouve les polynômes .\„ de Legendre. 

Bianclii { L.). — Sopra le deformazioni isogonali délie supeilicie 
il eiirvatuia costante in geomelria ellluica ed iperbolica. (Sur 
les déformations isogonales des surfaces à courbure constante 
en géoméirie elliptique et hyperbolique.) (\?>^^-1^'^.) 

Ce Mémoire fait suite à celui qu'a publié l'auteur dans le même Volume (p. i) 
des Annali. M. Bianchi élend ses recherclies sur les systèmes £ de déformées 
isogonales de la pseudosphère aux surfaces à courbure constante d'un espace 
quelconque à courbure constante. 

Si on laisse de côté le cas où les surfaces du système £ sont des surfaces à 
courbure nulle de l'espace elliptique, cas qui est traité à part, tout système de 
surfaces £ correspond d'une façon univoque et réciproque à un système analogue 
de l'espace euclidien, c'est-à-dire à un système de déformées isogonalis de la 
pseudosphère. 

Hevenant au cas de l'espace euclidien, M. Bianchi reprend l'étude d'un cas 
limite laissé de côté précédemment^ celui des déformations isogonales des sur- 
faces développables (surfaces à courbure constante nulle). 

Scarpis [V .)■ — Successioui ricorrenti in un campo di Galois. 
(Suites récurrentes dans un champ de Galois.) (245-286.) 

Étude de quelques propriétés remarquables de la suite récurrente 

n. I. a, x--t-i, a-^-t-2:(, .... 

où a est un quelconque des/?" éléments (p premier, impair) d'un champ (p") 
de Galois engendré par une fonction modulaire de degré /; de l'indéterminée x 
irréductible dans le champ o, 1, 2, . . ., (/) — i). 

La suite (a) est périodique et la période, dont le premier terme est nécessai- 
rement zéro, présente trois types (A), (B), (C) différents suivant qu'elle con- 
tient 0, t ou 3 zéros intermédiaires, seuls cas possibles. Le type (C) ne peut se 
présenter que si ( — 1) n'est pas résidu quadratique dans le champ {p"). En 
laissant ce cas de côté, l'auteur étudie la distribution des éléments (a) du 
champ (/>") en deux classes, suivant le type, (A) ou (B), de la période de la 
suite (a) : dans le premier cas, a^+4 est résidu quadratique; dans le second 
cas. a--4- 4 est non-résidu dans le champ [p")- 

Le\'i {E.-E .). — Sopra un teorema di esislenza per le equazioni 
aile derivate parziali de! secondo ordine. (Sur un théorème 
d'existence pour les équations aux déri\ées partielles du second 
ordre.) (287-333.) 
Bull, des Sciences matliem., 2' série, t. \Lll. ^Sepl. i9i«>) ^0 



66 SECONDE PARTIE. 

L'auleur étend a l'équation générale 
(i) F {x, y, z, p, g, r. s. t) = o 

les résultats établis par divers auteurs au sujet de l'équalion 
^ = fi-^' .>') -^ P^ ?)• 

En supposant que, dans l'équation (i), F ait des dérivées des quatre premiers 
ordres finies et continues par rapport aux diverses variables, il existe, dans le 
domaine de l'origine, une solution et une seule nulle sur les deux axes de coor- 
données et ayant des dérivées des quatre premiers ordres, pourvu que le rapport 
anharmonique des directions des caractéristiques de l'équation (i) à l'origine et 
des axes de coordonnées ne soit pas égal à i en module. Si léquation donnée 
est analytique, la solution précédente l'est aussi. 

M. E.-E. Lévi complète la théorie des caractéristiques en établissant, au point 
de vue des fonctions de variables réelles, des résultats établis par II. Goursat 
dans Thypothése de données analytiques. 

Zindler (A'.). — Réclamalion de priorité. 

Cette réclamation vise l'emploi fait par M. Sannia de deux formes quadra- 
tiques fondamentales dans l'étude des complexes de droites (Annali, t. X\II). 

S. LATTh:S. 



ACTA MATHEiMATICA. 

Tome 33, 1910. 

Gambie?' (B.). — Sur les équations diirérentielles du second 
ordre et du pieniier degré dont l'intégrale générale est à points 
critiques fixes. 

M. Paiiilevé a donné un Tableau des équations de la fftrme 
y = H (y'; y, X) 

(R rationnel en r', algébrique en y, analytique en .r) dont l'intégrale est à 
points critiques fixes. L'auleur signale une omission dans ce l'ablean. el étudie 
les équations ainsi obtenues par la méthode im^ine de M. P.iinlevé. 

Poincaré (//•)• — Remarques cliverses sur I crpialinn de 
FredJiolin. 

L'auteur obtient d'abord, par une melhodc dilTérenle, plusieurs formules déjà 



KEVUE DES PUHIJCATIONS. 67 

données par Fretlholm, et relatives au développement de la fonction D-.y^-de 
Fredliolm. M. Poincaré étudie ensuite le cas où le noyau devient infini, l'un 
des noyaux itérés restant partout fini, et donne dans ce cas l'expression de la 
solution; enfin, le Mémoire se termine par l'étude de cas encore un peu plus 
généraux que le précédent. 

MarkoJ) iA.). — Pieclierches sur un cas reinarfjiiahle d'épreuves 
dépendantes. 

L'auteur, employant une méthode due à Tchebychefr, démontre que l'inté- 
grale de Laplace 



fJr" 



dt 



représente encore, dans le cas d'un nombre infini d'épreuves dépendantes, la 
probabilité pour que le nombre des cas favorables soit compris entre deux 
limites de la forme 

jmi^ yp + ^, ^ ipq (^^) n J et jin. \^p + u \J --pq (7^) "J . 

n désignant le nombre des épreuves. 

Cousin (P.). — Sur les fonctions triplement périodiques de 
deux variables. 

M. Cousin introduit la notion d'un invariant pour (« + i) sj'stèmes de 
périodes, recherche l'expression analytique générale des fonctions méromorphes 
triplement périodiques, puis étudie des classes particulières de ces fonctions, 
dont les propriétés, relativement aux fonctions abéliennes. rappellent la dégé- 
nérescence des fonctions elliptiques en fonctions trigonométriques. 



Slridsberg {E.). — Sur quelques propriétés arithmétiques de 
certaines fonctions transcendantes. 

L'auteur étudie les propriétés arithmétiques de fonctions de Bessel, puis de 
quelques généralisations de la série hypergéométrique. 

Helge von Koch. — Contribution à la théorie des nombres pre- 
miers. 

En utilisant une expression nouvelle de la fonction numérique U'^r) de 
TchebycheflF, l'auteur montre qu'il existe un rapport intime entre les nombres 
premiers inférieurs à .r et les zéros imaginaires de v(s) dont le module est 
inférieur à x\ enfin il recherche quels termes il faut ajouter à x pour repré- 
senter ^'(^) avec une approximation donnée. 



68 SECONDE PARTIE. 

Fcderigo Enriques et Francisco Sei'cri. — Mémoire sur les 
surfaces hyperelliptiques {suite). 

Les auteurs étudient les surfaces hyperelliptiques régulières de rang 3, 4- 6, 
8, 12 et 24, en s'appuyant sur les propriétés des transformations hermitiennes 
périodiques sur une surface de Jacobi, recherchent le genre de certaines de ces 
surfaces, leur transformation en surfaces du quatrième ordre, et terminent par 
des exemples, 

Posse {€.). — Deux erreurs dans la Table des racines primitives 
de Wertheim. 

Elles sont relatives à des racines primitives de aiGi et 3S5i. 

Tome 34, 191 1 . 

Nôrlund {N.-E.). — Fractions continue? et dillerences réci- 
proques. 

Ce Mémoire commence par l'étude des équations linéaires aux dilTérences 
finies, par des méthodes analogues à celles employées pour les équations diffé- 
rentielles; en considérant ensuite les équations aux différences finies auxquelles 
satisfont les numérateurs et les dénominateurs des réduites d'une fraction con- 
tinue, M. Norlund en déduit des régies de convergence, qu'il applique ensuite à 
l'étude de certaines intégrales d'équations différentielles du second ordre, repré- 
sentées par des fractions continues. 

Dans le dernier Chapitre, l'auteur applique la théorie des ditl'érences réci- 
proques au développement de certaines fonctions en fractions continues. 

Perron (O.). — Ueber lineare DilTerenzengleicluingen. (Sur les 
équalions linéaires aux dlllérences finies.) 

P'tude de la manière dont se cu(n[)ortent les intégrales d'une é(|uatii)n linéaire 
d'ordre /; aux différences finies, lorsque certains des cocflicients deviennent 
infinis. 

Perron [O.). — Ueber lineare Diirerenlialgleicliungen mil ralio- 
nuler Kœffizienten. (Sur les équations dilTérentielles linéaire-^ ;i 
coefficients rationnels.) 

L'auteur applique les résultats du Mémoire précédent k la lecherclie de s 
équations différentielles linéaires à cocflicients rationnels, qui ne sont pas régu- 
lières au sens de Fuchs, mais dont cependant quelques-unes des intégrales 
[)arliculières restent holomorphes en nn point singulier des coefficients. 

Cette rerliorche avait d<'jii été faile anlériour<;mcnt par M. îlelgc von Korli, 
en s'a|t|)uyant sur la théorie des déterminants infinis. 



RKVUK DRS PUBLICATIONS G9 

Knopp {K.). — Divergenzcharaclere gewisser Diriclilet'scher 
Reihen. (Caractères de divergence de certaines séries de 
Diriclilet.) 

Ce Mémoire est une application des méthodes de M. Pringsheim {Ac(a mathe- 
motica, t. XXVIII), ainsi que des résnltals obtenus par M. Cahen dans son 
-Mémoire sur la fonction %{s), à l'étude de certaines séries de Diriclilet au voi- 
sinage de la limite de convergence. 

Oseen (C.-W^.). — Sur les formules de Greén généralisées qui se 
présenlent dans l'Hydrodynamique, et sur quelques-unes de 
leurs applications. 

M. Oseen généralise les formules de Green, de manière à pouvoir les appliquer 
à l'étude du mouvement d'un fluide visqueux. Dans cette première Partie, 
l'auteur applique les formules généralisées, au cas d'un fluide visqueux incona- 
pressible. 

Netto (E,). — Ueiier Pfaffsche Aggregate. (Sur les agrégats de 
PfalL) 

L'auteur montre, en s'appuyant sur les propriétés des agrégats de Pfaff. qu'on 
peut étendre la méthode de Cayley de manière à appliquer le mode de repré- 
sentation qu'elle fournit, a un déterminant orthogonal quelconque. 

Zaremba {S.). — Sur le |)rincipe de Dirichlet. 

L'auteur retrouve, par une méthode nouvelle, les résultais déjà obtenus par 
M. Beppo Levi, par M. Fubini et par M. Lebesgue, sur Iss conditions d'exacti- 
tude du principe de Dirichlet. 

Chazy («/•)• — Sur les équations diflérenlielles du troisième 
ordre et d'ordre supérieur dont l'intégrale générale a ses points 
critiques fixes. 

Prenant d'abord l'équation simplifiée 

\ " / j 

M. Chazy donne la nature de l'intégrale quand b{y) et c{y) sont rationnels ; 
il étudie ensuite les équations à points critiques fixes du tj'pe 

/"= P(r". r\ y- ^)- 



ou 



il P est un polynôme en y\ y', y à coefficients aiialyticiues en x. puis les 
équations de la forme 

y"'= R(jk", y\y. a:), 



o SECONDE PARTIE. 

R étant rationnel en y", y', y, à coefficients analytiques en x, et termine par 
quelques indications sur des équations à points critiques fixes du quatrième 
ordre et d'ordre supérieur. 



Tome 3o. 1912. 



Poincaré (H.). — Rapport sur le prix Bolyai. 

Rapport sur les travaux de M. David Hilbert, auquel est attribué le prix 
Bolyai. 

Mittag-Le(fler (G.). — Zur Biographie von W eierstrass. (Con- 
tribution à la l)ioj;rapliie de Weiersirass.) 

Recueil de divers extraits originaux de ^^'eierstrass, tirés soit des manuscrits 
de ce savant, soit de lettres adressées à divers correspondants. 

Fejér (L.). — Eine Bemerkiing ziir Mittag-F.effler'schen approxi- 
ination einer heliebigen analjtischen Funktion innerhalb des 
Sterngebieles. (Une remarque sur l'approximation, donnée p;ir 
M. Mitlag-Leffler, d'une fonction analytique (pielconque à l'in- 
térieur de l'étoile de convergence.) 

L'auteur montre qu'étant donnée une fonction entière /(a;) dont le rayon de 
convergence n'est pas nul, on peut choisir la suite de fonctions de Mittag- 
Leffier 

O'Jj:), *,(.r) 4>„(a:), ...: Iim 4>„( j;) =^ / (x), 

de telle sorte que les («4-1) premiers coefficients de <I>„(x) soient respective- 
ment égaux aux (n-t-i) premiers coefficients de / (a;). 

buhl i A .). — Sur la repiésenlalit>r) des fondions nit-roniorplies. 

L'auteur envisage des séries de polynômes auxquelles conduit le prolonge- 
ment analytique d'une fonction méromorphe, puis, après avoir étudié un cas 
particulier, M Buhl montre que les résultats qu'il obtient ainsi par une méthode 
directe coïncident avec ceux que fournirait l'application d'une des intégrales 
curvilignes de M. Mitlag Leffler, dans le cas des fondions méromorphes. 

Oseen (6.-/1.). — Sui les formules de Green généralisées qui se 
présentent dans rHjdrodynamique el sur quolijues-unes de 
leurs applications [suite). 

Dans la dernière Partie de son travail, .M. Oseen applique les formules de 
Green généralisées, au cas d'un lluide visqueux et compressible. 



REVUE DES PUBLICATIONS. 71 

Posse (C). — Exposé succinct des résullats principaux du 
Mémoire posthume de Rorkine. avec une Table des racines 
primitives et des caractères qui s'v rapportent, calculée par lui 
pour les nombres premiers inférieurs à 4ooo et prolongée jus- 
qu'à DOOO. 

Reproduction de la Tuble de F<urkine. prolongée jusqu'à dooo, avec l'explica- 
tion de sa construction et son application à la résolution des congruences 
binômes, d'après le Mémoire de Korkine. 

Riesz (M-)- — Sur la représentation analytique des fonctions 
définies par des séries de Dirichlet (Lettre à AI. Mittag-Leffler). 

En généralisent la méthode de M. Mittag-Leftler fondée sur l'emploi de l'inté- 
grale de Laplace-Abel, l'auteur obtient des expressions limites qui, lorsqu'on 
les applique à la représentation d'une fonction non entière, sont telles que la 
frontière de convergence contienne nécessairement au moins un point singulier 
à distance /f nie; de plus il montre que, pour les séries de Dirichlet, la notion 
d'étoile principale joue le même rôle que pour les séries entières. 

Landau {J^-}- — LJeber einige Summen, die von den NuUstellen 
der Riemann'schen Zetafunktion abhangen. [Sur quelques 
sommes qui dépendent des zéros de la fonction "Cis) de Rie- 
mann.] 

*r(j7) étant la fonction de TchebychefT, en posant 
■i{x) = ^ log/^. 

^V{x) - ?(J7) -+- (v^). 
M. Helge von Koch a démontré que. k et ;j vérifiant les inégalités 

i< A < - et o < [j. < I, 

2 

on pouvait écrire 

\-> x'i ^ I iJip log.r\ ^ , , ., , , . 
.r(.r, = .r- \^ _r/.-^i^j + 0(^>-^log-.r), 

Ifil'-''^' 

ou p = a -+-^1 désigne un zéro imaginaire de \{i). Lauteur démontre qu on 

/ [xo logjr\ 
peut laisser de côté, dans la formule précédente, le facteur 1 1 i ^^^ I 

et écrire, même pour 0=1, 

W(j;)-x— V ^ -^- Û(x'-i^log-a:). 



72 SECONDE PARTIE. 

J ito V olterra.-^ Sur les équations intégro-ditVérentielles et leurs 
applications. 

L'auteur, employant une méthode qui se rattache à la fois à la théorie des 
solutions fondamentales de Green, et à celle qui consiste à regarder une équa 
lion intégi'ale comme un ensemble d'équations algébriques en nombre infini, 
étudie les équations intégro-diflerentieiles du type elliptique ayant une ou deux 
limites variables, et en fait ensuite l'application aux phénomènes d'hérédité en 
élasticité et en électromagnétisme. 

Schnue ( V.). — Ueber den Zusanimenhairg zwischen den Sum- 
mabililàtseigtnscliaften Dirichletsclier Reihen und ihrem Funk- 
tionenlheoretisclien Charakter. ( Sur la relation qui existe entre 
les propriétés soiniuatoires de séries de Diric hiet et leur carac- 
tère relativement à la théorie des fonctions.) 

Généralisant des théorèmes dus à MM. Bohr, liiosz et Landau, l'auteur éta- 
blit divers théorèmes sur l'ordre de sommabiiité d'une série de Dirichlet. 



Tome 36, 1912-1913. 

Galbriin (//•)• — Sur la représentation des solutions d une équa- 
tion linéaire aux dillerences finies ]iour les grandes valeurs de 
la variable. 

M. Galbrun considère une équation linéaire aux diflérences finies et forme 
des développements représentant asymptotiquement les solutions, en ramenant 
son élude à celle d'une équation différentielle linéaire donl les coefficients sont 
des polynômes. 

Fabry (-£"•)• — Ordre des points singuliers de la série deTa\I(ii'. 

Après avoir montré que les notions d'ordre d'infiiiitude en un point singu- 
lier, et d'ordre d'infinitude dans le cercle de convergence, reposent sur des prin- 
cipes dilférenls, l'auteur examine les conséquences qu'on en déduit dans les 
divers cas qui peuvent se présenter. 

Su ndniann iK.-F.). — Mémoire sur le proltièmc des Irois corps. 

L'auteur donne ici une exposition d'ensemble de toutes ses recherches sur le 
problème des trois corps. Ln prolongeaiU analyliquement les intégrales, pour 
t'iute valeur de t supérieure à celle qui correspond k un choc de deux seule- 
ment des corps, .M. Sundinann montre qu'c^n peut ainsi définir de |)roclie en 
proche le mouvement pour loule valeur de t comprise entre — « et -f- «. à la 
seule condition que les constantes des aires ne soient pas nulles toutes les trois; 



RlîVUli lJh,S l'IJ BMC A I IONS. 73 

de plus, uii peul alors iiidiiiuer une limite positive au-dessous, de la(|uellc le? 
deux plus ijiandes des disUmccs eiilie les corps tie descendent jamais. \yd con- 
clusion de M. Sundmariu est résumée dans le lliéorcmc suivant ; 

•bt les conslanles des aiies dans le inouKement des /rois corps par rapport 
à leur centre de ificnilé ne sont pas toutes nulles, on peut trouver une 
variable - telle '/ue les coordonnées des trois corps, leurs distances niutuelli s 
et le temps soient dévelop[jabtes en séries cons:ergenles suivant les jniissances 
de - et qui représentent le niouvenienl pour toutes les râleurs réelles du 
temps, quels que soient les c/iocs qui se produisent sur les trois coips. 

Jc/tse/i [J. L.-W .-/ . ). — Ueclierchcs sur la lliûoiic dos c(iiiii- 
lious. 

L'auteur considère les équations Irunsccndanlcs obtenues en égalant à zéro 
une série entière à coefficients réels, et appelle type dune telle équation le 
nombre des paires de racines imaginaires conjuguées (ju'ellc possède. L'appli- 
cation d'un théorème de Caucliy, du tliéorème tie Kolb. de ceux de ANaring et 
de Poulain, conduisent .M, Jensen, par îles voies diverses, à ((uel(|ues résultats 
sur le type d'une fonction entière. 

Uohf ( //. ). Ijosimg der absuliileii Roiivergeii/ proljlems ciiicr 
allgemeinei) Klasse Diriclilel sclier Reiheii. ( Soliiliuii du \)yo- 
blème de la convergence absolue (rime classe étendue de séries 
de Diriclilel . 1 

Le but principal de ce travail est la démonstration du lliéorcmc suivant : 
Soit donnée la suite 

o ; A, -1 A . . . . < A„ <; . . . ( 1 i m A,, = y-) 

telle que, pour aucun entier positif N, on ne puisse trouver de relation de 
la forme 



les i,', étant des entiers mm nuls, et suit ta série de l>ii icidcl 



,.-/,„.■ 



relative à cette suite, et possédant un domaine de converi^enee. four que 
cette série soit absolument convergente pour z :> 3„. il est nécessaire que la 
fonction analytique _/"( a" 1 soit, pour z ~- 7,,, régulière et qu'on puisse, fimir 
ces râleurs de ~. trouver un nombre positif />, tel que 

|/(.s|j.</. pour 7-7.,. 

lititl . des Sciences matkeni., j' séiie, 1. M. 11. (<>ct. el N<>v. i;)!"^-) U.i" 



SECONDE PAKTIE. 



Zorelli (M.-L.). — Gonliiiiution à léliide des lignes Oiuilo- 
licunes. 

M. Zorelli Jéfiiiil la iiolion de ligue, à un point de vue géoméliique pur, en 
s'dppuyanl sur lu théorie des ensembles de points el la notion de continu irro- 
ducliblc. 



Pitickerle ( -S. i. — (Quelques rcnuirques sur les loacliODs détci- 
ininanles. 

L'auteur indique i|ueK]ues prupusiliuns iciati\es à Tordre de la fonclion 
génératrice d'une fonclion donnée, ainsi qu'aux relations qui existent enlre le 
caractère as\ inplotique de la fonclion génératrice et le caractère analytique de 
la fonction déterminante. 

Lipschitz [H. I. — llecherclies sur !<• développeineiit en séries Iri- 
gonomélriques des fonctions arhilraires ^runc \ariai)lc,cl prin- 
cipalemenl de celles qui, dans un intervallr fini, admelleiit une 
infinilc de maxiiiia el de iniiiiuia. 

Traducliou du Méniuire original de Lipscliilz. faite par M. Tau! .Monlel. 

Malniquisl { J.). — Sur les fondions à un noiuhrc (ini de branches 
dé(inie> p.ir les équations dillérenllclles du preuiier ordre. 

M. -M.dmquisl applique les résultats obtenus par M. lîoulrouv a léUidc de la 
nature d une intégrale à un nombre lini de ilélerminalions. Après avoir com- 
plètement résolu ce problème dans un (as particulier posé par M. Painlevé. 
l'auteur parvient à un résultat gi'néral sur la nature de certains jjoints singu- 
liers. 

Lic/id'/tsfcin t L. ). — Zur i'Iieoric dcr linearcn parliellen iJille- 
rentialgleicliungen zueilcr Orduuiij; vont ellliptisclien T\pu>. 
Uic crsle Kand\\crlaufj:;alje iur auaivtisclie (iebietc mit Ecken. 
( Sur la théorie des équations linéaires aux dérivées partielles 
du second ordre du type elliptifpie. Le premier prohlcinc aux 
limites pour un prol)lème analyliipic avec des points anguleux, i 

L'auteur ramené le problème à la résolution d'une équation intégrale u novau 
discontinu, en modiliant un peu une métlmdo iluc .1 M jlmile l'icard. 

I'. 1 >lioi i.> . 



HEVUE DES PUBLICATIONS. 71 

AX.NAI.ES SCIENTIFIQUES HE I/ECOEE NORMALE SI l'ÉKIEURE. 
3' série, l. XWIIE 1911 ('). 

I^zifzéica (6r.). — Stii- cerlaines coiu-bes candies u;-.'>:> ). 

Les coiirlics éludiées sont relies i|iii jmiissent de la [iKipiiéU' expriniée par 
I cqiiation 

(1) 'IV/'- consl., 

où T e?t l'inverse de la torsion en un point M de la eourLe, et </ le carré de la 
distance de M à l'origine des eoordonnées. On a les propriétés suivantes : 

Les coordonnées x, y, z de .M exprimées, au moyen d'un certain paranu-trr 
sont les intégrales d'une même équation 

I)'"-- />')'-'.- 7O. 

oii fj est constant. Itéciproquemenl. trois intégrales quelconijucs de cettf 
équation définissent une courbe jouissant de la propriété ( 1 ). l-^n conséquence, 
après un court calcul : La transformée d'une courbe jouissant de la pro- 
priété (i), par polaires réciproques relativement à une sphère qui a pour 
centre l'origine, jouit de la propriété (i). 

M. T/.itzéica dit que di ii\ courbes C et C, sont Iransforniées asymplotiques 
l'une de l'autre si elles sont lignes as\ mptoiiqiies dune même surface réglée. 
Alors, si C jouit de la propriété (i). parmi les surfaces réglées juissant 
par C, il y en a une infinité, dépendant d'une fonction arbitraire, sur les- 
quelles C est la seule ligne asymptotique jouissant de la propriété 1 1 ) : une 
infinité d'autres, dépendant de trois paramétres, sur lesquelles C et une 
autre ligne asymptotique jouissent dé la />ropriété {1 ): une infinité d'autres, 
dépendant de deux paramétres, dont toutes les lignes a.<i^■nlptotiques jouissent 
de la propriété ( 1 ). 

Ces surfaces réglées sont ensuite éludiées spécialement; leurs lignes flecno- 
dales, c'est-à-dire le lieu des points par lesquels passent des tangentes rencon- 
trant la surface en quatre points confondus au point de contact, jouissent de 
curieuses propriétés. 

niesz [J'\). — Sur certains svslcMiies sini>iilior.s (r(''qiiali<ins inlé- 
<;i-ales ( 3.'^)-<)>). 

Ce Mémoire commence pai' donner la condition nécessaire cl suflisante pour 
qu'une fonction Xix) soit l'intégrale indéfinie d'une fonclinn à variai ion bor- 
née. T/anleiir (b'signe alors par 12 la lulalitédes fonctions, réelles ou non.con- 

(') \oir /lutl. des .Se. matli..l. XMI. m,iS. p. <]-ôX. 



6 S Kf. ON 1)1-: 1» A HT 11-;. 

linues tians lintervalle (cr, b) ^ el dolinit la limite par la convergence uniforme; 
il dit qu'une opération fonctionnelle \[ /(a:)] est continue si l'hypothèse 

1 i m /, ( 37 ) — / ( .r ) 
entraîne lini A ( /, ) = A(/). Enfin, l'opération est linéaire si 

\i/( + A(c;) = Al /— ç.1. 

Cela étant. M. l'iesz. complétant un résultat de M. Hadamard, établit que 
toute opération fonctionnelle linéaire est une intégrale de Stieltjes 



-r 



Vf /■(.ri] = / /i.r) r/a(.r 



Enfin M. lîicsz introduit le système d'une infinité d'équations dont la considé- 
ration est le but du Mémoire, c'est-à-dire 



f 



h 
t\ I .r ) ^/ a ( x ) = Cj 



où la fonction à variation bornée a i ,r i esl runii|ue inconnue; il donne une 
condition nécessaire el suffisante pour que ce système admette une solution. 
Le résultat obtenu s'applique à diverses questions; par exemple au problème 
de reconnaître si toute fonction continue dans («, h) peut être approchée imlé- 
liiiinient el uniformément par les combinaisons linéaires d'une suite indéfinie 
de fond ions données ij, ( .r i : il s'ap|dique aussi, avec quelques compléments, à 
des iiénéralisalions du théorème de M. l'icard sur l'existence des racines <le 
rè(|ii,ilii)ri I i I ./■ I - w/. oi'i ( ; I ./' I est une l'onclion entière. 



Fojrr I A.i. Siif les sin^iiliii'iu'-s de la st-rie d»' j-'oiirici- des 

roiiclioii-^ <()iil iiiiies ( ().î- I (> I ). 

Ce Mi-moire est consacré à donner des cvem|>lrs iiuméri(|ues simples de 
fonctions eon linues dont les séries de Tourier sont diverj;enles en des points isolés, 
ou en des points formant un ensemble partout dense ( sinp^ularité de du l'ois- 
iîeymonrl), ou sont convergentes non uniformément dans les intervalles qui 
contiennent certains points (singularité de Lebesguc). Ces fonctions continues 
sont ilonnées dans ce travail par leurs séries de Eouricr. Les résultats obtenus 
permettent d'obtenir des séries de Tavlor présentant cerlnines particulariti's 
sur la circonférence de leur cercle de ( oiivergencc. 

Dans un ;ippendice à son Mémoiie. M. l'ejér Iroiixe très Nimplemenl. pour 
les ciiii^idiilcs (le l.ohen'jîne. 



' • Il 
l'expression 



'-' j sin ( t/> -4- i) / I 

-in / I ' ' 



> - lani; 

^mi V i // I 

•/ 1 



KKVUls DKS l'L' 15 M CM- IONS. 77 

('hàtelel {^ A.). - Sur ccrlams cn-<fiiili|i's de l;il)lcaii\ et leur 
application à la théorie des nombres ( io5-302). 

L'auleur de cet important travail a essajé d'introduire une certaine bonao- 
gçnéilé dans divers raisonnements de la théorie des nombres, tels que celui de 
liiricliiet pour l'approximation des irralionnelles par dos fractions, raison- 
nement qui peut s'étendre à l'approximatiuii de plusieurs irrationnelle- réelles 
on même imaginaires: tels encore que l'antique méthode du dévehqipemenl 
en fraction continue, qui est une méthode de calcul effectif pour l'approxima- 
tion des irrationnelles et pour la réduction des formes quadratiques binaires: 
tels enfin et surtout que la méthode d'Hermite, reposant sur l'inlrodurtion 
de paramètres continus dans certaines formes quadratiques définies. Toutefois, 
M. Cliàtelel a étendu celle méthode en considéiani des fonctions homogénps 
d'orfire m : 



(w^i), 



ou métne la functifui 



\^ /'- 



Cette unification a été obtenue au moyen de la notation des tableaux carrés 
à n' éléments, par lesquels on peut représenter à volonté des systèmes de formes 
linéaires, des formes bilinéaires, des formes décomposables, des substitutions 
linéaires, etc. Reprenant la notion d'équivalence des tableaux introduite par 
Ilermite, ^I. Chàtelet a donné une notion générale fie l'ensemble des tableaux 
réduits équi\alant à un tableau donné. Il a ainsi retrouvé, au moyen des tableaux 
du deuxième ordre, une foule de résultats connus. Les tableaux du troisième 
ordre, au contraire, l'ont conduit à des résultats pour la plupart nouveaux. 

Pour les nombres algébriques, les tableaux donnent un algorithme pério- 
dique, au sujet duquel M. Chàtelet s'exprime ainsi : " La périodicité de cet 
algorithme peut se représenter dans le cas du deuxième ordre, et dans le cas 
du troisième ordre à deux colonnes imaginaires conjuguées, par le pavage 
d'une droite au moyen de segments égaux, dans le cas du troisième ordre réel 
par le pavage d'un plan au moyen de la translation d'un polygone, et ainsi de 
suite. » 

Ivnfin M. Chàtelet a été amené à établir entre les entiers d'un ordre 
algébrique et les tableaux à termes entiers de certains groupes abéliens une 
correspondance précieuse pour la simplification des calcul*. 



Vi'llal {IL). - .Sur la résistance des Hiiides (:^.o^)-.3i 1 ). 

On traite dans ce Mémoire le problème du mouvenient plan permanent d'un 
fluide limité par une paroi {\\f: e( indéfinie quelconque autour d'un obstacle 
immergé quelconque, dans le cas 011 l'on admet l'existence d'un sillage. 

La méthode emplo3ée consiste à faire correspondre au champ occupé par le 
fluide en mouvement, c'est-à-dire sillage exclu, l'aire intérieure à une denu • 



7S SECONDE PAHTIE. 

couronne circulaire, au moyen d'une représentation conforme. M. \illal réussit 
ainsi à trouver, clans tous les cas possibles, l'intégrale générale du problème, 
la forme de l'obstacle étant donnée. 

Dans une deuxième partie, M. Viilat traite le problème analogue dans le cas 
d'un fluide indéfini. Complétant les travaux de M. Levi-Civita, il exprime la 
solution générale du problème au moyen d'une fonction étroitement liée à la 
forme de l'obstacle. La méthode qu'il emploie dans ce but peut également 
s'appliquer au cas du lluidc limité par une pai"oi fixe rectiligno indéfinie. 

Ce Mémoire est à rapprocher d'un aulre Mémoire du même autrui, paru 
dans le Journal de M(illit-mali<]iies //iirex et applir/iiecx. année 1911. 

Pica/cI(E.). — Sur II» exemple sim|>le dune éf|iiatlon singu- 
lière de Fredholni où la nature analytique de la solution dépend 
du second membre ( 3 1.3-3'> O- 

(juidé parla considération de l'équalioii ;iu>; dérivées partielles 

, , (P U (P II II- 1/ . 

( « ) -—T. ; H = A // -i- -j ( .r, V, z). 

()x- Il y^ iiz- . V ' . 

dont il se propose de trouver une solution de module limité dans tout lespace, 
M. Picard obtient ce résultat: Si f (.r. )', - ) est une fonction continue et Itornee 
(lana tout V espace, l'équation fonctionnelle 

//(.r, 1'. z ) ^-^ I I I u I l. y^.Z) - — (tl ci (, cil = f 1 .r. t, z 1. 

l 'intégrale triple éteint étendue a tout l'espace, et r- il é signant 

( .r — £ /-' -t- I _)■ — Y j ■--+-( .3 — ! )■-, 
admet la solution 

u( r. y, z) — f{.r. y, z ) -■ r^ I I I f ^ -.•'.- '^ ff- '^(f. 'f'- 

/iiiiir À non réel et négatif. \/^> étant la déterininatiun du radical en ant sa 
réelle positii'e. 

Memplacant /par une fonction d'une seule variable, on trouve Vét/uation 

u(j-) — ; — ^ / e~\■'^ \\ mi) d\ -'- f (.r ). 



— 00 



ilont une solution est 

I — A r ' '' e-\>- '-\~> 
u(.T) :~ f ( .V) -h I /■(;)//:. 

' • * \ '• 

l'articularisaut alors la fonclioii f i.r t, M. Picard obtient pour ^/(. ri une 
valeur qui a des singularités variées sur l'axe réel négatif du plan des >, ; ce 
sont par exemple des pùles, de position variable, ou encore des coupures essen- 
tielles tout le long de cet axe réel négatif ou le long (\o certains segments de 
cet axe. 



UEVUE DKS l'Um.lCATlONS. 79 

>1. Picard teiimne par la considération dune équalion diffcrenlielle, ana- 
logue it (0- Pi lui aurait pu conduire directement à réquatlun fonrtionnclle 
ne rontenaiit qu'une intégrale sim|>li'. 

Le<^'i-CUila ( 7'.). — Sur les équations linéaires à coefficienls 
|)ério(li(|ucs el sur le moveu iTiodvcinenl du nœud lunaire 

(3.5-:;76). 

Une étude des substitutions linéaires conduit M. Lc\i-Civita à ce lliéorcine : 
Considérons une solution riuclcomjue il, 

x = xU), y=y{l), 
d'an système d'équations difft:rentieUes linéaires 

dx 

—r- = a, .X -\- a, .. y. 
dt ''' 

dy 

-y- = a., ,x + «., ., )', 

dt -'' 

à coefjicienls périodiques, at le mouvement plan qu'elle définit. Soit ?c l'ano- 
malie (anj^ic polaire) du point mobile. On peut toujours poser 

:-: = fot -h s{t), 

\i{t)\ étant inférieur à un nombre indépendant de t, et lo étant une con- 
stante. Cette constante est égale à j -h g ou ày— ^,7 étant entier, et g étant 
la délermiualion choisie pour le coefficient de rr 2-t dans les exposants caracté- 
ristiques du système. 

De là, l'auteur tire cette conclusion : Si, dans l'équation linéaire 

fP X dx 

a coefficients périodiques, la valeur moyen/te de q — />- rst positive, un inter- 
valle de temps quelconque contient en moyenne 2 | 7 -+- g | racines de x par 
période, d'autant plus exactement que cet intervalle est plus grand. 

Enfin, M. I.evi-Civita applique ces considérations au mouvement do la lune. 
Son exposilii'U, reposant sur des théories connues en bonne partie, lui permet 
d'établir en toute rigueur l'existence d"un moyen mouvement du nœud 
lunaire. 

Boiisstinisri [J .). — Sur les vibralious longitudinales (|iic produil. 
dans une barre élasli(|ue, la variation de ses températures ( l;;- 
388). 

iM. Boussinesq reprend deux problèmes traités respectivement par M.M. lîov 
el \nnv(ke dans leurs l'hésc-^ l'.ov. i'aris. nii'>; Annvi;kk. Paris, i.,i 1 1. sa\ oir : 



8o SECONDE PARTIE. 

I' Mouvement longitudinal pris spontanément par une barre de longueur /, 
sétendant de x = o k x = l, le long do Taxe des x, à bouts libres de toute 
pression sensible, mais en contact (par exemple) avec un liquida ii la tempé- 
rature zéro de l'atmosphère ambiante, quand cette barre, supposée portée initia- 
lement sans vitesses visibles, à des températures données, se refroidit peu à 
peu, par rayonnement ou par conveclion à travers sa surface latérale, et par 
t-ontact à ses extrémités. 

2' .Mouvement analogue pris par la même barre, mais à bouts {x = <>, a = / i 
imperméables à la chaleur et fixés dans les situations respectives de leur état 
naturel à la température zéro, lorsque celte barre après avoir été portée de 
même, sans vitesses visibles, à des températures données, se refroidit par 
rayonnement ou convection dans lalmosphére ambiante. 

M. Ijciussincsq met en évidence des liens étroits entre les solutions de ces 
deux problèmes. Il traite de plus le cas où réchauffement préalable, au lieu de 
se faire sans vii,esscs visibles, serait instantané, de telle sorte (|u'i! n'ait, au 
temps ^ = u, amené encore aucune dilatation ni aucune vitesse. 

Dienes i^Paul el l alcrie). — Reclierclics nouvelles sur les singti- 
larilcs des fondions analytiques (.î8()- i.VV 

Ces recherches sont consacrées aux singularités des fonctions analytiques 
situées soit sur le cercle de convergence, suit aux sommets de Téloile princi- 
pale. 

Les singularités étudiées sont des [joints critiques algvbrico-logaritlimùjuvs. 

Dans le premier Chapitre, concernant ceux de ces points qui sont sur le 
cercle de convergence, il est fait grand usage des méthodes de sommation par 
les moyennes arithmétiques des divers ordres, et des sommations exponentielles 
simple et généralisée de M. lîorel : ces dernières méthodes permettent 
d'atteindre même les points critiques algébrico-logarilhmiques situés sur le 
polvgonc de sommabilité. Les auteurs obtiennent des formules qui permettent 
de trouver simplement, à laide des coefficients de la série de Taylor. de quelle 
manière la fonction devient infinie. 

Dans le second Chapitre, relatif aux points critiques algébrico-logarith- 
miques situés aux sommets de l'étoile principale, les auteurs se servent d'un 
mode de représentation de M. Mittag-Lcfller, a|)pliqué dune façon particulière, 
à l'aide d'une fonction sommalrice étudiée par M. Lindeh'f, et à l'aide dune 
autre fonction due à .M. .Mitlag-Leftlcr lui-même. Les résultat'^ obtenus sont plu-* 
ou moins précis, selon la l'unclion cmplovèc. 

Dans un troisième Chapitre, les auteurs étudient, par le^ mêmes procédés, 
l'allure de la fonction en un sommet de l'étoile, indépendamment de la singularité 
de la fonction en ce point. 

I^icartl \ lî .). — Sur les é(|iialiuns inlégrales de Iroisiènie espèce 

Il s'agit des é(|uations intégrales de la formi' 
M) A ix)/<u.) -r- A / Ki_x,y)f{y)'ix--Î\xj, 



RliVUE DRS PUBLICATIONS. 8i 

f(x) est la fonction inconnue, dans le cas on A(jf) s'annule entre a et 6 
On pose 

(2) X{x}f{x)=^V{x). 
de sorte que (i) devient 

(3) F(^)4-A f ^^^^'■!'^ V{y)dy = 'l{x). 

Puis on isole les racines a,, oc,, ..., a,„ de S.{y) au moyen d'intervalles 
(a,— £,, oL^~-t,-): en retranchant ces intervalles du champ d'intégration, on 
obtient une équation de Fredholm ordinaire. Si alors les £ et les r, tendent 
vers zéro, la solution de cette équation tend vers une limite, qui est linéaire 
(fractionnaire) isolement par rapport aux m constantes 

.. , r, 
L,= lim log — • 

Dans le cas particulier de l'équation 

r'' 

(x-ai)f{x) -h\ i^{x,y) f{y)dy = -^{x) (a<a<6), 

"- CI 

M. Picard montre qu'il existe en général des valeurs singulières de a pour les- 
quelles cette équation admet une solution f(x) continue de « à b. 

Cotlon (E.). — Sur les solutions asymplotiques des équations 
différentielles (473-02 1). 

Un système de n équations différentielles contenant n fonctions inconnues z^, 
z.., ...,-,. d'une variable t, on peut se pi-oposer, à la suite de Poincaré, d'étudier 
les solutions qui tendent vers zéro ou qui restent assez voisines de zéro quand 
t augmente indéfiniment. La méthode employée ici par .M. Cotton diffère de 
celle de ses prédécesseurs en ce quelle remplace le système donné par un sys- 
tème d'équations intégrales non linéaires, l'une des limites des intégrales étant 
variable. 

M. Cotton retrouve ainsi des résultats déjà connus antérieurement, et même 
les étend : ainsi il ne suppose pas que les équations contiennent analy tiquement 
les fonctions inconnues. Il démontre aussi des résultats entièrement nouveaux, 
en considérant des systèmes d'équations qui ne contiennent pas la variable 
indépendante, et dont une racine de l'équation caractéristique du système 
obtenu en réduisant les équations à leur partie linéaire est nulle, les parties 
réelles de toutes les autres racines étant différentes de zéro. 

Le Roux {J.). — Étude géométrique de la torsion et de la flexion 
dans la déformation infinitésimale d'un milieu continu (023- 

L'objet de ce Mémoire est l'étude gèomélririue des éléments différentiels du 
second ordre d'une déformation. La connaissance de ces éléments peut paraître 
Bull, des Sciences niathém., v série, t. XLIL (Décembre 1918.) U.ii 



Si SECONDE PARTIK. — REVUE DES PUBLICATIONS. 

aussi utile à la mécanique des milieux continus que celle de la courbure à la 
mécanique du point. 

L'auteur considère d'abord la torsion : c'est la projection orthogonale sur une 
direction donnée de la dérivée géométrique de la rotation suivant cette direc- 
tion. Il étudie la distribution des torsions pour les diflerentes directions et la 
représente par une indicatrice, qui est une quadrique. Introduisant ensuite 
d'autres éléments, incurvation et flexion, l'auteur arrive à trouver trois 
flexions indépendantes, nommées dilation seconde, torsion, flexion cyclique. 

Le travail se termine par l'étude de la flexion des surfaces, c'est-à-dire de 
la flexion des lignes situées sur la surface. Cette étude introduit quelques 
notions nouvelles, très intéressantes, comme les précédentes, au point de vue 
géométrique. 

Il est aussi question, dans ce Mémoire, des déformations finies, qui présentent 
de l'intérêt pour la résistance des matériaux. 

Georges Gitiaud. 



Kl>' DE LA SECONDE PARTIE DU TOME XI.II. 



TABLES 

DKS 

MATIÈRES ET NOMS D'AUTEURS 

TOME XLII; 1918. - SECONDE PARTIE. 



TABLE ALPHABETIQUE 

DES MATIÈRES. 



RECUEILS ACADÉMIQUES ET PÉRIODIQUES DONT LES ARTICLES 
ONT ÉTÉ ANALYSÉS DANS CE VOLUME. 

Acla mathematica. T. 27, 1908 (G-i4); T. 3-2, 1909 (44-47); T. 33 à 36, 1910-1913 

(66-74). 
Annales scientifiques de l'École Normale supérieure. T. XXVI, 1909 (23-29); 

T. XXVII, 1910 (29-88); T. XXVIII, 191 1 (75-82). 
Annali di xMatemalica pura ed applicala. T. XVII, XVIII; 1910-1911 (57-66). 
Alti del R. Istituto veneto di Scienze, Leltere ed Arli. T. XLIV, 1904-1905 

(47-^7)- 
Rendiconti del Circolo mateniatico di Palermo. T. XVII, 1900 ( 38-44 )• 
The quarterly Journal of pure and applied malhematics. T. XXXVIII, 1907 

(14-22). 

AVIS. 

Picard (Emile). — Avis à M.M. \e> Rédacteurs d'analyses de Mémoires pour 
la « Revue des publications académiques cl périodiques » 5 



TABLE DES NOMS D'AUTEURS 

PAU OllDlUÎ xVLPHABÉTIQUE. 



Arcaïs ( F. d'). 55. 
Bachelier (L.). 34. 
Baire (R.). 45. 
Baker (H. -F.). 8. 
Barbini (U.). 5.!-53. 
Barnes (E.-W.). 16-17. 
Basset (A.-B.). i4, 19, 21. 
Bendixson (L). i2-i3. 
Bernardi (F.). 48. 
Bernstein. 3, 33. 
Berry (A.). 8-9. 
Blanchi (L.). 62, 65. 
Bohr (H.). 73. 
Borel (E.). 12. 
Bôllcher (L.). 29. 
Boussinesq (J.). 29-30, 36, 79. 
Bromwich (T.-J.). 18-19. 
Bronwer (L.-F.-J.). 3;. 
Buhl (A.). 70, 
Burgatli (P.). 4o. 
Burnside (H.), n . 
Calapso (P.). 42, 
Carlan (E.). 24-20, 3r. 
Cattaneo (P.). 48, 54. 
Chùtelel (A.). 77. 
Chazy (J.). 69-70. 
Cissolli (U.). 53, 55. 
Clairin (J.). 35-36. 
Cotton (E.). 81. 
Cousin (P.). 67. 
Darboux (G.). 28. 
Da Bios (L. S.). 55-56. 
DeU'Agnola (C. A.). 47, 5o. 
Pel Re (A.). 39-40. 
Dickson (L. E.). 17, 21. 
Dienes (Paul et Valérie). 80. 



Dini (U.). 61, 64-65'. 

Dixon (A. C). 16. 

Enriquez (F.). 46-47^ 68. 

Fabry (E.). 72. 

Fatou (P.). 3o. 

Favaro (A.). 47, 4^^. 'i9î ^o, 5i, 53, 54, 

56. 
Fejér (L.). 70, 76. 
Ferretti (G.)- 43. 
Franchir (M. de). 39. 
Fréchet (M.). 32. 
Fredholm ( 1.). i3-i4. 
Fubini (G.). 4'i 53, 59. 
Galbrun (H.). 72. 
Gambier ( B.). 66. 
Giudice (F.). 4i. 
Giuletto (V.). 38. 
Glaisher (J. W. L.). i-j. 21. 
Goursal ( E.). 8, 
Gram (J.-P.). 12. 
Haag (J.). 33-34. 
Hadamard (J.). 9. 
Hardy (G.-H.). 22. 
Hartogs (F.). 45. 
Helge von Koch. 7, 67. 
Hobson (E. H.), lo-ii. 
Iseli (F.). 57. 
Jensen (J. L. W. V.). 70. 
Jessop (C. M.). 21. 
Jourdain (F.). 19, 22. 
Kapteyn (W.). i3. 
Knopp ( K.). 69. 
Koru (A.). 45. 
Landau (E.). 71. 
Laiiricella (G.). 46- 
Lcbesgue ( 11.). 35. 



86 SECONDE PARTIE. — TABLE DES NOMS D'AUTEURS. 



Lerch (M.). i3. 

Le Roux (J.). 8i. 

Levi ( E. E.). oS-ôg, 62-63, 65-66. 

Levi-Civita (T.). 'iS, 52, 56-57, 79* 

Liapounofr( A.). 28. 

Lichtenslein (L.). 74. 

Lindelof (E.). 12. 

Liouville ( R.). 7. 

Lipscliitz (R). -'\. 

Lorenzoni (G.). 49- 

Lori (P.). 54. 

Loria (G.). 58-59. 

Malmquist (J). 74- 

Mansion (P.). i3. 

Marchis ( L. de). ^~, 5o, 56. 

MarkofT (A.). 67. 

Marlelta (G.). 4o, 44. 

Mazzelli (C.). 49. 

Miller (G. -A.). 17-18. 

Mineo (G.). 42-43. 

Minkowski ( H.). 29. 

Mittag-Leffler (G.). 70. 

Montessus (R. de). ^G. 

Netto (E.). 69. 

Nôrlund (N. E.). 68. 

Orlando (L.). 43. 

Oscen (C. \V.). 69-70. 

Painlevé ( P.). 6-7. 

Paolelli (T.). 49. 

Pascal (E.). 4o, 5i. 

Perna (A.). 39. 

Perron ( O.). 65. 

Petrovich (M.). 43. 

Pexider (J.-V.). 41. 

Picard (E.). 6, i3, 23, 37-38. 78, 80. 

Pincherle (S.). 74. 

Pizzelli (P.). 60-61. 

Poiniaré (II.). 3o-3i. 4''. 66-67, 70. 

Posse (C). 68. 71. 

Puglisi (M.). 43-44. 

Rados (G.). 32. 

Rémy ( L.). 25-26. 

Riesz (M.). 71. 

Riesz ( F.). 75. 

Rossi (L. V.). 47, 5o. 

Routh (E.-J.). 16. 



Ruyssian (C.). Sg. 

Sainte-Lagiie (A.). 86-87. 

Saiiielevici (S.). 23-24. 

Sannia ( G.). 6c. 

Sartori (A.). 49~^o. 

Scarle (J.-H.-C.). i5. 

Scarpis { U.). 65. 

Schœnflies ( A.). 4''. 

SchoLlky (F.). 12. 

Schoue (V.). 72. 

Schumacker (H.). 44- 

Scorza (G.). 61. 

Scrosoppi (P.). 5i-52, 54. 

Severi (F.). 89, 46-4", 5i, 55, 68. 

Severini (C.). 47,48-49, ^3. 

Sibirani (F.). 53-54, ^1- 

Signorini ( A.). 59. 

Sinigallia ( L.). 42- 

Slàckel (P.). 8. 

Stekioff (H.). 26-27. 

Sturmer (C.). 9-10. 

Stridsberg ( E.). 67. 

Sundman (K. F.). 72. 

Tedoiie ( O.) . 4', 60. 

Todolelti (C.). 4i. 

Tonelli (L). 63-64. 

Toni (G.-B. de). 52. 

Tonolo (.\.). 57-78. 

Torelli (R.). 56-07, 63. 

Traynard. 25. 

Tzilzéica ( G.). 75. 

\ ergne ( H.). 87. 

Vessiot ( E.). 27-28. 

Villat (H.). 77. 

Vilerbi (A.). 54. 

Vivanti (G.). W- 

Vollerra (V.). 7-8, 72. 

^^ alson (G. V.). i5-i6. 

Weber (IL). 11. 

^oiing (W. IL). i5, 18, 19. 

Zanon (G. -A.). 47, "^o. 

Zarcmba (S.). 27, 6i). 

Zcrinelo ( K.). 46. 

Zindier (K.). 66. 

Zorclli (L.). 29, 37, 74. 



TABLE ALPHABÉTIQUE DES NOMS D'AUTEURS 



D'ANALYSES. 



Cahen (E.). 14. 
Drouin (P.). 44, <J'3. 
Gai!nier (H.)- 3"i. 

GiRAUD (G.). 23, S2. 



LATTÏiS ( s ). 'iJ. 

.MiCHoux. 6. 
Hindi (S.). 47. 



FIN DES TABLES DE LA SECONDE PARTIE DU TOME XLII. 



PAUIS. - IMPRIMERIE GAL THIER-VILLARS ET C' 
58i9S Quai des Grands-Augustins, 55. 




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